2023年江蘇省連云港市高三年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題及答案

2023年江蘇省連云港市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,設(shè)全集U=R,集合"=仲<、<4},集合8={x|0<x<2},則集合/n(”)=

()

A(1,2)B.(1,2]C.(2,4)D.[2,4)

【答案】D

【解析】

【分析】利用補(bǔ)集和交集的定義可求得結(jié)果.

【詳解】由已知可得令3={%,<0或％?2},因此，Zc%8={x[2<x<4},

故選：D.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=4i,則目=()

A.2B.41C.20D.472

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.

4i4i(l—i),、

【詳解】由已知可得z=-=7■士~=2i(l—i)=2+2i,因此，

|z|=V22+22=2^/2.

故選：C.

3.不等式X-4〉0成立的一個(gè)充分條件是()

X

A.x<—1B.x〉—1C.—1<x<0D.

0<x<1

【答案】C

【解析】

【分析】首先解不等式X-工〉0得到x>l或-l<x<0,再根據(jù)充分條件定理求解即可.

X

1X1_1

【詳解】x——>0n----->Onx(x+l)(x—l)>Onx〉l或一l<x<0,

XX

因?yàn)閧%|0<%<1}(3卜國(guó)1或一1<%<0},

所以不等式X-L〉0成立的一個(gè)充分條件是0<X<1.

X

故選：C

4.某地元旦匯演有2男3女共5名主持人站成一排，則舞臺(tái)站位時(shí)男女間隔的不同排法共

有()

A.12種B.24種C.72種D.120種

【答案】A

【解析】

【分析】先排列2名男生共有另種排法，再將3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，

共有種排法，分步乘法原理可求得答案.

【詳解】解：先排列2名男生共有另種排法，再將3名女生插入到3名男生所形成的空隙

中，共有種排法，

所以舞臺(tái)站位時(shí)男女間隔的不同排法共有石川=12種排法，

故選：A.

5.已知向量a=(x,l)[=(2,y),c=(l,-2),且￡//",BJ_"，則性一刃卜()

A.3B.V10C.VT1D.2G

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量共線和向量垂直的坐標(biāo)表示求出x,為再求出2Z-B的坐標(biāo)計(jì)算作答.

【詳解】向量Z=(x,l)》=(2/)1=(l,—2),由￡//"得：—2x=l,即》=—

由得：2-2V=0,即y=l,于是得Z=(—g,l),1=(2,1),2H(—3,1),

所以a_可="(_3)2+12=國(guó)

故選：B

,V2

6.已知拋物線C1：/=2px{p＞0）的焦點(diǎn)/為橢圓。2：J+=1（。＞力〉0）的右焦點(diǎn),

ab2

且G與G的公共弦經(jīng)過(guò)尸，則橢圓的離心率為（）

V3-1D,也

A.V2-1B.屋r

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件求出橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)，再求出G與。2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)，借助橢圓定

義計(jì)算橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)即可作答.

【詳解】依題意，橢圓G的右焦點(diǎn)“',0），則其左焦點(diǎn)/（-go）.

設(shè)過(guò)E的G與。2的公共弦在第一象限的端點(diǎn)為點(diǎn)R由拋物線與橢圓對(duì)稱性知，F(xiàn)戶，x軸,

X=P?

直線件方程為：X=旦由＜2得點(diǎn)P(Lp),于是得廠|=夕,

22

y=2Px2

在APPF中,ZPFF'=900-IFF'\=p,貝!||「廠’|=眉，因此，橢圓a的長(zhǎng)軸長(zhǎng)

2a=\PF'\+\PF\=(y/2+V)p,

\FF'\pr

所以橢圓的離心率e=,八、=V2-1.

2a(J2+1)p

故選：A

7.如圖，一個(gè)裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落內(nèi)，容器與地面所成的

角為30。，液面呈橢圓形，橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)“，N到容器底部的距離分別是12和18,

則容器內(nèi)液體的體積是()

A.15萬(wàn)B.36"C.45〃D.48〃

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)條件通過(guò)作垂線，求得底面圓的半徑，將液體的體積看作等于一個(gè)底面半徑為

百，高為(12+18)的圓柱體積的一半，即可求解答案.

【詳解】如圖為圓柱的軸截面圖，過(guò)M作容器壁的垂線，垂足為F,

橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)M,N到容器底部的距離分別是12和18,

故NF=18—12=6,

在RtAMFN中,〃R=NRxtan30°=2百，即圓柱的底面半徑為G,

所以容器內(nèi)液體的體積等于一個(gè)底面半徑為百，高為(12+18)的圓柱體積的一半，

即為;x〃x(J§)2x30=45萬(wàn)，

故選：C.

2022

8.記[可表示不超過(guò)實(shí)數(shù)X的最大整數(shù)，記4=[log8〃],則的值為()

1=1

A.5479B.5485C.5475D.5482

【答案】B

【解析】

【分析】分別使0Vlog8〃<l、lVlog8〃<2等，然后求和即可.

【詳解】由題意可知，當(dāng)1<〃<8時(shí)，%=0；

當(dāng)8<〃<64時(shí)，％=1；

當(dāng)64?〃<512時(shí)，％=2；

當(dāng)512W〃<4096時(shí)，an=3,

2022

所以Zq=7x0+56x1+448x2+1511x3=5485.

i=l

故選：B

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

(1丫

9.已知x——產(chǎn)的展開(kāi)式中共有7項(xiàng)，貝U()

、2Jx,

A.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64

B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為1

C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)

D.有理項(xiàng)共4項(xiàng)

【答案】ACD

【解析】

【分析】由題意可得〃=6,對(duì)于A,所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2"，對(duì)于B,令x=l可求出

所有項(xiàng)的系數(shù)和，對(duì)于C,由二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)特征求解即可，對(duì)于D,求出二項(xiàng)式展開(kāi)

式的通項(xiàng)公式，可求出所有的有理項(xiàng)

【詳解】因?yàn)閤—-廣的展開(kāi)式中共有7項(xiàng)，

、2vx)

所以〃=6,

對(duì)于A,所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為26=64，所以A正確,

對(duì)于B,令x=l,則所有項(xiàng)的系數(shù)和為L(zhǎng)-工1=—,所以B錯(cuò)誤,

I2；64

對(duì)于C,由于二項(xiàng)式的展開(kāi)項(xiàng)共有7項(xiàng)，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，所以C正確,

X2,

當(dāng)r=0,2,4,6時(shí)，展開(kāi)式的項(xiàng)為有理項(xiàng)，所以有理項(xiàng)有4項(xiàng)，所以D正確，

故選：ACD

10.將函數(shù)/(x)=/sin(3+0)的圖象向左平移七個(gè)單位長(zhǎng)度后得到歹=g(x)的圖象

6

B./(x)在區(qū)間仁田上單調(diào)遞增

C.方程/(x)=l在(0,2萬(wàn))內(nèi)有4個(gè)實(shí)數(shù)根

D./(x)的解析式可以是/(x)=2sin12x_:]

【答案】BC

【解析】

【分析】利用圖象可求得函數(shù)g(x)的解析式，利用函數(shù)圖象平移可求得函數(shù)/(x)的解析

式，可判斷D選項(xiàng)；計(jì)算/(0)可判斷A選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；當(dāng)

xe(O,2〃)時(shí)，求出方程/(x)=l對(duì)應(yīng)的2x-3-可能取值，可判斷C選項(xiàng).

4(S77"TT1

【詳解】由圖可知，函數(shù)g(x)的最小正周期為7=]五+]="，，。=71=2,

A=g(x)=2,

°\/max

5/r2sinf-^+^j=2,可得sin[5票;r+o

所以，g(x)=2sin(2x+夕)，則g=1,

~n6

57rTTTC

所以，----\-(p-2k7i+—[keZ),得°=2左乃---(左EZ),

623

<三,則°二一所以，g(x)=2sin(2x—?1,

因?yàn)橄?/p>

將函數(shù)g(x)的圖象向右平移9個(gè)單位可得到函數(shù)/(x)的圖象，

6

故/(x)=2sin=2sin|2x--

I3

2%

對(duì)于A選項(xiàng),因?yàn)?(0)=2sinwO,故函數(shù)/(x)不是奇函數(shù)，A錯(cuò);

、t,萬(wàn)n,7i2萬(wàn)nn

對(duì)于B選項(xiàng),當(dāng)一<x<一時(shí)，——<2x----<0,故函數(shù)/(x)在區(qū)間上單調(diào)

6333Z'5

遞增，B對(duì);

由/(%)=2sinf2x-—1,可得sinf2x—

對(duì)于C選項(xiàng),

2

、“/\,In,2兀10%仁…c2兀In5TT13%17^|.

當(dāng)16(0A,n2?)時(shí)，----<2x----<----,所以，2x——,——,—--,1r?C對(duì);

')333316666J

對(duì)于D選項(xiàng)，/(x)=2sin^2x-*2sin^2x-y,D錯(cuò).

故選：BC.

11.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，若對(duì)于曲線>=/(x)上的任意點(diǎn)尸，都存在曲線y=/(x)

上的點(diǎn)。，使得麗?麗=0成立，則稱函數(shù)/(x)具備“⑤性質(zhì)”.則下列函數(shù)具備“⑤

性質(zhì)”的是()

A.y=x+lB.y=cos2x

Inx丫"

C.y=D.y=Q—2

x

【答案】BD

【解析】

【分析】四個(gè)選項(xiàng)都可以做出簡(jiǎn)圖，對(duì)于選項(xiàng)A和選項(xiàng)C,可在圖中選取特殊點(diǎn)驗(yàn)證排除;

選項(xiàng)B、選項(xiàng)D可在圖中任意選擇點(diǎn)尸，觀察是否存在點(diǎn)。，使得麗?麗=0成立，即可

做出判斷.

成立，那么點(diǎn)。落在直線y=x上，而此時(shí)y=x+i與y=x兩直線是平行的，不存在交點(diǎn),

故此時(shí)不滿足在y=x+i上存在點(diǎn)Q,使得麗?麗=0成立，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,如圖所示，曲線y=cos2x,對(duì)于曲線^=cos2x上的任意點(diǎn)尸，都存在曲線

y=cos2x上的點(diǎn)。，使得0尸?。0=0成立，故選項(xiàng)B正確；

X

Inv

那么點(diǎn)。落在直線＞=0上，而此時(shí)丁=—與歹=0兩曲線不存在交點(diǎn)，故此時(shí)不滿足在

x

InY

y=——上存在點(diǎn)Q,使得麗?麗=0成立，故選項(xiàng)c錯(cuò)誤;

x

選項(xiàng)D,如圖所示，曲線y=e“-2,對(duì)于曲線;/=d-2上的任意點(diǎn)尸，都存在曲線

了=二-2上的點(diǎn)。，使得麗?麗=0成立，故選項(xiàng)D正確;

故選：BD

12.如圖”一張長(zhǎng)、寬分別為亞,1的矩形紙，A,B,C,D分別是其四條邊的中點(diǎn).現(xiàn)將其

沿圖中虛線折起，使得耳,巴,巴四點(diǎn)重合為一點(diǎn)P,從而得到一個(gè)多面體，則（）

A.在該多面體中，BD=4^

B.該多面體是三棱錐

C.在該多面體中，平面840_L平面BCD

D.該多面體的體積為工

12

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用圖形翻折，結(jié)合勾股定理，確定該多面體是以4瓦。,。為頂點(diǎn)的三棱錐，利

用線面垂直，判定面面垂直，以及棱錐的體積公式即可得出結(jié)論.

【詳解】由于長(zhǎng)、寬分別為行，1,

4BCD分別是其四條邊的中點(diǎn)，

現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，

使得4,巴,々四點(diǎn)重合為一點(diǎn)P,且尸為RD的中點(diǎn)，

從而得到一個(gè)多面體ABCD,

所以該多面體是以4民。,。為頂點(diǎn)的三棱錐，故B正確;

AB=BC=CD=DA=—>AC=BD=1,AP=CP=—>故A不正確;

22

由于（乎）2+（曰）2=1,所以NP1CP,

BP1CP,可得平面ZCP,

則三棱錐4—BCD的體積為L(zhǎng)xxS4rp=-xlxlx—x—=—,故D正確；

3"b322212

因?yàn)?PLAP，APLCP,所以4Pl平面6c0,

又4Pu平面840,可得平面5401平面BCD，故C正確.

故選:BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

__UULUUJI

13.已知直線/:x+y-加=0與圓x+y=4交于4呂兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且05=2，

則實(shí)數(shù)加的值為.

【答案】±J^

【解析】

【分析】聯(lián)立直線與圓，再運(yùn)用韋達(dá)定理即可求解.

x+y-m=0、、/、,、

【詳解】聯(lián)立｛22=>2x-2加工+加一4=0,設(shè)4(占，一再+加),8(工2,一々+加)，

x-\-y=4

2

ntIm—4

貝Uxrx2=---,xx+x2=m

2

因?yàn)镺AOB-2XJX2-m(x1+x2)+m=2,

所以有加2—4—加2+加之—2,解得m=土Jd-

故答案為：土

14.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,滿足/(x+1)=2/(%),且當(dāng)XG(O,1]時(shí)，/(x)=—,

則/[g)的值為.

【答案】-2

【解析】

7

【分析】根據(jù)/(x+l)=2/(x),將/轉(zhuǎn)化為/I,然后代入已知的解析式可求得

答案

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的定義域?yàn)镽,滿足/(x+l)=2/(x),且當(dāng)xe(O,l]時(shí),

f(x)=x2-x,

75

所以/

2

24t+i

3

=4/

4/91

=8/I

=8x

故答案為：-2

3n

15.已知sin[a+w)=ae兀)則tanIa~~^

512

【答案】-7

【解析】

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出cosa+￡71、tana+￡的值，再利用兩角差

6

兀)兀71

的正切公式計(jì)算tan[a-'■卜tana+———即可求解.

6)4

(7711]712兀7兀

【詳解】因?yàn)樨,所以a+q￡

2

「i?兀3八?…兀2兀

因?yàn)閟in[a+5J=《＞0,所以0+不￡1-^-,兀

(兀)，兀3

tanccH——tan-....1

“…，兀，兀兀I6j44

所以tanex----tanexH-----

I12(64,(兀、71,3

1+tana-\——tan—1—x1

I644

故答案為：-7.

16.已知一個(gè)棱長(zhǎng)為。的正方體木塊可以在一個(gè)圓錐形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，若圓錐的底面半徑

為2,母線長(zhǎng)為4,則。的最大值為.

_41

【答案】一##1—

33

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件求出圓錐的內(nèi)切球半徑，再求出此球的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)即可作答.

【詳解】正方體木塊可以在一個(gè)圓錐形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則當(dāng)正方體棱長(zhǎng)a最大時(shí)，正方體

的外接球恰為圓錐的內(nèi)切球，

底面半徑為2,母線長(zhǎng)為4的圓錐軸截面正△S4B的內(nèi)切圓。是該圓錐內(nèi)切球。截面大圓，

如圖，

正△S4B的高5。'=@￡4=2有，則內(nèi)切圓。的半徑即球半徑氏=150'=述，

233

于是得球。的內(nèi)接正方體棱長(zhǎng)a有：島=2R=吟,解得：?=1

4

所以。的最大值為一.

3

4

故答案為：一

3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面幾何知識(shí)解題是解

決問(wèn)題的關(guān)鍵.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.在①=A^CCOSB；②2S“Be=W1BA.BC；③

tarM+tanC+G=J§tan4tanC，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中,并進(jìn)行

解答.問(wèn)題：在中，內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為見(jiàn)“c,且__________.

(1)求角3;

(2)若。是銳角三角形，且。=4,求。的取值范圍.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

⑵(2,8)

【解析】

【分析】(1)選擇①，運(yùn)用正弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系求解；選擇②，運(yùn)用面積公式及同

角三角函數(shù)關(guān)系求解；選擇③運(yùn)用正切兩角和公式及誘導(dǎo)公式求解.

(2)根據(jù)正弦定理及正切函數(shù)的單調(diào)性求解

【小問(wèn)1詳解】

選擇①：條件即bsinC=JJccosB，由正弦定理可知，sinBsinC=JIsinCcosB，

在中，B,C,所以sin8w0,sinCw0,

所以sin8=gcos3，且cosBwO,即tan8=6，所以8

選擇②：條件即2xgacsinB=AACOCOSB,即sinB=JJcosB，

在中，Be(O,〃)，所以sinBwO,貝IJCOSBHO,

一i—71

所以tanB，所以3=1.

選擇③：條件即tanA+tanC=拈(tanAtanC-l),

?…―/,一、tanA+tanCr-

所以tanB=-tan(/+C)=-------------=J3,

1-tanAtanC

在一BC中，8,Ce（O,?）,所以5=q.

【小問(wèn)2詳解】

712萬(wàn)

由（1）知，B=—，所以Z=〃-5—C=——C,

33

4sinf--C^lr-

由正弦定理可知，csinZ13）

a--------------------------------------------F2

sinCsinCtanC

0<C<-

79jrjr

由一BC是銳角三角形得，\；所以一<c<一.

?In7162

Q<AA=----C<—,

[32

所以tan?！道?，所以2<a<8,故。的取值范圍為（2,8）.

18.已知數(shù)列｛4｝滿足％=3,tz2=15,an+2=5（2,1+1-4an.

（1）設(shè)求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)g=10-log2（4+l）,求數(shù)列｛，」｝的前20項(xiàng)和乙.

【答案】（1）〃=3x4"

（2）&=260

【解析】

【分析】（1）對(duì)已知的式子變形得%+2—%+1=4（%+「4），貝114+1=4",從而可得數(shù)列

也｝是以4為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出也｝的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）求出與,從而可求出c“，進(jìn)而可求出50

【小問(wèn)1詳解】

由4+2=5a“+i—4%可知,an+2-an+l=4(《用—%),即bn+x=44，

由4=3,%=15可知，bx=a2—ax=12,

所以｛〃｝是以12為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，

所以也｝的通項(xiàng)公式為b“=12x4〃T=3X4".

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知,an+i-an=3x4",

所以%=(%+_%_2)+一,+(出_%)+%

H27

=3(4^+4-+---+4+1)==4"-1,?>2?

又％=3符合上式,所以%=4"-1,

所以C“=10—log24"=10—2〃，

所以||C(;||的前20項(xiàng)和T20=8+6+4+2+0+2+44—?+30=260.

19.如圖，在直三棱柱44cl中，AB=AC=AAX,AXBLBXC.

----------?---------?7T

（2）設(shè)5M=若二面角4—MC—G的大小為7,求

【答案】（1）證明見(jiàn)解析.

(2)X——

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定可得證;

(2)以｛彳瓦就，而｝為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Z-xyz,利用面面角的空間向量求

解方法，建立方程求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

證明：在直三棱柱4BC—4BG中，441，平面45。，

又N8,ZCu平面所以24,

又AB=AA「所以四邊形是正方形.連接/耳，則

又4B上BC，4B]c8C=8],48i，8|Cu平面48C,所以力出，平面48(，

又/Cu平面Z5C,所以48LZC,

又AAX±AC,ABnAA,=A,AB,AAiu平面ABBXAX,所以/C，平面ABBXAX,

又Z8u平面288/,所以451ZC.

【小問(wèn)2詳解】

解：以｛彳瓦"，石｝為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系/-孫z,設(shè)78=1,

則8(1,0,0),C(0,1,0),4(0,0,1),旦(1,0,1),

設(shè)M(l,0,2),則猛=(1,0,2_1),京=(0,1,_1),率=(0,0,_1),鴕=(_1,1,_1),

設(shè)平面4MC的法向量為￡=(x,y,z7

m-A.M=0,fx+z(2-l)=0,\x=z(l-2),

則《一L'即｛I)得｛l，，取z=l,則平面4MC的一個(gè)法

m-A[C=0,[y-z=0,[y=z,

向量為浣=(1—41,1),

n-B,B=0,~-

考慮向量”=(1,1,0),滿足<—所以〃=（1,1,0）是平面8CG用的一個(gè)法向量,

n-BxC-0,

jr

因?yàn)槎娼茿—MC—C1的大小為一,

4

m-n|2-V2

所以cos77解得X=

m\\nV2X7(1-2)2+222

20.為了提高生產(chǎn)效率，某企業(yè)引進(jìn)一條新的生產(chǎn)線，現(xiàn)要定期對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè).每次抽取

100件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)新產(chǎn)品中的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)數(shù)，根據(jù)測(cè)量結(jié)果得到如下頻率分布直

萬(wàn)圖.

頻率

0.33--------------------------------

展二二二二

O9

O8

0V16.517.518.519.520.521.522.523.5指標(biāo)數(shù)

（1）指標(biāo)數(shù)不在17?5和22.5之間的產(chǎn)品為次等品，試估計(jì)產(chǎn)品為次等品的概率;

（2）技術(shù)評(píng)估可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)數(shù)X服從正態(tài)分布N（〃,1.222）,其中〃近

似為樣本的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），計(jì)算〃值，并計(jì)算產(chǎn)品

指標(biāo)數(shù)落在（17.56,22.44）內(nèi)的概率.

參考數(shù)據(jù):X?N,,6,則尸（〃—cr<X<〃+（?）=0.6826,

尸（〃—2b<X<〃+2a）=0.9544.

【答案】（1）0.04

（2）必=20,0.9544

【解析】

【分析】（1）由頻率和為1求參數(shù)。，結(jié)合頻率直方圖求在17.5和22.5的頻率即可得出結(jié)

果.

（2）按平均數(shù)公式求解〃，由X~N（20,1.222）,根據(jù)公式對(duì)比計(jì)算即可得出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

由1X(a+0.09+0.22+0.33+0.24+0.08+a)=1,解得a=0.02,

樣本中指標(biāo)數(shù)不在17.5和22.5之間的頻率為0.02x(l+l)=0.04,

所以產(chǎn)品為次等品的概率估計(jì)值為0.04.

【小問(wèn)2詳解】

依題意

//=17x0,02+18x0.09+19x0.22+20x0.33+21x0.24+22x0.08+23x0.02=20.

所以X~N(20,L222),

所以P(17.56<x<22.44)=P(20-2x1.22<x<20+2x1.22)=0.9544.

2

21.已知函數(shù)/(x)=Inx,g(x)-ax+----5.

x

(1)證明：/(x)<Vx;

(2)若函數(shù)/(x)的圖象與g(x)的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)(0,3).

【解析】

【分析】⑴構(gòu)造函數(shù)尸(x)=lnx-利用導(dǎo)數(shù)求得E(x)max<0,可證得所證不等式

成立；

(2)由/(x)=g(x)可得3—2，構(gòu)造函數(shù)〃(回=出吧—之，其中x>0,

XXXXX

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線V=。與函數(shù)〃(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/z(x)的單調(diào)性與

極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

解：要證/(x)<4，即證：當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，不等式Inx—4<0恒成立.

=IIIX-A/X,則/'(％)=工--^==-—―,

x2-x/x2x

故當(dāng)0<x<4時(shí)，尸(x)〉0,R(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>4時(shí)，F(xiàn)r(x)<0,R(x)單調(diào)遞減.

則尸(X)max=/(4)=拈4-2<0,故f(X)<G.

【小問(wèn)2詳解】

InYS)xInx+5x-2

解：由/(x)=g(x)可得a=——+----w

XXX

S+1nx2

構(gòu)造函數(shù)〃(x)=--------「其中x>0,

XX

則”+皿+黑必3,

當(dāng)0<x<l時(shí)，4-4x>0,tax<0,貝！(尤)>0,此時(shí)函數(shù)/z(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x>l時(shí)，4-4x<0,lnx>0,則/z'(x)<0,此時(shí)函數(shù)〃(x)單調(diào)遞減,

所以，人⑺111ax=力⑴=3,

令0(x)=xlnx+5x—2,則當(dāng)x>l時(shí)，>5x-2>0,

2

當(dāng)0<x<一時(shí),0(x)<5x-2<O,故存在不時(shí)，使得0(%)=0,即力(玉))=0,

5

作出函數(shù)〃(x)與V=。的圖象如下圖所示:

因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,3).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：

(1)直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基

本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體

現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；

(3)參變量分離法：由/(x)=0分離變量得出a=g(x),將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線V=a與

函數(shù)y=g(x)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.

22(5

22.已知