考點(diǎn)03一元二次方程（原卷版）

考點(diǎn)三一元二次方程知識(shí)整合一、一元二次方程的概念1．一元二次方程只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式（其中為常數(shù)，），其中分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，分別稱(chēng)為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必須具備三個(gè)條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個(gè)未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2．二、一元二次方程的解法1．直接開(kāi)平方法適合于或形式的方程．2．配方法（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（2）移項(xiàng)，使方程左邊只含有二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；（3）方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；（4）把方程整理成的形式；（5）運(yùn)用直接開(kāi)平方法解方程．3．公式法（1）把方程化為一般形式，即；（2）確定的值；（3）求出的值；（4）將的值代入即可．4．因式分解法基本思想是把方程化成的形式，可得或．考向一一元二次方程解法典例引領(lǐng)1．解下列方程：(1)；(2)．2．解方程：(1)；（配方法）(2)；（公式法）(3)；（因式分解法）(4)．（選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?．解方程：(1)；(2)．4．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?．提出問(wèn)題：為解方程，我們可以令，于是原方程可轉(zhuǎn)化為，解此方程，得（不符合要求，舍去）．當(dāng)時(shí)，．原方程的解為．以上方法就是換元法解方程，從而達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．解決問(wèn)題：運(yùn)用上述換元法解方程：．6．換元法是數(shù)學(xué)中的一種解題方法．若我們把其中某些部分看成一個(gè)整體，用一個(gè)新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化．如：解二元一次方程組，按常規(guī)思路解方程組計(jì)算量較大．可設(shè)，，那么方程組可化為，從而將方程組簡(jiǎn)單化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可．用上面的思想方法解方程：(1)；(2)7．解下列方程：(1)；(2)．8．解方程：(1)；(2)．9．解下列方程：(1)；(2)10．解方程(1)(2)11．解下列方程：(1)（配方法）(2)12．閱讀材料：為解方程，我們可以將看作一個(gè)整體，設(shè)，則原方程可化為①，解得．當(dāng)時(shí)，，∴，∴．當(dāng)y＝4時(shí)，，，∴．故原方程的解為，，，．解答問(wèn)題：(1)上述解題過(guò)程，在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用法達(dá)到了降次的目的．(2)請(qǐng)利用以上知識(shí)解方程．13．閱讀材料：解方程時(shí)，我們可以將視為一個(gè)整體，設(shè)，則，原方程化為，解此方程，得，．當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，．∴原方程的解為，，，．以上方法就叫換元法，達(dá)到了降次轉(zhuǎn)化為一元二次方程的目的．這一過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)整體思想和轉(zhuǎn)化的思想．類(lèi)比應(yīng)用：運(yùn)用上述方法解方程：．14．定義：若一個(gè)整數(shù)能表示成（，是整數(shù)）的形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“平和數(shù)”．例如，5是“平和數(shù)”．理由：因?yàn)椋偃?，（，是整?shù)），所以也是“平和數(shù)”．解決問(wèn)題：(1)請(qǐng)你再寫(xiě)一個(gè)小于5的“平和數(shù)”_____；判斷29是否為“平和數(shù)”____（填“是”或“否”）；(2)若二次三項(xiàng)式（是整數(shù)）是“平和數(shù)”，可配方成（，為常數(shù)），則_____．(3)已知“平和數(shù)”（，是整數(shù)）的值為0，則的值為_(kāi)____；(4)已知（，是整數(shù)，是常數(shù)），要使為“平和數(shù)”，請(qǐng)寫(xiě)出符合條件的的值_____；(5)已知實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值．15．學(xué)習(xí)的本質(zhì)是自學(xué)．周末，小睿同學(xué)在復(fù)習(xí)配方法后，他對(duì)代數(shù)式進(jìn)行了配方，發(fā)現(xiàn)，小睿發(fā)現(xiàn)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即，他繼續(xù)探索，利用不等式的基本性質(zhì)得到，即，所以，他得出結(jié)論是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同學(xué)又進(jìn)行了嘗試，發(fā)現(xiàn)求一個(gè)二次三項(xiàng)式的最值可以用配方法，他自己設(shè)計(jì)了兩個(gè)題，請(qǐng)你解答．(1)求代數(shù)式的最小值．(2)求代數(shù)式的最值．16．推理能力有助于形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神．我們知道任何實(shí)數(shù)的平方一定是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即：，且．據(jù)此，我們可以得到下面的推理：∵，而∴，故有最小值，最小值是．試根據(jù)以上方法判斷代數(shù)式是否存在最大值或最小值？若有，請(qǐng)求出它的最大值或最小值．變式拓展1．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)；(2)．2．選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?1)(2)3．解方程：．4．解下列方程：(1)；(2)．5．解下列方程：(1)；(2)．6．解方程(1)(2)7．解一元二次方程：(1)(2)8．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)；(2)．9．解下列一元二次方程：(1)；(2)．10．我們知道：；，這一種方法稱(chēng)為配方法．由此可得：，，∴當(dāng)時(shí)，有最小值為；，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為25．利用以上的方法解答下列問(wèn)題：(1)填空：按上面材料提示的方法配方：_____________=_____________．(2)應(yīng)用：如圖，已知線段是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，以為一邊作正方形，再以為一組鄰邊作長(zhǎng)方形．問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)方形的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；否則請(qǐng)說(shuō)明理由．11．解下列方程：(1)；(2)；（用配方法）(3)；(4)．12．讀材料：若，求m，n的值．解：∵，∴，∴，∴，，∴，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：(1)已知，則______，______．(2)已知的三邊長(zhǎng)a，b，c都是正整數(shù)，且滿足，求c的值．13．閱讀理解：一位同學(xué)將代數(shù)式變形為，得到后分析發(fā)現(xiàn)，那么當(dāng)時(shí)，此代數(shù)式有最小值是4．請(qǐng)同學(xué)們思考以下問(wèn)題：(1)已知代數(shù)式，此代數(shù)式有最值（填“大”或“小”），且值為．(2)已知代數(shù)式，此代數(shù)式有最值（填“大”或“小”），且值為．(3)通過(guò)閱讀材料分析代數(shù)式的最值情況，寫(xiě)出詳細(xì)過(guò)程及結(jié)論．14．是一個(gè)一元四次方程．根據(jù)該方程特點(diǎn)，通常用“換元法”解方程：設(shè)，則_______，于是原方程可變?yōu)開(kāi)_______，解得，______．當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)______時(shí)，_______，______．原方程有4個(gè)根，分別是________．15．閱讀下面的材料：為解方程，我們可以將視為一個(gè)整體，然后可設(shè)，則，原方程可化為，解得，．當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，．綜上所述，原方程的解為，，，．(1)根據(jù)材料解方程：；(2)已知實(shí)數(shù)，滿足，求的值．16．轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的一種極其重要的數(shù)學(xué)思想，實(shí)質(zhì)是把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)，把未