押題08 第15-17題 圓錐曲線（九大題型）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)押題模擬預(yù)測(cè)卷（新高考專(zhuān)用）含解析

押題08第15-17題圓錐曲線（九大題型）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)押題模擬預(yù)測(cè)卷（新高考專(zhuān)用）押題08第15-17題圓錐曲線（九大題型）1．（2021·全國(guó)·高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．2．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．押題08圓錐曲線高考模擬題型分布表題型序號(hào)題型內(nèi)容題號(hào)題型1弦長(zhǎng)問(wèn)題1-3題型2求參數(shù)的值4-8題型3面積問(wèn)題9-10題型4定點(diǎn)問(wèn)題11-12題型5定值問(wèn)題13-14題型6求直線的方程15-16題型7最值問(wèn)題17-18題型8向量問(wèn)題19-20題型9復(fù)數(shù)與圓錐曲線21題型1：弦長(zhǎng)問(wèn)題1．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左頂點(diǎn)是，一條漸近線的方程為．(1)求雙曲線E的離心率；(2)設(shè)直線與雙曲線E交于點(diǎn)P，Q，求線段PQ的長(zhǎng)．2．（2024·河南開(kāi)封·二模）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，且．(1)求的離心率；(2)射線與交于點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng)．3．（2024·吉林白山·二模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，.(1)若，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，求直線與雙曲線相交所得的弦長(zhǎng)；(2)探究：的外心是否落在雙曲線在點(diǎn)處的切線上，若是，請(qǐng)給出證明過(guò)程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型2：求參數(shù)的值4．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，點(diǎn)M到直線的距離為.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，若以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，求k的值.5．（2024·陜西銅川·二模）已知橢圓的離心率為，直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓交于點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，求的內(nèi)切圓的半徑最大時(shí)的值.6．（2024·陜西寶雞·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)分別在軸，軸上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.7．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）如果一雙曲線的實(shí)軸及虛軸分別為另一雙曲線的虛軸及實(shí)軸，則這兩雙曲線互為“共軛雙曲線”.已知雙曲線的共軛雙曲線的離心率為.(1)求的方程；(2)若直線與的右支交于兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓與軸相切，求的值.8．（2024·山東濰坊·一模）已知橢圓：（）中，點(diǎn)，分別是的左、上頂點(diǎn)，，且的焦距為．(1)求的方程和離心率；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，若，求的值．題型3：面積問(wèn)題9．（2024·云南貴州·二模）已知橢圓的方程，右焦點(diǎn)為，且離心率為(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），求與的面積之比的取值范圍.10．（2024·山東泰安·一模）已知圓與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)，橢圓的離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且在軸上方，為關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)的面積為，求直線的斜率．題型4：定點(diǎn)問(wèn)題11．（2024·山東聊城·一模）已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，動(dòng)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)、與相交于、兩點(diǎn)，且直線和的斜率之積等于3.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).12．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的漸近線上，且滿足.(1)求的方程；(2)點(diǎn)為的左頂點(diǎn)，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn).題型5：定值問(wèn)題13．（2024·云南昆明·一模）已知橢圓：的短軸長(zhǎng)等于，離心率．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明：為定值．14．（2024·湖北武漢·二模）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)作一條斜率不為0的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，若直線、與直線分別交于、兩點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，則是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型6：求直線的方程15．（2024·甘肅·一模）已知為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值為6.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，求直線的方程.16．（2024·河南信陽(yáng)·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P，Q在橢圓C上，P，Q異于，．(1)若直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求的值；(2)若P，Q，三點(diǎn)共線，且的內(nèi)切圓面積為，求直線PQ的方程．題型7：最值問(wèn)題17．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為，為橢圓上一點(diǎn)，且.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)位于軸上方），記直線的斜率分別為，求的最小值.18．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若曲線在處的切線相交于點(diǎn)．(1)求證：點(diǎn)的軌跡是一條直線；(2)求面積的最小值．題型8：向量問(wèn)題19．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率是雙曲線的離心率的倒數(shù)，橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，且.(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩個(gè)不同點(diǎn)時(shí)，設(shè)，求的取值范圍.20．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為．點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且直線的斜率與直線的斜率之商為2．(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交橢圓于、兩點(diǎn)，若，求的面積．題型9：復(fù)數(shù)與圓錐曲線21．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，Z的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)若，，過(guò)F的直線交C于，兩點(diǎn)，且平分，求直線的方程.押題08第15-17題圓錐曲線（九大題型）1．（2021·全國(guó)·高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由離心率公式可得，進(jìn)而可得，即可得解；（2）必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；充分性：設(shè)直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得，進(jìn)而可得，即可得解.【解析】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，必要性：若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過(guò)點(diǎn)，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，充分性成立；所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理的應(yīng)用，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性是解題的重中之重.2．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．【答案】(1)橢圓的方程為，離心率為.(2).【分析】（1）由解得，從而求出，代入橢圓方程即可求方程，再代入離心率公式即求離心率.（2）先設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，再由韋達(dá)定理可得，從而得到點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo).由得，即可得到關(guān)于的方程，解出，代入直線的方程即可得到答案.【解析】（1）如圖，

由題意得，解得，所以，所以橢圓的方程為，離心率為.（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得：，由韋達(dá)定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直線的方程為.押題08圓錐曲線高考模擬題型分布表題型序號(hào)題型內(nèi)容題號(hào)題型1弦長(zhǎng)問(wèn)題1-3題型2求參數(shù)的值4-8題型3面積問(wèn)題9-10題型4定點(diǎn)問(wèn)題11-12題型5定值問(wèn)題13-14題型6求直線的方程15-16題型7最值問(wèn)題17-18題型8向量問(wèn)題19-20題型9復(fù)數(shù)與圓錐曲線21題型1：弦長(zhǎng)問(wèn)題1．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左頂點(diǎn)是，一條漸近線的方程為．(1)求雙曲線E的離心率；(2)設(shè)直線與雙曲線E交于點(diǎn)P，Q，求線段PQ的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)左頂點(diǎn)與漸近線的方程求得即可得到離心率；（2）求出交點(diǎn)縱坐標(biāo)代入弦長(zhǎng)公式求解.【解析】（1）由題意知，且，

，所以雙曲線的離心率．（2）由（1）知雙曲線方程為，將即代入，得，

不妨設(shè)，所以．2．（2024·河南開(kāi)封·二模）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，且．(1)求的離心率；(2)射線與交于點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，可得，的關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓的離心率；（2）由（1）可得與，與的關(guān)系，設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的表達(dá)式，由題意可得，的值，由橢圓的性質(zhì)可得的周長(zhǎng)為，即求出三角形的周長(zhǎng)．【解析】（1）依題意可得上頂點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為，，所以，，又，所以，即，即，所以，所以離心率；（2）由（1）可得，，則橢圓方程為，射線的方程為，聯(lián)立，整理可得，解得或，則，即，所以，解得，則，所以的周長(zhǎng)．

3．（2024·吉林白山·二模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，.(1)若，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，求直線與雙曲線相交所得的弦長(zhǎng)；(2)探究：的外心是否落在雙曲線在點(diǎn)處的切線上，若是，請(qǐng)給出證明過(guò)程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是，證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求解即可；（2）先利用直線與拋物線的位置關(guān)系求切線方程，再利用圓中弦的性質(zhì)求出外心坐標(biāo)，即可證明.【解析】（1）依題意，，則直線的斜率為,則直線，即；聯(lián)立，得，解得或，故所求弦長(zhǎng)為.（2）的外心落在雙曲線在點(diǎn)的切線上，證明過(guò)程如下，設(shè)雙曲線在點(diǎn)的切線斜率為，則在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立得，其中，則，而，故，代入上式可得，，解得，故雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.直線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，故直線的中垂線方程為，聯(lián)立可得，故外心坐標(biāo)為，其滿足，故的外心落在雙曲線在點(diǎn)處的切線上.題型2：求參數(shù)的值4．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，點(diǎn)M到直線的距離為.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，若以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，求k的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）借助點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算即可得；（2）設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線與曲線，得到關(guān)于的一元二次方程，列出韋達(dá)定理后結(jié)合題意計(jì)算即可得.【解析】（1）由題意可得，且，則有，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)、，聯(lián)立，有，，即，有，，若以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，則有，即有，即，故.

5．（2024·陜西銅川·二模）已知橢圓的離心率為，直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓交于點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，求的內(nèi)切圓的半徑最大時(shí)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即得橢圓方程.（2）結(jié)合橢圓定義由三角形面積表示其內(nèi)切圓半徑，再聯(lián)立直線與橢圓方程，求出三角形面積的函數(shù)關(guān)系，然后探討最值即得.【解析】（1）依題意，橢圓右焦點(diǎn)，即半焦距，又離心率，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，而的周長(zhǎng)為，由，得，因此的面積最大時(shí)，其內(nèi)切圓半徑最大，設(shè)，由消去x得：，則，于是，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以的內(nèi)切圓的半徑最大時(shí).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問(wèn)題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動(dòng)點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.6．（2024·陜西寶雞·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)分別在軸，軸上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程,求出結(jié)果即可；（2）將直線方程與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，表示出，求實(shí)數(shù)的值即可.【解析】（1）設(shè)，，，，，，即，，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程.（2）設(shè)，聯(lián)立,可得：，由得，化簡(jiǎn)得,又因?yàn)?，，，所以，即，化?jiǎn)得，滿足，所以.7．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）如果一雙曲線的實(shí)軸及虛軸分別為另一雙曲線的虛軸及實(shí)軸，則這兩雙曲線互為“共軛雙曲線”.已知雙曲線的共軛雙曲線的離心率為.(1)求的方程；(2)若直線與的右支交于兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓與軸相切，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合雙曲線離心率分析求解即可；（2）根據(jù)題意結(jié)合漸近線可知：或，聯(lián)立方程，根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式列式求解.【解析】（1）由題可得，因?yàn)榈碾x心率為，所以，得，所以的方程為.（2）因?yàn)檫^(guò)的右頂點(diǎn)，不妨設(shè)，由的方程可得其漸近線方程為，且均在的右支上，可得或，即，聯(lián)立方程，消去y得，則，可得，以線段為直徑的圓的圓心橫坐標(biāo)為，半徑為，由題意知，整理得，解得或（舍去），所以的值為.8．（2024·山東濰坊·一模）已知橢圓：（）中，點(diǎn)，分別是的左、上頂點(diǎn)，，且的焦距為．(1)求的方程和離心率；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，若，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由的值，可得，的關(guān)系，再由焦距可得的值，又可得，的關(guān)系，兩式聯(lián)立，可得，的值，即求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，消元、列出韋達(dá)定理，求出直線，的斜率之和，由題意整理可得參數(shù)的值，進(jìn)而求出直線的斜率的大?。窘馕觥浚?）由題意可得，，可得，，可得，可得，，解得，，所以離心率，所以橢圓的方程為，離心率；（2）由（1）可得，（3）（4）由題意設(shè)直線的方程為，則，設(shè)，，聯(lián)立，整理可得，顯然，且，，直線，的斜率，，則，因?yàn)?，即，解得，所以直線的斜率．即的值為3．

題型3：面積問(wèn)題9．（2024·云南貴州·二模）已知橢圓的方程，右焦點(diǎn)為，且離心率為(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），求與的面積之比的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)離心率以及焦點(diǎn)即可求解；（2）①當(dāng)斜率不存在時(shí)，易知；②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)與橢圓方程聯(lián)立，得到，利用韋達(dá)定理可得，設(shè)，轉(zhuǎn)化為，可得答案．【解析】（1）設(shè)橢圓焦距為，由題意可得，故橢圓方程為（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，易知；②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，,，,，由，得，顯然，所以，，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，又，設(shè)，則，，解得且，所以，綜上可得的取值范圍為．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.10．（2024·山東泰安·一模）已知圓與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)，橢圓的離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且在軸上方，為關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)的面積為，求直線的斜率．【答案】(1)(2)直線的斜率或【分析】（1）由題意首先依次得出，，進(jìn)一步結(jié)合離心率公式以及的關(guān)系式即可求解；（2），則，進(jìn)一步表示出點(diǎn)以及的面積，結(jié)合已知可得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可得解.【解析】（1）圓過(guò)，，又圓過(guò)，，又，橢圓的方程為.（2）設(shè)，則，

由題知且，則，，由，解得，，又，，又，，直線的斜率或.題型4：定點(diǎn)問(wèn)題11．（2024·山東聊城·一模）已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，動(dòng)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)、與相交于、兩點(diǎn)，且直線和的斜率之積等于3.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）結(jié)合拋物線性質(zhì)設(shè)出拋物線方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算即可得；（2）設(shè)出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，由直線和的斜率之積等于3，可得，聯(lián)立曲線與直線方程，可得，，即可得，即可得直線過(guò)定點(diǎn)及頂點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）由拋物線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故可設(shè)，由在拋物線上，故，解得，故；（2）設(shè)、，，同理可得，即有，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，有，即，，，，即有，化簡(jiǎn)得，此時(shí)，則有解，則，即直線過(guò)定點(diǎn).

12．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的漸近線上，且滿足.(1)求的方程；(2)點(diǎn)為的左頂點(diǎn)，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，借助向量垂直的坐標(biāo)表示及雙曲線漸近線方程求出即可得解.（2）設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理及向量共線的坐標(biāo)表示求出的中點(diǎn)縱坐標(biāo)即可得解.【解析】（1）設(shè)，，由，得，解得，即，而曲線的漸近線方程為，由點(diǎn)在的漸近線上，得，即，因此，所以的方程為.（2）由（1）知，設(shè)直線為，由消去y得：，則，，由三點(diǎn)共線，得，同理，因此，所以的中點(diǎn)為定點(diǎn).題型5：定值問(wèn)題13．（2024·云南昆明·一模）已知橢圓：的短軸長(zhǎng)等于，離心率．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，求得的值，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得到，進(jìn)而求得，得出中垂線的方程，求得，再由弦長(zhǎng)公式求得，即可求解.【解析】（1）橢圓：的短軸長(zhǎng)等于，離心率可得，，解得，所以橢圓的方程為.（2）由橢圓的方程，可得右焦點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)被軸垂直平分，不符合題意；當(dāng)直線斜率為0時(shí)，；直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，，中點(diǎn)為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以，則，即，則中垂線的方程為，令，可得，所以，又由，所以（定值）；綜上所述，為定值.14．（2024·湖北武漢·二模）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)作一條斜率不為0的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，若直線、與直線分別交于、兩點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，則是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)為定值．【分析】（1）由橢圓所過(guò)的點(diǎn)及焦點(diǎn)坐標(biāo)求橢圓參數(shù)，即可得方程；（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理，寫(xiě)出直線的方程，進(jìn)而求縱坐標(biāo)，同理求縱坐標(biāo)，由化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.【解析】（1）由題知，橢圓的右焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，結(jié)合橢圓定義，所以，所以．又，所以，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，由，得，易知，所以，，直線的方程為，令得，，同理可得，所以，為定值．題型6：求直線的方程15．（2024·甘肅·一模）已知為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值為6.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，求直線的方程.【答案】(1)(2).【分析】（1）求出后可求的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）直線的方程為，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用的坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)前者可求直線方程.【解析】（1）由題意，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）由（1）可知當(dāng)直線的方程為時(shí)，，則，不符合題意.不妨設(shè)直線的方程為，由，得.此時(shí)，.由，得.又，可得：，整理得到：即，解得，所以或.故直線的方程為.16．（2024·河南信陽(yáng)·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P，Q在橢圓C上，P，Q異于，．(1)若直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求的值；(2)若P，Q，三點(diǎn)共線，且的內(nèi)切圓面積為，求直線PQ的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓性質(zhì)求出各點(diǎn)坐標(biāo)，分別求得直線與直線的方程再求得交點(diǎn)縱坐標(biāo)，，再由點(diǎn)在橢圓上化簡(jiǎn)可得結(jié)果；（2）設(shè)直線PQ的方程為，與橢圓方程聯(lián)立并根據(jù)橢圓定義得出的周長(zhǎng)，再由內(nèi)切圓面積與周長(zhǎng)關(guān)系可得面積，利用韋達(dá)定理解方程即可求得，可得直線方程.【解析】（1）如下圖所示：

依題意可得，，，；設(shè)，則，即；直線，令，則；直線，令，則；故；（2）設(shè)點(diǎn)，依題意知直線PQ的方程為；與橢圓聯(lián)立，消去x整理得；顯然成立，故，，由橢圓定義得的周長(zhǎng)為；而的內(nèi)切圓半徑為，則的面積；又由，得；從而得，即，整理得，解得，故，即直線PQ的方程為．題型7：最值問(wèn)題17．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為，為橢圓上一點(diǎn)，且.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)位于軸上方），記直線的斜率分別為，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義直接求解即可；（2）設(shè)直線，，，將橢圓方程與直線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解即可.【解析】（1）由于橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為橢圓上，且，所以根據(jù)橢圓定義可知，，則，所以橢圓的方程為：.（2）由題意可知直線斜率不為0，設(shè)直線，，，聯(lián)立可得，則得，，所以，由于點(diǎn)位于軸上方，所以均大于，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．【點(diǎn)睛】解決直線與圓錐曲線相交（過(guò)定點(diǎn)、定值）問(wèn)題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于或的一元二次方程；（3）寫(xiě)出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為，形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.18．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若曲線在處的切線相交于點(diǎn)．(1)求證：點(diǎn)的軌跡是一條直線；(2)求面積的最小值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)1【分析】（1）設(shè)點(diǎn)斜式方程，代入拋物線方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，利用導(dǎo)數(shù)寫(xiě)出處的切線方程，聯(lián)立兩切線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出點(diǎn)的軌跡，即可得證，（2）利用弦長(zhǎng)公式求出的值，到直線的距離，代入三角形面積公式，利用二次函數(shù)求出面積的最小值.【解析】（1）依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線交曲線于．聯(lián)立直線和曲線方程，化簡(jiǎn)得，所以，因?yàn)椋裕郧€在處的切線方程為，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，即，所以在處切線方程為，同理，可求曲線在處的切線方程為，聯(lián)立，解得，所以交點(diǎn)，設(shè)，則，因?yàn)椋?/p>