廣西南寧市橫縣2023-2024學年高一下學期4月考試數學試題（含答案）

年南寧市橫縣高一年級下學期4月考試數學試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．滿分150分，考試用時120分鐘．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目填涂在答題卡和答題紙規(guī)定的地方．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．1．在中，角所對的邊分別為，若，則角（）A． B． C． D．2．如圖所示，中，點是線段的中點，是線段的靠近的三等分點，則（）A． B． C． D．3．已知兩個非零向量的夾角為，且，則（）A．3 B． C．2 D．4．已知為不同的平面，為不同的直線，則下列條件中一定能得到的是（）A． B．C． D．5．如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上．若，則球的體積是（）A． B． C． D．6．在正方體中，是的中點．若，則點到平面的距離為（）A． B． C． D．37．正三棱錐的底面是面積為的正三角形，高為，則其內切球的表面積為（）A． B． C． D．8．如圖，在多面體中，平面平面，且，則（）A．平面 B．平面C． D．平面平面二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得3分，錯選不得分．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．9．有下列說法，其中正確的說法為（）A．若，則B．若，則是三角形的垂心C．兩個非零向量，若，則與共線且反向D．若，則存在唯一實數使得10．在中，點滿足，過點的直線與所在的直線分別交于點，若，則下列說法正確的是（）A． B．C．為定值 D．的最小值為11．已知正方體，則（）A．直線與所成的角為B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為D．直線與平面所成的角為12．已知為坐標原點，點，，則（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．設是不共線的向量，若，三點共線，則的值為________．14．是平面內兩個不共線的向量，且，若，則實數________．15．已知是兩個不同的平面，是平面及之外的兩條不同的直線，給出四個論斷：①；②；③；④．以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：________．16．如圖，在長方形中，為的中點，為線段（端點除外）上一動點．現將沿折起，使平面平面．在平面內過點作，垂足為．設，則實數的取值范圍是________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）在中，角的對邊分別為．已知．（1）證明：．（2）若為的中點，從①，②，③這三個條件中選取兩個作為條件證明另外一個成立．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．18．（12分）已知向量的夾角為，且．（1）求；（2）當時，求實數．19．（12分）已知一圓錐的母線長為，底面半徑為．（1）求圓錐的高；（2）若圓錐內有一球與圓錐的底面及圓錐的所有母線都相切，求此球的表面積．20．（12分）如圖①，已知等邊三角形的邊長為3，點分別是邊上的點，且．如圖②，將沿折起到的位置．圖①圖②（1）求證：平面平面．（2）給出三個條件：①；②二面角的大小為的大小為；③到平面的距離為．在其中任選一個，補充在下面問題的條件中，并作答：已知________，在線段上是否存在一點，使三棱錐的體積為？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．21．（12分）如圖所示，平面平面，平面平面平面為垂足．求證：（1）平面；（2）當為的垂心時，是直角三角形．22．（12分）在我國古代數學名著《九章算術》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”．已知三棱錐中，平面．（1）從三棱錐中選擇合適的兩條棱填空．若________________，則該三棱錐為“鱉臑”．（2）已知三棱錐是一個“鱉臑”，且．（1）若上有一點，如圖①所示，試在平面內作出一條過點的直線，使得與垂直，說明作法，并給予證明；（2）若點在線段上，點在線段上，如圖②所示，且平面，證明是平面與平面的二面角的平面角．參考答案1．答案：D解析：因為，所以，所以，又，所以．故選：D．2．答案：B解析：由題意：．故選：B．3．答案：B解析：非零向量的夾角為，且，，可得，，，．故選：B．4．答案：C解析：在選項A中，，則和可能平行或相交，故A錯誤；在選項B中，，則與相交或或，故B錯誤；在選項C中，因為，所以，又，所以，故C正確；在選項D中，由，不能推出，所以由不能推出，故D錯誤．故選C．5．答案：C解析：設球的半徑為．因為正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，且點在球面上，所以底面，正方形的面積．因為，所以，解得，所以球的體積．6．答案：B解析：在正方體中，是的中點，則，．設點到平面的距離為，由，得，解得．故選B．7．答案：D解析：如圖，設為底面正三角形的中心，平面，則正三棱錐的體積．連接并延長交于，則為的中點，所以，則，所以，所以，所以正三棱錐的表面積．設內切球半徑為，則，即，解得，所以內切球的表面積為，故選D．8．答案：A解析：取的中點，連接，如圖所示．因為，且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且．因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，即．又平面平面，所以平面，選項A正確；根據已知條件無法判斷與平面平行，故選項B錯誤；沒有條件可以判斷，故選項C錯誤；沒有條件可以判斷平面與平面平行，故選項D錯誤．故選A．9．答案：BC解析：對于A，當時，與不一定共線，故A錯誤；對于B，由，得，所以，同理，故是三角形的垂心，故B正確；對于C，由共線向量的性質可知，若，則與共線且反向，故C正確；對于D，當時，顯然有，但此時不存在，故D錯誤．故選：BC．10．答案：BCD解析：如下圖所示：，即，，三點共線，則．，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為，故選：B．11．答案：ABD解析：如圖，連接，因為，所以直線與所成的角即為直線與所成的角．因為四邊形為正方形，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因為平面平面，所以．因為，所以平面．又平面，所以，故B正確；連接，設，連接，因為平面平面，所以．因為，所以平面，所以為直線與平面所成的角．設正方體棱長為1，則，所以直線與平面所成的角為，故C錯誤；因為平面，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確．故選ABD．12．答案：AC解析：方法一：對于選項A，因為，所以，則，故A正確；對于選項B，因為，所以，，當時，，故B錯誤；對于選項C，，所以，所以，故C正確；對于選項D，，，當且時，，故D錯誤．故選AC．方法二：如圖，由圖可知，故A正確；當且僅當時，成立，故B錯誤；因為，且，故C正確；，因為與不一定相等，故D錯誤．故選AC．13．答案：解析：因為是不共線的向量，所以可以作為平面內一組基底，因為，所以，因為三點共線，所以，所以，解得．故答案為：．14．答案：解析：因為，所以，使得成立，所以，即．因為不共線，所以（否則，不妨設，則，與不共線矛盾），解得．故答案為．15．答案：①③④②（或②③④①）解析：是兩個不同的平面，是平面及之外的兩條不同的直線，若①，③，則．又④②．即①③④②．若②，③，則．又④①．即②③④①．16．答案：解析：過點作于點，連接平面平面，平面平面平面平面平面，，平面平面．與折前的圖形對比，可知折前的圖形中，三點共線，且在折前的圖形中，即，．17．答案：（1）證明見解析（2）證明見解析解析：（1）已知，由余弦定理可得，即，又由正弦定理，得，角為中內角，所以．（2）中，為的中點，如圖所示，①②③已知，求證．證明：中，，解得．②①③②已知，求證．證明：，所以中，．②③①已知，求證：．證明：，在中，由余弦定理，，所以．18．答案：（1）（2）12解析：（1）由，則．（2）由題設，則．19．答案：（1）（2）解析：（1）由題意知，圓錐的高．（2）設圓錐內切球的半徑為，則，解得，所以所求球的表面積．20．答案：（1）證明見解析（2）若用條件①，存在點滿足題目條件，此時若用條件②，存在點滿足題目條件，此時點與點重合，故若用條件③，不存在滿足題目條件的點解析：（1）證明：由已知得等邊三角形中，，由余弦定理得，．又平面．又平面平面平面．（2）若用條件①，由（1）得，又和是兩條相交直線，平面．又等邊三角形的高為，，故三棱錐的體積，存在點滿足題目條件，此時．若用條件（2）二面角的大小為，由（1）得是二面角的平面角，，．又等邊三角形的高為，故三棱錐的體積，存在點滿足題目條件，此時點與點重合，故．若用條件③到平面的距離為，由題可知，等邊三角形的高為，則，則三棱錐的體積不存在滿足題目條件的點．21．答案：（1）證明見解析（2）證明見解析解析：（1）如圖，在平面內取一點，過點作于點于點．平面平面，且平面平面平面．又平面．同理可證．平面．（2）如圖，連接并延長交于點．是的垂心，．又平面平面．又平面．平面．又平面平面．又平面．平面，即是直角三角形．22．答案：（1）（2）見解析解析：（1）解析：因為平面平面，所以，，因此是兩個直角三角形．當時，顯然是直角三角形，因為平面，所以平面，而平面，所以，因此是直角三角形