汽車振動學(xué)：基于MATLABSimulink的分析與實(shí)現(xiàn) 課件全套 第1-4章 汽車振動學(xué)概述-汽車多自由度振動系統(tǒng)

第一章汽車振動學(xué)概述CONTENTS目錄第1章汽車振動學(xué)概述

11.1汽車振動基礎(chǔ)知識 11.1.1振動的基本概念 11.1.2振動系統(tǒng)的三要素 21.2汽車振動研究方法 31.2.1理論分析 31.2.2實(shí)驗(yàn)研究 61.3汽車振動系統(tǒng)分類 61.3.1分類方法 61.3.2自由振動 71.3.3受迫振動 71.3.4自激振動 81.4汽車減振控制技術(shù) 91.4.1隔振 91.4.2阻尼消振 101.4.3主動控制減振技術(shù)

111.1汽車振動基礎(chǔ)知識

振動是指系統(tǒng)中運(yùn)動量位移、速度、加速度等的震蕩現(xiàn)象。

振動存在于自然界的各個方面，很多情況下是有害的。應(yīng)該將其振動量控制在允許的范圍內(nèi)。1.1.1振動的基本概念

汽車本身作為一個復(fù)雜的振動系統(tǒng)，內(nèi)部各部分具有不同的固有頻率。汽車的振動問題和一般機(jī)械的振動問題一樣汽車振動分析主要研究問題：

汽車振動這門學(xué)科就是要分析系統(tǒng)(system)、激勵(motivation)和響應(yīng)(response)這三者之間的關(guān)系；探討系統(tǒng)各參數(shù)對振動響應(yīng)的影響；提出振動控制的方法。汽車振動問題分類：

（1）響應(yīng)分析（2）動態(tài)設(shè)計(jì)（3）系統(tǒng)識別（4）環(huán)境預(yù)測

汽車振動的表現(xiàn)形式：汽車運(yùn)行時(shí)發(fā)動機(jī)和車體的振動汽車振動分析主要研究問題：

汽車振動這門學(xué)科就是要分析系統(tǒng)(system)、激勵(motivation)和響應(yīng)(response)這三者之間的關(guān)系；探討系統(tǒng)各參數(shù)對振動響應(yīng)的影響；提出振動控制的方法。汽車振動問題分類：

（1）響應(yīng)分析（2）動態(tài)設(shè)計(jì)（3）系統(tǒng)識別（4）環(huán)境預(yù)測

汽車振動的表現(xiàn)形式：汽車運(yùn)行時(shí)發(fā)動機(jī)和車體的振動質(zhì)量(mass)，彈性(elasticity)，阻尼(damping)是振動系統(tǒng)的三要素。

1.1.2振動系統(tǒng)三要素

機(jī)械系統(tǒng)之所以產(chǎn)生振動是因?yàn)樗旧砭哂匈|(zhì)量和彈性，而系統(tǒng)中的阻尼則使振動受到抑制。汽車是一個多自由度的振動系統(tǒng)。而懸架系統(tǒng)的關(guān)鍵部件是阻尼減振器，它對車輛振動性能的提高起著重要的作用。1.1.2振動系統(tǒng)三要素

(1)質(zhì)量：在力學(xué)模型中，質(zhì)量被抽象為不變形的剛體。在上述兩式中，質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量是表示力（力矩）和加速度（角加速度）關(guān)系的元件。

（1-1）1.1.2振動系統(tǒng)三要素

(2)彈性力

：在力學(xué)模型中，彈簧被抽象為無質(zhì)量而具有線性彈性的元件?；謴?fù)力與彈性元件兩端的相對位移的大小成正比。為比例常數(shù)，通常稱為彈簧常數(shù)或剛度。

（1-2）1.1.2振動系統(tǒng)三要素

(3)阻尼力：在力學(xué)模型中，阻尼器被抽象為既無質(zhì)量又無彈性的阻尼力模型。阻尼力大小與阻尼器兩端相對速度一次方成正比。為比例常數(shù)，稱為阻尼系數(shù)。

（1-3）1.2汽車振動研究方法

解決振動問題的方法，不外乎理論分析和實(shí)驗(yàn)研究。

在大量實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上建立起來的理論，反過來對實(shí)踐起指導(dǎo)作用；而從理論分析得到的每一個結(jié)論都必須通過實(shí)踐來驗(yàn)證它是否正確。1.2.1理論分析法（1）.建立系統(tǒng)力學(xué)模型單自由度車身振動模型該模型中僅僅考慮懸架的剛度和阻尼對車身振動的影響為了便于分析和計(jì)算，必須抓住主要因素，而略去一些次要因素，將實(shí)際系統(tǒng)簡化和抽象為動力學(xué)模型。車身車輪二自由度振動模型該模型還考慮了輪胎的剛度和非簧載質(zhì)量。1.2.1理論分析法車身二自由度系統(tǒng)該模型考慮了前后懸架的不同輸入，其響應(yīng)可反應(yīng)車身的垂直振動和俯仰運(yùn)動。1.2.1理論分析法車身的四自由度振動模型四自由度分別是簧載質(zhì)量的俯仰運(yùn)動和垂向運(yùn)動，以及非簧載質(zhì)量的兩個垂向運(yùn)動。顯然，建立的力學(xué)模型與實(shí)際系統(tǒng)越接近，則分析的結(jié)果與實(shí)際情況越接近。1.2.1理論分析法車身的七自由度振動模型七個自由度分別是簧載質(zhì)量的側(cè)傾運(yùn)動、俯仰運(yùn)動及垂向運(yùn)動，以及非簧載質(zhì)量的四個垂向運(yùn)動。1.2.1理論分析法（2）.建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)用物理定律對所建立的力學(xué)模型進(jìn)行分析，導(dǎo)出描述系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)方程。通常振動問題的數(shù)學(xué)模型可表現(xiàn)為微分方程的形式。（3）.方程的求解（4）.分析結(jié)論為得到描述系統(tǒng)振動的數(shù)學(xué)表達(dá)式，就需對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。通常這種數(shù)學(xué)表達(dá)式是位移、速度、加速度等振動響應(yīng)量的時(shí)間函數(shù)。它表明系統(tǒng)響應(yīng)與系統(tǒng)特性，激勵等的關(guān)系。根據(jù)方程的解提供的規(guī)律和系統(tǒng)的工作要求及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以作出設(shè)計(jì)和改進(jìn)，以獲得問題的最佳解決方案。1.2.2實(shí)驗(yàn)研究

（1）直接測量振動系統(tǒng)的響應(yīng)，并進(jìn)行分析系統(tǒng)的振動特性；（2）用已知的振源去激振研究對象，并測取振動響應(yīng)，以把握系統(tǒng)的振動特性。實(shí)驗(yàn)研究的振動測試和分析的過程1.靜態(tài)平衡測試法:通過測量車輪輪轂質(zhì)量分布情況，判斷車輪是查處于靜態(tài)平衡狀態(tài)。如果左輪不平衡，會產(chǎn)生較大的振動力和振動矩，加劇車身振動。2.動平衡測試法:在車輪旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過動平衡機(jī)測量車輪的動態(tài)平衡性能，以及輪胎和剎車盤的離心力失衡量等指標(biāo)。動平衡測試能夠更準(zhǔn)確地檢測車輪的平衡性能,提高汽車的行駛平穩(wěn)性和乘坐舒適性。3.振動譜分析法:通過振動傳感器和振動分析儀，對汽車的振.動響應(yīng)進(jìn)行監(jiān)測和分析。可以得到振動的幅值、頻率和相位等信息，進(jìn)而判斷振動的來源和性質(zhì)。振動譜分析能夠幫助汽車制造商和維修人員快速診斷和解決振動問題。4.道路試驗(yàn)法:在實(shí)際道路行駛中，通過振動傳感器和數(shù)據(jù)采集器對汽車的振動進(jìn)行監(jiān)測和記錄?？梢粤私馄囋诓煌窙r和行駛狀態(tài)下的振動情況，為汽車的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供重要數(shù)據(jù)支持。汽車振動測試方法是用來檢測汽車在運(yùn)行過程中的振動狀況,以及振動對汽車結(jié)構(gòu)和性能的影響常見的汽車振動測試方法1.3汽車振動系統(tǒng)分類1.3汽車振動系統(tǒng)分類1.根據(jù)系統(tǒng)的自由度分類單自由度系統(tǒng)的振動——用一個獨(dú)立坐標(biāo)就能確定位置的系統(tǒng)的振動。多自由度系統(tǒng)的振動——用多個獨(dú)立坐標(biāo)才能確定位置的系統(tǒng)的振動。無限多自由度系統(tǒng)的振動——要用無限多個獨(dú)立坐標(biāo)才能去定位置的系統(tǒng)

的振動，又稱為彈性體的振動。VibrationofasingledegreeoffreedomsystemVibrationofmulti-degreeoffreedomsystemVibrationofaninfinitedegreeoffreedomsystem1.3汽車振動系統(tǒng)分類2.根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程分類線性振動——用常系數(shù)線性微分方程式描述的系統(tǒng)所產(chǎn)生的振動。非線性振動——用非線性微分方程式描述的系統(tǒng)所產(chǎn)生的振動。1.3汽車振動系統(tǒng)分類3.根據(jù)系統(tǒng)激勵的性質(zhì)或類型分類固有振動——無激振時(shí)系統(tǒng)所有可能的運(yùn)動的集合。自由振動——系統(tǒng)受初始干擾后，在沒有外界激勵作用時(shí)所產(chǎn)生的振動。受迫振動——系統(tǒng)在外界激勵作用下產(chǎn)生的振動。自激振動——系統(tǒng)在輸入和輸出之間具有反饋特性，并有能源補(bǔ)充時(shí)產(chǎn)生

的振動。參數(shù)振動——通過周期地或隨機(jī)地改變系統(tǒng)那個的特性參數(shù)而實(shí)現(xiàn)的振動。NaturalvibrationFreevibrationForcedvibrationSelf-excitedvibrationParametricvibration1.3汽車振動系統(tǒng)分類4.根據(jù)系統(tǒng)輸出的振動規(guī)律分類簡諧振動——振動量是時(shí)間的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)。周期振動——振動量是時(shí)間的周期函數(shù)。瞬態(tài)振動——振動量是在一定時(shí)間內(nèi)存在的，并為非周期的時(shí)間函數(shù)。隨機(jī)振動——振動量不是時(shí)間的確定函數(shù)，這種振動只能通過概率統(tǒng)計(jì)的方法來研究。

SimpleharmonicvibrationPeriodicvibrationTransientvibrationRandomvibration1.4汽車減震控制技術(shù)

人們在汽車減振方面做了大量研究，主要包括減振、隔振與阻尼消振三大部分。1.4.1.隔振為了保證汽車的行駛性能和各部件的正常工作，需要進(jìn)行振動隔離，簡稱隔振主動隔振：即用隔振器將振動隔離開。被動隔振：將需要保護(hù)的設(shè)備用隔振器將振動隔離開彈簧隔振器汽車上的吸振器1.4汽車減震控制技術(shù)1.4.2.阻尼消振阻尼消振方法是采用阻尼減振方法的簡稱，即用附加的子系統(tǒng)連接需要減振的結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)已消耗振動能量，從而達(dá)到減振的目的。阻尼具有消耗系統(tǒng)振動能量的特性，能使自由振動迅速衰減，能夠降低強(qiáng)迫振動的共振振幅和避免發(fā)動機(jī)噴油閥產(chǎn)生的自激振動鋪在汽車地板上的瀝青阻尼片1.4汽車減震控制技術(shù)1.4.3.主動控制減振技術(shù)振動的主動控制又稱為振動的有源控制。這種控制需要消耗能量，而能量要靠能源來補(bǔ)充，通常有開環(huán)控制與閉環(huán)控制主動振動控制系統(tǒng)模型無源振動控制模型1.4汽車減震控制技術(shù)汽車懸架已進(jìn)入到利用微處理器進(jìn)行控制的時(shí)代,運(yùn)用較優(yōu)的控制方法，得到高性能的減振效果，且使能耗盡可能的低是汽車懸架控制發(fā)展的主要方向。經(jīng)典PID控制LQR控制自適應(yīng)控制最優(yōu)控制模糊控制經(jīng)典PID控制無需知道被控對象的有關(guān)數(shù)學(xué)模型，只要按照經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行在線調(diào)節(jié)器參數(shù)調(diào)整，就可以獲得比較滿意的結(jié)果，但是這種方法對于被控對象參數(shù)的變動非常敏感。線性二次型調(diào)節(jié)器，是求解線性二次型問題常用的求解方法。其對象是現(xiàn)代控制理論中以狀態(tài)空間形式給出的線性系統(tǒng)，而目標(biāo)函數(shù)為對象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。自適應(yīng)控制策略的基本控制方法是LQG控制，對車輛參數(shù)以及路面輸入的變化進(jìn)行了綜合考慮，從而實(shí)時(shí)調(diào)整反饋參數(shù)。最優(yōu)控制是首先確定一個明確的目標(biāo)函數(shù),通過一定的數(shù)學(xué)方法計(jì)算出使該函數(shù)取極值時(shí)的控制輸入。模糊控制是一種非線性控制，使用模糊推理構(gòu)造主動以及半主動懸架的控制規(guī)則，通過計(jì)算機(jī)模擬的方法來分析并控制車身的俯仰振動和垂直振動。CONTENTS目錄第2章汽車單自由度振動系統(tǒng) 2.1汽車單自由度振動系統(tǒng)建模 2.1.1動力學(xué)方程 2.1.2平衡位置 2.1.3微分方程求解 2.2等效剛度與自然頻率 2.2.1并聯(lián)彈簧 2.2.1串聯(lián)彈簧 2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng) 2.3.1無阻尼自由振動系統(tǒng) 2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng) 2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng) 2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng) 2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng) 2.5汽車單自由系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動 2.6汽車單自由度振動系統(tǒng)控制 2.7汽車單自由度振動系統(tǒng)綜合訓(xùn)練 2.7.1汽車振動被動系統(tǒng)訓(xùn)練 2.7.2汽車振動主動控制系統(tǒng)訓(xùn)練 2.8課后習(xí)題

2.1汽車單自由度振動系統(tǒng)建模2.1.1動力學(xué)方程

2.1.2平衡位置 2.1.3微分方程求解2.1汽車單自由度振動系統(tǒng)建模實(shí)際上，汽車是一個復(fù)雜的多自由度振動系統(tǒng)。如果將汽車車身整體簡化為一個質(zhì)量塊，其重量由一個單獨(dú)的阻尼減震器支撐，其示意圖如圖2-1所示。圖2-1汽車單自由度振動系統(tǒng)m為汽車車身質(zhì)量(kg)；k為汽車懸架彈簧剛度(N·m-1)c為汽車懸架阻尼系數(shù)(N·s·m-1)F為外界施加的力(N)x為車身相對于靜平衡位置的時(shí)變位移(m)2.1汽車單自由度振動系統(tǒng)建模圖2-1汽車單自由度振動系統(tǒng)圖2-2汽車單自由度振動力學(xué)模型2.1汽車單自由度振動系統(tǒng)建模2.1.1動力學(xué)方程

圖2-3車身受力圖

根據(jù)牛頓第二定律可寫出該振動模型的動力學(xué)方程：

（2-1）或者2.1汽車單自由度振動系統(tǒng)建 2.1.1動力學(xué)方程

2.1.2平衡位置

2.1.3微分方程求解2.1汽車單自由度振動系統(tǒng)建模2.1.2平衡位置

如圖2-4所示的振動系統(tǒng)，彈簧和阻尼器垂直放置，系統(tǒng)收到重力的影響，彈簧被壓縮或伸長，其靜變形量為圖2-4靜平衡示意圖（2-2）式中，g為重力加速度由牛頓第二定律有：（2-3）式中，x是從彈簧末端的靜變形位置計(jì)算的位移2.1汽車單自由度振動系統(tǒng)建模2.1.1動力學(xué)方程 2.1.2平衡位置

2.1.3微分方程求解2.1汽車單自由度振動系統(tǒng)建模2.1.3微分方程求解

【例2-1】求解如下微分方程

利用高等數(shù)學(xué)的相關(guān)方法求解其通解，具體計(jì)算過程如下：1)分離變量2)兩邊同時(shí)進(jìn)行積分3)求解為

（2-4）（2-5）（2-6）（2-7）（2-8）（2-9）（2-10）2.1汽車單自由度振動系統(tǒng)建模2.1.3微分方程求解

【例2-1】求解如下微分方程利用MATLAB繪制該通解的曲線，在MATLAB編輯器中運(yùn)行如下算法

1t=0:0.01:10;%%定義t取值范圍2x=10*exp(-t);%%計(jì)算特解3plot(t,x,'b','LineWidth',2);%%繪制曲線，調(diào)整曲線顏色和線寬

可以看出，指數(shù)型解隨著時(shí)間變量

t增加，函數(shù)值遞減（衰減），且遞減下降速度較快。圖2-5一階常系數(shù)齊次線性方程的數(shù)值解2.1汽車單自由度振動系統(tǒng)建模2.1.3微分方程求解

1新建一個Simulink文件2從LibraryBrowser模塊

中添加一個積分模塊

，設(shè)定初始值為103從LibraryBrowser模塊中添加一個增益模塊

，設(shè)定增益值為-14從LibraryBrowser模塊中添加一個示波器模塊5將各個模塊進(jìn)行連接，如圖2-6所示6點(diǎn)擊“Run”按鈕，運(yùn)行該仿真模型7雙擊示波器模塊查看該一階常系數(shù)齊次線性方程的輸出結(jié)果圖2-6一階常系數(shù)齊次線性方程的Simulink模型圖2-7一階常系數(shù)齊次線性方程在Simulink中的解2.1汽車單自由度振動系統(tǒng)建模2.1.3微分方程求解

二階常系數(shù)齊次線性方程通解的形式是什么？【例2-2】求解如下微分方程（2-11）2.1汽車單自由度振動系統(tǒng)建模2.1.3微分方程求解

具體計(jì)算過程如下：1）根據(jù)所給的微分方程寫出對應(yīng)特征方程

2）求特征方程的根，得到一對共軛復(fù)根

3）根據(jù)表2-1，可得該微分方程的通解和其一階導(dǎo)數(shù)

4）代入已知條件

5）求得該微分方程的特解為

（2-12）（2-13）（2-14）（2-15）（2-16）2.1汽車單自由度振動系統(tǒng)建模2.1.3微分方程求解

6)利用MATLAB繪制該通解的曲線7)可以得到仿真曲線為：圖2-8二階常系數(shù)齊次線性方程的數(shù)值解

可以看出，該曲線是一個類似的正弦（余弦），該曲線（簡諧運(yùn)動曲線）具有固定的周期、頻率等。2.1汽車單自由度振動系統(tǒng)建模2.1.3微分方程求解

【例2-2】求解如下微分方程1新建一個Simulink文件2在LibraryBrowser模塊

中添加2個積分模塊

，依次設(shè)定初始值為5和10；3從LibraryBrowser模塊中添加一個增益模塊

，設(shè)定增益值為-14從LibraryBrowser模塊中添加一個示波器模塊5將各個模塊進(jìn)行連接，如圖2-9所示6點(diǎn)擊“Run”按鈕，運(yùn)行該仿真模型7雙擊示波器模塊查看該一階常系數(shù)齊次線性方程的輸出結(jié)果2.1汽車單自由度振動系統(tǒng)建模2.1.3微分方程求解

【例2-2】求解如下微分方程圖2-9二階常系數(shù)齊次線性方程的Simulink模型圖2-10二階常系數(shù)齊次線性方程在Simulink中的解2.2等效剛度與自然頻率 2.2.1并聯(lián)彈簧

2.2.2串聯(lián)彈簧2.2等效剛度與自然頻率

在機(jī)械系統(tǒng)中不只是使用一個彈性元件，而是根據(jù)結(jié)構(gòu)的需要將若干個彈簧串聯(lián)或并聯(lián)起來使用。這樣在分析這個系統(tǒng)動力學(xué)問題時(shí)，就需要將這若干個彈簧折算成一個等效彈簧來處理，這種等效彈簧的剛度與原系統(tǒng)組合彈簧的剛度相等，稱為等效剛度，也稱為組合剛度。2.2等效剛度與自然頻率2.2.1并聯(lián)彈簧

如圖2-11所示的組合彈簧，兩彈簧的兩端同時(shí)連接于固定面上，又同時(shí)連接于質(zhì)量塊m上，這種形式稱為并聯(lián)圖2-11并聯(lián)彈簧取平衡位置時(shí)的質(zhì)量塊為研究對象。質(zhì)量塊受重力、彈性力作用處于平衡狀態(tài)。兩根彈簧的靜變形都是。彈性力分別為，由平衡條件，得如果用一根剛度系數(shù)為k的彈簧來代替原來的兩根彈簧，使該彈簧的靜變形與原來兩根彈簧所產(chǎn)生的靜變形相等，則比較式（2-17）與式（2-18），得（2-17）（2-18）（2-19）2.2等效剛度與自然頻率2.2.1并聯(lián)彈簧

k稱為并聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)。由此可得到：并聯(lián)彈簧的特點(diǎn)是兩彈簧的變形相等，都等于質(zhì)量塊的位移，但受力不等。并聯(lián)后的等效剛度系數(shù)是各并聯(lián)剛度系數(shù)的算數(shù)和。則系統(tǒng)的自然頻率為（2-20）2.2等效剛度與自然頻率 2.2.1并聯(lián)彈簧 2.2.2串聯(lián)彈簧2.2等效剛度與自然頻率2.2.2串聯(lián)彈簧

對于圖2-12所示的組合彈簧，彈簧k1和彈簧k2首尾相接，這種形式稱為串聯(lián)。圖2-12串聯(lián)彈簧當(dāng)質(zhì)量塊在平衡位置時(shí)，它的靜位移等于每根彈簧的靜變形之和，即因?yàn)閺椈墒谴?lián)的，其特征是：兩彈簧受力相等，即每根彈簧所受的拉力都等于重力mg如果用一根剛度系數(shù)為k的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于（2-21）（2-22）（2-23）2.2等效剛度與自然頻率將式（2-22）、式（2-23）代入式（2-21），得系統(tǒng)的固有頻率為（2-24）（2-25）2.2.2串聯(lián)彈簧

2.2等效剛度與自然頻率【例2-3】求如圖2-13所示各振動系統(tǒng)的自然頻率圖2-13組合彈簧的振動系統(tǒng)（1）圖2-13(a)所示系統(tǒng)中，剛度為k1的兩個彈簧并聯(lián)，等效剛度為2k1，而等效后剛度為2k1的彈簧又與剛度為k2的彈簧串聯(lián)。串聯(lián)彈簧的等效剛度公式為化簡式（2-26）得到等效剛度為因此自然頻率如下（2-26）（2-27）（2-28）2.2.2串聯(lián)彈簧

2.2等效剛度與自然頻率（2）圖2-13（b）所示系統(tǒng)中，當(dāng)質(zhì)量塊m發(fā)生位移x時(shí)，彈簧k1，k2和k3同時(shí)發(fā)生位移x，則3個彈簧的位移相同，是并聯(lián)關(guān)系，其等效剛度為k=k1+k2+k3因此系統(tǒng)的自然頻率為（2-29）（2-30）2.2.2串聯(lián)彈簧

2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)

2.3.1無阻尼自由振動系統(tǒng)

2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)

如果不考慮汽車懸架系統(tǒng)的阻尼對汽車系統(tǒng)振動的影響，則圖2-2所示的汽車單自由度振動系統(tǒng)可以被簡化為一個無阻尼振動系統(tǒng)，根據(jù)外界激勵的類型可以將其進(jìn)一步分為無阻尼自由振動系統(tǒng)和無阻尼受迫振動系統(tǒng)。2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.1無阻尼自由振動系統(tǒng)

汽車振動系統(tǒng)只受到初始條件(如初始位移、初始速度)的激勵而產(chǎn)生的振動成為自由振動圖2-14汽車無阻尼自由振動系統(tǒng)

該微分方程的通解為：

設(shè)時(shí)，,可以求解得

（2-31）（2-32）（2-33）（2-34）（2-35）2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.1無阻尼自由振動系統(tǒng)

故方程的解為

（2-36）式(2-36)可以寫成下述形式

上式中，A為汽車無阻尼自由振動系統(tǒng)的振幅，即振動的最大位移；φ0為汽車無阻尼自由振動系統(tǒng)的初相位，由三角疊加原理可得

式(2-36)和式(2-37)是描述汽車無阻尼自由振動的兩種表達(dá)式，從式(2-37)的形式上可以看出，汽車無阻尼自由振動實(shí)質(zhì)上是以其靜平衡位置為振動中心的簡諧振動。汽車無阻尼自由振動的固有周期為

汽車振動的頻率為

汽車無阻尼自由振動的頻率和圓頻率之間的關(guān)系為

（2-37）（2-38）（2-39）（2-40）（2-41）2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.1無阻尼自由振動系統(tǒng)

【例2-4】求解如下微分方程假設(shè)一汽車單質(zhì)量無阻尼振動系統(tǒng)，汽車車身質(zhì)量m=900kg；汽車懸架簧剛度k=14400N·m-1，

求汽車單質(zhì)量無阻尼自由振動解的表達(dá)式？并利用MATLAB/Simulink繪制其振動的位移時(shí)程曲線。解：(1)計(jì)算自由振動的無阻尼固有圓頻率

rad/s(2)汽車單質(zhì)量無阻尼自由振動的微分方程:

(3)計(jì)算振幅和初相位

（2-44）（2-45）（2-42）（2-43）2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.1無阻尼自由振動系統(tǒng)

解：

(4)汽車有阻尼自由振動的表達(dá)式為(5)搭建Simulink模型，繪制位移時(shí)程曲線.

圖2-15汽車單質(zhì)量無阻尼自由振動Simulink模型圖2-16汽車單質(zhì)量無阻尼自由振動的位移時(shí)程曲線（2-46）2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.1無阻尼自由振動系統(tǒng)

結(jié)論分析汽車無阻尼自由振動是以其靜平衡位置為振動中心的簡諧振動；汽車無阻尼自由振動的圓頻率等于固有頻率；系統(tǒng)的固有頻率和周期，只與汽車的剛度系數(shù)k和車身質(zhì)量m有關(guān)，與外界激勵、初始條件、振幅或相位等均無關(guān)；汽車無阻尼自由振動的振幅和初相位由初始條件決定；汽車單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動是一種等幅振動，振幅始終保持不變，系統(tǒng)一旦受到初始激勵就會一直振動下去。2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.1無阻尼自由振動系統(tǒng)

2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)

汽車振動系統(tǒng)受到初始條件以外的外界激勵(如外界激振力、激振位移、速度、加速度等)的作用下而產(chǎn)生的振動成為受迫振動，它是汽車振動系統(tǒng)對外部過程激勵的響應(yīng)。按照激勵隨時(shí)間變化的規(guī)律，可以將激勵劃分為簡諧激振(harmonicexcitation)、一般周期激振和非周期激振3類。以圖2-17所示的汽車無阻尼受迫振動系統(tǒng)為研究對象，取車身的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，車身振動位移沿彈簧形變方向鉛直向上為正。假設(shè)汽車上作用一簡諧激振力圖2-17汽車無阻尼受迫振動系統(tǒng)

式中，H為激振力的幅值，ω為激振力的圓頻率。（2-47）2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)

汽車無阻尼受迫振動系統(tǒng)的微分方程可以寫為

上式兩邊除以令m，并令

，則上式可寫為

根據(jù)微分方程求解相關(guān)理論可知，方程(2-49)的全解由兩部分組成：

自由振動解受迫振動解

代入（2-48）（2-49）（2-50）（2-51）2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)

令，可得

λ是外激勵的頻率和系統(tǒng)固有圓頻率之比。系統(tǒng)受迫振動的特解為

受迫振動的頻率與激振力的頻率相同，說明系統(tǒng)的受迫振動與外擾力具有相同的變化規(guī)律；受迫振動的振幅決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)、激振力大小和頻率比，與初始條件無關(guān)。（2-52）（2-53）2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)

振動總響應(yīng)汽車單自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)在簡諧激振下的總響應(yīng)是由兩種簡諧振動復(fù)合而成的復(fù)雜振動

若t=0,,則可以求解得

（2-54）（2-55）受迫振動的特解由式（2-55）確定（2-56）2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)

可得振動總響應(yīng)為

汽車單自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)在簡諧激振下的總響應(yīng)是兩種不同頻率成分的合成振動；由于沒有阻尼的存在，這兩種不同頻率成分的合成振動將一直持續(xù)下去。圖2-18

汽車單自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)的總響應(yīng)（2-57）2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)

幅頻特性曲線由(2-53)可知,受迫振動的振幅可以改寫為

（2-58）（2-59）2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)

圖2-19汽車無阻尼受迫振動系統(tǒng)的幅頻特性曲線

2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)

當(dāng)汽車單質(zhì)量無阻尼系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)，受迫振動的特解如下形式：

代入式(2-48)可得

所以，當(dāng)發(fā)生共振時(shí)，受迫振動的運(yùn)動規(guī)律為

（2-60）（2-61）（2-62）2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)

圖2-20共振時(shí)受迫振動的運(yùn)動規(guī)律2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)

振動合成根據(jù)振動的合成理論可得，汽車單自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)的總響應(yīng)可以合成為

其中，

（2-63）2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)

（2-63）（2-64）（2-65）2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)

（2-66）2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)

圖2-21拍振波形2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)

假設(shè)圖2-17所示的汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)，汽車車身質(zhì)量m=900kg；汽車懸架簧剛度k=14400N·m-1，車身始終受到持續(xù)激振力

F=F0sin6t，當(dāng)

求:(1)汽車單自由度無阻尼受迫振動的表達(dá)式？并利用MATLAB/Simulink繪制其振動的位移時(shí)程曲線。(2)如果激振力變?yōu)镕=-1167sin4.5t，利用MATLAB/Simulink繪制其振動的位移時(shí)程曲線。解：

(1-a)計(jì)算振動系統(tǒng)的無阻尼固有圓頻率圖2-17汽車無阻尼受迫振動系統(tǒng)

rad/s【例2-5】（2-67）2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)

解：

(1-b)單質(zhì)量無阻尼受迫振動的微分方程:進(jìn)一步化簡得：

(1-c)計(jì)算非齊次方程的特解

(1-d)計(jì)算汽車單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)的解

（2-68）（2-69）（2-70）（2-72）（2-73）（2-71）mrad2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)

(1-d)計(jì)算汽車單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)的解

汽車單自由度無阻尼受迫振動的總響應(yīng)為

（2-74）（2-75）2.3汽車單自由度無阻尼振動系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)

【例2-5】求解如下微分方程【續(xù)】圖2-22汽車單質(zhì)量無阻尼自由振動Simulink模型圖2-23汽車單質(zhì)量無阻尼受迫振動總響應(yīng)的位移時(shí)程曲線2.2等效剛度與自然頻率2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)

解：

(2-a)當(dāng)外界激振力F=-1167sin4.5t時(shí)，非齊次方程的特解

(2-b)計(jì)算汽車單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)的解

則非齊次方程的特解為:

m

rad

(2-c)汽車單自由度無阻尼受迫振動的總響應(yīng)為

【例2-5】求解如下微分方程【續(xù)】（2-77）（2-76）（2-78）（2-79）（2-80）（2-81）2.2等效剛度與自然頻率圖2-24汽車單質(zhì)量無阻尼受迫振動總響應(yīng)的位移時(shí)程曲線圖2-22汽車單質(zhì)量無阻尼自由振動Simulink模型2.3.2無阻尼受迫振動系統(tǒng)

2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)

2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng) 2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)在實(shí)際路況中，汽車懸架系統(tǒng)必然或大或小存在一定的阻尼。由于阻尼的存在，汽車振動系統(tǒng)的運(yùn)動方程、振動特性發(fā)生了很大的變化，汽車振動系統(tǒng)的也更加接近實(shí)際情況。本節(jié)主要介紹具有黏性阻尼的情況。以圖2-25所示的汽車有阻尼自由振動系統(tǒng)為例，汽車車身質(zhì)量被彈簧和阻尼兩個元件所支撐，仍以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，車身振動位移沿彈簧形變方向鉛直向上為正，則汽車有阻尼自由振動系統(tǒng)的微分方程為圖2-25汽車有阻尼自由振動系統(tǒng)式中，c為粘性阻尼系數(shù)，單位為N·s/m（2-82）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)上式兩邊除以令m，并令，

則上式可寫為式（2-83）就是該汽車有阻尼自由振動系統(tǒng)在線性彈力和阻尼力作用下所具有的振動微分方程，稱為汽車有阻尼自由振動方程。該振動方程是一個二階常系數(shù)齊次線性微分方程，該微分方程的通解為：（2-82）（2-83）（2-84）聯(lián)立上式可得：（2-85）汽車無阻尼自由振動系統(tǒng)的微分方程可以寫為2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)解式（2-85）可得：（2-86）定義阻尼比ξ為衰減系數(shù)n和汽車振動系統(tǒng)固有圓頻率ωn的比值，即（2-87）則（2-86）可改寫為：（2-88）顯然，隨著阻尼比

ξ的不同，r1,2對應(yīng)不同的值，汽車有阻尼自由振動方程也會有不同的解。阻尼比ξ是汽車振動系統(tǒng)中反映阻尼特性的重要參數(shù)，下面按照0<ξ<1，ξ=1，ξ>1三種情況進(jìn)行討論。2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)0<ξ<1，欠阻尼情況我們把阻尼比0<ξ<1的情況稱為欠阻尼。此時(shí)特征方程有一對共軛復(fù)根將式（2-89）代入式（2-84）中，可以得到式（2-83）的通解為（2-89）（2-90）令,則（2-91）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)（2-93）式中，積分常數(shù)C1和C2由汽車振動的初始條件確定。設(shè)，代入(2-91)可得（2-92）由此，可求解出積分常數(shù)C1和C2為則汽車有阻尼自由振動方程的解為（2-94）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)也可以寫成下述形式式中，振幅A和初相位φ0可由三角疊加原理求得（2-95）（2-96）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)0<ξ<1，欠阻尼情況從欠阻尼情況下汽車自由振動方程的解可以得知，汽車振動系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)振動，其振動的位移時(shí)程曲線如圖2-26所示。該振動的振幅隨著時(shí)間不斷衰減，且不再是一個周期性運(yùn)動，通常這種振動稱為衰減振動。圖2-26欠阻尼情況下汽車自由振動的位移時(shí)程曲線2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)1）有阻尼固有周期其中

是無阻尼系統(tǒng)自由振動的固有周期。由式（2-97）可以看出，與無阻尼振動系統(tǒng)相比，汽車有阻尼振動系統(tǒng)的固有周期因?yàn)樽枘岬拇嬖诙冮L了。（2-97）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)2）阻尼對振幅的影響由式（2-95）可以看出，汽車有阻尼自由振動的振幅按照指數(shù)規(guī)律衰減。設(shè)一個固有周期Td相鄰的兩個振幅分別為Ai和Ai+1，對應(yīng)時(shí)間為ti和ti+Td，則有兩振幅之比為（2-98）（2-99）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)振幅衰減率η的自然對數(shù)稱為對數(shù)衰減率，用δ表示

可見，振幅的對數(shù)衰減率僅取決于阻尼比ξ，它描述了汽車有阻尼自由振動系統(tǒng)在一個固有周期內(nèi)的衰減程度。當(dāng)阻尼比ξ<<1時(shí)，對數(shù)衰減率δ可以近似為（2-101）（2-100）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)ξ>1，過阻尼情況阻尼比ξ>1的情況稱為過阻尼。此時(shí)，汽車振動系統(tǒng)的特征方程有一對不等的實(shí)根可以得到式（2-83）的通解為（2-102）（2-103）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)其中，積分常數(shù)C1和C2由汽車振動的初始條件確定。設(shè)，代入(2-103)可得（2-104）由此，可求解出積分常數(shù)C1和C2為（2-105）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)從式（2-103）可以看出，汽車有阻尼自由振動的解已經(jīng)沒有了簡諧函數(shù)的形式，系統(tǒng)的運(yùn)動按照指數(shù)規(guī)律衰減，很快就趨于平衡，且不再往復(fù)振動，其位移時(shí)程曲線如圖2-27所示。從物理意義上來看，由于汽車振動系統(tǒng)的阻尼較大，由初始激勵產(chǎn)生的能量很快就被完全消耗了，系統(tǒng)來不及產(chǎn)生往復(fù)振動。圖2-27過阻尼情況下汽車自由振動的位移時(shí)程曲線2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)

ξ

=1，臨界阻尼情況

阻尼比ξ=1的情況稱為臨界阻尼。此時(shí)的汽車振動系統(tǒng)的阻尼系數(shù)稱為臨界阻尼系數(shù)，用c0表示，根據(jù)式（2-87），則有汽車振動系統(tǒng)的阻尼比可以表示為此時(shí)，汽車振動系統(tǒng)的特征方程有一對相等的實(shí)根（2-108）（2-107）（2-106）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)可以得到式（2-83）的通解為（2-109）其中，積分常數(shù)C1和C2由汽車振動的初始條件確定。（2-110）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)（2-111）（2-112）由此，可求解出積分常數(shù)C1和C2為則汽車有阻尼自由振動方程的解為2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)值得注意的是，臨界阻尼情況與過阻尼的情況類似，其運(yùn)動也是按照指數(shù)規(guī)律衰減，且沒有振蕩特性，其位移時(shí)程曲線如圖2-28所示。實(shí)際上，臨界阻尼是過阻尼情況的下邊界，是從衰減振動過渡到非周期振動的臨界狀態(tài)。在相同條件下，汽車振動系統(tǒng)在臨界阻尼情況下振幅最大，而且返回平衡位置最快。圖2-28過阻尼情況下汽車自由振動的位移時(shí)程曲線2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)例2-6假設(shè)一汽車單質(zhì)量無阻尼振動系統(tǒng)，汽車車身質(zhì)量m為900kg；汽車懸架彈簧剛度k為14400N·m-1，阻尼c為720N·s·m-1,t=0時(shí)，x=x0=0.3

m，m/s。求汽車有阻尼自由振動的表達(dá)式，并利用MATLAB/Simulink繪制其振動的位移時(shí)程曲線。解：計(jì)算自由振動的無阻尼固有圓頻率、衰減系數(shù)以及阻尼比說明該汽車有阻尼自由振動系統(tǒng)是一個欠阻尼系統(tǒng)，應(yīng)采用欠阻尼情況下自由振動方程響應(yīng)的解法。rad/ss-1（2-113）（2-114）（2-115）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)汽車單質(zhì)量有阻尼自由振動的微分方程計(jì)算有阻尼固有頻率計(jì)算振幅和初相位rad/s（2-116）（2-117）（2-118）（2-119）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)汽車有阻尼自由振動的表達(dá)式為搭建Simulink模型，繪制位移時(shí)程曲線。圖2-29汽車單質(zhì)量無阻尼自由振動Simulink模型圖2-30汽車單質(zhì)量無阻尼自由振動的位移時(shí)程曲線（2-120）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng) 2.4.1有阻尼自由振動系統(tǒng)

2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)以圖2-31所示的汽車有阻尼受迫振動系統(tǒng)為研究對象，取車身的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，車身振動位移沿彈簧形變方向鉛直向上為正。假設(shè)汽車上作用一簡諧激振力圖2-31汽車有阻尼受迫振動系統(tǒng)當(dāng)車身開始振動并且偏離靜平衡位置x距離時(shí)，汽車有阻尼受迫振動系統(tǒng)的微分方程可以寫為：（2-121）（2-122）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)上式兩邊除以令m，并令，

，則上式可寫為其中，ωn為汽車振動系統(tǒng)的有阻尼固有圓頻率，ξ為阻尼比該方程的全解為：，，該方程的全解由兩部分組成其通解為（2-123）（2-124）（2-125）（2-127）（2-126）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)解式由于實(shí)際汽車振動系統(tǒng)中阻尼的存在，前一部分的衰減振動只會在振動開始的一段時(shí)間內(nèi)存在，經(jīng)過一定時(shí)間之后就會衰減為0。在衰減振動完全消失之前，汽車懸架系統(tǒng)的振動稱為瞬態(tài)振動。此后，系統(tǒng)的響應(yīng)會變?yōu)槌掷m(xù)的等幅受迫振動，成為穩(wěn)態(tài)振動。可以看出，汽車有阻尼受迫振動系統(tǒng)的總響應(yīng)由兩部分組成，前一部分是圓頻率為ωd的衰減振動，后一部分為圓頻率為ω的受迫振動。方程全解（2-127）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動穩(wěn)態(tài)振動是有阻尼受迫振動的穩(wěn)定運(yùn)動，反映了汽車單自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律。在分析有阻尼受迫振動時(shí)，如果沒有特別強(qiáng)調(diào)瞬態(tài)振動，通常只要研究穩(wěn)態(tài)振動就足夠了。為求穩(wěn)態(tài)振動的響應(yīng)，將式（2-126）代入汽車振動系統(tǒng)的運(yùn)動方程（2-123）中，可得到運(yùn)用下列三角函數(shù)關(guān)系（2-128）（2-129）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)式（2-128）可以轉(zhuǎn)化為進(jìn)而可以得到由此可以解得（2-130）（2-131）（2-133）（2-132）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動的響應(yīng)為汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)在簡諧激勵下的響應(yīng)有如下規(guī)律：1）穩(wěn)態(tài)振動的響應(yīng)仍是一個簡諧振動；2）穩(wěn)態(tài)振動的圓頻率等于激振力的頻率；3）穩(wěn)態(tài)振動的響應(yīng)相比激振力落后一個相位角φ，該相位角是由阻尼引起的，與初始條件無關(guān)；4）穩(wěn)態(tài)振動的振幅取決于系統(tǒng)本身的性質(zhì)、激振力的大小和頻率比，與初始條件無關(guān)；（2-134）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)幅頻特性曲線受迫振動的振幅在工程實(shí)際中是重要參數(shù)，它關(guān)系著振動系統(tǒng)的變形、強(qiáng)度和工作狀態(tài)。汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)的振幅放大因子β可以表示為振幅放大因子β與振幅B成正比關(guān)系，反映了振幅B與頻率比λ之間的變化規(guī)律，相應(yīng)的幅頻特性曲線如圖2-32所示。圖2-32汽車有阻尼受迫振動系統(tǒng)的幅頻特性曲線2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)相頻特性曲線相位角φ隨頻率比λ變化的規(guī)律稱為相頻特性，可以由下式確定對應(yīng)不同的阻尼比ξ，相位角φ隨頻率比λ變化的曲線稱為相頻特性曲線，如圖2-33所示。從圖中可以看出，相位角φ在0至π之間變化，始終是正值，說明受迫振動的響應(yīng)總是滯后于激振力，并且響應(yīng)的滯后與阻尼的大小無關(guān)。圖2-33汽車有阻尼受迫振動系統(tǒng)的相頻特性曲線（2-141）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)振動總響應(yīng)與無阻尼受迫振動一樣，汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)的受迫振動的總響應(yīng)也由自由振動響應(yīng)和受迫振動響應(yīng)兩部分構(gòu)成，代入(2-142)可得假設(shè)初始條件為（2-142）（2-143）（2-144）對(2-143)變形得（2-145）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)令式（2-144）和（2-145）相加并移項(xiàng)，得到式（2-143）可以寫為令（2-147）和（2-146）兩式相除，可得所以，可以求得（2-146）（2-147）（2-148）（2-149）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)求（2-146）和（2-147）兩式的平方和，可得所以，可以求得（2-150）（2-151）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)則汽車單自由度有阻尼系統(tǒng)的受迫振動的總響應(yīng)為（2-152）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)振動總響應(yīng)汽車單自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)在簡諧激振下的總響應(yīng)也是兩種不同頻率成分的合成振動。與無阻尼受迫振動的總響應(yīng)不同，由于阻尼的存在，系統(tǒng)的自由振動只在剛開始的一段時(shí)間內(nèi)存在，之后便會被阻尼衰減掉，只剩下了穩(wěn)態(tài)振動的響應(yīng)。圖2-34

汽車單自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)的總響應(yīng)2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)強(qiáng)迫振動的復(fù)數(shù)解法假設(shè)汽車振動系統(tǒng)受到的外界激振力為則式（2-123）可以寫為設(shè)穩(wěn)態(tài)振動的響應(yīng)為將式（2-155）代入（2-154）中，可得（2-153）（2-154）（2-155）（2-156）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)可以解出所以，穩(wěn)態(tài)振動的響應(yīng)為（2-157）（2-158）可以發(fā)現(xiàn)，用復(fù)數(shù)解法求解的汽車振動系統(tǒng)的受迫振動響應(yīng)與式（2-152）用三角函數(shù)求解的結(jié)果完全相同，求解過程卻大為簡化。2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)例2-7假設(shè)圖2-14所示的汽車單質(zhì)量無阻尼振動系統(tǒng)，汽車車身質(zhì)量m為900kg；汽車懸架彈簧剛度k為14400N·m-1，阻尼c為720N·s·m-1，車身始終受到一個F=F0sin2t的持續(xù)激振力，t=0時(shí)，x=x0=0.3，m/s，F(xiàn)0=1800N。求：（1）汽車單質(zhì)量無阻尼受迫振動的穩(wěn)態(tài)表達(dá)式，并利用MATLAB/Simulink繪制其位移時(shí)程曲線。（2）利用MATLAB/Simulink計(jì)算振動總響應(yīng)的位移時(shí)程曲線2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)解：（1）計(jì)算系統(tǒng)振動的無阻尼固有圓頻率、衰減系數(shù)以及阻尼比計(jì)算有阻尼固有頻率（2-162）（2-159）（2-160）（2-161）汽車單質(zhì)量有阻尼受迫振動的微分方程（2-163）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)計(jì)算穩(wěn)態(tài)響應(yīng)汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動的響應(yīng)為利用的汽車單質(zhì)量有阻尼振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動的響應(yīng)，在MATLAB的命令行窗口中直接進(jìn)行求解?；喌茫?-164）（2-165）（2-166）（2-167）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)得到受迫振動的位移時(shí)程曲線為圖2-35汽車單質(zhì)量有阻尼受迫振動的位移時(shí)程曲線2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)（2）計(jì)算汽車單自由度有阻尼受迫振動的總響應(yīng)（2-168）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)汽車單質(zhì)量有阻尼受迫振動的總響應(yīng)為（2-169）（2-170）（2-171）2.4汽車單自由度有阻尼振動系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動系統(tǒng)利用的汽車單質(zhì)量有阻尼受迫振動的微分方程，在Simulink中搭建如圖2-36所示的仿真模型。圖2-36汽車單質(zhì)量有阻尼受迫振動的位移時(shí)程曲線圖2-37汽車單質(zhì)量有阻尼受迫振動總響應(yīng)的位移時(shí)程曲線2.5汽車單自由系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動 2.5汽車單自由系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動在工程實(shí)際中有許多其他形式的振動，如內(nèi)燃機(jī)的曲軸、輪船的傳動軸等。在運(yùn)轉(zhuǎn)中常常產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動，簡稱扭振。圖2-38扭振系統(tǒng)如圖2-38所示為一扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)。其中OA為一鉛直圓軸，上端A固定，下端O固連一水平圓盤，圓盤對中心軸OA的轉(zhuǎn)動慣量為J0。2.5汽車單自由系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動圖2-39（a）所示為扭振系統(tǒng)兩個軸并聯(lián)情況；圖2-39（b）所示為扭振系統(tǒng)兩個軸串聯(lián)情況；圖2-39（c）所示為進(jìn)一步簡化的等效系統(tǒng)。圖2-39軸系扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)2.5汽車單自由系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動例2-8求圖2-40所示的階梯軸-圓盤系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的固有頻率。其中Ip1、Ip2和Ip3是三個軸段截面的極慣性矩，J是圓盤的轉(zhuǎn)動慣量，各個軸段的轉(zhuǎn)動慣量不計(jì)，材料的切變模量為G。圖2-40階梯軸-圓盤系統(tǒng)2.5汽車單自由系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動解：由材料力學(xué)知，三個圓軸的抗扭剛度系數(shù)分別為第2、3軸為串聯(lián)，串聯(lián)后剛度系數(shù)為k1與k23并聯(lián)，并聯(lián)后剛度系數(shù)為由得扭轉(zhuǎn)振動的固有頻率為（2-178）（2-179）（2-180）（2-181）2.6汽車單自由度振動系統(tǒng)控制 2.6汽車單自由度振動系統(tǒng)控制圖2-41

單自由度主動控制懸架模型汽車懸架各方面的性能會對汽車的操縱穩(wěn)定性、行駛平順性以及行駛速度產(chǎn)生非常重要直接的影響。單自由度主動控制懸架簡化模型如圖2-41所示﹐由彈性元件，阻尼器和作動器組成。作動器的作用在于改進(jìn)系統(tǒng)中能源的消耗和供給系統(tǒng)以能量,該裝置的控制目標(biāo)是要實(shí)現(xiàn)一個優(yōu)質(zhì)的隔振系統(tǒng),而又不需對系統(tǒng)作出較大的變化。因此,只需使作動器產(chǎn)生一個正比于絕對速度負(fù)值的主動力,即可實(shí)現(xiàn)該控制目標(biāo)。2.7汽車單自由度振動系統(tǒng)綜合訓(xùn)

2.7.1汽車振動被動系統(tǒng)訓(xùn)練 2.7.2汽車振動主動控制系統(tǒng)訓(xùn)練2.7工程案例：汽車單自由度系統(tǒng)振動特性及主動控制仿真2.7.1汽車單自由度振動特性分析任務(wù)描述1.以汽車懸架為研究對象，構(gòu)建車輛質(zhì)量-彈簧-阻尼單自由度振動系統(tǒng)的動力學(xué)方程？2.在MATLAB/Simulink中搭建汽車單自由度振動的仿真模型，分別調(diào)整阻尼、剛度、外部激振力，觀察該單自由度振動系統(tǒng)的響應(yīng)曲線變化；任務(wù)實(shí)施過程1.建立汽車單自由度振動的力學(xué)模型汽車單自由度振動系統(tǒng)簡化模型和受力模型求解2階ODE方程的邏輯框圖任務(wù)實(shí)施過程2.在Simulink中建立汽車單自由度振動的仿真模型汽車單自由度振動的仿真模型任務(wù)實(shí)施過程2.在Simulink中建立汽車單自由度振動的仿真模型汽車單自由度振動響應(yīng)曲線簡諧力激振下不同阻尼的汽車單自由度振動響應(yīng)曲線2.7汽車單自由度振動系統(tǒng)綜合訓(xùn) 2.7.1汽車振動被動系統(tǒng)訓(xùn)練

2.7.2汽車振動主動控制系統(tǒng)訓(xùn)練2.7工程案例：汽車單自由度系統(tǒng)振動特性及主動控制仿真2.7.2汽車單自由度振動主動控制系統(tǒng)主動懸架PID控制系統(tǒng)原理框圖單自由度振動幅值響應(yīng)可以看出，PID控制器的比例、積分和微分3個環(huán)節(jié)及其參數(shù)對系統(tǒng)的控制是相互關(guān)聯(lián)的，環(huán)節(jié)作用與否與參數(shù)的大小直接影響被控對象系統(tǒng)的性能2.7工程案例：汽車單自由度系統(tǒng)振動特性及主動控制仿真PID的3個環(huán)節(jié)及其參數(shù)對控制性能的影響可以描述如下:1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)可以用來成正比地反映控制系統(tǒng)的誤差信號，當(dāng)誤差出現(xiàn)時(shí)會立刻產(chǎn)生控制力以減小誤差，但不能消除穩(wěn)態(tài)誤差。增大比例系數(shù)，可以加快響應(yīng)速度，減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，有利于提高控制精度。當(dāng)比例系數(shù)過大時(shí)，控制系統(tǒng)的動作過快,振蕩次數(shù)會增大，并且系統(tǒng)會趨于不穩(wěn)定。2.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)主要是用來消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)無差度。積分作用的強(qiáng)弱取決于積分時(shí)間常數(shù)，積分時(shí)間常數(shù)越小，積分作用越強(qiáng)。但如果積分時(shí)間常數(shù)太小，系統(tǒng)會出現(xiàn)振蕩，并且穩(wěn)定性降低。積分環(huán)節(jié)有一定的滯后作用，使系統(tǒng)的響應(yīng)速度變慢。3.微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)具有超前和預(yù)測的特性，能夠預(yù)測誤差的變化趨勢，這種“超前”的作用可以抵消滯后因素的影響，即適當(dāng)?shù)奈⒎挚刂瓶墒钩{(diào)量減小，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，在PID控制器設(shè)計(jì)時(shí)，還需要根據(jù)控制效果協(xié)調(diào)調(diào)整參數(shù)。3.1汽車二自由度振動系統(tǒng)建模3.2汽車二自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)3.2.1列寫振動方程3.2.2固有頻率和模態(tài)振型3.2.3無阻尼自由振動系統(tǒng)的求解3.3汽車二自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)3.3.1時(shí)域分析3.3.2頻域分析3.4汽車二自由度有阻尼自由振動系統(tǒng)3.4.1列寫振動方程3.4.2固有頻率3.4.3有阻尼自由振動系統(tǒng)的求解第三章汽車二自由度振動系統(tǒng)3.5汽車二自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)3.5.1時(shí)域分析3.5.2頻域分析3.6汽車二自由度振動系統(tǒng)優(yōu)化控制3.7汽車二自由度振動系統(tǒng)綜合訓(xùn)練3.7.1汽車二自由度垂向動力學(xué)建模與仿真3.7.2汽車二自由度垂向動力學(xué)控制與仿真3.7.3汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)建模與仿真3.7.4汽車二自由度側(cè)向動力學(xué)控制與仿真第三章汽車二自由度振動系統(tǒng)汽車二自由度振動系統(tǒng)建模3.13.1汽車二自由度振動系統(tǒng)建模實(shí)際上，汽車是一個復(fù)雜的多自由度振動系統(tǒng)。如果將汽車車身整體簡化為一個質(zhì)量塊，其重量由一個單獨(dú)的阻尼減震器支撐，其示意圖如圖3.1.1所示。圖3-1汽車二自由度振動系統(tǒng)m1,m2為汽車車輪和車身質(zhì)量(kg)；ks,kt為汽車懸架和車輪彈簧剛度(N·m-1)c為汽車懸架阻尼系數(shù)(N·s·m-1)F為外界施加的力(N)x1,x2為車輪和車身相對于靜平衡位置的時(shí)變位移(m)3.1汽車二自由度振動系統(tǒng)建模圖3-1汽車單自由度振動系統(tǒng)圖3-2汽車單自由度振動力學(xué)模型圖3-3模型受力圖3.1汽車二自由度振動系統(tǒng)建模由圖3.3，根據(jù)牛頓第二定律可寫出：

(3-1)(3-2)圖3-3模型受力圖汽車二自由度無阻尼振動系統(tǒng)3.23.2汽車二自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)

3.2.1列寫振動方程

3.2.2固有頻率和模態(tài)振型

3.2.3無阻尼自由振動系統(tǒng)的求解3.2.1列寫振動方程當(dāng)忽略汽車懸架系統(tǒng)阻尼對汽車系統(tǒng)振動的影響，則汽車二自由度振動系統(tǒng)可以被簡化為一個無阻尼振動系統(tǒng)。圖3-4汽車二自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)振動系統(tǒng)的微分方程如下：

(3-3)微分方程表示為矩陣形式如下：

其中：(3-4)3.2汽車二自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)

3.2.1列寫振動方程

3.2.2固有頻率和模態(tài)振型

3.2.3無阻尼自由振動系統(tǒng)的求解

(3-6)(3-5)(3-7)(3.7)

可得到簧下質(zhì)量固有圓頻率為

3.2.2固有頻率和模態(tài)振型可得到簧載質(zhì)量固有圓頻率為

(3-8)

(3-9)將上式帶入式(3-3)得

(3-10)3.2.2固有頻率和模態(tài)振型

保證上式具有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式等于零，即(3-11)

(3-12)得到系統(tǒng)的特征方程為

(3-13)(3-14)

3.2.2固有頻率和模態(tài)振型

一階主振型二階主振型

(3-15)(3-16)3.2.2固有頻率和模態(tài)振型3.2汽車二自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)

3.2.1列寫振動方程

3.2.2固有頻率和模態(tài)振型

3.2.3無阻尼自由振動系統(tǒng)的求解3.2.3無阻尼自由振動系統(tǒng)的求解

(3-17)

3.2.3無阻尼自由振動系統(tǒng)的求解根據(jù)常微分方程理論，二自由度無阻尼自由振動微分方程(3-3)的通解，是它兩個主振動的線性組合，即

(3-18)

為了方便確定振幅和初相位等待定系數(shù)，也可將式(3-18)改寫成如下形式：

(3-19)

3.2.3無阻尼自由振動系統(tǒng)的求解

若將解表示為向量形式，則系統(tǒng)自由振動的解為(3-20)式中

(3-21)例題【例3.2.1】假設(shè)圖3-1所示的汽車二自由度無阻尼振動系統(tǒng)，汽車車身質(zhì)量為500kg，車輪質(zhì)量m1為50kg；汽車懸架彈簧剛度ks為47810N·m-1，輪胎剛度kt為145000N·m-1，t=0時(shí)，x10=0.3

cm，x20=003

m，m/s。求：（1）汽車雙質(zhì)量無阻尼自由振動的穩(wěn)態(tài)表達(dá)式，并利用MATLAB/Simulink繪制其位移時(shí)程曲線。（2）利用MATLAB/Simulink計(jì)算自由振動總響應(yīng)的位移時(shí)程曲線解：系統(tǒng)的微分方程為

其中簧下質(zhì)量固有圓頻率為

簧載質(zhì)量固有圓頻率為

(3-22)(3-24)(3-23)(3-25)例題

一階主振型

二階主振型

圖3-5汽車二自由度系統(tǒng)的主振型

(3-26)(3-27)(3-28)例題利用MATLAB/Simulink計(jì)算自由振動總響應(yīng)的位移時(shí)程曲線

將初始條件帶入下式得圖3-6汽車二自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)的總響應(yīng)自己編程繪圖。(3-29)例題

圖3-7汽車二自由度無阻尼振動系統(tǒng)Simulink模型汽車二自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)3.33.3汽車二自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)

3.3.1時(shí)域分析

3.3.2頻域分析3.3二自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)

受迫振動的微分方程變?yōu)?/p>

(3-30)(3-31)3.3.1時(shí)域分析該方程是汽車二自由度系統(tǒng)受迫振動微分方程，與汽車無阻尼自由振動的微分方程相比多了激勵項(xiàng)，方程由齊次方程變?yōu)榉驱R次方程。根據(jù)微分方程求解相關(guān)理論可知，方程(3.21)的全解由兩部分組成圖3-8汽車二自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)模型由于自由振動部分會逐漸衰減，即系統(tǒng)將會按照與激勵相同的頻率做穩(wěn)態(tài)振動，所以可以假設(shè)無阻尼二自由度受迫振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為

(3-32)將式(3-32)帶入式(3-30)中可得

(3-33)式中

式(3.33)展開為

(3-34)1.受迫振動特解3.3.1時(shí)域分析聯(lián)立求解上式，得到受迫振動的振幅為(3-35)

(3-36)得到受迫振動的振幅為(3-37)

3.3.1時(shí)域分析圖3-9

汽車二自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)幅頻特性曲線

3.3.1時(shí)域分析將(3-37)帶入式(3-31)即可得無阻尼二自由度系統(tǒng)在受迫激勵下的穩(wěn)態(tài)振動。

(3-38)由式(3.31)可以看出汽車二自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)在簡諧激振下的總響應(yīng)是由自由振動和受迫振動復(fù)合而成的復(fù)雜振動。

(3-39)2.振動總響應(yīng)3.3.1時(shí)域分析3.3.1例題

解：系統(tǒng)的微分方程為其中簧下質(zhì)量固有圓頻率為

簧載質(zhì)量固有圓頻率為

(3-40)(3-41)(3-42)3.3.1例題

微分方程展開為

解得振幅方程為

(3-43)(3-45)(3-44)(3-46)3.3.1例題所以受迫激勵下的穩(wěn)態(tài)振動為

受迫振動響應(yīng)為圖3-10汽車二自由度無阻尼受迫振動響應(yīng)(3-47)3.3.1例題結(jié)合例【例3.2】，振動總響應(yīng)為

圖3.11

汽車二自由度無阻尼振動總響應(yīng)(3-48)3.3.1例題圖3-12汽車二自由度無阻尼受迫振動Simulink模型

3.3汽車二自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)

3.3.1時(shí)域分析

3.3.2頻域分析3.3.2頻域分析

圖3-13二自由度無阻尼振動系統(tǒng)路面位移激勵模型

(3-49)

車身車輪二自由度振動系統(tǒng)微分方程如下

(3-50)

(3-51)

(3-52)

(3-53)

3.3.2頻域分析3.3例題

(3-54)(3-55)

因此，車身振動位移響應(yīng)對路面位移激勵的幅頻特性為：(3-56)(3-57)

汽車二自由度有阻尼振動系統(tǒng)3.43.3例題上一節(jié)介紹了汽車二自由度無阻尼振動系統(tǒng)的響應(yīng)，然而在實(shí)際中，汽車懸架系統(tǒng)必然或大或小存在一定的阻尼。由于阻尼的存在，汽車振動系統(tǒng)的運(yùn)動方程、振動特性發(fā)生了很大的變化，汽車振動系統(tǒng)的也更加接近實(shí)際情況。本節(jié)主要介紹具有黏性阻尼的情況。3.4汽車二自由度有阻尼自由振動系統(tǒng)

3.4.1列寫振動方程

3.4.2固有頻率

3.4.3有阻尼自由振動系統(tǒng)的求解3.4.1列寫振動方程汽車車身質(zhì)量被彈簧和阻尼兩個元件所支撐，仍以車輪和車身的靜平衡位置為各坐標(biāo)原點(diǎn)，車輪和車身振動位移沿彈簧形變方向鉛直向上為正。圖3-14汽車二自由度有阻尼自由振動系統(tǒng)(3-58)

3.4汽車二自由度有阻尼自由振動系統(tǒng)

3.4.1列寫振動方程

3.4.2固有頻率

3.4.3有阻尼自由振動系統(tǒng)的求解這相當(dāng)于只有車身的單自由度有阻尼自由振動，其車身部分的固有圓頻率(偏頻)為同樣，若車身m2不動(x2=0)，則相當(dāng)于只有車輪的單自由度有阻尼自由振動。(3-60)即

其車輪部分的固有圓頻率

，即3.4.2固有頻率

(3-59)3.4汽車二自由度有阻尼自由振動系統(tǒng)

3.4.1列寫振動方程

3.4.2固有頻率

3.4.3有阻尼自由振動系統(tǒng)的求解

(3-61)式中，

該振動方程是一個二階常系數(shù)齊次線性微分方程組，該微分方程的通解為：

(3-62)當(dāng)二自由度阻尼系統(tǒng)做自由振動時(shí)，式(3-58)變成以下形式：

3.4.3有阻尼自由系統(tǒng)的求解將式(3-62)代入(3-61)，得

(3-63)

(3-64)展開得

(3-65)式(3-65)的系數(shù)全是正數(shù)，故解只能是負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)，即存在三種可能：1.全是負(fù)實(shí)數(shù)；2.兩對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)；3.兩個負(fù)實(shí)數(shù)和一對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)