汽車振動學(xué)：基于MATLABSimulink的分析與實現(xiàn)課件 第3、4章 汽車二自由度振動系統(tǒng)、汽車多自由度振動系統(tǒng)

3.1汽車二自由度振動系統(tǒng)建模3.2汽車二自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)3.2.1列寫振動方程3.2.2固有頻率和模態(tài)振型3.2.3無阻尼自由振動系統(tǒng)的求解3.3汽車二自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)3.3.1時域分析3.3.2頻域分析3.4汽車二自由度有阻尼自由振動系統(tǒng)3.4.1列寫振動方程3.4.2固有頻率3.4.3有阻尼自由振動系統(tǒng)的求解第三章汽車二自由度振動系統(tǒng)3.5汽車二自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)3.5.1時域分析3.5.2頻域分析3.6汽車二自由度振動系統(tǒng)優(yōu)化控制3.7汽車二自由度振動系統(tǒng)綜合訓(xùn)練3.7.1汽車二自由度垂向動力學(xué)建模與仿真3.7.2汽車二自由度垂向動力學(xué)控制與仿真3.7.3汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)建模與仿真3.7.4汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)控制與仿真第三章汽車二自由度振動系統(tǒng)汽車二自由度振動系統(tǒng)建模3.13.1汽車二自由度振動系統(tǒng)建模實際上，汽車是一個復(fù)雜的多自由度振動系統(tǒng)。如果將汽車車身整體簡化為一個質(zhì)量塊，其重量由一個單獨(dú)的阻尼減震器支撐，其示意圖如圖3.1.1所示。圖3-1汽車二自由度振動系統(tǒng)m1,m2為汽車車輪和車身質(zhì)量(kg)；ks,kt為汽車懸架和車輪彈簧剛度(N·m-1)c為汽車懸架阻尼系數(shù)(N·s·m-1)F為外界施加的力(N)x1,x2為車輪和車身相對于靜平衡位置的時變位移(m)3.1汽車二自由度振動系統(tǒng)建模圖3-1汽車單自由度振動系統(tǒng)圖3-2汽車單自由度振動力學(xué)模型圖3-3模型受力圖3.1汽車二自由度振動系統(tǒng)建模由圖3.3，根據(jù)牛頓第二定律可寫出：

(3-1)(3-2)圖3-3模型受力圖汽車二自由度無阻尼振動系統(tǒng)3.23.2汽車二自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)

3.2.1列寫振動方程

3.2.2固有頻率和模態(tài)振型

3.2.3無阻尼自由振動系統(tǒng)的求解3.2.1列寫振動方程當(dāng)忽略汽車懸架系統(tǒng)阻尼對汽車系統(tǒng)振動的影響，則汽車二自由度振動系統(tǒng)可以被簡化為一個無阻尼振動系統(tǒng)。圖3-4汽車二自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)振動系統(tǒng)的微分方程如下：

(3-3)微分方程表示為矩陣形式如下：

其中：(3-4)3.2汽車二自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)

3.2.1列寫振動方程

3.2.2固有頻率和模態(tài)振型

3.2.3無阻尼自由振動系統(tǒng)的求解

(3-6)(3-5)(3-7)(3.7)

可得到簧下質(zhì)量固有圓頻率為

3.2.2固有頻率和模態(tài)振型可得到簧載質(zhì)量固有圓頻率為

(3-8)

(3-9)將上式帶入式(3-3)得

(3-10)3.2.2固有頻率和模態(tài)振型

保證上式具有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式等于零，即(3-11)

(3-12)得到系統(tǒng)的特征方程為

(3-13)(3-14)

3.2.2固有頻率和模態(tài)振型

一階主振型二階主振型

(3-15)(3-16)3.2.2固有頻率和模態(tài)振型3.2汽車二自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)

3.2.1列寫振動方程

3.2.2固有頻率和模態(tài)振型

3.2.3無阻尼自由振動系統(tǒng)的求解3.2.3無阻尼自由振動系統(tǒng)的求解

(3-17)

3.2.3無阻尼自由振動系統(tǒng)的求解根據(jù)常微分方程理論，二自由度無阻尼自由振動微分方程(3-3)的通解，是它兩個主振動的線性組合，即

(3-18)

為了方便確定振幅和初相位等待定系數(shù)，也可將式(3-18)改寫成如下形式：

(3-19)

3.2.3無阻尼自由振動系統(tǒng)的求解

若將解表示為向量形式，則系統(tǒng)自由振動的解為(3-20)式中

(3-21)例題【例3.2.1】假設(shè)圖3-1所示的汽車二自由度無阻尼振動系統(tǒng)，汽車車身質(zhì)量為500kg，車輪質(zhì)量m1為50kg；汽車懸架彈簧剛度ks為47810N·m-1，輪胎剛度kt為145000N·m-1，t=0時，x10=0.3

cm，x20=003

m，m/s。求：（1）汽車雙質(zhì)量無阻尼自由振動的穩(wěn)態(tài)表達(dá)式，并利用MATLAB/Simulink繪制其位移時程曲線。（2）利用MATLAB/Simulink計算自由振動總響應(yīng)的位移時程曲線解：系統(tǒng)的微分方程為

其中簧下質(zhì)量固有圓頻率為

簧載質(zhì)量固有圓頻率為

(3-22)(3-24)(3-23)(3-25)例題

一階主振型

二階主振型

圖3-5汽車二自由度系統(tǒng)的主振型

(3-26)(3-27)(3-28)例題利用MATLAB/Simulink計算自由振動總響應(yīng)的位移時程曲線

將初始條件帶入下式得圖3-6汽車二自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)的總響應(yīng)自己編程繪圖。(3-29)例題

圖3-7汽車二自由度無阻尼振動系統(tǒng)Simulink模型汽車二自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)3.33.3汽車二自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)

3.3.1時域分析

3.3.2頻域分析3.3二自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)

受迫振動的微分方程變?yōu)?/p>

(3-30)(3-31)3.3.1時域分析該方程是汽車二自由度系統(tǒng)受迫振動微分方程，與汽車無阻尼自由振動的微分方程相比多了激勵項，方程由齊次方程變?yōu)榉驱R次方程。根據(jù)微分方程求解相關(guān)理論可知，方程(3.21)的全解由兩部分組成圖3-8汽車二自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)模型由于自由振動部分會逐漸衰減，即系統(tǒng)將會按照與激勵相同的頻率做穩(wěn)態(tài)振動，所以可以假設(shè)無阻尼二自由度受迫振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為

(3-32)將式(3-32)帶入式(3-30)中可得

(3-33)式中

式(3.33)展開為

(3-34)1.受迫振動特解3.3.1時域分析聯(lián)立求解上式，得到受迫振動的振幅為(3-35)

(3-36)得到受迫振動的振幅為(3-37)

3.3.1時域分析圖3-9

汽車二自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)幅頻特性曲線

3.3.1時域分析將(3-37)帶入式(3-31)即可得無阻尼二自由度系統(tǒng)在受迫激勵下的穩(wěn)態(tài)振動。

(3-38)由式(3.31)可以看出汽車二自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)在簡諧激振下的總響應(yīng)是由自由振動和受迫振動復(fù)合而成的復(fù)雜振動。

(3-39)2.振動總響應(yīng)3.3.1時域分析3.3.1例題

解：系統(tǒng)的微分方程為其中簧下質(zhì)量固有圓頻率為

簧載質(zhì)量固有圓頻率為

(3-40)(3-41)(3-42)3.3.1例題

微分方程展開為

解得振幅方程為

(3-43)(3-45)(3-44)(3-46)3.3.1例題所以受迫激勵下的穩(wěn)態(tài)振動為

受迫振動響應(yīng)為圖3-10汽車二自由度無阻尼受迫振動響應(yīng)(3-47)3.3.1例題結(jié)合例【例3.2】，振動總響應(yīng)為

圖3.11

汽車二自由度無阻尼振動總響應(yīng)(3-48)3.3.1例題圖3-12汽車二自由度無阻尼受迫振動Simulink模型

3.3汽車二自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)

3.3.1時域分析

3.3.2頻域分析3.3.2頻域分析

圖3-13二自由度無阻尼振動系統(tǒng)路面位移激勵模型

(3-49)

車身車輪二自由度振動系統(tǒng)微分方程如下

(3-50)

(3-51)

(3-52)

(3-53)

3.3.2頻域分析3.3例題

(3-54)(3-55)

因此，車身振動位移響應(yīng)對路面位移激勵的幅頻特性為：(3-56)(3-57)

汽車二自由度有阻尼振動系統(tǒng)3.43.3例題上一節(jié)介紹了汽車二自由度無阻尼振動系統(tǒng)的響應(yīng)，然而在實際中，汽車懸架系統(tǒng)必然或大或小存在一定的阻尼。由于阻尼的存在，汽車振動系統(tǒng)的運(yùn)動方程、振動特性發(fā)生了很大的變化，汽車振動系統(tǒng)的也更加接近實際情況。本節(jié)主要介紹具有黏性阻尼的情況。3.4汽車二自由度有阻尼自由振動系統(tǒng)

3.4.1列寫振動方程

3.4.2固有頻率

3.4.3有阻尼自由振動系統(tǒng)的求解3.4.1列寫振動方程汽車車身質(zhì)量被彈簧和阻尼兩個元件所支撐，仍以車輪和車身的靜平衡位置為各坐標(biāo)原點(diǎn)，車輪和車身振動位移沿彈簧形變方向鉛直向上為正。圖3-14汽車二自由度有阻尼自由振動系統(tǒng)(3-58)

3.4汽車二自由度有阻尼自由振動系統(tǒng)

3.4.1列寫振動方程

3.4.2固有頻率

3.4.3有阻尼自由振動系統(tǒng)的求解這相當(dāng)于只有車身的單自由度有阻尼自由振動，其車身部分的固有圓頻率(偏頻)為同樣，若車身m2不動(x2=0)，則相當(dāng)于只有車輪的單自由度有阻尼自由振動。(3-60)即

其車輪部分的固有圓頻率

，即3.4.2固有頻率

(3-59)3.4汽車二自由度有阻尼自由振動系統(tǒng)

3.4.1列寫振動方程

3.4.2固有頻率

3.4.3有阻尼自由振動系統(tǒng)的求解

(3-61)式中，

該振動方程是一個二階常系數(shù)齊次線性微分方程組，該微分方程的通解為：

(3-62)當(dāng)二自由度阻尼系統(tǒng)做自由振動時，式(3-58)變成以下形式：

3.4.3有阻尼自由系統(tǒng)的求解將式(3-62)代入(3-61)，得

(3-63)

(3-64)展開得

(3-65)式(3-65)的系數(shù)全是正數(shù)，故解只能是負(fù)實數(shù)或具有負(fù)實部的復(fù)數(shù)，即存在三種可能：1.全是負(fù)實數(shù)；2.兩對具有負(fù)實部的共軛復(fù)數(shù)；3.兩個負(fù)實數(shù)和一對具有負(fù)實部的共軛復(fù)數(shù)。3.4.3有阻尼自由系統(tǒng)的求解

(3-66)如果是小阻尼，式(3-65)有兩對具有負(fù)實部的共軛復(fù)根，系統(tǒng)做自由衰減振動。

(3-67)3.4.3有阻尼自由系統(tǒng)的求解將式(3-67)代入式(3-63)可得相應(yīng)的振幅比：

(3-68)

(3-69)

3.4.3有阻尼自由系統(tǒng)的求解其振動的位移時程曲線如圖3.4.2所示。該振動的振幅隨著時間不斷衰減，且不再是一個周期性運(yùn)動，通常這種振動稱為衰減振動。圖3-15欠阻尼情況下汽車二自由度自由振動的位移時程曲線

如果是阻尼非常大，特征方程的根全是負(fù)實根，響應(yīng)將不具有振動形式。此時解為

(3-70)

3.4.3有阻尼自由系統(tǒng)的求解

臨界阻尼時，特征方程的根是兩個負(fù)實根和一對具有負(fù)實部的共軛復(fù)數(shù)，此時的響應(yīng)也不具有振動形式。

(3-71)圖3-16臨界阻尼情況下汽車二自由度自由振動的位移時程曲線實際上，臨界阻尼是過阻尼情況的下邊界，是從衰減振動過渡到非周期振動的臨界狀態(tài)。在相同條件下，汽車振動系統(tǒng)在臨界阻尼情況下振幅最大，而且返回平衡位置最快。

3.4.3有阻尼自由系統(tǒng)的求解3.4例題

求:汽車二自由度有阻尼自由振動的表達(dá)式？并利用MATLAB/Simulink繪制其振動的位移時程曲線。解：計算振動系統(tǒng)的懸架阻尼比

說明該汽車有阻尼自由振動系統(tǒng)是一個欠阻尼系統(tǒng)，應(yīng)采用欠阻尼情況下自由振動方程響應(yīng)的解法。(3-72)3.4例題系統(tǒng)頻率方程為：

解得

則相應(yīng)的振幅比為：

(3-73)(3-74)(3-75)3.4例題即

則

(3-76)(3-77)(3-78)(3-79)3.4例題

編寫MATLAB程序和搭建Simulink模型，繪制位移時程曲線.方法1—編寫MATLAB程序t=0:0.01:10;a=(-0.0008-0.0090i)*exp((-0.9044-7.7593i)*t)+(-0.0008+0.0090i)*exp((-0.9044+7.593i)*t)+(0.1508+0.0522i)*exp((-14.7156-59.1694i)*t)+(0.1508-0.0522i)*exp((-14.7156+59.1694i)*t);b=(0.0063-0.0433i)*exp((-0.9044-7.7593i)*t)+(0.0063+0.0433i)*exp((-0.9044+7.7593i)*t)+(-0.0063+0.0042i)*exp((-14.7156-5.1694i)*t)+(-0.0063-0.0042i)*exp((-14.7156+59.1694i)*t);subplot(2,1,1)plot(t,a,'b','linewidth',1.3);holdon;subplot(2,1,2)plot(t,b,'k','linewidth',1.3);holdon;圖3-17汽車二自由度有阻尼自由振動的位移時程曲線3.4例題圖3-18

汽車二自由度有阻尼自由振動Simulink模型

汽車二自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)3.53.5汽車二自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)

3.5.1時域分析

3.5.2頻域分析3.5汽車二自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)以圖3-19所示的汽車二自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)為研究對象，取車身和車輪的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，車身和車輪振動位移沿彈簧形變方向鉛直向上為正。假設(shè)汽車上作用一簡諧激振力為圖3-19汽車二自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)

汽車二自由度有阻尼系統(tǒng)受迫振動的微分方程為：

(3-80)(3-81)

該方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。該方程的全解由兩部分組成：

(3-82)

3.5.1時域分析1.受迫振動特解

由于自由振動部分會逐漸衰減，即系統(tǒng)將會按照與激勵相同的頻率做穩(wěn)態(tài)振動，所以可以假設(shè)有阻尼二自由度受迫振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為：

(3-83)

上述求解道理簡單，但求解過程比較復(fù)雜。下面介紹求解受迫振動穩(wěn)態(tài)解比較簡便的一種方法—復(fù)數(shù)法。3.5.1時域分析當(dāng)有外部激勵作用域二自由度阻尼系統(tǒng)時，式(3.63)變?yōu)橐韵滦问剑?/p>

(3-84)其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)數(shù)形式為：

(3-85)將式(3-85)代入式(3-84)，得：

(3-86)

(3-87)復(fù)數(shù)解法:3.5.1時域分析由此得到系統(tǒng)的復(fù)振幅向量為：

(3-88)式中，

(3-89)代回振幅向量方程式(3-88)，得到：

(3-90)即：

(3-91)3.5.1時域分析注意，振幅變量均為復(fù)變量。若令：

(3-92)代入受迫振動響應(yīng)式(3-85)，有：

(3-93)式中，

(3-94)3.5.1時域分析2.振動總響應(yīng)

汽車二自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)在簡諧激振下的總響應(yīng)是由自由振動和受迫振動復(fù)合而成的復(fù)雜振動。

汽車二自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)在簡諧激振下的總響應(yīng)也是兩種不同頻率成分的合成振動。與無阻尼受迫振動的總響應(yīng)不同，由于阻尼的存在，系統(tǒng)的自由振動只在剛開始的一段時間內(nèi)存在，之后便會被阻尼衰減掉，只剩下了穩(wěn)態(tài)振動的響應(yīng)。(3-95)圖3-20汽車二自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)的總響應(yīng)3.5.1時域分析3.5汽車二自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)

3.5.1時域分析

3.5.2頻域分析圖3-21為汽車車身車輪二自由度振動系統(tǒng)的模型，可以較好反應(yīng)汽車懸架的實際情況。圖3-21汽車車身車輪二自由度振動系統(tǒng)模型對于車身車輪的二自由度振動系統(tǒng)，其運(yùn)動方程為：

(3-96)

(3-97)3.5.2頻域分析

式中，(3-99)(3-100)(3-98)

(3-101)(3-102)

3.5.2頻域分析

(3-103)即，(3-104)

3.5.2頻域分析圖3-22車輪和車身的幅頻特性

3.5.2頻域分析【例3-4】

求：(1)汽車二自由度有阻尼受迫振動的穩(wěn)態(tài)表達(dá)式，并利用MATLAB/Simulink繪制其位移時程曲線。(2)利用MATLAB/Simulink計算振動總響應(yīng)的位移時程曲線。解：

(1)系統(tǒng)的振動方程為

式中，

(3-105)3.5例題【例3-4】

計算穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

令

(3-106)(3-107)(3-108)3.5例題則汽車二自由度有阻尼振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動的響應(yīng)為：

圖3-23汽車二自由度有阻尼受迫振動的位移時程曲線【例3-4】(3-109)(3-110)3.5例題（2）計算汽車二自由度有阻尼受迫振動的總響應(yīng)系統(tǒng)頻率方程為：

解得

計算振動系統(tǒng)的懸架阻尼比說明該汽車有阻尼自由振動系統(tǒng)是一個欠阻尼系統(tǒng)，應(yīng)采用欠阻尼情況下自由振動方程響應(yīng)的解法。【例3-4】(3-111)(3-112)3.5例題則相應(yīng)的振幅比為：

【例3-4】(3-113)(3-114)(3-115)3.5例題則汽車二自由度有阻尼自由振動的響應(yīng)為：

汽車二自由度有阻尼受迫振動的總響應(yīng)為：

得到汽車二自由度有阻尼受迫振動總響應(yīng)的位移時程曲線如圖3-25所示。圖3-25汽車二自由度有阻尼受迫振動總響應(yīng)的位移時程曲線【例3-4】(3-116)(3-117)3.5例題圖3-24

汽車二自由度有阻尼自由振動Simulink模型【例3-4】圖3-25

汽車二自由度有阻尼受迫振動總響應(yīng)的位移時程曲線3.5例題汽車二自由度振動系統(tǒng)綜合訓(xùn)練3.63.6汽車二自由度振動系統(tǒng)優(yōu)化控制

通過對先進(jìn)的懸架系統(tǒng)施加一定的控制規(guī)則或策略，可使車輛懸架系統(tǒng)按照特定的要求改變其振動特性，以改善所關(guān)心的一個或幾個振動響應(yīng)量，從而達(dá)到提高車輛行駛性能的目的，這種控制規(guī)則或策略就是振動控制算法。根據(jù)所采用減振器特性的不同，先進(jìn)懸架系統(tǒng)可分為基于作動器的主動懸架和基于可調(diào)阻尼器的半主動懸架，同時也有相應(yīng)的主動控制算法和半主動控制算法。二自由度主動控制懸架簡化模型如圖3-26所示。圖3-26汽車二自由度有阻尼振動系統(tǒng)3.6汽車二自由度振動系統(tǒng)優(yōu)化控制簧載質(zhì)量是車身、乘客、車架、內(nèi)部部件的總質(zhì)量，它可以根據(jù)乘客和貨物的負(fù)載而變化，它由彈簧和阻尼器組成的懸掛系統(tǒng)支撐。輪胎、輪轂、制動器和懸架連桿組合在一起的質(zhì)量稱為非簧載質(zhì)量，由輪胎支撐，輪胎抽象為線性彈簧和線性阻尼器的組合，系數(shù)分別為和。作動器與彈簧和阻尼器平行連接在簧載質(zhì)量和非簧載質(zhì)量之間，作動器產(chǎn)生控制力。作用在非簧載質(zhì)量上的垂直道路擾動用表示?；奢d和非簧載質(zhì)量相對于其靜態(tài)位置的垂直位移分別用和表示。

如圖3-26所示二自由度主動控制懸架簡化模型由彈性元件，阻尼器和作動器組成。作動器的作用在于改進(jìn)系統(tǒng)中能源的消耗和供給系統(tǒng)以能量,該裝置的控制目標(biāo)是要實現(xiàn)一個優(yōu)質(zhì)的隔振系統(tǒng),而又不需對系統(tǒng)作出較大的變化。因此,只需使作動器產(chǎn)生一個正比于絕對速度負(fù)值的主動力,即可實現(xiàn)該控制目標(biāo)。工程案例：汽車二自由度系統(tǒng)振動特性及主動控制仿真3.73.7汽車二自由度振動系統(tǒng)綜合訓(xùn)練

3.7.1汽車二自由度垂向動力學(xué)建模與仿真3.7.2汽車二自由度垂向動力學(xué)控制與仿真3.7.3汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)建模與仿真

3.7.4汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)控制與仿真一、任務(wù)描述：

1.以汽車懸架為研究對象，構(gòu)建車輛質(zhì)量-彈簧-阻尼二自由度振動系統(tǒng)的動力學(xué)方程？2.在MATLAB/Simulink中搭建汽車二自由度振動的仿真模型，分別調(diào)整阻尼、外部激振力，觀察該二自由度振動系統(tǒng)的響應(yīng)曲線變化；根據(jù)表3-1提供的汽車單自由度振動模型基本參數(shù)，觀察分析振動響應(yīng)曲線的變化；當(dāng)c=2000N·s/m時，根據(jù)表3-2調(diào)節(jié)外部界激振力，觀察振動響應(yīng)曲線的變化；當(dāng)F=2000N時，根據(jù)表3-2調(diào)節(jié)振動系統(tǒng)的阻尼，觀察振動響應(yīng)曲線的變化；當(dāng)F=2000sin6tN時（簡諧激振力），根據(jù)表3-2調(diào)節(jié)振動系統(tǒng)的阻尼，觀察振動響應(yīng)曲線的變化。汽車總質(zhì)量(kg)阻尼系數(shù)(N·s/m)剛度系數(shù)(N/m)500200047810外界激振力(N)初始位移(m)初始速度(m/s)15000.30外界激振力F(N)15003000450060002500sin1.5t2500sin3t2500sin5.4923t2500sin8t阻尼系數(shù)c(N·s/m)2000400060008000表3-1汽車單自由度振動模型基本參數(shù)表3-2外界激振力和阻尼系數(shù)的變化表3.7.1汽車二自由度垂向動力學(xué)建模與仿真圖3-27汽車二自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)該振動模型的動力學(xué)方程：將上述微分方程表示為矩陣形式如下：其中(3-118)(3-119)3.7.1汽車二自由度垂向動力學(xué)建模與仿真

將振動微分方程以MATLABFunction的方式植入到Simulink中，并設(shè)定仿真模型所需的基本參數(shù)，可以得到如圖3-28所示的仿真模型。圖3-28汽車二自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)仿真模型圖3-29車輪與車身位移響應(yīng)3.7.1汽車二自由度垂向動力學(xué)建模與仿真當(dāng)c=2000N·s/m時，調(diào)節(jié)外界激振力，觀察振動響應(yīng)曲線的變化。(a)激振力F為常數(shù)時汽車二自由度振動模型的振動響應(yīng)曲線由瞬態(tài)振動和穩(wěn)態(tài)振動兩部分組成；瞬態(tài)振動為一個衰減振動，當(dāng)激振力F為常數(shù)時，隨著激振力F的增加，瞬態(tài)振動的幅值逐漸增加；在穩(wěn)態(tài)振動階段，系統(tǒng)趨于平衡，振動位移響應(yīng)為一個定值，該定值隨著外界激振力F的增大而增大，即振動響應(yīng)曲線隨激振力F的增大而呈現(xiàn)出一種整體上移的趨勢。圖3-30不同常數(shù)激振力下車輪與車身位移響應(yīng)3.7.1汽車二自由度垂向動力學(xué)建模與仿真當(dāng)c=2000N·s/m時，調(diào)節(jié)外界激振力，觀察振動響應(yīng)曲線的變化。(b)激振力F為簡諧激振力時汽車二自由度振動模型的瞬態(tài)振動仍為一個衰減振動；穩(wěn)態(tài)振動的頻率隨著激振力F頻率的增加而增加；隨著激振力F的頻率逐漸接近共振頻率，穩(wěn)態(tài)振動的幅值逐漸增加，在ω=5.4923附近達(dá)到最大值。圖3-31不同簡諧激振力下車輪與車身位移響應(yīng)3.7.1汽車二自由度垂向動力學(xué)建模與仿真當(dāng)F=2000N時，調(diào)節(jié)阻尼系數(shù)，觀察振動響應(yīng)曲線的變化。當(dāng)c=0時，振動系統(tǒng)為一無阻尼受迫振動系統(tǒng)，振動響應(yīng)是一個周期振動；當(dāng)c≠0時，振動系統(tǒng)為一有阻尼受迫振動系統(tǒng)，振動響應(yīng)由瞬態(tài)振動和穩(wěn)態(tài)振動兩部分組成；隨著阻尼系數(shù)c的增大，穩(wěn)態(tài)振動的幅值不變，瞬態(tài)振動的衰減速度逐漸加快。圖3-32不同阻尼下車輪與車身位移響應(yīng)3.7.1汽車二自由度垂向動力學(xué)建模與仿真當(dāng)F=2000sin6tN時，調(diào)節(jié)阻尼系數(shù)，觀察振動響應(yīng)曲線的變化。當(dāng)激振力F為簡諧激勵時，汽車二自由度振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動是一個頻率與激振力頻率相同的簡諧振動；當(dāng)阻尼系數(shù)c=0時，振動系統(tǒng)為一無阻尼受迫振動系統(tǒng)，振動響應(yīng)是一個由兩種簡諧振動合成的周期振動；當(dāng)c≠0時，振動系統(tǒng)為一有阻尼受迫振動系統(tǒng)。圖3-33不同阻尼下車輪與車身位移響應(yīng)隨著阻尼系數(shù)c的增大，穩(wěn)態(tài)振動的幅值和頻率保持不變，瞬態(tài)振動的衰減速度逐漸加快。3.7.1汽車二自由度垂向動力學(xué)建模與仿真3.7汽車二自由度振動系統(tǒng)綜合訓(xùn)練

3.7.1汽車二自由度垂向動力學(xué)建模與仿真

3.7.2汽車二自由度垂向動力學(xué)控制與仿真3.7.3汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)建模與仿真3.7.4汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)控制與仿真1.以汽車主動懸架為研究對象，構(gòu)建車輛質(zhì)量-彈簧-阻尼二自由度振動系統(tǒng)的動力學(xué)方程。2.在MATLAB/Simulink中搭建汽車二自由度振動的仿真模型，分別調(diào)整阻尼、外部激振力，觀察該二自由度振動系統(tǒng)的響應(yīng)曲線變化。圖3-34汽車二自由度有阻尼振動系統(tǒng)3.7.2汽車二自由度垂向動力學(xué)控制與仿真該振動模型的動力學(xué)方程：(3-120)對上述微分方程移項處理后可得形式如下：(3-121)其中，m2為汽車車身質(zhì)量（kg）；m1為汽車車輪質(zhì)量（kg）；ks為汽車懸架彈簧剛度（N·m-1）；kt為汽車輪胎彈簧剛度（N·m-1）；c為汽車懸架阻尼系數(shù)（N·s·m-1）；x2為車身相對于靜平衡位置的時變位移（m）；x1為車輪相對于靜平衡位置的時變位移（m）。3.7.1汽車二自由度垂向動力學(xué)控制與仿真?。?，建立狀態(tài)方程如下：其中3.7.2汽車二自由度垂向動力學(xué)控制與仿真圖3-35汽車二自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)仿真模型Function函數(shù)如下：圖3-36車輪與車身位移響應(yīng)3.7.2汽車二自由度垂向動力學(xué)控制與仿真當(dāng)c=2000N·s/m時，調(diào)節(jié)外界激振力，觀察振動響應(yīng)曲線的變化。圖3-37不同簡諧激振力下車輪與車身位移響應(yīng)

汽車二自由度振動模型的振動響應(yīng)曲線由瞬態(tài)振動和穩(wěn)態(tài)振動兩部分組成；瞬態(tài)振動為一個衰減振動，當(dāng)激振力F為常數(shù)時，隨著激振力F的增加，瞬態(tài)振動的幅值逐漸增加；在穩(wěn)態(tài)振動階段，系統(tǒng)趨于平衡，振動位移響應(yīng)為一個定值，該定值隨著外界激振力F的增大而增大，即振動響應(yīng)曲線隨激振力F的增大而呈現(xiàn)出一種整體上移的趨勢。1）激振力F為常數(shù)時3.7.2汽車二自由度垂向動力學(xué)控制與仿真當(dāng)c=2000N·s/m時，調(diào)節(jié)外界激振力，觀察振動響應(yīng)曲線的變化。圖3-38不同簡諧激振力下車輪與車身位移響應(yīng)

汽車二自由度振動模型的瞬態(tài)振動仍為一個衰減振動；穩(wěn)態(tài)振動的頻率隨著激振力F頻率的增加而增加；隨著激振力F的頻率逐漸接近共振頻率，穩(wěn)態(tài)振動的幅值逐漸增加。2）激振力F為簡諧激振力時3.7.2汽車二自由度垂向動力學(xué)控制與仿真1）激振力常數(shù)F為2000時當(dāng)c=0時，振動系統(tǒng)為一無阻尼受迫振動系統(tǒng)，振動響應(yīng)是一個周期振動；當(dāng)c≠0時，振動系統(tǒng)為一有阻尼受迫振動系統(tǒng)，振動響應(yīng)由瞬態(tài)振動和穩(wěn)態(tài)振動兩部分組成；隨著阻尼系數(shù)c的增大，穩(wěn)態(tài)振動的幅值不變，瞬態(tài)振動的衰減速度逐漸加快。圖3-39不同阻尼下車輪與車身位移響應(yīng)當(dāng)外界激振力為定值時，調(diào)節(jié)懸架阻尼，觀察振動響應(yīng)曲線的變化3.7.2汽車二自由度垂向動力學(xué)控制與仿真2）簡諧激振力F為2000sin6t時

當(dāng)激振力F為簡諧激勵時，汽車二自由度振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動是一個振動頻率與激振力頻率相同的簡諧振動；當(dāng)阻尼系數(shù)c=0時，振動系統(tǒng)為一無阻尼受迫振動系統(tǒng)，振動響應(yīng)是一個由兩種簡諧振動合成的周期振動；當(dāng)c≠0時，振動系統(tǒng)為一有阻尼受迫振動系統(tǒng)。隨著阻尼系數(shù)c的增大，穩(wěn)態(tài)振動的幅值和頻率保持不變，瞬態(tài)振動的衰減速度逐漸加快。圖3-40不同阻尼下車輪與車身位移響應(yīng)當(dāng)外界激振力為定值時，調(diào)節(jié)懸架阻尼，觀察振動響應(yīng)曲線的變化3.7.2汽車二自由度垂向動力學(xué)控制與仿真3.7汽車二自由度振動系統(tǒng)綜合訓(xùn)練3.7.1汽車二自由度垂向動力學(xué)建模與仿真3.7.2汽車二自由度垂向動力學(xué)控制與仿真

3.7.3汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)建模與仿真3.7.4汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)控制與仿真1.以汽車二自由度動力學(xué)模型為研究對象（圖3-34），構(gòu)建車輛系統(tǒng)動力學(xué)方程。2.在MATLAB/Simulink中搭建汽車二自由度動力學(xué)仿真模型，在仿真時間0s時給前輪一個階躍信號，使前輪轉(zhuǎn)角從0°轉(zhuǎn)到10°，并保持不變。分別調(diào)整車輛縱向車速，觀察該二自由度動力學(xué)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線變化。汽車運(yùn)動分析如圖3-41所示。車輛沿ox軸上速度分量的變化為 （3-122）很小并忽略二階微量，上式化簡為

（3-123）對上式除以

并取極限，便得到汽車質(zhì)心絕對加速度在車輛坐標(biāo)系ox軸上的分量如下所示

（3-124）考慮到圖3-41汽車運(yùn)動分析3.7.3汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)建模與仿真同理，車輛沿oy軸上速度分量的變化為

（3-125）考慮到

很小并忽略二階微量，上式化簡為

（3-126）對上式除以

并取極限，便得到汽車質(zhì)心絕對加速度在車輛坐標(biāo)系oy軸上的分量如下所示

（3-127）圖3-42汽車二自由度動力學(xué)模型3.7.3汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)建模與仿真變量描述CG車輛質(zhì)心lf,lr

車輛質(zhì)心到前后軸的距離v車輛縱向行駛速度r,φ橫擺率和橫擺角β質(zhì)心側(cè)偏角δf車輛前輪轉(zhuǎn)向角Fyf,Fyr

前后輪胎側(cè)向力圖中參數(shù)含義如表3-所示。表3-1汽車二自由度動力學(xué)模型參數(shù)該二自由度模型動力學(xué)方程

將式（3-125）代入式（3-126）得

提出并化簡可得新動力學(xué)方程

（3-130）（3-128）（3-129）其中。3.7.3汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)建模與仿真假設(shè)輪胎側(cè)偏角較小，輪胎側(cè)向力與輪胎側(cè)滑角之間存在關(guān)系

（3-131）整理上式并化簡如下所示 整理為狀態(tài)方程如下（3-134）將上式代入新動力學(xué)方程可得（3-132）（3-133）其中3.7.3汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)建模與仿真整理為狀態(tài)空間方程為

（3-135）對狀態(tài)方程進(jìn)行拉普拉斯變換得其中（3-136）可得汽車質(zhì)心側(cè)偏角的傳遞函數(shù)為（3-138）3.7.3汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)建模與仿真轉(zhuǎn)向系統(tǒng)若采用前輪轉(zhuǎn)向角比例控制，控制目標(biāo)是穩(wěn)態(tài)質(zhì)心側(cè)偏角為零。則后輪轉(zhuǎn)向角為（3-139）其中G為前后輪轉(zhuǎn)向角之比。將后輪轉(zhuǎn)向角帶入汽車質(zhì)心側(cè)偏角的傳遞函數(shù)為（3-140）將后輪轉(zhuǎn)向角帶入汽車橫擺角速度的傳遞函數(shù)為（3-141）汽車穩(wěn)態(tài)行駛時，橫擺角速度為定值，微分項為零。通過將狀態(tài)方程微分項置零可得（3-142）3.7.3汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)建模與仿真則穩(wěn)態(tài)質(zhì)心側(cè)偏角為（3-143）為使穩(wěn)態(tài)側(cè)偏角始終為零，應(yīng)有（3-144）化簡上式得前后輪轉(zhuǎn)向角之比G為（3-145）若根據(jù)上式設(shè)定前后輪轉(zhuǎn)向角之比，就可以保證汽車穩(wěn)態(tài)行駛時的質(zhì)心側(cè)偏角為零，它隨汽車的行駛速度變化而變化。低速時G值為負(fù)，前后各輪轉(zhuǎn)動方向相反，這可以減小轉(zhuǎn)彎半徑，提高汽車的操縱靈活性；高速時G值為正，前后各輪轉(zhuǎn)動方向相同。研究表明在這樣的G值下，側(cè)向加速度響應(yīng)時間縮短，其增益大幅度減小。該系統(tǒng)也稱為車速感應(yīng)型四輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)。3.7.3汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)建模與仿真質(zhì)心側(cè)偏角響應(yīng)曲線如圖3-35所示圖3-43質(zhì)心側(cè)偏角響應(yīng)曲線如圖3-43所示。經(jīng)過一定時間，汽車質(zhì)心側(cè)偏角趨于0°，并且隨著速度增大，趨于0所需要的時間越長。橫擺角速度響應(yīng)曲線如圖3-36所示圖3-44橫擺角速度響應(yīng)曲線如圖3-44所示，速度越高，最大橫擺角速度越小，而且達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所用的時間越大。這是因為高速時，前后轉(zhuǎn)向角之比為正值，前后轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)動方向相同，使橫擺角速度減??；低速時，前后轉(zhuǎn)向角之比為負(fù)值，前后轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)動方向相反，使橫擺角速度增大。3.7.3汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)建模與仿真利用MATLAB/Simulink搭建汽車二自由度仿真模型如圖3-45所示圖3-45汽車二自由度動力學(xué)Simulink模型Function函數(shù)如下：階躍信號賦值如下：3.7.3汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)建模與仿真3.7汽車二自由度振動系統(tǒng)綜合訓(xùn)練3.7.1汽車二自由度垂向動力學(xué)建模與仿真3.7.2汽車二自由度垂向動力學(xué)控制與仿真3.7.3汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)建模與仿真

3.7.4汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)控制與仿真車輛穩(wěn)定性控制系統(tǒng)能夠有效提高車輛橫擺穩(wěn)定性性能，其中附加橫擺力矩算法是控制系統(tǒng)的核心，利用直接偏航力矩控制系統(tǒng)控制側(cè)向動力學(xué)模型的方法也得到了廣泛的研究和應(yīng)用。在本節(jié)中，利用LQR控制器建立基于直接偏航力矩控制思想的模型控制系統(tǒng)。（1）控制器設(shè)計線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)控制器的工作流程圖如圖3-46所示。圖3-46LQR控制器的流程圖3.7.4汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)控制與仿真LQR是一種能夠獲得線性狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制器。其設(shè)計目標(biāo)是確定最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣K，使得(3-146)式中

表示最優(yōu)控制輸入，表示最優(yōu)反饋增益矩陣，表示向量誤差。考慮附加轉(zhuǎn)矩的汽車二自由度動力學(xué)模型如圖3-47所示。圖3-47考慮附加轉(zhuǎn)矩的汽車二自由度動力學(xué)模型3.7.4汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)控制與仿真其中

為附加橫擺轉(zhuǎn)矩，其余參數(shù)含義與章節(jié)3.6.3一致。汽車二自由度無附加轉(zhuǎn)矩的動力學(xué)方程如下所示式中車輛達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時的理想狀態(tài)

如下(3-148)根據(jù)式(3-147)，消除

可以得到的參考軌跡。(3-150)式中3.7.4汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)控制與仿真(3-147)汽車二自由度有附加轉(zhuǎn)矩的動力學(xué)方程如下所示(3-151)式中式（3-151）減去式（3-148）有(3-152)令,,則(3-153)根據(jù)LQR控制原理，可以得到最優(yōu)反饋增益矩陣如下(3-154)3.7.4汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)控制與仿真式中P為正定常數(shù)矩陣，R為u的加權(quán)矩陣，滿足如下Ricarte矩陣代數(shù)方程式中，

為的加權(quán)矩陣。Qx車輛動力學(xué)模型的最優(yōu)控制輸入為此外，設(shè)置輸入曲線函數(shù)如下所示3.7.4汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)控制與仿真（2）Simulink建模Simulink模型輸入?yún)?shù)定義程序如下1clc;clear;%清除歷史數(shù)據(jù)2m=2050;I_z=5600;L_f=1.5;L_r=1.8;L=L_f+L_r;K_f=-38900;K_r=-39200;v_x=25;kus=0.035;%參數(shù)定義輸入和參考曲線建模如圖3-48所示。圖3-48輸入和參考曲線其中InterpretedMATLABFcn模塊輸入如下式無附加橫擺力矩模型建模如圖3-49所示圖3-49無附加橫擺力矩模型3.7.4汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)控制與仿真有附加橫擺力矩模型建模如圖3-50所示圖3-50有附加橫擺力矩模型LQR控制器模型建模如圖3-51所示圖3-51LQR控制器模型3.7.4汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)控制與仿真其中Reshape1模塊的Outputdimensionality選項選擇Customize，Outputdimensions選項定義為[2,2]的矩陣。MATLABFunction模塊輸入程序如下1functiony=MATLAB_Function(A,B,Q,R)%函數(shù)頭2y=zeros(1,2);%定義數(shù)組大小3coder.extrinsic('lqr');%標(biāo)注外部函數(shù)4[K,P]=lqr(A,B,Q,R);%調(diào)用lqr函數(shù)5y=K;%輸出MATLABFunction2模塊輸入程序如下1functiony=MATLAB_Function(Mz)%函數(shù)頭2y=Mz(1,1);%輸出輸出結(jié)果建模如圖3-52所示圖3-52輸出結(jié)果模型3.7.4汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)控制與仿真質(zhì)心側(cè)偏角輸出曲線如圖3-53所示。圖3-53LQR控制器模型由圖3-53可以看到，經(jīng)LQR控制器后，0.06~0.01rad左右的側(cè)滑角幅值和0.11~0.02rad左右的側(cè)滑角幅值被大幅度減小，同時，控制后的質(zhì)心側(cè)偏角的響應(yīng)比控制前更為平緩。橫擺角速度輸出曲線如圖3-54所示。圖3-54LQR控制器模型如圖3-54所示，經(jīng)LQR控制器后，橫擺角速度的幅值從0.05降至0.02rad/s，從0.85降至0.4rad/s。同時，控制后的橫擺角速度響應(yīng)比控制前更為平緩。3.7.4汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)控制與仿真CONTENTS目錄第4章汽車多自由度振動系統(tǒng)4.1汽車多自由度振動系統(tǒng)建模4.2固有頻率與主振型4.2.1頻率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩陣與正則振型矩陣4.2.5主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)4.3汽車多自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)4.4汽車多自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)4.5汽車多自由度振動系統(tǒng)綜合訓(xùn)練4.1汽車多自由度振動系統(tǒng)建模第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)整體而言，汽車是一個多自由度的振動系統(tǒng)，汽車懸架系統(tǒng)的關(guān)鍵組件—阻尼減震器—對汽車振動性能的改善起到了至關(guān)重要的作用。在靜平衡位置（彈簧力與阻尼力的合力抵消了車身的重力），如果將汽車車身和座椅分別簡化為兩個質(zhì)量塊，其重量各由一個單獨(dú)的阻尼減震器支撐，其示意圖如圖4-1所示。圖4-1汽車多自由度振動系統(tǒng)其中：m3為汽車座椅質(zhì)量（kg）；m2為汽車車身質(zhì)量（kg）；m1為汽車車輪質(zhì)量（kg）；k2為汽車座椅彈簧剛度（N·m-1）；k1為汽車懸架彈簧剛度（N·m-1）；kt為汽車輪胎彈簧剛度（N·m-1）；c2為汽車座椅阻尼系數(shù)（N·s·m-1）；c1為汽車懸架阻尼系數(shù)（N·s·m-1）；F為外界施加的力（N）；x3為座椅相對于靜平衡位置的時變位移（m）；x2為車身相對于靜平衡位置的時變位移（m）；x1為車輪相對于靜平衡位置的時變位移（m）；第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)假設(shè)汽車前后懸架結(jié)構(gòu)相同并且左右對稱，汽車四個車輪的受到同樣的外界激勵，取1/4汽車作為研究對象，如果將汽車整體抽象為三個單獨(dú)質(zhì)量塊的上下往復(fù)振動系統(tǒng)，則可以建立如圖4-2所示的動力學(xué)模型：圖4-2汽車二自由度振動力學(xué)模型取車身靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，分析其受力可得到如圖4-3所示的受力圖：圖4-3座椅、車身和車輪受力圖第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)或者（4-2）可以看出，該方程是一個二階非齊次線性微分方程組。根據(jù)牛頓第二定律可以得到該振動模型的動力學(xué)方程：（4-1）4.2固有頻率與主振型4.2.1頻率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩陣與正則振型矩陣4.2.5主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)圖4-4汽車多自由度無阻尼振動系統(tǒng)以圖4-4所示的汽車多自由度無阻尼振動系統(tǒng)為例，多自由度無阻尼振動的微分方程可以表示為：（4-3）將上式表示為矩陣形式如下：（4-4）其中4.2固有頻率與主振型4.2.1頻率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩陣與正則振型矩陣4.2.5主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)設(shè)三自由度系統(tǒng)運(yùn)動微分方程（4-4）的解為（4-5）即設(shè)系統(tǒng)的各坐標(biāo)做同步諧振動。上式又可表示為（4-6）式中將式（4-6）代入式（4-4），并消去

，可得到（4-7）或（4-8）（4-9）令（4-10）式（4-10）稱為特征矩陣。第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)由式（4-9）可以看出，要使A有不全為零的解，必須使其系數(shù)行列式等于零。于是得到該系統(tǒng)的頻率方程（或特征方程）（4-11）式（4-11）是關(guān)于

的3次多項式，由它可以求出3個固有圓頻率（或稱特征值）。因此，3個自由度振動系統(tǒng)具有3個固有圓頻率。下面對其取值情況進(jìn)行討論。在式（4-8）的兩端，前乘

的轉(zhuǎn)置，可得到（4-12）由于系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣

是正定的，剛度矩陣是正定的或半正定的，因此有（4-13）于是，由式（4-12）得到（4-14）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)因此，頻率方程（4-11）中所有的固有圓頻率值都是實數(shù)，并且是正數(shù)或為零。進(jìn)而可求出系統(tǒng)的固有頻率。通過剛度矩陣為正定的，稱之為正定系統(tǒng)；剛度矩陣為半正定的，稱之為半正定系統(tǒng)。對應(yīng)于正定系統(tǒng)的固有頻率值是正的；對應(yīng)于半正定系統(tǒng)的固有頻率值是正數(shù)或為零。一般的振動系統(tǒng)的3個固有頻率的值互不相等（也有特殊情況）。將各個固有圓頻率按照由小到大的順序排列為（4-15）式中，最低階固有頻率

稱為第一階固有頻率或稱基頻，然后依次稱為第二階、第三階固有頻率。例4-1圖4-5是一個三自由度系統(tǒng)，,,,,,,求系統(tǒng)的固有圓頻率。圖4-5三自由度系統(tǒng)質(zhì)量塊

，和的垂直位移，和是廣義坐標(biāo)。根據(jù)式（4-4），系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣可以寫成（4-16）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)將

，帶入公式（4-11）可得（4-17）展開上式，可得（4-18）上述公式的特征值可用matlab求得（4-19）固有圓頻率為（4-20）4.2固有頻率與主振型4.2.1頻率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩陣與正則振型矩陣4.2.5主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)

將各個固有圓頻率（特征值）代入式（4-9），可分別求得相對應(yīng)A。例如，對應(yīng)于

可以求得，它滿足（4-21）

為對應(yīng)于

的特征矢量。它表示系統(tǒng)在以的頻率做自由振動時，各物塊振幅的相對大小，稱之為系統(tǒng)的第i階主振型，也稱固有振型或主模態(tài)。

由于式（4-21）是線性代數(shù)中特征值問題，它相當(dāng)于是

的齊次線性代數(shù)方程組，一般來說，其中只有2個是線性無關(guān)的，所以求解主振型矢量時，通常是取其中某個元素的值為1，進(jìn)而確定其他元素，該過程稱為歸一化。對于任何一個3自由度振動系統(tǒng)，總可以找到3個固有頻率和與之對應(yīng)的3階主振型（4-22）對此進(jìn)行歸一化，令

，于是可得第i階主振型矢量為（4-23）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)主振型矢量

也可以利用特征矩陣的伴隨矩陣來求得。由特征矩陣可得其逆矩陣為（4-24）式（4-24）左右兩邊前乘

，則得到（4-25）式中，

為單位矩陣。將固有圓頻率代入式（4-25），則有（4-26）因為

，于是有（4-27）式中，

和是將之值代入之后的矩陣?，F(xiàn)將式（4-26）和式（4-21）進(jìn)行比較，可以得到主振型矢量與特征矩陣的伴隨矩陣中的任何非零式列成比例，所以伴隨矩陣的每一列就是主振型矢量或者差一常數(shù)因子。例4-2求如圖4.5所示的系統(tǒng)的主振型系統(tǒng)的固有圓頻率為第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)（4-28）將固有頻率代入式（4-9）得（4-29）（4-30）令

，將，，帶入上式得（4-31）則主振型為（4-32）例4-3求解如圖4-6所示系統(tǒng)的振動方程、固有頻率和主振型。系統(tǒng)參數(shù)為：

，，。第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)圖4-6根據(jù)式（4-4），系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣可以寫成（4-33）將

，代入式（4-11）,得（4-34）展開上式可得（4-35）通過因式分解可得（4-36）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)系統(tǒng)的固有頻率為（4-37）根據(jù)式（4-9）可得（4-38）將

，，帶入上式并令可得（4-39）則系統(tǒng)的主振型為（4-40）4.2固有頻率與主振型4.2.1頻率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩陣與正則振型矩陣4.2.5主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)在3自由度振動系統(tǒng)中，具有3個固有圓頻率和與之對應(yīng)的3階主振型。且這些主振型之間存在著關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性。設(shè)

、分別是對應(yīng)于固有圓頻率、的主振型，由式（4-8）得到下列兩式（4-41）（4-42）將式（4-41）兩邊轉(zhuǎn)置，然后右乘

，由于、都是對稱矩陣，得到（4-43）將式（4-42）兩邊左乘

，得（4-44）式（4-43）與式（4-44）相減后得（4-45）如果當(dāng)

時，有，則由式（4-45）得（4-46）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)將式（4-46）代入式（4-43）得（4-47）當(dāng)

時，式（4-45）總能成立，令（4-48）（4-49）由式（4-43），令

，可得關(guān)系式（4-50）所以，

稱為第i階主剛度或第i階模態(tài)剛度；稱為第i階主質(zhì)量或第i階模態(tài)質(zhì)量。4.2固有頻率與主振型4.2.1頻率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩陣與正則振型矩陣4.2.5主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)以各階主振型矢量為例，按順序排列成一個3×3階方陣，稱此方陣為主振型矩陣或模態(tài)矩陣，即（4-51）根據(jù)主振型的正交性，可以導(dǎo)出主振型矩陣的兩個性質(zhì)（4-52）式中（4-53）分別是主質(zhì)量矩陣和主剛度矩陣。式（4-52）表明，主振型矩陣

具有如下性質(zhì)：當(dāng)、為非對角陣時，如果分別前乘主振型矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，后乘以主振型矩陣，則使質(zhì)量矩陣和剛度矩陣轉(zhuǎn)變成對角矩陣、。第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)主振型

表示系統(tǒng)做主振動時，各坐標(biāo)幅值的比。在前面的計算中，一般采用將其第一個元素為1從而進(jìn)行歸一化。這種歸一化的方法對于縮小計算數(shù)字和繪出振型很方便。為了以后計算系統(tǒng)對各種響應(yīng)的方便，這里將介紹另一種歸一化的方法（質(zhì)量歸一化），即使由對角陣變換為單位陣。為此，將主振型矩陣的各列除以其對應(yīng)主質(zhì)量的平方根，即（4-54）這樣得到的振型稱為正則振型，

稱為第i階正則振型。正則振型的正交關(guān)系是（4-55）（4-56）式中，

為第i階固有圓頻率。以各階正則振型為例，依次排列成一個3×3階方陣，稱此方陣為正則振型方陣，即（4-57）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)由正交性可導(dǎo)出正則矩陣

的兩個性質(zhì)（4-58）稱

為譜矩陣。例4-4求如圖4-6所示系統(tǒng)的主質(zhì)量矩陣、主剛度矩陣、歸一化模態(tài)矩陣、歸一化剛度矩陣。通過例4-3可得（4-59）主振型矩陣為（4-60）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)主質(zhì)量矩陣為（4-61）主剛度矩陣為（4-62）歸一化因子為（4-63）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)歸一化模態(tài)矩陣為（4-64）歸一化剛度矩陣為（4-65）例4-5求如圖4.7所示系統(tǒng)的主質(zhì)量矩陣、主剛度矩陣、歸一化模態(tài)矩陣、歸一化剛度矩陣。參數(shù)如下：

,。圖4-7三盤扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)根據(jù)式（4-4），系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣可以寫成（4-66）將

，代入式（4-11）可得（4-67）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)展開上式（4-68）特征值為（4-69）根據(jù)式（4-9）并令

，系統(tǒng)模態(tài)為（4-70）主振型為（4-71）主質(zhì)量矩陣為第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)（4-72）主剛度矩陣為（4-73）歸一化模態(tài)矩陣為（4-74）歸一化剛度矩陣為（4-75）4.2固有頻率與主振型4.2.1頻率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩陣與正則振型矩陣

4.2.5主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)

1.主坐標(biāo)

這組坐標(biāo)變換的物理意義，可由式(4.35)的展開式看出

即

或

（4-76）（4-77）（4-78）（4-79）（4-80）汽車多自由度振動系統(tǒng)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)即原物理坐標(biāo)的各位移值，都可以看出是由3個主振型按一定的比例組合而成。將式(4-76)和式(4-78)代入運(yùn)動微分方程(4.4)，得

由主振型矩陣的兩個性質(zhì)，即式(4-52)，得

由正則振型矩陣的兩個性質(zhì)，即式(4-58)，得

或

2.正則坐標(biāo)（4-85）（4-81）（4-82）（4-83）（4-84）（4-88）（4-89）（4-87）（4-86）4.3汽車多自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)

當(dāng)忽略汽車懸架系統(tǒng)阻尼對汽車系統(tǒng)振動的影響，則汽車三自由度振動系統(tǒng)可以被簡化為一個無阻尼振動系統(tǒng)。汽車二自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)將式(4-4)微分方程表示為矩陣形式如下：其中：列寫振動方程

當(dāng)t=0時，系統(tǒng)的初始位移與初始速度為

求系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)。（4-90）（4-91）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)求解方法先利用主坐標(biāo)變換或正則坐標(biāo)變換，將系統(tǒng)的方程式轉(zhuǎn)換成3個獨(dú)立的單自由度形式的運(yùn)動微分方程；然后利用單自由度系統(tǒng)求解自由振動的理論，求得用主坐標(biāo)或正則坐標(biāo)表示的響應(yīng)；最后，再反變換至原物理坐標(biāo)求出3自由度無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)。將正則坐標(biāo)變換的表達(dá)式

由單自由度系統(tǒng)自由振動的理論，可得到上式對初始條件的響應(yīng)為

代入式(4-4)中，便得到用正則坐標(biāo)表示的運(yùn)動微分方程如(4-88)的形式，即（4-92）（4-93）（4-94）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)(4-98)

(4-95)

(4-96)將式(4-96)代入式(4-95)，得

(4-97)由式(4-48)可得到

第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)(4-100)(4-99)將式（4-98）代入式（4-94）中，便得到用正則坐標(biāo)表示的系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)；然后，再利用式（4-85）的坐標(biāo)變換，得到式（4-99）表明，系統(tǒng)的響應(yīng)是由各階振型疊加得到的，因而，本方法又稱為振型疊加法。對于半正定系統(tǒng)，又固有圓頻率

，系統(tǒng)具有剛體運(yùn)動振型，因此，有上式積分兩次得到第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)

解：系統(tǒng)的微分方程為

(4-101)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)寫成矩陣形式：

可以寫出其特征矩陣為

(4-103)(4-104)(4-102)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)

將各個固有圓頻率代入，可以求出各階主振型為

主陣型矩陣為

(4-106)(4-107)(4-105)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)可以求出主質(zhì)量矩陣為

根據(jù)式(4-54)，求出正則振型矩陣為

由式(4-96)得

(4-109)(4-110)(4-108)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)再由式(4-98)，得到

根據(jù)式(4-94)可得

由式(4-99)，可求出系統(tǒng)響應(yīng)(4-111)(4-112)(4-113)(4-114)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)圖4-8汽車三自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)的位移時程曲線由于三自由度振動系統(tǒng)求解比較困難，可以利用MATLAB計算上述式子。第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)圖4-9汽車三自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)Simulink模型此外，利用的汽車三自由度無阻尼自由振動的微分方程，在Simulink中搭建如圖4-9所示的仿真模型，也可以得到相同的位移時程曲線。第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)4.4汽車多自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)

圖4-10

汽車三自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)以圖4.4.1所示的汽車三自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)為研究對象，取座椅、車身和車輪的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，車身和車輪振動位移沿彈簧形變方向鉛直向上為正。假設(shè)汽車上作用一簡諧激振力

汽車三自由度有阻尼系統(tǒng)受迫振動的微分方程為(4-115)(4-116)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)將上式表示為矩陣形式如下：

(4-117)當(dāng)多自由度振動系統(tǒng)中的阻尼矩陣是比例阻尼時，利用正則坐標(biāo)變換可對方程(4-117)解耦。即

(4-118）式中則式(4-118)可寫成