押題10 第15-17題 空間向量與立體幾何（七大題型）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)押含解析1

押題10第15-17題空間向量與立體幾何（七大題型）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)押題模擬預(yù)測(cè)卷（新高考專用）押題10第15-17題空間向量與立體幾何（七大題型）1．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．2．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．3．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．4．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．5．（2021·全國(guó)·高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．6．（2021·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.押題10空間向量與立體幾何高考模擬題型分布表題型序號(hào)題型內(nèi)容題號(hào)題型1直接求二面角1-3題型2直接求表面積或體積4-5題型3根據(jù)其他條件求二面角6-9題型4根據(jù)二面角求其他條件10-13題型5空間中的距離問題14-17題型6空間中的其他角度問題18-20題型7存在性問題21-22題型1：直接求二面角1．（2024·河北邯鄲·三模）在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱的中點(diǎn)，且．(1)求四棱錐的高；(2)求二面角的正弦值．2．（遼寧省沈陽(yáng)市五校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在平行六面體中，，，，，點(diǎn)為中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.3．（2024·貴州·三模）如圖，在正四棱錐中，，已知，，其中分別為的中點(diǎn).(1)證明：；(2)求二面角的正弦值.題型2：直接求表面積或體積4．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，在四棱錐中，平面，，點(diǎn)在棱上，，點(diǎn)，是棱上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).，.(1)證明：平面，且；(2)求三棱錐的體積.5．（2024·陜西西安·一模）如圖所示多面體中，四邊形和四邊形均為正方形，棱，．(1)求證：平面；(2)求該幾何體的體積和表面積．題型3：根據(jù)其他條件求二面角6．（2024·遼寧撫順·一模）如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，．(1)求證：；(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，直線與底面所成的角為，且，求二面角的余弦值．7．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在圓柱中，A，B，C是底面圓O上的三個(gè)點(diǎn)，且線段為圓O的直徑，，為圓柱上底面上的兩點(diǎn)，且矩形平面，D，E分別是，的中點(diǎn)．(1)證明：平面．(2)若是等腰直角三角形，且平面，求平面與平面的夾角的正弦值．8．（2024·江西·一模）如圖，在三棱錐中，．

(1)證明：平面平面；(2)若是線段上的點(diǎn)，且，求二面角的正切值．9．（2024·四川瀘州·二模）如圖，ABCD為圓柱底面的內(nèi)接四邊形，AC為底面圓的直徑，PC為圓柱的母線，且．

(1)求證：；(2)若，點(diǎn)F在線段PA上，且，求二面角的余弦值．題型4：根據(jù)二面角求其他條件10．（2024·江蘇·一模）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)在棱上，且.

(1)證明：平面；(2)當(dāng)二面角為時(shí)，求.11．（2024·云南昆明·一模）如圖，直三棱柱中，，且．(1)證明：平面；(2)，分別為棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．12．（2023·河南·三模）在三棱錐中，，，，，．

(1)如圖1，G為△PBC的重心，若平面PAB，求的值；(2)如圖2，當(dāng)，且二面角的余弦值為時(shí)，求直線PD與平面PBC所成角的正弦值．13．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在五邊形中，連接對(duì)角線，，，，將三角形沿折起，連接，得四棱錐（如圖2），且為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.

(1)求證：平面平面；(2)若平面和平面的夾角的余弦值為，求線段的長(zhǎng).題型5：空間中的距離問題14．（2024·陜西銅川·二模）如圖，在四棱錐中.側(cè)面⊥底面，為等邊三角形，四邊形為正方形，且.

(1)若為的中點(diǎn)，證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離.15．（2024·四川成都·二模）如圖，在三棱柱中，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且平面平面，求點(diǎn)到平面的距離．16．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是邊長(zhǎng)為2的正六邊形所在平面外一點(diǎn)，的中點(diǎn)為在平面內(nèi)的射影．(1)若，求到平面的距離；(2)設(shè)為線段上一點(diǎn)，且，證明：平面．17．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，在正方形的內(nèi)切圓上任取一點(diǎn)，在正方形的內(nèi)切圓上任取一點(diǎn)，在正方形的內(nèi)切圓上任取一點(diǎn)．(1)若分別是棱的中點(diǎn)，，求棱和平面所成角的余弦值；(2)求的最小值與最大值．題型6：空間中的其他角度問題18．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知菱形滿足，將沿折起，使得.(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.19．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，平面平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)證明：.(2)點(diǎn)是的中點(diǎn)，，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求四棱錐的體積.20．（2024·廣東·一模）如圖，已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)是圓上異于點(diǎn)，的任意一點(diǎn).(1)若點(diǎn)到平面的距離為，證明：.(2)求與平面所成角的正弦值的取值范圍.題型7：存在性問題21．（2024·全國(guó)·一模）如圖，棱柱的所有棱長(zhǎng)都等于2，且，平面平面．(1)求平面與平面所成角的余弦值；(2)在棱所在直線上是否存在點(diǎn)P，使得平面．若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由．22．（2024·貴州黔東南·二模）如圖，在多面體中，四邊形為菱形，平面，，，，.(1)證明：平面平面；(2)試問線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，請(qǐng)判斷點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.押題10第15-17題空間向量與立體幾何（七大題型）1．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．【答案】(1)證明見解析；(2)1【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，又不在同一條直線上，.（2）設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，，化簡(jiǎn)可得，，解得或，或，.2．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)題意易證平面，從而證得；（2）由題可證平面，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出．【解析】（1）連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，所以①，因?yàn)?，，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨設(shè)，，．，，又，平面平面．以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，二面角平面角為,而，因?yàn)?，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，從而．所以二面角的正弦值為?．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.【解析】（1）在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為；（2）取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)?，所?又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點(diǎn)，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.4．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形全等得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到為的中點(diǎn)從而得到，即可得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對(duì)值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.【解析】（1）證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面

（2）解：過點(diǎn)作，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以.設(shè)二面角的大小為，則，所以，即二面角的正弦值為.

5．（2021·全國(guó)·高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面，從而得到面面.（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，建如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【解析】（1）取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)?，，則，而，故.在正方形中，因?yàn)椋?，故，因?yàn)?，故，故為直角三角形且，因?yàn)椋势矫?，因?yàn)槠矫?，故平面平?（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.則，故.設(shè)平面的法向量，則即，取，則，故.而平面的法向量為，故.二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.6．（2021·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；(2)方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計(jì)算三棱錐的體積即可.【解析】（1）因?yàn)椋琌是中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面平面，且平面平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所?（2）[方法一]：通性通法—坐標(biāo)法如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為y軸，垂直且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè),所以，設(shè)為平面的法向量，則由可求得平面的一個(gè)法向量為．又平面的一個(gè)法向量為，所以，解得．又點(diǎn)C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點(diǎn)G．作，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)，則．因?yàn)槠矫妫云矫?，為二面角的平面角．因?yàn)?，所以．由已知得，故．又，所以．因?yàn)椋甗方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據(jù)題意，得．對(duì)使用三面角的余弦公式，可得，化簡(jiǎn)可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化簡(jiǎn)可得．②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得．如圖可知，即有，根據(jù)三角形相似知，點(diǎn)G為的三等分點(diǎn)，即可得，結(jié)合的正切值，可得從而可得三棱錐的體積為．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：建立空間直角坐標(biāo)系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性通法，其好處在于將幾何問題代數(shù)化，適合于復(fù)雜圖形的處理；方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時(shí)可以對(duì)幾何體的幾何特征有更加深刻的認(rèn)識(shí)，該法為本題的最優(yōu)解.方法三：三面角公式是一個(gè)優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問題更加簡(jiǎn)單、直觀、迅速.押題10空間向量與立體幾何高考模擬題型分布表題型序號(hào)題型內(nèi)容題號(hào)題型1直接求二面角1-3題型2直接求表面積或體積4-5題型3根據(jù)其他條件求二面角6-9題型4根據(jù)二面角求其他條件10-13題型5空間中的距離問題14-17題型6空間中的其他角度問題18-20題型7存在性問題21-22題型1：直接求二面角1．（2024·河北邯鄲·三模）在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱的中點(diǎn)，且．(1)求四棱錐的高；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)3(2)【分析】（1）過作的平行線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，，通過證明，來證明為四棱錐的高，從而求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系求解即可.【解析】（1）如圖，過作的平行線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，．，，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，，，，，四邊形為矩形，，為棱的中點(diǎn)，，從而，又因?yàn)椋?，平面，平面，平面，平面，，，平面，平面，平面．為四棱錐的高，即，四棱錐的高為；（2）由（1）知，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)是平面的法向量，則可取，設(shè)是平面的法向量，則可取，所以，所以二面角的正弦值為.2．（遼寧省沈陽(yáng)市五校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在平行六面體中，，，，，點(diǎn)為中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，寫出各向量即可根據(jù)向量法證明；（2）利用向量法求出二面角的余弦值即可求出正弦值.【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以在的投影?shù)量為，因?yàn)?，所以，所以在的投影?shù)量為，以為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，所以，，，，，，所以，，，設(shè)面的法向量為，所以，令，所以，因?yàn)?，不在面?nèi)，所以平面；（2），所以，設(shè)面的法向量，因?yàn)?，所以，令，則，設(shè)面的法向量，因?yàn)椋?，令，所以，所以，所以二面角的正弦值?3．（2024·貴州·三模）如圖，在正四棱錐中，，已知，，其中分別為的中點(diǎn).(1)證明：；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，證明四邊形和四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得，，即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【解析】（1）如圖，連接，由題意可得為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以；（2）由題意知平面，，如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則，所以二面角的正弦值為.題型2：直接求表面積或體積4．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，在四棱錐中，平面，，點(diǎn)在棱上，，點(diǎn)，是棱上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).，.(1)證明：平面，且；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）借助中位線的性質(zhì)可得線線平行，借助線面平行的判定定理可得線面平行，借助平行四邊形的性質(zhì)可得線線平行；（2）由題意可得為的頂點(diǎn)D到邊的高，為三棱錐的高，結(jié)合體積公式計(jì)算即可得.【解析】（1）因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，連接，在中，，所以，且，因?yàn)?，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，?）由題意可知，，，，所以，故，又，所以，所以為的頂點(diǎn)D到邊的高，因?yàn)槠矫?，所以為三棱錐的高，故.5．（2024·陜西西安·一模）如圖所示多面體中，四邊形和四邊形均為正方形，棱，．(1)求證：平面；(2)求該幾何體的體積和表面積．【答案】(1)證明見解析；(2)體積為，表面積為.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定推理即得.（2）利用錐體的體積公式，結(jié)合割補(bǔ)法求出體積；再利用幾何體的各個(gè)面的面積即得.【解析】（1）由正方形，得，，又，則，顯然平面，且是相交直線，所以平面.（2）由正方形，得，而，平面，因此平面，點(diǎn)到平面的距離都等于，而，所以該幾何體的體積；顯然，等腰底邊上的高，則，而，，所以幾何體的表面積.題型3：根據(jù)其他條件求二面角6．（2024·遼寧撫順·一模）如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，．(1)求證：；(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，直線與底面所成的角為，且，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明即可；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，由二面角的向量公式求解即可.【解析】（1）證明：設(shè)點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，由得，點(diǎn)為的外心，又因?yàn)榈酌鏋榱庑?，，所以，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以底面，因?yàn)榈酌?，所以．因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．?）解：由底面，知即為直線與底面所成的角，因?yàn)榍遥?，所以，由于，所以．取的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，可得：，令，則，所以．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，可得：，令，則，所以．設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，所以．7．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在圓柱中，A，B，C是底面圓O上的三個(gè)點(diǎn)，且線段為圓O的直徑，，為圓柱上底面上的兩點(diǎn)，且矩形平面，D，E分別是，的中點(diǎn)．(1)證明：平面．(2)若是等腰直角三角形，且平面，求平面與平面的夾角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）運(yùn)用線面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【解析】（1）如圖，取的中點(diǎn)F，連接，，因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，所以，．又因?yàn)槠矫妫矫?，平面，平面，所以平面，平面．因?yàn)椋?，平面，所以平面平面．又因?yàn)槠矫妫云矫妫?）如圖，連接，．因?yàn)镋，O分別為，的中點(diǎn)，所以，且，又因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以．因?yàn)槠矫?，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以，可得．因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以．又矩形平面，可得平面，以A為原點(diǎn)，以，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，可得，，，，則，，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，取，可得，，所以．設(shè)平面的法向量為，則，即，取，可得，，所以．，所以平面與平面的夾角的正弦值為．8．（2024·江西·一模）如圖，在三棱錐中，．

(1)證明：平面平面；(2)若是線段上的點(diǎn)，且，求二面角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）在中求和邊的高，進(jìn)而判斷≌，最后證明邊的高即為面的垂線，證明結(jié)論即可；（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出面和的法向量，求出兩個(gè)法向量夾角的余弦值后，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，求二面角的正切值即可.【解析】（1）證明：在中，，所以，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，所以≌，得，又所以，得，又，，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平?（2）由（1）知，兩兩垂直，如圖以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，，因?yàn)?，得，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，得，而是平面ABC的一個(gè)法向量，兩個(gè)法向量夾角的余弦值為：設(shè)二面角平面角的大小為，結(jié)合圖形得：，，，所以二面角的正切值為.

9．（2024·四川瀘州·二模）如圖，ABCD為圓柱底面的內(nèi)接四邊形，AC為底面圓的直徑，PC為圓柱的母線，且．

(1)求證：；(2)若，點(diǎn)F在線段PA上，且，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由平面幾何的知識(shí)可得，再由線面垂直的性質(zhì)得到，即可證明平面，從而得證；（2）依題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的法向量，從而利用空間向量法即可得解.【解析】（1）因?yàn)闉榈酌鎴A的直徑，則，又，，所以，所以，結(jié)合為底面圓的直徑，利用圓的對(duì)稱性可得，又為圓柱的母線，即平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過且垂直于平面的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

在中，因?yàn)椋?，設(shè)與相交于，在中，，則，則，，，，因?yàn)?，所以，則，又，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，，則，設(shè)二面角的平面角為，易知，所以，故二面角的余弦值為.題型4：根據(jù)二面角求其他條件10．（2024·江蘇·一模）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)在棱上，且.

(1)證明：平面；(2)當(dāng)二面角為時(shí)，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直得到線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，根據(jù)得到證明；（2）求出平面的法向量，根據(jù)二面角的大小列出方程，求出.【解析】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，∵，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令得，故，故平面；（2）平面的一個(gè)法向量，，.11．（2024·云南昆明·一模）如圖，直三棱柱中，，且．(1)證明：平面；(2)，分別為棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法證明可得平面.（2）設(shè)，求出平面與平面的法向量，根據(jù)條件求值.【解析】（1）設(shè)，如圖，以為軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以所以又平面，所以平面.（2）設(shè)，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，即，令，得，又平面的一個(gè)法向量為，解得或（舍），即.12．（2023·河南·三模）在三棱錐中，，，，，．

(1)如圖1，G為△PBC的重心，若平面PAB，求的值；(2)如圖2，當(dāng)，且二面角的余弦值為時(shí)，求直線PD與平面PBC所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接CG并延長(zhǎng)與PB交于點(diǎn)E，連接AE，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知，繼而利于重心的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，利于線面角的坐標(biāo)表示進(jìn)行計(jì)算即可.【解析】（1）連接CG并延長(zhǎng)與PB交于點(diǎn)E，連接AE，所以平面平面．

因?yàn)槠矫鍼AB，平面ACE，所以．

又因?yàn)镚為△PBC的重心，所以．所以．

所以，即．

（2）設(shè)O為BC的中點(diǎn)，連接AO．因?yàn)?，，所以，；又，平?所以平面PAO,又平面,所以平面平面ABC，過點(diǎn)O在平面PAO內(nèi)作AO的垂線OZ，

如圖所示，分別以，，為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

所以，，，

因?yàn)椋裕?/p>

因?yàn)槭嵌娼堑钠矫娼牵娼堑挠嘞抑禐?，，所以?/p>

所以，，．不妨設(shè)平面PBC的法向量，所以所以可取

設(shè)直線PD與平面PBC所成的角為，所以.13．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在五邊形中，連接對(duì)角線，，，，將三角形沿折起，連接，得四棱錐（如圖2），且為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.

(1)求證：平面平面；(2)若平面和平面的夾角的余弦值為，求線段的長(zhǎng).【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1）由等腰三角形證得，勾股定理證得，可得平面，得平面平面.（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法表示兩個(gè)平面夾角的余弦值，由方程解出的值.【解析】（1）連接，則，因?yàn)?，，所以四邊形為矩形，所以，因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，所以，且，所以，即，又因?yàn)椋矫?，所以平面，又平面，所以平面平?（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則令，則，得又，設(shè)平面的法向量為，則令，則，得，所以，解得，或（舍），所以線段的長(zhǎng)為1.題型5：空間中的距離問題14．（2024·陜西銅川·二模）如圖，在四棱錐中.側(cè)面⊥底面，為等邊三角形，四邊形為正方形，且.

(1)若為的中點(diǎn)，證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，得到線線垂直，證明出線面垂直，得到；（2）證明出⊥平面，求出，根據(jù)等體積法求解點(diǎn)到平面的距離.【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，為等邊三角形，，四邊形為正方形，，，又平面，∴⊥平面，∴

（2）連接，因?yàn)槠矫妗偷酌?，平面底面，⊥，所以⊥平面，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危浴?，且，故，因?yàn)?，，所以，由勾股定理得，設(shè)到平面的距離為，，即，解得.15．（2024·四川成都·二模）如圖，在三棱柱中，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且平面平面，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）借助中位線的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)可得線線平行，結(jié)合線面平行判定定理即可得線面平行；（2）借助等體積法，有，可得點(diǎn)到平面的距離，即可得到點(diǎn)到平面的距離.【解析】（1）作的中點(diǎn)D，連接DF，DB，因?yàn)辄c(diǎn)D，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，所以，且，又由三棱柱的定義，結(jié)合點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)可知：，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）作AC的中點(diǎn)G，連接，，，，因?yàn)?，，所以是正三角形，又點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，所以，由平面平面，有平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，所以是三棱錐的高，所以，又因?yàn)槠矫?，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)C到平面的距離，又，，設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為d，則，解得．16．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是邊長(zhǎng)為2的正六邊形所在平面外一點(diǎn)，的中點(diǎn)為在平面內(nèi)的射影．(1)若，求到平面的距離；(2)設(shè)為線段上一點(diǎn)，且，證明：平面．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意可知所求為，連接，由正六邊形的性質(zhì)可求出的長(zhǎng)，從而計(jì)算；（2）在線段上取一點(diǎn)，使得，連接交于，連接各點(diǎn)，由正六邊形的性質(zhì)可證明平行且等于，進(jìn)而證明，，從而得出，由線面平行的判定定理即可證明平面.【解析】（1）解：連接，則．在正六邊形中，，．依題意可得平面，則，所以到平面的距離為．（2）證明：如圖，在線段上取一點(diǎn)，使得，連接．因?yàn)椋?，所以，且．連接交于，則，可得：，連接，可得，由，可得，所以四邊形為平行四邊形，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，在正方形的內(nèi)切圓上任取一點(diǎn)，在正方形的內(nèi)切圓上任取一點(diǎn)，在正方形的內(nèi)切圓上任取一點(diǎn)．(1)若分別是棱的中點(diǎn)，，求棱和平面所成角的余弦值；(2)求的最小值與最大值．【答案】(1)(2)最小值為，最大值為【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用線面所成角的方法進(jìn)行求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，借助三角函數(shù)表示出題意中的距離，由均值不等式和柯西不等式解得.【解析】（1）以正方體的中心為原點(diǎn)，、、的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．由題意，，，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，令，則，，所以，所以所以棱和平面所成角的余弦值為．（2）由條件，可設(shè)，，，記，，，則（）（其中）記，先求的最小值：由①及均值不等式，所以所以所以當(dāng)時(shí)，可取到最小值.再求的最大值：由①知所以由柯西不等式，，即，故當(dāng)時(shí)，可取到最大值．綜上所述，的最小值為，最大值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決問題常見的方法是建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量知識(shí)求解線面所成角，借助向量表示兩點(diǎn)間的距離.題型6：空間中的其他角度問題18．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知菱形滿足，將沿折起，使得.(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，由題中條件證明，再證明，從而可證平面，從而可證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的一個(gè)法向量，然后再結(jié)合空間向量法求解線面角，從而可求解.【解析】（1）證明：如圖，取中點(diǎn)，連接.在菱形中，，，又，則，所以，又，即，又，平面，平面，又平面，所以平面平面..（2）由（1）可知，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如上圖，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，平面平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)證明：.(2)點(diǎn)是的中點(diǎn)，，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)或【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)和面面垂直的性質(zhì)可得平面，由線面垂直性質(zhì)可得結(jié)論；（2）方法一：取中點(diǎn)，作，由線面垂直的性質(zhì)和判定可證得平面，由線面角定義可知，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可構(gòu)造方程求得，代入棱錐體積公式可求得結(jié)果；方法二：取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，由線面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，代入棱錐體積公式可求得結(jié)果.【解析】（1）是中點(diǎn)，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.（2）方法一：取中點(diǎn)，連接，作，垂足為，連接，

分別為中點(diǎn)，，，又，；由（1）知：平面，平面，；平面，，平面，平面，，又，，平面，平面，直線與平面所成角為，，設(shè)，，，，，又，，解得：或，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述：