2023-2024學(xué)年山西省太原市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年山西省太原市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.已知等差數(shù)列中,%=3,公差d=-3,則％等于（）

A.-21B,-18C.24D.27

【正確答案】B

【分析】直接根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)即可得到。8=%+71，代入計(jì)算即可.

【詳解】由題意得4=q+7d=3+7x（-3）=-18,

故選：B.

2.拋物線/=一了的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

ADB.加C.0QD.牛0）

【正確答案】D

【分析】根據(jù)拋物線方程直接求出焦點(diǎn)坐標(biāo)作答.

【詳解】拋物線必=-x的焦點(diǎn)在x軸上，其坐標(biāo)為（―,0）.

28

故選：D

3.已知某物體在平面上作變速直線運(yùn)動(dòng)，且位移s（單位：米）與時(shí)間，（單位：秒）之間

的關(guān)系可用函數(shù)：s=ln（/+l）+*-，表示，則該物體在/=3秒時(shí)的瞬時(shí)速度為（）

7121

A.亍米/秒B.（6+21n2）米/秒C.萬(wàn)米/秒D.

（4+ln2）米秒

【正確答案】A

【分析】直接對(duì)位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)求導(dǎo)，代入f=3即可.

【詳解】由題得s'=」一+21—1,當(dāng)r=3時(shí)，s'=—,故瞬時(shí)速度為3米/秒，

故選；A.

4,設(shè)｛4｝是等比數(shù)列，且％+〃2=1，。2+。3=2，則牝+。6=（）

A.8B.12C.16D.24

【正確答案】C

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求得夕，再代入％+%中即可求得%+%的值?

【詳解】a2+a3=(q+。2)4=Ixq=2q=2

444

a5+a6=axq+a2q=(q+4)q"=1x2=16.

故選：C.

5.有一條漸近線為歹=&x且過點(diǎn)(0,20)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

22

A.三-'=1B.匕工=1

2442

22

c/I1D,土-二=1

8448

【正確答案】B

【分析】根據(jù)給定的漸近線方程，設(shè)出雙曲線方程，再將已知點(diǎn)代入計(jì)算作答.

【詳解】依題意，雙曲線的漸近線方程為'±我=0,設(shè)所求雙曲線的方程為

x2-^-=2(2^0),

因此;l=(JI)2-&變=一2,即有》2一11=一2,

22

所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為片-二=1.

42

故選：B

6.已知數(shù)列｛??｝為等比數(shù)列，且%?%=2%，設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5?，若a=%

則凡=()

A.7B.14C.26D.27

【正確答案】B

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出火，再利用等差數(shù)列性質(zhì)及前八項(xiàng)和求解作答.

【詳解】等比數(shù)列｛%｝中，而解得4=2,即"=4=2,

等差數(shù)列也｝中，S產(chǎn)7"份=7〃=14.

故選：B

7.己知曲線C:y2=2x,直線/:x—y+3=0,P,。分別是曲線。與直線/上的動(dòng)點(diǎn)，則

|尸。|的最小值為()

A.1B.J2C.也D.」一

4

【正確答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出曲線C上點(diǎn)P到直線/距離最小值作

答.

【詳解】依題意，設(shè)曲線。上點(diǎn)而點(diǎn)。在直線/:x—y+3=0上，

[x—y+3=0.

由《J消去x得歹2—2夕+6=0,△=(—2)2—4x6<0,即直線/與曲線C相離,

4=2x

則IaOl?吁T+3J?T)2+5|=(1)2+525近,當(dāng)且僅當(dāng)，=1,即尸

1廣Jj+(_i)2202拒—42

且尸。JJ時(shí)取等號(hào),

所以的最小值為手.

故選：D

ex-1+l,x>0

8.已知函數(shù)/(x)=<，若g(x)=/(x)-ax+a-l有三個(gè)不等零點(diǎn)，則

x~+2x—3,x<0

實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

5

A.(4,5)B.(e,3)C.(e,4)D.

2

【正確答案】C

【分析】函數(shù)g(x)=/(x)-ax+。一1有三個(gè)不等零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程/(x)-ax+a-1=0有

三個(gè)不等實(shí)根.分兩種情況討論：當(dāng)x<0時(shí)，a=(x-l)-——+4,令

X-1

(p(x)=(x-l)一一匚+4,結(jié)合9(x)的單調(diào)性討論根的情況；當(dāng)X20時(shí)，得e*T=a(x—l),

x-1

1x—IY—1

當(dāng)a=0時(shí)，顯然方程無(wú)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，一=—,令h(x)=一,x>0,利用導(dǎo)數(shù)

aerer

研究函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得答案.

【詳解】由g(x)=/(x)-ax+a-1有三個(gè)不等零點(diǎn)，等價(jià)于/")一"+。-1=0有三個(gè)

不等實(shí)根，

當(dāng)x<0時(shí)，/(%)=x2+2x-3.

由/(x)-ax+a-l=O,Wx2+2x-4=a(x-1).

■?+2尸4(1)2+4(1)[

(x-1)-口+4,

令(p(x)=(x-1)-----+4,

當(dāng)x<0時(shí)，9(x)單調(diào)遞增，故8(x)<e(0)=4,

故當(dāng)時(shí)，方程a=(x—1)-----+4無(wú)實(shí)根;

當(dāng)a<4時(shí)，方程a=(x—1)——匚+4在xe(—8,0)上有一實(shí)根.

當(dāng)xNO時(shí)，f(x)=e'-1+1,由/(x)-ax+a-l=0,We'-1=a(x-l)

當(dāng)a=0時(shí)，顯然方程無(wú)實(shí)根；

1Y—1x—12—x

當(dāng)時(shí)，一=F，令〃(x)=F，xZ0，h'M=~~,

ae*Tev-1

當(dāng)0<x<2時(shí)，h'(x)>0,當(dāng)x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x>2時(shí),h'(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減;

即當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)//*)取得極大值力(2)=，

//(0)=-e；h(V)=0；當(dāng)0cx<1時(shí)，h{x)<0；當(dāng)x〉l時(shí)，A(x)>0,

作出函數(shù)"(x)的圖象如圖，

要使〃x)-av+a-1=0有三個(gè)不等實(shí)根，需滿足：在xe(—8,0)上有一實(shí)根，在

xe[0,+oo)上有兩個(gè)實(shí)根.

由圖可知夕=,與例x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即a〉e,

aae

綜上，e<a<4,即實(shí)數(shù)。的取值范圍是(e,4).

故選：C.

二、多選題(本題共4小題，每小題3分，共12分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得3分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

9.己知數(shù)列｛?！埃?滿足2a"]=an+an+2,neN*,S"為｛4｝的前〃項(xiàng)和，且。3=10，&=0,

則（）

A.數(shù)列｛6,｝為等差數(shù)列B.%=-〃+13

2

C.Sn=-n+15/7D."=7或〃=8時(shí)，S“取得最大值

【正確答案】ACD

【分析】對(duì)A,等式移項(xiàng)即可判斷，對(duì)B,根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)求出％3,則可求出d，

則得到其通項(xiàng)，對(duì)C,直接利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式即可判斷，對(duì)D,利用二次函數(shù)性質(zhì)

即可判斷.

【詳解】對(duì)A,...2。,用=a,+4+2，〃GN*,...a.+1—q“=a,,+2—a“+”〃eN*

則數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，故A正確，

1510

對(duì)B,???4=10，S|5=0,則=I"""）=15（包生）=（tf.B）=0，

15222

則。”=一10，則101=%3—%=101=—20,則d=—2,貝!I

a“=%+"（〃-3）=10-2（〃-3）=—In+16,故B錯(cuò)誤，

對(duì)C,=14,則S=△-!~~---------A=_〃2+i?,故c正確，

"22

2

對(duì)D,Sn=-n+I5n,開口向下，對(duì)稱軸為〃=7.5,

;〃eN*，故當(dāng)〃=7或〃=8時(shí),S”取得最大值，故D正確，

故選：ACD.

10.己知點(diǎn)尸為拋物線_/=4x上一點(diǎn)，尸為拋物線的焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,0）

B.點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的最小距離為1

C.若點(diǎn)尸到焦點(diǎn)的距離為5,則點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)是4

D.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,2）,則|尸山+|PF|的最小值為5

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)給定的拋物線，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程判斷AB；利用拋物線定義求出點(diǎn)P

的橫坐標(biāo)判斷C；利用拋物線定義結(jié)合幾何圖形推理計(jì)算判斷D作答.

【詳解】設(shè)拋物線_/=4x上點(diǎn)尸（%,%）,x0>0,而拋物線的焦點(diǎn)E（l,0）,準(zhǔn)線/的方

程x=-l,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,點(diǎn)P到準(zhǔn)線距離為I)=x()+1N1,當(dāng)且僅當(dāng)5=0時(shí)取等號(hào)，即點(diǎn)尸到準(zhǔn)

線/的最小距離為1,B正確；

對(duì)于C,點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為5,即|P用=%+1=5,解得/=4,則呼=16,解得典=±4,

C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,如圖，作垂足分別為N,M,Z/交拋物線于點(diǎn)p,連接

P'F,AN,

則|刃+|PF|=|&|+1PN^\AN|>|AM|=|P'A\+\P'M|=|P'A\+\P'F\,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)

所以(|四+|P尸|)血=5,D正確.

故選：BD

11.已知函數(shù)/(X)=；X3-X2-3X+I,下列說法正確的是()

A.y=/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B.V=/")的極大值點(diǎn)為-1

C.y=/(x)的極小值為一9D.y=/(x)的最大值為個(gè)

【正確答案】AB

【分析】求出函數(shù)"X)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值判斷ABC,取特值判斷D作答.

【詳解】函數(shù)〃X)=；x3-x2-3x+l的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得

f\x)=x2—2x—3=(x+l)(x—3),

由/'(x)〉0得：x<—l或x>3,由/”(x)<0得：一l<x<3,

因此函數(shù)〃x)在(-8,-1),(3,+8)上單調(diào)遞增，在(-1,3)上單調(diào)遞減，

Q

于是函數(shù)/(X)在》=一1處取極大值/(—1)=],在x=3處取極小值/(3)=-8,C錯(cuò)誤；

函數(shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)-1,3,且-1是/(x)的極大值點(diǎn)，A正確，B正確;

顯然/（6）=；X63—62-3X6+1=19>T，D錯(cuò)誤

故選：AB

12.已知雙曲線。：/一3~=1,6,瑪為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若直線/過點(diǎn)入，且與雙曲線

的右支交于河,N兩點(diǎn)，下列說法正確的是（）

A.雙曲線C的離心率為G

B.若/的斜率為2,則A/N的中點(diǎn)為（8,12）

C.△仞巧周長(zhǎng)的最小值為10

D.△禰巧周長(zhǎng)的最小值為16

【正確答案】BD

【分析】對(duì)A直接計(jì)算離心率即可判斷，對(duì)B,直接得到直線方程，并聯(lián)立曲線方程，利

用韋達(dá)定理即可求出的中點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷，對(duì)C和D,利用雙曲線定義將三角形周長(zhǎng)

用弦長(zhǎng)則題目轉(zhuǎn)化為求的最值，設(shè)線聯(lián)立方程，再利用弦長(zhǎng)公式即可得到答

案.

【詳解】對(duì)A,由雙曲線方程得a=l,b=J5,故c=2,則離心率e=2,故A錯(cuò)誤，

對(duì)B,由方程知￡（—2,0）,耳（2,0）,則直線/的方程為y=2（x—2）,

聯(lián)立雙曲線方程化簡(jiǎn)得/一168+19=0,設(shè)〃（占,必）,N（z，%）,

則演+片16,故號(hào)=8,而2—+2…=2（%+.8=24'

則匕土及=12,故的中點(diǎn)為（8,12）,故B正確，

2

對(duì)C和D,根據(jù)雙曲線定義得|5|一|〃閭=2,|.|-|町|=2,

兩式相加得1M|+|g|=4+|%|+加用，

設(shè)月的周長(zhǎng)為C,故=|M|+|N￡|+|〃用+|N用

=4+2（|*+|叫|）=4+2河|,

則題目求△加人/周長(zhǎng)的最小值轉(zhuǎn)化為求弦長(zhǎng)|AW|的最小值，

設(shè)直線/的方程為x-2=加少，聯(lián)立雙曲線方程=3得

（3W2-1）/+12^+9=0,根據(jù)直線/與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)M,N,

則3優(yōu)2—1H0,即〃7胃±*，A=（12m）2-4（3?j2-l）x9=36/7?2+36>0,

+1+乖

m=±-=+——

當(dāng)直線/與漸近線平行時(shí)，此時(shí)G3

1

則0<|/M|<e(0,

若要直線/與雙曲線交點(diǎn)在右支上,

436m2+36

\MN\=yJm2+\—\m2+\

|3m2-l|

設(shè)加+1=沖,￡|,貝"j[3（二）一1廠

則當(dāng)〃=1,即加=0時(shí)，恢W%n=6,此時(shí)直線/方程為X=2,

故△MV"的周長(zhǎng)的最小值為16,故C錯(cuò)誤，D正確，

故選：BD

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題對(duì)C,D選項(xiàng)的判斷，首先要靈活運(yùn)用雙曲線定義從而得到

C.=4+2|MN],然后題目即轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的弦長(zhǎng)最值問題，常用的方法是設(shè)線法，聯(lián)立

雙曲線方程，得到韋達(dá)定理式，再利用弦長(zhǎng)公式表示出設(shè)直線時(shí)因?yàn)橹本€所過定點(diǎn)

在x軸上，故為了簡(jiǎn)便運(yùn)算引入?yún)?shù)m,同時(shí)要注意雙曲線較橢圓更為復(fù)雜，尤其是直線與

漸近線平行時(shí)的特殊情況.

三、填空題(本題共4小題，每小題4分，共16分)

13.拋物線-=4夕的準(zhǔn)線方程是

【正確答案】y=-i

【分析】先根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得到焦點(diǎn)在y軸上以及2。=4,再直接代入即可求出其

準(zhǔn)線方程.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=4y,焦點(diǎn)在y軸上，

所以：2P=4,即p=2,所以5=1,

所以準(zhǔn)線方程為：》=-1,

故答案是.夕=一1

該題考查的是有關(guān)拋物線的幾何性質(zhì)，涉及到的知識(shí)點(diǎn)是已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其準(zhǔn)線方

程，屬于簡(jiǎn)單題目.

14.曲線丁=汜在點(diǎn)(一1,一2)處的切線方程為.

【正確答案】y=3x+1

X—1

【分析】求出函數(shù)歹=——的導(dǎo)數(shù)及在x=-1處的導(dǎo)數(shù)值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切

x+2

線方程作答.

,x+2—(x—1)3f,3c

【詳解】依題意，y=——=川1=/I=7=3,

(x+2)(x+2)(-1+2)

_i

所以曲線歹=Y=?在點(diǎn)(一1,一2)處的切線方程為y+2=3(x+l),即歹=3x+1.

x+2

故歹=3x+1

15.一個(gè)正方形被等分成九個(gè)相等的小正方形，將最中間的一個(gè)正方形挖掉，得圖①；再將

剩下的每個(gè)正方形都分成九個(gè)相等的小正方形，并將其最中間的一個(gè)正方形挖掉，得圖②；

如此繼續(xù)下去……，則圖③中共挖掉了個(gè)正方形，請(qǐng)寫出每次挖掉的正方形個(gè)

數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)遞推公式

【分析】根據(jù)圖形得出圖③中共挖掉了多少個(gè)，與每次挖掉的正方形個(gè)數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列的通

項(xiàng)，即可根據(jù)等比數(shù)列的定義得出遞推公式.

【詳解】圖③中共挖掉了8x9+1=73個(gè)，

設(shè)每次挖掉的正方形個(gè)數(shù)為%,

根據(jù)圖形得，q=l=8°,a2=8',%=82,則%=8"T,

則遞推式為

故73；an=8a,.

16.己知a〉l,若對(duì)于任意的xe-,+?),不等式工―x+ln3x<—L+lna恒成立，則

.3J3xaex

a的最小值為.

3

【正確答案】-##3e-'

e

【分析】先利用同構(gòu)法將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化為」-+ln3x<—1+lnae"再構(gòu)造函數(shù)

3xae

/(x)=-+lru(x>l),利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到3x〈ae、，從而將問題轉(zhuǎn)化為

X

再次構(gòu)造函數(shù)g(X)=求得最值即可得解.

x

【詳解】因?yàn)镮n。+x=InQ+Ine"=Inae，

所以----x+ln3x<—7+ln〃可化為---Fln3x<—7+In。+x=----FIncicx,

3xaex3xaexaex

令/(%)=」+111￥(121),則/'(x)=--y+—=^-^->0,

XXXX

所以/(X)在［1,+OQ)上遞增,

因?yàn)閍〉l,xe7，+<?I.所以3x21,1，?ev>1>

4tVV>>C—1

所以《+ln3x4白+Inae'可化為/(3x)<f(aex),則3x<aex，

3x「1、

即aZ-Y在xe[,+°°上恒成立，即。2下，

e'L3)1e/max

令g(x)=f?(x&)則g，(x)=3(：了),

令g'(x)>0,則g=x<l；令g'(x)<0,則x〉l；

所以g(x)在-,1上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

-37

所以g(x)max=g(D=/

33

所以Q2—,即。的最小值為一.

ee

3

故答案為.-

e

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的突破口是利用同構(gòu)法將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化為，+ln3xK—1+從

3xae

而構(gòu)造函數(shù)/(》)=工+時(shí)(》21)得到3》4。砂，由此得解.

四、解答題(本題共5小題，共48分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.已知函數(shù)/(x)=(x-2)e1

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間：

(2)求/(X)在[-1,2]上的值域.

【正確答案】(1)函數(shù)/(x)在(1,母)上單調(diào)遞增，在(-oo,l)上單調(diào)遞減；

(2)[-e,0]

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得出其單調(diào)性；

(2)根據(jù)第一問的函數(shù)單調(diào)性得出其值域.

【小問1詳解】

函數(shù)/(x)=(x—2)e，,則/=

當(dāng)x>l時(shí)，"(x)>o,當(dāng)X<1,/'(x)<0,

故函數(shù)/(x)在。,+8)上單調(diào)遞增，在(-00,1)上單調(diào)遞減：

【小問2詳解】

由(1)可得函數(shù)/(x)在(1,2］上單調(diào)遞增，在［-1,1)上單調(diào)遞減，

且/(一1)=一3廠=一；，/(2)=0,

則/(x)在［-L2］上的最大值/(x)皿=/(2)=0,最小值“XL=/⑴=—e,

故/(x)在［-1,2］上的值域?yàn)椋邸猠,0］.

18.已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列｛4｝滿足％=」%=12,設(shè)|幺4的前〃項(xiàng)和為S”，且

4'

S,=〃2.

(1)求數(shù)列｛%｝也｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和.

【正確答案】⑴4=3x2"，2=(6〃—3>2"T

(2)7；=9+(6〃-9>2"

a,ci~=12,、.

【分析】(1)由題得_48'解出則可得到｛“J通項(xiàng)，降次作差可得"=(6〃-3>2"7,

再檢驗(yàn)仇值即可；

(2)bn=(6n-3)-2"-',利用乘公比錯(cuò)位相減法即可得到7；.

【小問1詳解】

因?yàn)椋鹮,｝為各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，設(shè)公比為小%=；。5=12,

a,a2—12.

即?4，解得4=2嗎=3,所以%=3x2")

axq=48

當(dāng)〃22時(shí)，絲=S,「S,T=〃2-(〃—1)2=2〃—1/“=(6〃-3)-2"T,

a.

b1…-

當(dāng)〃=1時(shí),1=1,4=3,適合上式，

q

所以“=(6〃_3)-2"T

【小問2詳解】

設(shè)也｝的前以項(xiàng)和為卻則

7；,=3x20+9x2'+15x22+---+(6?-9)-2n-2+(6M-3)-2,,-1,

2(,=3x2-9x22+15x23+…+(6〃—9).2"T+(6〃—3>2”,

兩式相減，得一7；=3+6x(2i+22+~+2"T)—(6〃-3>2"

2(1-2"」一(6〃—3>2"=2〃(9—6〃)—9

=3+6x^----

1-2

則7；=9+(6〃—9>2".

19.已知拋物線/=蒼0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)廠的直線交拋物線于48兩點(diǎn).

(1)若直線45的斜率為1,求恒目；

(2)若△CMF與。8尸的面積之差的絕對(duì)值為工，求直線的方程.

4

【正確答案】(1)2

(2)4x-8y-l=0或4x+8y-l=0

【分析】(1)先根據(jù)題意得到直線48的方程，再聯(lián)立拋物線方程得到m+%，X%的值，

從而利用弦長(zhǎng)公式即可得解；

(2)假設(shè)直線48為x=/即+；,聯(lián)立拋物線方程得到凹+%,人力的值，再分別求得

△04尸與。3尸的面積關(guān)于弘,外的表達(dá)式，進(jìn)而得到關(guān)于加的方程，解之即可得解.

【小問1詳解】

依題意，設(shè)4(再,名),3(%2，%)，

因?yàn)閽佄锞€V=x的焦點(diǎn)為尸(；，°)，

又直線Z8的斜率為1,所以直線48方程為y=x-J，

4

*2

y=x1

聯(lián)立《1,消去x,得yy—-=0?

y=x——'-4

I4

則△=2>0,^+y2=1,弘力=_%，

2

所以|4回=應(yīng)帆一刃=也xJ（乂+y2）-4凹％=2.

【小問2詳解】

易知直線48斜率為。時(shí)，與拋物線丁2=》只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意;

設(shè)直線Z3方程為》=叼+工，

4

[1

x=my+—）1

聯(lián)立《’4,消去x,得J?一加V一一=0,

…2一’4

則△=〃/+1>0,必+為=加，%%=一］<0，

1111

為

因S=S-

/F2-8-O2-8-

所以|SOAF-S。"|=:|弘］一＜聞=［必+為=?=:，解得加=±2,

oooo4

所以直線46的方程為x=2y+1或x=-2y+,，即4x—8y—1=0或4x+8y-l=0.

44

說明：請(qǐng)同學(xué)們?cè)冢ˋ）、（B）兩個(gè)小題中任選一題作答.

22

20.已知雙曲線C:「-4=l（a＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為用居，離心率為J5，

ab'

尸（2,-&）是C上一點(diǎn).

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若直線/過原點(diǎn)，且與雙曲線交于48兩點(diǎn)，。為雙曲線上一點(diǎn)（不同于48）.求直

線0N與直線。8的斜率之積.

X2y~

【正確答案】（1）土—L=i

22

（2）1

【分析】（1）先由雙曲線的離心率求得〃=&2,再利用點(diǎn)代入求得/=2,從而得解;

（2）根據(jù)題意設(shè)出4。,6的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)差法即可求得左力?左08=1，由此得解.

【小問1詳解】

因?yàn)閑=J5，所以二=J5,即c=J5a，

a

22

所以〃=。2-/=。2,所以雙曲線。：鼻一勺=1，

a~a~

因?yàn)槭?,是雙曲線C上一點(diǎn)，

42

所以-2----=1，解得/=2，則6?=2

acr

所以雙曲線C的方程為二—上=1.

22

【小問2詳解】

依題意，設(shè)4%,必）,0?,8）,

因?yàn)橹本€/過原點(diǎn)，且與雙曲線交于48兩點(diǎn)，

所以由雙曲線的對(duì)稱性可得43關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則8（—西,一乂），

所以電=及口，3=山，

x2-x1x2+x,

因?yàn)?。為雙曲線上的點(diǎn)，所以日一兄=1,另-21=1,

2222

兩式相減得X；一考="一貨,

22

所以腦烏二冬

1.

X2-X1x2+x,X]-x2

所以直線。/與直線QB的斜率之積為1.

22

21.已知雙曲線C:5-烏=1（。＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，凡，離心率為J5,

ab

P（2,-旬是C上一點(diǎn).

（1）求雙曲線。的方程；

（2）直線/過點(diǎn)（1,0）,與雙曲線的右支交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)。與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，求證:

4。兩點(diǎn)所在直線過點(diǎn)月.

2

【正確答案】（1）上X一y匕~=1;

22

（2）證明負(fù)了解析.

【分析】（1）根據(jù)雙曲線離心率可得。=6,再將給定點(diǎn)代入計(jì)算作答.

（2）設(shè)出直線/的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示推理作

答.

【小問1詳解】

222.12

雙曲線C：A-2=l（4>0,b>0）的離心率6=&，則e2=E：=2,即〃=b,

?ba2

又點(diǎn)尸（2,-&）在C上，即2=1,解得&=b=正,

所以雙曲線。的方程為工-二=1.

22

【小問2詳解】

顯然直線/不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線/的方程為：》=叩+1,

由（1）知，雙曲線漸近線歹=±x,而直線I與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，則廚〉1,即0<|可<1,

由1/_了2—2消去X并整理得：（加—l）y+2叼—1=0，

則孝<|同<1，設(shè)力（4%）,8（%%），則

A=4W2+4(W2-1)=4(2W2-1)>0,

D(x2,-y2)，

—2加—1

于是y+y^—^—,yy=-3—7，則乂+為=2加%先，

2m-112m-1

而入(2,0),有項(xiàng)=(再一2,乂)，耳5=(%-2,-%),

因此(再-2)y2+(x2-2)y,=(my,-l)y2+(my2-l)yt=2myly2-(yi+y2)=0,

即成//月萬(wàn)，而蟲，耳5有公共點(diǎn)石，從而4鳥,。三點(diǎn)共線，

所以4。兩點(diǎn)所在直線過點(diǎn)F2.

思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中動(dòng)直線過已知定點(diǎn)問題，根據(jù)條件求出動(dòng)直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)

的坐標(biāo)關(guān)系，再借助共線向量的坐標(biāo)表示推理解決.

說明：請(qǐng)同學(xué)們?cè)冢ˋ）、（B）兩個(gè)小題中任選一題作答.

22.已知函數(shù)/（X）=xlwc+"?x.

（1）討論函數(shù)/（x）在［1,+0。）上的單調(diào)性；

（2）若p（x）=/（x）—；/nx2有兩個(gè)極值點(diǎn)，求加的取值范圍.

【正確答案】（1）見解析（2）機(jī)〉0

（分析】（1）/'（X）=Inx+1+加，分加2-1和〃?<一1討論即可；

(2)p'(x)=\nx+l-mx+fn,題目轉(zhuǎn)化為p'(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，利用分離參數(shù)法得

加="￥，設(shè)g(x)="：，利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)得圖像即可得到答案.

【小問1詳解】

/(x)=xInx+mx,f\x)=Inx+1+優(yōu),

當(dāng)x￡[1,+8),則Inx+1+加2用+1

若〃22-1,/'(x)=InX+1+加20,則/(X)在[1,+8)上單調(diào)遞增；

若加<若,令/改x)>0,即lnx+1+加>0,x>e-w-1>1

則/(X)在(e-'i,+8)上單調(diào)遞增.

令/'(x)<0,解得i〈x<e-MT,則/(x)在上單調(diào)遞減，

綜上，當(dāng)-1時(shí)，/(x)在[1,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)〃?<一1時(shí)，/(x)在(e-"』,+8)上單調(diào)遞增，在口述一1)上單調(diào)遞減.

【小問2詳解】

p(x)=x\nx+mx-^mx2,p'(x)=Inx+1一加x+加,

因?yàn)閜(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以p'(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，

顯然,1不是p'(x)的零點(diǎn)，由lnx+1-加x+加=0,得加=m，+1

x-1

即直線〃(x)=〃?與g(x)=lnA+1有兩個(gè)交點(diǎn)，

x-1

―—--Inx—1———Inx

f

ga㈠(x)=」-(-x---1-)--2---=(X---1-)-2-，

.1-，/、111—X

令〃(x)=----lnx,//(x)=——_=,

XXXX

令〃'(x)=—]—x=0,解得x=l,

X

且當(dāng)xe(0,1)時(shí)，〃'(x)>0,當(dāng)xe(l,+8)0sj-，/(x)<0

所以〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,M(x)在(1,+<?)上單調(diào)遞減，

而〃(1)=-1，故〃(x)<0,

所以g(x)在(0,1),和(L+oo)上單調(diào)遞減，

又在(0,1)上,X趨近于0時(shí),g(x)趨近于正無(wú)窮，X趨近于1時(shí),g(x)趨近于負(fù)無(wú)窮，

故函數(shù)g(x)在(0,1)之間存在唯一零點(diǎn)，

在(1,+8)上,X趨近于1時(shí)，g(x)趨近于正無(wú)窮，X趨近于正無(wú)窮時(shí),g(x)趨近于0.

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵在于等價(jià)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在定義域上有兩零點(diǎn)，然后利用分離參

數(shù)法，得到m=皿土L轉(zhuǎn)化為直線,0)=加與g(x)=^^土I有兩個(gè)交點(diǎn)，研究g(x)的

x-lX-1

圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到用的范圍.

23.(B)已知函數(shù)/(x)=xlnx+/nx.

(1)討論函數(shù)/(%)在［1,+8)上的單調(diào)性；

(2)若p(x)=/(X)--^2一(加+1)工有兩個(gè)極值點(diǎn)，且工2>2番，求證.見1%2〉/

2m

(參考數(shù)據(jù)：ln2?0.69)

【正確答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)先對(duì)/(x)求導(dǎo)，再分類討論機(jī)2-1與〃?<-1,結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)

系即可得解；

(2)先將問題轉(zhuǎn)化為g(x)=處的圖像與y的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，從而利用導(dǎo)數(shù)研究

xm

g(x)的圖像得到〃?>e；再利用極值點(diǎn)偏移，構(gòu)造函數(shù)證得x/2〉e2,由此得證.

【小問1詳解】

因?yàn)?(尤)=xlnx+〃tr,所以/''(%)=lnx+1+加，

因?yàn)閤e［l,+e),所以InxNO,

當(dāng)1+加20時(shí)，即〃?2—1時(shí)，/'(x)=lnx+1+znN0,

則/(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)1+〃?<0,即加<—1