2023-2024學年上海市高二年級上冊期中數(shù)學模擬試題（含答案）

2023-2024學年上海市高二上冊期中數(shù)學模擬試題

一、填空題

1.兩兩相交的三條直線可確定個平面.

【正確答案】I或3

【詳解】當三條直線交于一點時，可以確定3個平面；當三條直線兩兩相交，有三個交點時,

可確定1個平面.兩兩相交的三條直線可確定1個或3個平面.

2.若向量。=(1,0,1),6=(0,1,1)的夾角為。，則0=.

TT

【正確答案】y

【分析】利用空間向量夾角的坐標表示即可求解.

【詳解】因為”=(1,0,1)力=(0,1,1),所以〃力=1,何=0料=0,

八ab1

所以cos6=EJ=K，

m2

因為兀］,所以e=g,

故答案為：y.

3.一個平面截一個球得到面積為3兀的圓面，球心到這個圓面的距離等于球半徑的一半，則

該球的體積等于.

【正確答案】于32兀

【分析】根據(jù)截面半徑和球心到截面的距離與球的半徑的勾股關系直接求解.

【詳解】由平面截一個球得到面積為3兀的圓面可得，截面圓的半徑為，=石，

設球的半徑為R,球心到這個圓面的距離為d=

所以由勾股定理可得產=/+戶，即R2=/=3,所以R=2,

4

所以球的體積為飆=等，

故答案為：子32兀.

4.某圓錐的底面半徑為1,沿該圓錐的母線把側面展開后可得到圓心角為弓的扇形.則該圓

錐的側面積為.

【正確答案】3兀

【分析】根據(jù)已知可得扇形的弧長為2兀，進而根據(jù)弧長公式求出扇形的半徑即圓錐的母線,

即可求出答案.

【詳解】設圓錐的母線為/,底面半徑r=l,扇形的半徑為/.

由己知可得，AB的長為2口=2兀，

2兀2兀

又=—，由2兀=一/可得，1=3.

33

所以圓錐的側面積為S=?！?3兀.

故答案為.3兀

5.已知空間向量4=(2,-3,1),b=(x,6,-2).若aMb，則4.

【正確答案】-4

【分析】依題意可得義”=6,根據(jù)向量相等的充要條件得到方程組，解得即可.

【詳解】解：因為。=(2,—3,1),b=(x,6,—2)且0/0，

x=2A

A=-2

所以而=6,BP-6=-32,解得

x=-4

-2=2

故T

6.設三棱柱ABC-ABC的體積為1,則四棱錐A-BCC冉的體積為

【正確答案】I

【分析】因為，一8"向=匕,.48+匕,一6尾，根據(jù)等體積法求出三棱錐A-BCG的體積，然后

求出三棱錐A-瓦8c的體積，即可得出結果.

【詳解】

如圖，連結Aq,AC,BQ.

設.ABC的面積為S,則△ABC的面積為S,設的=/z.

由已知力C-&B1G=S/7=1，所以匕,-qcc,=匕f4G=gS/l=g.

又!皿=京仁:，所以以-gc=匕比-44。-9/cq一匕-"。=；?

所以Klj-BCC.B）=VvMCC[+匕1-用3。=§.

故答案為

7.在矩形A8CO中，E為邊A￡＞的中點，AB=\,BC=2,分別以A、￡＞為圓心，1為半徑

作圓弧E8、EC（E在線段AD上）.由兩圓弧￡?、EC及邊BC所圍成的平面圖形繞直線AO

旋轉一周，則所形成的幾何體的表面積為.

【正確答案】8兀

【分析】由已知可得，旋轉得到的兒何體為圓柱去掉兩個半徑為1的半球，該幾何體的表面

包括圓柱的側面以及兩個半球的表面，分別求出圓柱的側面積以及球的表面積即可得出答

案.

【詳解】由已知可得，該幾何體為圓柱去掉兩個半徑為1的半球.

圓柱的底面半徑r=l,母線1=2,所以圓柱的側面積為2口/=4兀.

兩個半球的表面積為2xgx4兀/=4兀.

該幾何體的表面包括圓柱的側面以及兩個半球的表面，所以幾何體的表面積為87t.

8.空間四邊形A8CQ各邊及對角線長均為E,F,G分別是A8,AD,OC的中點,

貝UGE-GF=.

【正確答案】g##0.5

【分析】利用向量的線性運算，轉化向量，再計算向量的數(shù)量積.

【詳解】如圖，GE=AE-AG=^AB-^AC+AD)=^AB-AC-AD],

GF=--AC,

2

所以GE.GF=TAB-AC-AD)AC

1/2

=-^ABAC-AC-ACAD

因為向量AB,AC,AD的模相等，夾角相等，所以AB-AC-AC-AD=0，AC'=2,

及GE.GF=L

2

9.已知a,尸是兩個不同平面，相，”是兩條不同直線，下列命題中：①“直線”、6為異面直線”

的充分非必要條件是“直線。不相交”；②垂直于三角形兩邊的直線必垂直第三邊；③a

內有不共線三點到夕距離相等，則a〃尸；④若直線〃La,則“〃a；⑤若切〃〃，

mA.a,則〃_La；⑥若"L夕，則a〃夕，其中正確的命題編號為.

【正確答案】②⑤⑥

【分析】①利用異面直線的性質判斷即可，②利用線面垂直的性質即可判斷，③④⑤⑥畫圖

分析即可

【詳解】①若直線。、。不相交，則直線〃、b為有可能平行，有可能異面，

故“直線。、。不相交”是“直線。、b為異面直線”的不充分條件，

反之，若直線。、〃為異面直線，則直線“、2不相交成立，

故“直線。、8不相交”是"直線。、8為異面直線”的必要條件，

所以①錯誤；

②垂直于三角形兩邊的直線必垂直三角形所在面，即線面垂直，

又三角形第三邊在三角形面中，故該直線一定垂直第三邊，

所以②正確；

③如圖，

設AB,C為平面a內不共線的三點，且到平面尸的距離相等，但是此時平面a與

平夕交，故③不正確；

④如圖所示

直線機JLa,則"ua；故④錯誤;

⑤如圖所示：

由加〃”，m±a,則〃_!_?；故⑤正確;

⑥如圖所示

若則a〃尸，故⑥正確；

故②⑤⑥

10.我國南北朝時期的數(shù)學家祖曬在計算球的體積時，提出了一個原理：“累勢既同，則積

不容異這里的"塞''指水平截面的面積，“勢”指高.如圖（1）是一利產蒙古包”的簡易視圖，

其中底面"8是個正方形，曲線AOC和80。均是以2為半徑的半圓，平面AOC和平面

8。。均垂直于底面.想要計算該蒙古包的體積V就可以利用祖咽原理，構造一個與蒙古包同

底等高的正四棱柱，從中挖去一個倒放的同底等高的正四棱錐（如圖（2））,從而求得

V=

【分析】由題知AC=4,AB=2ji,正四棱柱的高為2,進而根據(jù)'/=丫正四棱柱-%泗棱錐計算

即可.

【詳解】解：因為底面ABCD是個正方形，曲線AOC和80。均是以2為半徑的半圓

所以AC=4,AB=2a,正四棱柱的高為2

根據(jù)祖強原理，該蒙古包的體積

V=%泗棱柱一/四校雄=2及x2&x2-gx2及x2夜x2=16-9=,.

32

故不

二、單選題

11.下列命題中不正確的是（）

A.相鄰兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱B.正棱錐的側棱與底面所成的角都相等

C.圓柱的母線垂直于底面D.過球面上兩點的大圓有且只有一個

【正確答案】D

【分析】選項A根據(jù)直棱柱的定義，結合線面垂直判定定理即可；選項B畫出正四棱錐驗

證線面角是否相等即可，選項C有圓柱的特征及結構即可判斷，選項D根據(jù)球截面的特性

即可判斷.

【詳解】選項A,如圖所示，在四棱柱ABCO-A耳G"中,

若側面ABB^和側面BCQB、為相鄰的矩形,

因為明CB=B,

CB,ABu底面ABCD,則1底面ABCD,

由直棱柱定義可知四棱柱ABC。-AgeA為直棱柱，故A正確;

選項B,如圖在正四棱錐P-ABCD中,

p

由正四棱錐可得，尸。1底面ABC。，底面為正方形，且側棱相等，

所以側棱PA,PB,PC,PD與底面A8Q)所成角分別為：ZPAO=NPBO=NPCO=ZPDO,

故選項B正確，

選項C,由圓柱的特征及結構可知，圓柱的母線都垂直于底面，

故C正確，

若球面上所取的任意兩點與球心在同一直線上，則過這兩點的大圓有無數(shù)個，

故D錯誤；

故選：D.

12.已知空間三點4(—2,0,8),8(4,<5),若向量R4_LA8,則實數(shù)機=()

A.37B.36C.-38D.-36

【正確答案】B

【分析】根據(jù)PA?B=0可求得旭值.

【詳解】解：因為己知空間三點A(—2,0,8),B(4,T,5),

所以PA=(-2-加,一加,8-機)，A3=(6,T,-3),

由于PAJ.AB，

PA-AB=(-2-??7)x6+(-??)x(-4)+(8-zn)x(-3)=0,

解得加=36.

故選：B.

13.柏拉圖多面體，是指嚴格對稱，結構等價的正多面體.由于太完美，因此數(shù)量很少，只

有正四、六、八、十二、二十面體五種.如果用邊數(shù)不同的正多邊形來構造接近圓球、比較

完美的多面體，那么數(shù)量會多一些，用兩種或兩種以上的正多邊形構建的凸多面體雖不是正

多面體但有些類似，這樣的多面體叫做半正多面體.古希臘數(shù)學家物理學家阿基米德對這些

正多面體進行研究并發(fā)現(xiàn)了13種半正多面體（后人稱為“阿基米德多面體”）.現(xiàn)在正四面體

上將四個角各截去一角，形成最簡單的阿基米德家族種的一個，又名截角四面體.設原正四

面體的棱長為6,則所得的截角四面體的表面積為

A.20后B.24x/3C.286D.3273

【正確答案】C

【分析】由題意可求出正六邊形的邊長為2,截去的正三角形的邊長為2,進而求出正六邊

形的面積和每個截面的面積，求出所得的截角四面體的表面積.

【詳解】解：設正六多邊形的邊長為x,

則由題意可知：6-2x=x,

所以x=2,

所以每個正六邊形的面積為立x6-3*立x2,=66，

44

所以所得的截角四面體的表面積為4x66+4x3x22=286,

4

故選：C.

三、解答題

14.設臺體上、下底面積分別為S'和S,上下底面的距離為近求證：%體=：（5'+爾7+S）6

【正確答案】證明見解析

【分析】設頂點P到平面AAG"的距離為X,根據(jù)相似得出x=7瀉?，即可根據(jù)

咋體=^P-ABCD~計算化簡證明.

【詳解】如圖所示：棱臺可以看作由棱錐截成,

p.

/D

A

設頂點P到平面A4GR的距離為x,

S'

根據(jù)平行四邊形ABCD與ABCQ相似可得：y=在K，

皿歷

則”=由定,

yjo—yjo

=

則/體Vp_ABCD一=§，('+')—§S)?

=g[S"(S-S)x],

,

=-[s/?+(5-S)-r^=L

3['，如一單

_￡

SA+(VS-VS7)(VS+

-3r

=1(S,+VFS7+5)/?,

故棱臺的體積?體=1S'+逐百+s)/z.

15.如圖，長方體ABCO-AACQ中，|4叫=|44=1,|A4j=2,點p為。。的中點.

(1)求證：直線8。1〃平面B4C；

(2)求異面直線BD、與AP所成角的大小.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)30°

【分析】(1)設4c和交于點。，可得PO//BR,根據(jù)線面平行的判定定理即可得證.

(2)由尸0〃8R,得N4PO即為異面直線8"與AP所成的角.求得各個邊長，根據(jù)三角函

數(shù)的定義，即可得答案.

【詳解】(1)設AC和8。交于點。，則。為8。的中點，連接尸O,

,/戶是。。的中點，

PO//BDt,

又,/POu平面PAC,BD?平面PAC,

，直線B。"/平面PAC；

(2)由⑴知,POHBDX,

ZAPO即為異面直線8。與北所成的角,

：|削=|PC|=JCD2+\AO\=^\AC\=^-,且PO_LAO,

血

MT1

??sinNAPO==

\AP\722

又NAPOe(0°,90°],

ZAPO=30°

故異面直線BA與北所成角的大小為30。.

16.如圖，在兩塊鋼板上打孔，用釘帽呈半球形、釘身為圓柱形的硼釘（圖1）穿在一起，

在沒有帽的一端錘打出一個帽，使得與釘帽的大小相等，鉀合的兩塊鋼板，成為某種鋼結構

的配件，其截面圖如圖2.（單位：mm）.（加工中不計損失）.

（1）若釘身長度是釘帽高度的3倍，求鉀釘?shù)谋砻娣e；

（2）若每塊鋼板的厚度為10mm,求釘身的長度（結果精確到1mm）.

【正確答案】（1）13957tmm?

（2）55mm.

【分析】（1）由圖可知，鉀釘?shù)谋砻娣e等于半球的表面積加上圓柱的側面積加上以4=15為

半徑的圓的面積.根據(jù)已知條件，分別求出各部分的面積即可得出答案；

（2）設釘身的長度為x,表示出釘身的體積憶根據(jù)已知求出釘身加工后的體積，列出方程,

求解即可得出答案.

【詳解】（1）解：由已知可得，鉀釘為以4=15為半徑的半球與圓柱的組合體.

由釘身長度是釘帽高度的3倍，可知圓柱的高為/?=3/5=45,圓柱底面半徑為4=8.

由圖可知，鉀釘?shù)谋砻娣e等于半球的表面積加上圓柱的側面積加上以'=15為半徑的圓的面

積.

半球的表面積為d=gx4孫2=gx47rxl52=4507r,圓柱的側面積為

S2=2兀4〃=271x8x45=72071,圓的面積S3=兀1=2257r.

所以，佛釘?shù)谋砻娣eS=S,+52+S3=13957t(/W).

(2)解：設釘身的長度為x,x>20,則釘身的體積V=7u?x=64也.

由已知加工前后體積不變，加工后體積為釘身與釘帽體積之和，其中釘身長度為20,底面

圓半徑為4=8,釘帽是以半徑4=15的半球.

所以V=g2x20+；xg孫3=1280兀+2250n=3530MM加)

所以647tx=353O7r,解得x=55,滿足條件.

所以釘身的長度為55(,即).

17.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載了有關特殊幾何體的定義：“陽馬”是指底面為矩

形，一側棱垂直于底面的四棱錐；“塹堵”是指底面是直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱

柱.如圖所示，在塹堵4BC-A4G中，若4C13C,M=AB=2.

⑴求證：四棱錐8-A4GC為陽馬；

(2)若直線AB與平面AACC所成的角為B時，求該塹堵ABC-A4G的體積;

O

(3)當陽馬8-MGC的體積最大時，求點C1到平面A{BC的距離.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵2

(3)辿

3

【分析】(1)根據(jù)定義證明底面A41GC為矩形，側棱矩形面441GC即可;

(2)找出線面角，根據(jù)題意以及(1)中的相應條件求出所需線段長度，然后利用三棱柱的

體積公式計算即可；

(3)由前兩問表示出陽馬A41GC的體積，利用基本不等式求出最值，從而得到相應線

段的長度，在根據(jù)圖找出、證明、求解點到平面ABC的距離.

【詳解】(1)證明：由題意在塹堵ABC-中，底面ABC,

由ACu底面ABC,BCu底面ABC,

所以相_LAC,A4

在三棱柱ABC-中，四邊形44。。為平行四邊形，

所以四邊形41cC為平行四邊形為矩形，

又ACJ.BC,MAC=A,

所以BC1平面AAGC,

所以根據(jù)題意得：四棱錐為陽馬.

(2)由(1)知BC平面A41GC,

所以斜線48在平面MQC的射影為AC,

7T

所以直線A聲與平面A4CC