2023-2024學年廣西北京大學南寧附屬實驗學校九年級（上）入學數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年廣西北京大學南寧附屬實驗學校九年級（上）入

學數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共12小題，共48.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.2%+1=0B.%2—3x+1=0C.x2+y=1D.或-1=2

2.一元二次方程2/一：工一3=0的一次項系數(shù)是（）

A.2B.1C.D.-3

3.已知關于x的一元二次方程久2一2工+￡12-9=0的一個根是0,則a的值是（）

A.4B.3C.-3D.3或一3

4.一元二次方程/+3%+7=0的根的情況是（）

A.無實數(shù)根B.有一個實根

C.有兩個相等的實數(shù)根D.有兩個不相等的實數(shù)根

5.若y=（m—2）刀―-2—%+1是二次函數(shù)，則m的值是（）

A.4B.2C.-2D.-2或2

6.將拋物線y=3/先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的表達式為（）

A.y=3（x—l）2+2B.y=3（x+l）2—2

C.y=3(%+1)2+2D.y=3(x-l)2-2

7.對于二次函數(shù)y=。-1）2+2的圖象，下列說法正確的是（）

A.開口向下B.對稱軸是x=1

C.頂點坐標是（一1,2）D.當％21時，y隨x增大而減小

8.三國時期的數(shù)學家趙爽在其所著的兩股圓方圖注》中記載

了一元二次方程的幾何角法，例如可構造如圖所示的圖形求解方

程x（x+2）=15,這一過程體現(xiàn)的數(shù)學思想（）

A.統(tǒng)計思想B.化歸思想C.分類討論思想D.數(shù)形結合思想

9.如表是二次函數(shù)y=a/+bx-5的自變量x與函數(shù)值y的部分對應值，那么方程a/+

法-5=0的一個根的取值范圍是（）

Xii.i1.21.31.4

y-i-0.490.040.591.16

A.1.1?1.2B.1?1.1C.1.2?1.3D.1.3?1.4

10.在同一坐標系中，一次函數(shù)y=-mx+1與二次函數(shù)y=/+ni的圖象可能是（）

11.函數(shù)y=一+2萬一3（-2WxW2）的最大值和最小值分別是（）

A.4和一3B.—3和一4C.5和一4D.—1和一4

12.二次函數(shù)丫=a/+bx的圖象如圖所示，當一l<x<

m時，y隨x的增大而增大，則小的取值范圍是（）

A.m>1B

B.-1<m<1

C.m>0D

D.-1<m<2

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

13.請寫出一個開口向上，并且對稱軸為直線x=1的拋物線的表達式y(tǒng)=

14.若二次函數(shù)y=/一2%+%的圖象與％軸只有一個公共點，則/c=

15.已知點在拋物線y=-37+2上，貝肛的值為

16.如圖，拋物線y=a/+bx與直線y=?nx+ri相交于點

4（—3,—6）,F（l,—2）,則關于x的不等式a7+bx>mx+n的解

集為.

17.某商品的進價為每件40元，當售價為每件60元時，每星期可賣出200件，現(xiàn)需降價處理，

且經市場調查發(fā)現(xiàn)：每降價1元，每星期可多賣出8件，店里每周利潤要達到8450元，若設店

主把該商品每件售價降低x元，則可列方程為.

18.如圖，在A/WC中，Z.C=90°,AB=10cm,BC=8cm,C

點P從點4沿4C向點C以lcm/s的速度運動，同時點Q從點C沿/

CB向點B以2cm/s的速度運動(點Q運動到點B停止)，在運動過

程中，四邊形PABQ的面積最小值為cm2.AB

三、解答題(本大題共3小題，共34.()分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

19.(本小題12.0分)

解下列方程：

(l)x2+2x-3=0：

(2)x(x—4)=3(x—4).

20.(本小題10.0分)

某公園修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安裝一個可調節(jié)角

度的噴水頭，從噴水頭噴出的水柱形狀是一條拋物線.建立如圖所示的平面直角坐標系，拋物

線形水柱的豎直高度y(單位：m)與到池中心的水平距離x(單位：m)滿足的關系式近似為y=

a(x-h)2+k(a<0).

(1)在某次安裝調試過程中，測得x與y的部分對應值如下表：

水平距離x/m00.511.522.53

豎直高度y/m2.252.812532.81252.251.31250

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，解答下列問題：

①水管的長度是m；

②求出y與x滿足的函數(shù)解析式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a<0)；

(2)安裝工人在上述基礎上進行了下面兩種調試：

①不改變噴水頭的角度，將水管長度增加1m,水柱落地時與池中心的距離為心；

②不改變水管的長度，調節(jié)噴水頭的角度，使得水柱滿足y=-0.6(x-1.5)2+3.6,水柱落

地時與池中心的距離為弓2.

則比較心與d2的大小關系是:&d?(填或"="或"<”)

21.（本小題12.0分）

已知兩個函數(shù)，如果對于任意的自變量力這兩個函數(shù)對應的函數(shù)值記為力,外，都有點（％yi）、

（%，、2）關于點（居％）對稱，則稱這兩個函數(shù)為關于y=尢的對稱函數(shù)，例如，%=和無=?%

為關于y=%的對稱函數(shù).

（1）判斷：①yi=3%和丫2=一%；②%=久+1和%=x—1；③yi=x2+1和刈=——1,

其中為關于y=%的對稱函數(shù)的是（填序號）；

（2）若y[=3x+2和丫2=依+b（k豐0）為關于y=%的對稱函數(shù),求A、b的值.

（3）若yi=Q/+人工+C（Q。0）和丫2=/+ri為關于y=%的對稱函數(shù)，令卬=丫2-丫1，當函

數(shù)w與函數(shù)y=x（0<%<2）有且只有一個交點時，求九的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4、2x+l=0,不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

B、尤2-3%+1=0,是一元二次方程，故本選項符合題意；

C、x2+y=l,不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

。、點—1=2,不是一元二次方程，故本選項不符合題意.

故選：B.

根據(jù)一元二次方程的定義，逐項判斷即可求解.

本題考查了一元二次方程的定義，屬于基礎概念題型，只含有一個未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項的

最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程，熟知一元二次方程的概念是解題關鍵.

2.【答案】C

【解析】解：一元二次方程2/-：“-3=0的一次項系數(shù)是一：，

故選：C.

根據(jù)一元二次方程的一般形式，即可解答.

本題考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟練掌握和運用一元二次方程的一般形式及其概

念是解決本題的關鍵.

3.【答案】D

【解析】解：把x=0代入方程/-2x+a?-9=0得：a2-9=0,

???a=+3.

故選：D.

把x=0代入方程%2-2x+a2-9=0得到一個關于a的方程，求出方程的解即可.

本題主要考查對一元二次方程的解，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，能得到方程a?-9=

0是解此題的關鍵.

4.【答案】A

【解析】解：???4=32-4x1x7=-19<0,

.??方程無實數(shù)根.

故選：A.

先計算出根的判別式的值，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷根的情況即可.

2

本題考查了根的判別式：一元二次方程a/+bx+c=O(a^0)的根與A=b-4ac有如下關系：

當A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當4=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當4<0時，方

程無實數(shù)根.

5.【答案】C

【解析】解：Ty=(7n-2)x是關于x的二次函數(shù)，

??m2—2=2,且m—240,

???m=-2.

故選：C.

利用二次函數(shù)定義可得：m2一2=2,且m-2力0,再計算出小的值即可.

本題主要考查了二次函數(shù)定義，關鍵是掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a40)的函數(shù)，

叫做二次函數(shù).

6.【答案】B

【解析】解：將拋物線y=3/先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的表達式為：

y=3(x+l)2—2.

故選：B.

直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可.

本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關鍵.

7.【答案】B

【解析】解：；y=(x-1)2+2,

拋物線開口向上，故A不正確；

對稱軸為直線x=l,故B正確；

頂點坐標為(L2),故C不正確；

對稱軸為直線x=l,當x21時，y隨x的增大而增大，故。不正確.

故選:B.

由拋物線表達式可求得其開口方向、對稱軸、頂點坐標、及增減性，則可判斷四個選項，可求得

答案.

本題主要考查二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關鍵，即在y=a(x-h)2+k(a*

0)中，對稱軸為直線％=九，頂點坐標為(h,k).

8.【答案】D

【解析】解：這種構造圖形解一元二次方程的方法體現(xiàn)的數(shù)學思想是數(shù)形結合思想.

故選：D.

根據(jù)構圖的方法解方程，體現(xiàn)數(shù)形結合思想.

此題主要考查了一元二次方程的應用，正確掌握數(shù)學思想方法是解題關鍵.

9【答案】A

【解析】解：1?,x=1.1時，y=ax2+bx—5=—0.49；x=1.2時，y=ax2+bx-5=0.04；

.??拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點在(1.1,0)和點(1.2,0)之間，

二方程ax?+bx+c=0有一個根在1.1?1.2之間.

故選:A.

觀察表中數(shù)據(jù)得到拋物線y=ax2+bx-5與x軸的一個交點在(1.1,0)和點(1.2,0)之間，根據(jù)拋物

線與x軸的交點問題可得到方程a/+bx-5=0一個根的取值范圍.

本題考查了用圖象法求一元二次方程的近似根，解題的關鍵是找到y(tǒng)由正變?yōu)樨摃r，自變量的取值

即可.

10.【答案】D

【解析】解：???二次函數(shù)為、=/+皿，

???a=1>0,

???二次函數(shù)的開口方向向上，

排除C選項.

???一次函數(shù)y=-mx+1,

???b=1>0,

???一次函數(shù)經過y軸正半軸，

???排除4選項.

當m>0時，則—m<0,

一次函數(shù)經過一、二、四象限，

二次函數(shù)y=x2+m經過y軸正半軸，

???排除B選項.

當m<0時，則一m>0

一次函數(shù)經過一、二、三象限，

二次函數(shù)y=x2+m經過y軸負半軸，

選項符合題意.

故選：D.

根據(jù)一次函數(shù)的b=1和二次函數(shù)的a=1即可判斷出二次函數(shù)的開口方向和一次函數(shù)經過y軸正

半軸，從而排除4和C,分情況探討M的情況，即可求出答案.

本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象性質，解題的關鍵在于熟練掌握圖象性質中系數(shù)大小與圖

象的關系.

11.【答案】C

【解析】解：ry=/+2x-3(—24xW2),

?1?y=(x+I)2—4,

???拋物線的對稱軸為x=-1,x=-1時y有最小值-4,

???—2<x<2,

???x=2時，y=5是最大值.

???函數(shù)的最大值為5,最小值為-4.

故選：C.

先將解析式化為頂點式就可以求出最小值，再根據(jù)對稱軸在其取值范圍內就可以求出最大值.

本題是一道有關二次函數(shù)圖象性質的題，考查了二次函數(shù)的頂點式和二次函數(shù)的最值的運用.

12.【答案】B

【解析】解：由圖象可知，拋物線開口向下，對稱軸為x=l,

.,.當x<1時，y隨X的增大而增大，

又...當一1<x<m時，y隨x的增大而增大，

—1<m<1,

故選:B.

結合函數(shù)圖象和函數(shù)的性質進行判斷即可.

本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，利用數(shù)形結合的思想和函數(shù)的性質是解題關鍵.

13.【答案】(X-1)2(答案不唯一)

【解析】解：由題意可設y=a(x-h)2+k,

?拋物線的開口向上，并且對稱軸為直線x=1,

a>0,/i=1,

可令a-1,k=0,

符合的表達式是y=(%-I)2,

故答案為：(%-1)2(答案不唯一).

此題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要寫出一個符合的即可.

本題考查了用頂點式求二次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的性質，能熟記二次函數(shù)中頂點式的性質是

解此題的關鍵.

14.【答案】1

【解析】解：令-2x+k=0,

???拋物線與無軸只有一個交點，

4=(一2/一4k=0,

解得上=1，

故答案為：1.

令/-2x+k=0,求Z=0時k的值.

本題考查二次函數(shù)的性質，解題關鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

15.【答案】-1

【解析】解：因為點A在拋物線y=-3/+2的圖象上，

所以一3x(-1)2+2=t.

得t=-3+2=-1.

故答案為：-1.

將4點坐標代入y=-3x2+2,計算即可.

本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，將點的坐標代入后的正確計算是解題的關鍵.

16.【答案】一3<x<1

【解析】解：拋物線y=a/+與直線y=巾X+幾相交于點4(-3,-6),B(l,-2),

二關于x的不等式a/+bx>mx+n的解集為一3<x<1,

故答案為：—3<x<1.

根據(jù)4、8兩點的橫坐標和函數(shù)的圖象得出不等式的解集即可.

本題考查了二次函數(shù)與不等式，二次函數(shù)的圖象和性質等知識點，能根據(jù)交點的坐標得出不等式

的解集是解此題的關鍵.

17.【答案】(20-x)(200+8x)=8450

【解析】解：當?shù)曛靼言撋唐访考蹆r降低x元時，每件的銷售利潤為60-刀-40=(20-%)元，

每星期可賣出(200+8x)件，

根據(jù)題意得:(20-x)(200+8x)=8450.

故答案為：(20-x)(200+8x)=8450.

當?shù)曛靼言撋唐访考蹆r降低x元時，每件的銷售利潤為60-x-40=(20-x)元，每星期可賣

出(200+8x)件，利用每星期的銷售總利潤=每件的銷售利潤x每星期的銷售量，即可得出關于久的

一元二次方程，此題得解.

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關

鍵.

18.【答案】15

【解析】解：在RtA/lBC中，ZC=90°,AB=10cm,BC=8cm,

AC=VAB2-BC2=6cm.

設運動時間為t(0<t<4),則PC=(6-t)cm,CQ=2tcm,

*S四邊形PABQ=SMBC.SMPQ=^AC-BC~^PC-CQ=|x6x8-^(6-t)x2t=t2-6t+

24=(t-3)2+15,

二當t=3時，四邊形PABQ的面積取最小值，最小值為15.

故答案為15.

在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出4c=6cm,設運動時間為ts(0<t<4),則PC=(6-t)cm,

CQ=2tcm,利用分割圖形求面積法可得出S四邊癖.BQ=t?-6t+24,利用配方法即可求出四邊

形PABQ的面積最小值，此題得解.

本題考查了二次函數(shù)的最值以及勾股定理，利用分割圖形求面積法找出S四形PA%=t2-6t+24

是解題的關鍵.

19.【答案】解：(1)/+2x—3=0,

(%+3)(%-1)=0,

%4-3=0或％-1=0,

——3,%2=1.

(2)x(%—4)=3(%—4),

x(x—4)—3(%—4)=0,

(%—4)(%—3)=0,

%—4=0或％-3=0,

%1=4,%2=3.

【解析】(1)利用解一元二次方程-因式分解法，進行計算即可解答；

(2)利用解一元二次方程-因式分解法，進行計算即可解答.

本題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握解一元二次方程-因式分解法是解題的關鍵.

20.【答案】2.25<

【解析】解：(1)①當％=0時，y=2.25,

.,?水管的長度是2.25m；

故答案為：2.25；

②把x=0,y=2.25；x=1,y=3；x=3,y=0,分別代入y=a(x—九/+k,得：

(ah2+k=2.25

{a(l—h)2+k=3,

1a(3—h)2+k=0

a=-0.75

解得：、h=1,

k=3

2

y=-0.75(x-l)+3；

(2)①?.?不改變噴水頭的角度，將水管長度增加1m,

y=-0.75(x-I)2+3向上平移1個單位，

???平移后的解析式為y=-0.75(%一1尸+3+1,即丁=-0.75(%-I)2+4,

當y=0時,-0.75(x-I)2+4=0,

解得X1=g+1,%2=—+1(不合題意，舍去)，

???皂=V-3+1a3.31；

對于y=-0.6(x—1.5)2+3.6,

當y=0時，-0.6(%-1.5)2+3.6=0,

解得：X[=7~石+1,5,犯=—，%+1-5(不合題意，舍去),

-

d2=A/6+1.5~3.95,

**,d]Vd?,

故答案為：<.

(1)①根據(jù)當％=0時，y=2.25即可求解；

②根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

(2)先求出調試①的拋物線解