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專題7.6離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征(重難點(diǎn)題型檢測(cè))

參考答案與試題解析

選擇題(共8小題,滿分24分,每小題3分)

1.(3分)(2022春?江蘇常州?高二期末)下列說法正確的是()

A.離散型隨機(jī)變量的均值是[0,1]上的一個(gè)數(shù)

B.離散型隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平

C.若離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)=2,則E(2X+1)=4

D.離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)=共

【解題思路】利用離散型隨機(jī)變量的均值的定義即可判斷選項(xiàng)AB;

結(jié)合離散型隨機(jī)變量的均值線性公式即可判斷選項(xiàng)C;

由離散型隨機(jī)變量的均值為E(X)=即可得D選項(xiàng).

【解答過程】對(duì)于人離散型隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù),不一定在[0,1]上,

故4錯(cuò)誤,

對(duì)于B,散型隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平,

故B正確,

對(duì)于C,離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)=2,

則E(2X+1)=2E(X)+1=5,

故C錯(cuò)誤,

對(duì)于D,離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)=Pi,

故D錯(cuò)誤.

故選:B.

2.(3分)(2022春.黑龍江綏化.高二期末)設(shè)f的分布列如表所示,又設(shè)〃=24+5,則E(〃)等于(

1234

1111

P

6633

7171732

A.B.D.

6633

【解題思路】根據(jù)分布列求出E(f),再根據(jù)期望的性質(zhì)計(jì)算可得.

【解答過程】解:依題意可得E(f)=1X;+2X;+3X:+4X;=¥,

66336

所以E(〃)=E(2f+5)=2E(f)+5=2x-+5=-.

63

故選:D.

3.(3分)(2023秋?河南焦作?高二期末)設(shè)隨機(jī)變量X,y滿足:y=3X-1,X?B(2,0,則。(丫)=()

A.4B.5C.6D.7

【解題思路】二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型.先利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式求出。(X),再利用方差

的性質(zhì)求解即可.

【解答過程】解:因?yàn)閄?8=(2,目,則O(X)=2x:x(l—§=£

又丫=3X-1,所以。(丫)=D(3X-1)=32£>(X)=32x^=4.

故選:A.

4.(3分)(2023?廣東廣州?統(tǒng)考二模)已知隨機(jī)變量X的分布列如下:

Pmn

若E(X)=I,則爪=()

1125

A.-B.C.-D.-

6336

【解題思路】根據(jù)期望公式及概率和為1列方程求解.

【解答過程】由己知得[a+Znnl,

解得Hl=I,

故選:B.

5.(3分)(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知隨機(jī)變量X的分布列如下表(其中。為常數(shù))

X0123

P0.20.30.4a

則下列計(jì)算結(jié)果正確的是()

A.a=0.2B.P(X>2)=0.7C.E(X)=1.4D.D(X)=6.3

【解題思路】由概率之和為1可判斷A,根據(jù)分布列計(jì)算可判斷B,C,D.

【解答過程】因?yàn)?.2+0.3+0.4+a=1,解得a=0.1,故A錯(cuò)誤;

由分布列知P(X>2)=0.4+0.1=0,5,故B錯(cuò)誤;

E(X)=0x0.2+1x0.3+2x0.4+3x0.1=1.4,故C正確;

D(X)=(0-1.4)2X0.2+(1-1.4)2x0.3+(2-1.4)2X0.4+(3-1.4)2X0,1=0.84,故D錯(cuò)誤.

故選:C.

6.(3分)(2022秋?浙江寧波?高二期中)設(shè)0<a<京隨機(jī)變量X的分布列是:

X-112

11aa

P----Q—1—

2222

則當(dāng)。(X)最大時(shí)的a的值是A.;B.卷C.1D.5

416525

【解題思路】先求得E(X)=",E(X2)=1+|,得到D(X)=E(X2)-E2(X)=1+"-竽,結(jié)合二次函

2224

數(shù)的性質(zhì),即可求解.

【解答過程】根據(jù)隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算公式,

可得E(X)=—1x-a)+1x(|+^)+2x

又由E(X2)=lx(|-a)+lxC+》+22x^=l+|a

可得D(X)=E(X2)_E2(X)=1+聲一等=..(a-農(nóng)產(chǎn)+黑,

因?yàn)?<a</所以當(dāng)D(X)最大時(shí)的a的值為套

故選:D.

7.(3分)(2023秋.上海.高二期末)已知0<p</隨機(jī)變量f、4相互獨(dú)立,隨機(jī)變量f的分布為I

4的分布為{1二,;},則當(dāng)p在(0弓)內(nèi)增大時(shí)()

A.£(§+〃)減小,£)&+〃)增大B.E(f+〃)減小,+減小

C.E(f+〃)增大,D(f+〃)增大D.E(f+〃)增大,D(f+〃)減小

【解題思路】利用數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)直接求解.

【解答過程】由題意可得:F(f)-(-1)x|+1x|=E(〃)=(一1)x(1-p)+1xp=2p-1,

所以E(f+〃)=E(f)+E(〃)=-1+2p-l=2p-1.

所以當(dāng)p在(0,)內(nèi)增大時(shí),E隹+m增大.

D(f)=(-1+|)x|+(1+Jx|=^;D(j]')=(-2p)2x(1-p)+(2—2P¥xp=4p-4p2.

2

所以。(f+??)=4p—4P2+:=+y.

所以當(dāng)p在(0,)內(nèi)增大時(shí),D(f+〃)增大.

故選:C.

8.(3分)(2022秋?浙江?高三開學(xué)考試)互不相等的正實(shí)數(shù)旳,如萬3,%46{1,2,3,4},如,看2,看3,%4是%1,%2,%3,*4

X=max(min{x,x},min{x;,%i)}

的任意順序排列,設(shè)隨機(jī)變量X,y滿足:ili234則(

Y=min{max{xj1,xi2},max{xi3,xi4}^

A.E(X)<E(Y),D(X)>D(Y)B.E(X)>E(y),D(X)>D(Y)

C.E(X)<E(y),D(X)=D(K)D.E(X)>E(y),D(X)=D(y)

【解題思路】根據(jù)題意,分{K1,久2}={1,2}或{3,4},{%1*2}={1,3}或{2,4},{/,右}={1,4}或{2,3},得到

x,y的分布列求解.

X=max{min{x,x],min{x,x}]

【解答過程】解:因?yàn)殡S機(jī)變量x,y滿足:ili2i3i4

Y-min[max{xil,Xt2},max{勾3,々4}}'

所以當(dāng){%1,%2}={1,2}或{3,4}時(shí),X=3,y=2;

當(dāng)3,町}={1,3}或{2,4}時(shí),X=2,丫=3;

當(dāng){/,電}={L4}或{2,3}時(shí),X=2,Y=3;

所以x,y的分布列為:

X23

21

P

33

Y23

12

P

33

所以E(X)=2x|+3xq=|,E(y)=2x/3x|號(hào),

D(X)=|x(2-|)2+|x(3-|)2=I,D(Y)*x(2—J+|*(3_/彗,

所以E(X)<E(Y),D(X)=D(Y),

故選:c.

二.多選題(共4小題,滿分16分,每小題4分)

9.(4分)(2022春?山西呂梁?高二期中)已知隨機(jī)變量X滿足E(X)=-4,D(X)=5,下列說法正確的是

()

A.E(l—X)=-5B.E(l—X)=5

C.D(1-X)=5D.D(1-X)=-5

【解題思路】根據(jù)平均數(shù)和方差的知識(shí)求得正確答案.

【解答過程】依題意,E(X)=-4,D(X)=5,

所以E(1-X)=1-E(X)=1-(-4)=5,

D(1—X)=(-1)2xD(X)=5.

故選:BC.

10.(4分)(2022春?黑龍江七臺(tái)河?高二期中)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,其中P(X=0)=;,E(X),D(X)

4

分別為隨機(jī)變量X的均值與方差,則下列結(jié)論正確的是()

A.P(X=1)=E(X)B.E(4X+1)=4

?2

C.D(X)=VD.D(4X+1)=4

【解題思路】首先寫出兩點(diǎn)分布,再根據(jù)期望和方差公式求E(X),O(X),再根據(jù)E(4X+1)=4E(X)+1,

D(4X+1)=42。(X),計(jì)算期望和方差.

【解答過程】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,且P(X=0)=;,所以P(X=1)=

44

£(X)=0xi+lx|=p所以P(X=1)=E(X),故A正確;

E(4X+l)=4E(X)+l=4x三+1=4,故B正確;

4

£>(X)=(0-1)2Xi+(1-1)2X故C正確;

D(4X+l)=42D(X)=16x—=3,故D不正確.

16

故選:ABC.

11.(4分)(2022.高二課時(shí)練習(xí))設(shè)ae(0,9,隨機(jī)變量X的分布列如表所示,隨機(jī)變量丫=3X+2,則

當(dāng)a在(0彳)上增大時(shí),下列關(guān)于E(y)、D(y)的表述正確的是()

X-2-10

P2bb—aa

A.E(Y)增大

B.E(Y)先減小后增大

c.。(丫)先增大后減小

D.。(丫)增大

【解題思路】根據(jù)分布列的性質(zhì)求b,再由期望和方差公式求E(X),D(X),再由期望和方差的性質(zhì)求

E(y),D(y),再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定E(y),。(丫)的單調(diào)性.

【解答過程】":2b+b-a+a=3b=l,--b=^,

E(X)=(-2)X—+(-1)x―a)+0xu=a—-,

故。(X)=(-2-a+1)x|+(-1-a+|)x(:—a)+(0—a+1)xa,

所以D(X)=-Gt2+<2+

又=3X+2,

E(Y)=3E(X)+2=3a—3,

所以當(dāng)a在(0,J上增大時(shí),E(K)增大,

D(Y)=9D(X)=-9a2+21a+2,

函數(shù)y=-9a2+21a+2在(—8,J上單調(diào)遞增,

.?.當(dāng)a在(0,£)上增大時(shí),。(丫)增大,

故選:AD.

12.(4分)(2022春.廣東潮州?高二期中)2022年世界田聯(lián)半程馬拉松錦標(biāo)賽,是揚(yáng)州首次承辦高規(guī)格、

大規(guī)模的國(guó)際體育賽事.運(yùn)動(dòng)會(huì)組織委員會(huì)欲從4名男志愿者、3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊(duì)

的隊(duì)長(zhǎng),下列說法正確的有()

A.設(shè)“抽取的3人中恰有1名女志愿者”為事件A,則p(a)=,

B.設(shè)“抽取的3人中至少有1名男志愿者”為事件8,則P(B)=卷

C.用X表示抽取的3人中女志愿者的人數(shù),則E(X)=y

D.用丫表示抽取的3人中男志愿者的人數(shù),則。(丫)=爲(wèi)

【解題思路】理解題意,利用超幾何分布,求概率,求期望,求方差即可.

【解答過程】對(duì)于A:從7名志愿者中抽取3人,所有可能的情況有C;=35(種),其中恰有1名女志愿

者的情況有CK:=18(種),故PQ4)=萼=!|,故A錯(cuò)誤;

35

對(duì)于B:P⑻=盤。嗎產(chǎn)+盤=吧,故B正確;

C735

對(duì)于C:由題意知X的可能取值為0,1,2,3,貝UP(X=0)=昌=2,P(x=l)=1f,P(X=2)=魯

3535。735

P(x=3)=鳥=—,

'丿@35

所以E(X)=0x4+lx—+2xi|+3x—=-,故C錯(cuò)誤.

353535357

對(duì)于D:由題可知y的可能取值為0,1,2,3,貝!Jp(y=0)=P(x=3)=親p(y=1)=P(x=2)=!|,

P(Y=2)=P(X=1)=弟P(Y=3)=P(X=0)=親

則E(y2)=0x—+lx—+4x—+9x—=—,

'丿353535357

E(y)=0X—+1X—+2X—+3X—,

'丿353535357

則D(y)=EU)一=g一(半了=笫故口正確

故選:BD.

三.填空題(共4小題,滿分16分,每小題4分)

13.(4分)(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,且P(X=1)=0.4,設(shè)f=2X-3,

那么E⑹=-2.2.

【解題思路】先求出E(X),再由隨機(jī)變量的線性關(guān)系的期望性質(zhì),即可求解.

【解答過程】E(X)=1x0.4+0x(1-0.4)=0.4,E(f)=2E(X)-3=-2.2

故答案為:-22

14.(4分)(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)隨機(jī)變量X的分布列如表所示,若E(X)=扌貝|D(3X-2)=5.

X-101

1

Pab

6

【解題思路】利用離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),列出方程組,求出Q,b,由此能求出方差,

再根據(jù)方差的性質(zhì)計(jì)算可得.

a+6+-=1(a=-

【解答過程】依題意可得彳161,解得{:,

—lx-+Oxa+lxh=-

I63Ib=-2

所以。(*)=(一1-32*3+(。一§2*1+(1一1)2*3=,

所以。(3X-2)=32D(X)=9x|=5.

故答案為:5.

15.(4分)(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))袋中有1個(gè)白球,2個(gè)黃球,2個(gè)紅球,這5個(gè)小球除顏色外完全

相同,每次不放回地從中取出1個(gè)球,取出白球即停,記X為取出的球中黃球數(shù)與紅球數(shù)之差,則E(X)=

0.

【解題思路】按照取出的球的順序羅列出X=0,X=-1;X=1,X=-2-X=2五種可能取值,針對(duì)每一種取

值分別求概率即可得出結(jié)論.

【解答過程】P(X=0)=|+|x|x|x2+fxix|xix6=^,

5543543215

n?\?.、21,212131

P(X=1)=P(X=-1)=—x—I—X—X—X—x3=一,

'’'丿5454325

7111

m=2)=P(X=-2)=-x-x-=-1

mx)=0xA+lxl+(_1)x|+2x±+(-2)x±=0.

故答案為:0.

16.(4分)(2022.高二單元測(cè)試)已知A,8兩個(gè)不透明的盒中各有形狀、大小都相同的紅球、白球若干

個(gè),A盒中有m(0<m<10)個(gè)紅球與10-m個(gè)白球,8盒中有10-6個(gè)紅球與機(jī)個(gè)白球,若從A,8兩盒

中各取1個(gè)球,f表示所取的2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù),則當(dāng)。記)取到最大值時(shí),m的值為5.

【解題思路】寫出隨機(jī)變量§的可能取值,求出對(duì)應(yīng)概率,再根據(jù)期望和方差公式求出期望與方差,從而可

得出答案.

【解答過程】解:f的可能取值為0,1,2,

?n(10-7n)

P&=0)=S10-m

10100

10-m10-mmm(10-m)2+m2

P(f=1)-------1----一

10101010100

10-mm_

P(f=2)1010—100

所以f的分布列為

012

m(10—m)(10—m)2+m2m(10—m)

p

100100100

(

E(f)=01X10-*2+加+2>2rL^2=1,

5,100100100

,、、m(10-m),(10-m)24-m2,m(10-m)

D(f)=(0-l)2x…―-+(1-I)2x---------7---------+(2—l)2X[八--

屮i丿100i丿100100

=小加4/、(號(hào)%)2=|,當(dāng)且僅當(dāng)6=5時(shí),等號(hào)成立,

所以當(dāng)D(f)取到最大值時(shí),機(jī)的值為5.

故答案為:5.

四.解答題(共6小題,滿分44分)

17.(6分)(2022春?遼寧撫順?高二期末)已知隨機(jī)變量X的分布列為

X-2-1012

1111

Pm

43520

(1)求E(X)

(2)若y=2X-3,求E(Y);

【解題思路】(1)由分布列求出m的值,再根據(jù)隨機(jī)變量X期望公式可得答案;

(2)由E(y=ax+6)=aE(X)+b可得答案.

【解答過程】(1)由分布列得;+;+;+巾+2=1,解得爪=3

43520o

L八八一1-1,八1.117

E(X)=-2x--lx-+0x-+wlx-+2x—=——;

'丿43562030

(2)若y=2X-3,

則E(y)=2E(X)-3=2X(-粉—3=—If.

18.(6分)(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))己知隨機(jī)變量X的分布列如表所示,且E(X)=|.

X01X

11

PP

23

⑴求。(X)的值;

(2)若y=X+4,求。(匕)的值;

(3)若Z=2-3X,求D(Z)的值.

【解題思路】(1)利用離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)以及期望和方差的計(jì)算公式即可求解;

(2)利用方差的性質(zhì)求解即可;

(3)利用方差的性質(zhì)求解即可.

【解答過程】(1)

由題意可知;+:+p=1,解得p=g

236

又?.?E(X)=0XL+1XN+XX2=2,解得X=2.

2363

.-.D(X)=(0-|)Zxl+(l-|)2x|+(2-|)Zxi=|.

(2)

=x+4,

.?.D(y)=D(x)=|.

(3)

":Z=2-3X,

;.O(Z)=D(2-3X)=9D(X)=9x|=5.

19.(8分)(2023春?浙江?高三開學(xué)考試)第二十二屆世界足球賽于2022年H月21日在卡塔爾舉行,

是歷史上首次在中東國(guó)家境內(nèi)舉行,也是第二次再亞洲舉行的世界杯足球賽,在此火熱氛圍中,某商場(chǎng)設(shè)

計(jì)了一款足球游戲:場(chǎng)地上共有大、小2個(gè)球門,大門和小門依次射門,射進(jìn)大門后才能進(jìn)行小門射球,

兩次均進(jìn)球后可得到一個(gè)世界杯吉祥物“拉伊卜”.已知甲、乙、丙3位顧客射進(jìn)大門的概率均%射進(jìn)小

門的概率依次為|,p3假設(shè)各次進(jìn)球與否互不影響.

(1)求這3人中至少有2人射進(jìn)大門的概率;

(2)記這3人中得到“拉伊卜”的人數(shù)為X,求X的分布列及期望.

【解題思路】(1)根據(jù)二項(xiàng)分布求概率公式計(jì)算即可求解;

(2)分別求出甲和乙、丙獲得“拉伊卜''的概率,再求出P(X=O)、P(X=1)、P(X=2)、P(X=3),列岀分

布列,結(jié)合數(shù)學(xué)期望的求法即可求解.

【解答過程】(1)設(shè)三人中射進(jìn)大門的人數(shù)為匕則丫?

???P(.Y22)=P(Y=2)+P(K=3)=第(J)?]+(1=||;

(2)甲獲得“拉伊卜”的概率由=,|=%

乙、丙獲得“拉伊卜”的概率P2=9;=;

434

P(X=0)=(l-|)-(l-i)2=^

,尸(X=1)=9(1書+(1-)?].(1-3=11

P(X=2)=?H1_3+(1_1),G)=9

P(X=3)=X?2=B

X的分布列如下:

X0123

91571

P

32323232

g1671

.?.EW=0.-+l--+2.-+3--=l.

20.(8分)(2022秋?上海浦東新?高三階段練習(xí))某種水果按照果徑大小可分為四類:標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、

精品果、禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機(jī)抽取100個(gè),利用水果的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下:

等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果

個(gè)數(shù)10304020

(1)若將頻率視為概率,從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取5個(gè),求恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率(結(jié)

果用分?jǐn)?shù)表示);

(2)用樣本估計(jì)總體,果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考,

方案1:不分類賣出,單價(jià)為21元/kg;

方案2:分類賣出,分類后的水果售價(jià)如下:

等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果

售價(jià)(元/kg)16182224

從采購商的角度考慮,應(yīng)該采用哪種方案?

(3)用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè),再從抽取的10個(gè)水果中隨機(jī)抽取3個(gè),X表示抽取的是

精品果的數(shù)量,求X的分布列及方差。(X).

【解題思路】(1)根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)分布運(yùn)算求解;

(2)根據(jù)加權(quán)平均數(shù)求方案二的平均單價(jià),結(jié)合題意分析判斷;

(3)先根據(jù)分層抽樣求各層應(yīng)抽取的樣本個(gè)數(shù),再結(jié)合超幾何分布求分布列和方差.

【解答過程】(1)記“從這100個(gè)水果中隨機(jī)抽取1個(gè),這個(gè)水果是禮品果”為事件A,則P(4)=蕓=3

從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取5個(gè),設(shè)禮品果的個(gè)數(shù)為匕貝什?

故恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率P&=2)=xx(l-=|||.

(2)方案2:每公斤的單價(jià)為元=16x蕓+18x蓋+22x蕓+20x磊=20.6(元),

V21>20.6,故從采購商的角度考慮,應(yīng)該采用第二種方案.

(3)用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè),則標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果應(yīng)抽取的個(gè)數(shù)

分別為1,3,4,2,即4個(gè)精品果,6個(gè)非精品果,

由題意可得:X的可能取值有:0,1,2,3,則有:

P(X=0)=尋=,P(X=1)=等="(X=2)=等=S,P(X=3)=m=表,

Cio6Jo2<-io1。Jo30

X的分布列如下:

X0123

131

P1

621030

則E(X)=0x/lx|+2x》3x點(diǎn).

2222

P(X)=(0-|)xi+(l-|)x|+(2-gx^+(3-|)x^=j|.

21.(8分)(2022春?湖北?高二期中)某知名電腦品牌為了解客戶對(duì)其旗下的三種型號(hào)電腦的滿意情況,

隨機(jī)抽取了一些客戶進(jìn)行回訪,調(diào)查結(jié)果如表:

電腦型號(hào)IIIIII

回訪客戶(人數(shù))250400350

滿意度0.50.40.6

滿意度是指,回訪客戶中,滿意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值用滿意度來估計(jì)每種型號(hào)電腦客戶對(duì)該型號(hào)電腦滿意

的概率,且假設(shè)客戶是否滿意相互獨(dú)立.

(1)從型號(hào)I和型號(hào)II電腦的所有客戶中各隨機(jī)抽取1人,記其中滿意的人數(shù)為X,求X的分布列和期望;

(2)用“厶=1”,“厶=1“,"3=1”分別表示I,II,III型號(hào)電腦讓客戶滿意,"1=0“,"2=0",*3=0”

分別表示I,n,III型號(hào)電腦讓客戶不滿意,比較三個(gè)方差D(fi)、。記2)、。管3)的大小關(guān)系.

【解題思路】(1)由題意得X的可能取值為0,1,2,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出X的分布列和數(shù)

學(xué)期望.

(2)由題意口,厶,厶都服從兩點(diǎn)分布,由此能求出。(無)>。(厶)=。管3).

【解答過程】解:(1)由題意得X的可能取值為0,1,2,

設(shè)事件A為“從型號(hào)I電腦所有客戶中隨機(jī)抽取的人滿意”,

事件B為“從型號(hào)II電腦所有客戶中隨機(jī)抽取的人滿意”,且A,2為獨(dú)立事件,

根據(jù)題意,PQ4)=P(B)=|,

PCX=0)=P(AB)=P(A)P(B)=(1-0X(1-|)=A

P(x=l)=p(aM+M)=p(a萬)+P(而)=^X(1—1)+(1—3x|=5

-171

P(X=2)=P(AB)=P(4)P⑻=:xL,

;.X的分布列為:

X012

311

P

1025

E(X)=0x-+lx-+2x-=-.

'丿102510

(2)由題意fi,42,天3都服從兩點(diǎn)分布,

則=(x(i_y=1,

Da)=|x(l—|)6

25’

6

W3)=|x(l-|)

25

?"?)>鞏厶)=*?

22.(8分)(2022春?江蘇宿遷?高二期末)在做數(shù)學(xué)卷多選題時(shí)考生通常有以下兩種策略:

策略A:為避免有選錯(cuò)得。分,在四個(gè)選項(xiàng)中只選出一個(gè)自己最有把握的選項(xiàng),將多選題當(dāng)作“單選題”來做,

選對(duì)得2分;

策略8:爭(zhēng)取得5分,選出自己認(rèn)為正確的全部選項(xiàng),漏選得2分,全部選對(duì)得5分.

本次期末考試前,某同學(xué)通過模擬訓(xùn)練得出其在兩種策略下作完成下面小題的情況如下表:

概率

策略每題耗時(shí)(分鐘)

第H題第12題

A選對(duì)選項(xiàng)0.80.53

部分選對(duì)0.60.2

B6

全部選對(duì)0.30.7

已知該同學(xué)作答兩題的狀態(tài)互不影響,但這兩題總耗時(shí)若超過10分鐘,其它題目會(huì)因?yàn)闀r(shí)間緊張而少得1

分.根據(jù)以上經(jīng)驗(yàn)解答下列問題:

(1)若該同學(xué)此次考試決定用以下方案:第11題采用策略B,第12題采用策略A,設(shè)他這兩題得分之和為X,

求X的分布列、均值及方差;

(2)若該同學(xué)期望得到高分,請(qǐng)你替他設(shè)計(jì)答題方案.

【解題思路】(1)先求出隨機(jī)變量X的可能取值,然后求出其對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列,即可求岀數(shù)學(xué)期

望與方差;

(2)依題意列出所有可能情況,分別求出數(shù)學(xué)期望,即可判斷;

【解答過程】(1)

解:設(shè)事件當(dāng)為“第11題得0分”,事件為為“第

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