第09講動態(tài)平衡平衡中的臨界與極值問題（講義）

第09講動態(tài)平衡平衡中的臨界與極值問題目錄復(fù)習(xí)目標(biāo)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建考點一動態(tài)平衡【夯基·必備基礎(chǔ)知識梳理】知識點1動態(tài)平衡及基本思路知識點2處理動態(tài)平衡問題的四種方法【提升·必考題型歸納】考向1解析法考向2圖解法考向3相似三角形法考向4拉密定理法（正弦定理法或輔助圓法）考點二平衡中的臨界與極值問題【夯基·必備基礎(chǔ)知識梳理】知識點平衡中的臨界、極值問題的處理方法【提升·必考題型歸納】考向1圖解法考向2數(shù)學(xué)解析法真題感悟掌握處理動態(tài)平衡問題的方法。會利用數(shù)學(xué)的方法處理臨界極值問題?？键c要求考題統(tǒng)計考情分析（1）共點力的動態(tài)平衡（2）平衡中的臨界極值問題2022年河北卷第7題2022年湖南卷第3題2022年1月浙江卷第5題高考對共點力的動態(tài)平衡考查相對較為頻繁，解決此類問題的主要方法有解析法、圖解法、三角形相似法、拉密定理法等，模型的特點相對明顯。對于平衡中的臨界極值問題考查的頻度不是太高，如果考查，解決的方法主要是圖解法和數(shù)學(xué)解析法。兩個考點所考查題目的主要出現(xiàn)在選擇題部分，難度不是太大?？键c一動態(tài)平衡知識點1動態(tài)平衡及基本思路1.所謂動態(tài)平衡問題，是指通過控制某些物理量，使物體的狀態(tài)發(fā)生緩慢變化，而在這個過程中物體又始終處于一系列的平衡狀態(tài)，常利用圖解法解決此類問題。2.基本思路：化“動”為“靜”，“靜”中求“動”。知識點2處理動態(tài)平衡問題的四種方法1.解析法：對研究對象進行受力分析，先畫出受力示意圖，再根據(jù)物體的平衡條件，得到因變量與自變量的關(guān)系表達式(通常要用到三角函數(shù))，最后根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化。2.圖解法：(1)特點：物體受三個共點力，有一個力是恒力、另有一個力方向不變的問題。(2)方法：eq\x(\a\al(受力,分析))eq\o(→,\s\up7(化“動”為“靜”))eq\x(\a\al(畫不同狀態(tài),下的平衡圖))eq\o(→,\s\up7(“靜”中求“動”))eq\x(\a\al(確定力,的變化))3.三角形相似法：(1)特點：在三力平衡問題中，如果有一個力是恒力，另外兩個力方向都變化，且題目給出了空間幾何關(guān)系。(2)方法：①對物體在某個位置作受力分析；②以兩個變力為鄰邊，利用平行四邊形定則，作平行四邊形；③找出相似的力的矢量三角形和空間幾何三角形；④利用相似三角形對應(yīng)邊的比例關(guān)系確定力的變化。4.拉密定理法（正弦定理法或輔助圓法）：(1)特點：物體受三個共點力，這三個力其中一個力為恒力，另外兩個力都變化，且變化兩個力的夾角不變。(2)拉密定理：（3）輔助圓法：畫出三個力的矢量三角形的外接圓，不便力為一固定弦，因為固定弦所對的圓周角大小始終不變，改變一力的方向，另一大小方向變化情況可得?？枷?解析法1．如圖所示，P為光滑定滑輪，O為光滑輕質(zhì)動滑輪，輕繩跨過滑輪，左端與物體A相連，右端固定在桿Q上，重物B懸掛在動滑輪上。將A置于靜止在粗糙水平面的斜面體上，輕繩段與斜面平行，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。若將桿Q向右移動一小段距離，斜面體與物體A仍保持靜止?fàn)顟B(tài)，待動滑輪靜止后，下列說法正確的是（）

A．輕繩中拉力減小B．物體A與斜面體之間的摩擦力一定增大C．斜面體與地面之間的彈力增大D．斜面體與地面之間的摩擦力增大【答案】D【詳解】A．若將桿Q移動一段距離，斜面體與物體A仍保持靜止?fàn)顟B(tài)，待動滑輪靜止后，變大，兩繩拉力大小相等，合力與B的重力等大反向，設(shè)繩OP與豎直方向夾角為，則有角度變大，則繩中拉力變大，A錯誤；B．根據(jù)上述，繩中拉力變大，如果開始A受到的摩擦力沿斜面向上，則摩擦力可能減小，也有可能反向，如果開始A受到摩擦力沿斜面向下，則摩擦力增大，B錯誤；C．對A和斜面整體分析，斜面傾角為，水平方向有豎直方向有繩的拉力變大，斜面體與地面之間的摩擦力變大，斜面體與地面之間的彈力變小，C錯誤，D正確。故選D。2．如圖所示，A是圓柱體的橫截面，其弧形表面光滑，與地面接觸的下表面粗糙，在光滑豎直墻壁與柱體之間放置一質(zhì)量為m的球體，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。若使柱體向左移動少許，球體m仍未與地面接觸，系統(tǒng)仍處于平衡狀態(tài)，則（）A．球?qū)Φ膲毫ψ兇?B．柱體與球之間的作用力變小C．柱體對地面的壓力大小不變 D．柱體對地面的摩擦力大小變小【答案】AC【詳解】AB．對小球進行受力分析可得，如圖所示根據(jù)平衡條件可得；柱體向左移動，增大，、都增大，又因為球?qū)Φ膲毫Υ笮〉扔趬η虻闹С至Γ蔄正確，B錯誤；C．把柱體和球看做一個整體進行受力分析，根據(jù)平衡條件可得；，增大，增大，柱體所受地面的摩擦力增大，而柱體對地面的壓力大小等于地面對柱體的支持力，由于整體的重力不變，柱體對地面的壓力也不變，故C正確，D錯誤。故選AC?？枷?圖解法3．在沒有起重機的情況下，工人要將油桶搬運上汽車，常常用如圖所示的方法。已知油桶重力大小為G，斜面的傾角為。當(dāng)工人對油桶施加方向不同的推力F時，油桶始終處于勻速運動狀態(tài)。假設(shè)斜面與油桶的接觸面光滑。在推力F由水平方向逐漸變?yōu)樨Q直方向的過程中，以下關(guān)于油桶受力的說法正確的是（）A．若力F沿水平方向，F(xiàn)的大小為B．若力F沿水平方向，斜面對油桶的支持力大小為C．F由水平方向逐漸變?yōu)樨Q直方向的過程中，斜面對油桶的支持力逐漸變大D．F由水平方向逐漸變?yōu)樨Q直方向的過程中，推力F的最小值為【答案】D【詳解】AB．當(dāng)力F沿水平方向時，由于油箱為勻速運動狀態(tài)，因此受力平衡，則水平和豎直方向上有解得故AB錯誤；CD．當(dāng)力F由水平方向逐漸變?yōu)樨Q直方向的過程中，油桶的受力分析圖如下所示故支持力在逐漸變小，且推力最小為力F和支持力N垂直，也即沿斜面方向，此時最小值為故C錯誤，D正確。故選D。4．質(zhì)量均勻分布的直導(dǎo)體棒放置于四分之一的光滑圓弧軌道上，其截面如圖所示。導(dǎo)體棒中通有電流強度大小為I的電流，空間存在磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場，磁場的方向豎直向上。導(dǎo)體棒平衡時，導(dǎo)體棒與圓心的連線跟豎直方向的夾角為），軌道對導(dǎo)體棒的彈力為。下列說法正確的是（）

A．若僅將電流強度I緩慢增大，則θ逐漸減小B．若僅將電流強度I緩慢增大，則逐漸減小C．若僅將磁場方向沿逆時針緩慢轉(zhuǎn)過，則逐漸增大再減小D．若僅將磁場方向沿逆時針緩慢轉(zhuǎn)過，則θ逐漸增大再減小【答案】D【詳解】AB．對導(dǎo)體棒受力分析，受重力、支持力和電場力，受力如圖

若僅將電流強度Ⅰ緩慢增大，安培力的逐漸增大，根據(jù)受力平衡和平行四邊形法則可知θ逐漸增大，F(xiàn)N逐漸增大，故AB錯誤；CD．導(dǎo)體棒受到重力、安培力和彈力，安培力和彈力的合力始終與重力等大反向，的大小不變，作出矢量圖如下圖所示

的方向始終與磁場方向垂直，根據(jù)矢量圖可知若僅將磁場方向沿逆時針緩慢轉(zhuǎn)過90°，先增大再減小，逐漸減小，故C錯誤，D正確。故選D?？枷?相似三角形法5．如圖，在豎直平面內(nèi)固定一光滑的半圓環(huán)，圓心為O、半徑為R，OA為半圓環(huán)的豎直半徑，AB為與OA在同一直線上的光滑固定桿，半圓環(huán)上套有一小球a，桿AB上套有另一小球b。兩小球之間連接一輕彈簧，初始時小球a在距圓環(huán)A點右側(cè)不遠處的P點，小球b固定于桿AB上的Q點，兩小球間距離為R?，F(xiàn)用外力使小球b沿桿AB緩慢向上移動一段距離，但未到達A點。在移動過程中彈簧始終在彈性限度內(nèi)且在一條直線上，兩小球均可視為質(zhì)點，則下列說法正確的是（）A．初始時彈簧彈力大于半圓環(huán)對小球a的彈力B．初始時彈簧彈力大于小球a的重力C．小球b沿桿緩慢向上移動過程中，環(huán)對小球a的支持力先增大后減小D．小球b沿桿緩慢向上移動過程中，彈簧彈力增大【答案】D【詳解】AB．對小球a進行受力分析，小球a受重力G，半圓環(huán)對小球a的支持力和彈簧彈力F，三力平移后構(gòu)成一首尾相連的三角形，如圖所示，力的三角形與三角形OPQ相似，根據(jù)三角形相似有初始時，所以選項AB錯誤；C．小球b緩慢上移過程，小球a處于動態(tài)平衡狀態(tài)，隨著小球b上移，OQ減小，OP不變，重力G不變，半圓環(huán)對小球的支持力增大，選項C錯誤；D．設(shè)彈簧的原長為L，彈簧的形變量為x，根據(jù)胡克定律有則，OQ減小，重力G不變，L不變，則彈簧形變量x增大，彈簧彈力F增大，選項D正確。故選D。6．如圖所示，木板B放置在粗糙水平地面上，O為光滑鉸鏈。輕桿一端與鉸鏈O固定連接，另一端固定連接一質(zhì)量為m的小球A?，F(xiàn)將輕繩一端拴在小球A上，另一端通過光滑的定滑輪由力F牽引，定滑輪位于O的正上方，整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)改變力F的大小使小球A和輕桿從圖示位置緩慢運動到正下方，木板始終保持靜止，則在整個過程中（）A．外力F大小不變 B．輕桿對小球的作用力大小變小C．地面對木板的支持力逐漸變小 D．地面對木板的摩擦力逐漸減小【答案】D【詳解】A．對小球A進行受力分析，三力構(gòu)成矢量三角形，如圖所示根據(jù)幾何關(guān)系可知兩三角形相似，因此緩慢運動過程越來越小，則F逐漸減小，故A錯誤；B．由于OA長度不變，桿對小球的作用力大小不變，故B錯誤；CD．對木板，由于桿對木板的作用力大小不變，方向向右下，但桿的作用力與豎直方向的夾角越來越小，所以地面對木板的支持力逐漸增大，地面對木板的摩擦力逐漸減小，故C錯誤，D正確。故選D。考向4拉密定理法（正弦定理法或輔助圓法）7．如圖所示，V型光滑擋板AOB之間放置有一質(zhì)量均勻的球體，初始時系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)將整個裝置以O(shè)點為軸順時針緩慢轉(zhuǎn)動（∠AOB保持不變），在AO由水平轉(zhuǎn)動90°到豎直的過程中，下列說法正確的是（）A．擋板AO的彈力逐漸增大 B．擋板AO的彈力先增大后減小C．擋板BO的彈力逐漸減小 D．擋板BO的彈力先增大后減小【答案】B【詳解】AB．V型光滑擋板轉(zhuǎn)動過程中，對小球受力分析，各個力的夾角如圖所示由拉密定理可得因為整個裝置以O(shè)點為軸順時針緩慢轉(zhuǎn)動，∠AOB保持不變，故不變，不變，保持不變，在AO由水平轉(zhuǎn)動90°到豎直的過程中，從銳角增大到鈍角，先增大后減小，故擋板AO的彈力先增大后減小，A錯誤，B正確；CD．從180°減小到90°，一直增大，故擋板BO的彈力一直增大，CD錯誤。故選B。8．如圖所示為某獨輪車搬運光滑圓柱體的截面圖，兩擋板OA、OB可繞O點轉(zhuǎn)動，且保持不變，初始時OB與水平方向夾角為60°。保持O點的位置不變，使兩擋板沿逆時針方向緩慢轉(zhuǎn)動至OA水平。在此過程中關(guān)于圓柱體的受力情況，下列說法正確的是（）A．擋板OA對圓柱的作用力一直增大B．擋板OA對圓柱的作用力先增大后減小C．擋板OB對圓柱的作用力一直增大D．小車對圓柱的作用力先減小后增大【答案】B【詳解】由題意可知，初始狀態(tài)兩擋板對圓柱彈力均等于mg，重力個兩彈力組成閉合三角形，如圖兩擋板沿逆時針方向緩慢轉(zhuǎn)動至OA水平過程中，兩擋板彈力夾角不變，則擋板OA對圓柱的作用力先增大后減小，擋板OB對圓柱的作用力逐漸減小。小車對圓柱的作用力等于mg保持不變。故選B?？键c二平衡中的臨界與極值問題知識點平衡中的臨界、極值問題的處理方法1．臨界問題：當(dāng)某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等語言敘述。2．極值問題：平衡物體的極值，一般指在力的變化過程中的最大值或最小值。3．解決極值問題和臨界問題的方法(1)圖解法：根據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進行動態(tài)分析，確定最大值與最小值。(2)數(shù)學(xué)解析法：通過對問題的分析，依據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關(guān)系(或畫出函數(shù)圖像)，用數(shù)學(xué)方法求極值(如求二次函數(shù)極值、三角函數(shù)極值等)。考向1圖解法1．一不可伸長的細線套在兩光滑且大小不計的定滑輪上，質(zhì)量為m的圓環(huán)穿過細線，如圖所示。現(xiàn)施加一作用力F使圓環(huán)保持靜止?fàn)顟B(tài)，且細線始終有張力作用，若AC段豎直，BC段水平，AC長度等于BC長度，重力加速度為g，則下列說法正確的是（）A．F的大小不可能為mg B．F的最小值為C．大小為2mg的力F對應(yīng)有兩個方向 D．F的方向可能豎直向下【答案】B【詳解】同一根細線上拉力大小相等，AC細線、BC細線的合力為T，方向與豎直方向成45°角，如圖所示A．力F在水平方向時，大小為mg，A錯誤；B．當(dāng)F與T垂直時取最小值，可知F的最小值為，B正確；C．大小為2mg的力F只對應(yīng)一個方向，C錯誤；D．F的方向與豎直向下時，不能構(gòu)成閉合矢量三角形，無解，D錯誤；故選B。2．如圖所示，將質(zhì)量為m的球放在和兩個與紙面垂直的光滑板之間，兩板與水平面夾角并保持靜止。板固定，板與板活動連接，板可繞通過點且垂直紙面的軸轉(zhuǎn)動。在角緩慢地由增大到的過程中（）A．球?qū)Π鍓毫Φ淖畲笾禐?B．球?qū)Π鍓毫Φ淖畲笾禐镃．球?qū)Π鍓毫Φ淖畲笾禐?D．球?qū)Π鍓毫Φ淖畲笾禐椤敬鸢浮緽【詳解】小球受到重力，板的支持力，板的支持力三個力作用下保持平衡狀態(tài)，在角緩慢地由增大到的過程中，小球的重力保持不變，板對球的支持力方向不變，只有板對球的支持力方向在變化，如圖所示分別是小球在與水平面夾角在和的受力情景圖根據(jù)三角形定則，可知隨著角緩慢地增大，板的對球支持力也逐漸增大，當(dāng)時，板對球的支持力最大，從受力圖可知板對球的支持力等于小球的重力，根據(jù)牛頓第三定律可得球?qū)Π鍓毫Φ淖畲笾禐?，B正確，ACD錯誤；故選B。考向2數(shù)學(xué)解析法3．一個質(zhì)量為1kg的物體放在粗糙的水平地面上，現(xiàn)用最小的拉力拉它，使其做勻速運動，已知這個最小拉力為6N，g取10m/s2，滑動摩擦力等于最大靜摩擦力。則物體與地面間的動摩擦因數(shù)μ及最小拉力與水平方向的夾角θ的正切值tanθ分別為（）A．μ=，tanθ=0 B．μ=，tanθ=C．μ=，tanθ= D．μ=，tanθ=【答案】B【詳解】物體在水平地面上做勻速運動，因拉力與水平方向的夾角θ不同，物體與水平地面間的彈力不同，因而滑動摩擦力也不同，但拉力在水平方向的分力與滑動摩擦力大小相等。以物體為研究對象，受力分析如圖所示因為物體處于平衡狀態(tài)，在水平方向上有Fcosθ=μFN在豎直方向上有Fsinθ+FN=mg解得F=其中tanφ=當(dāng)θ+φ=90°即θ=arctanμ時sin(θ+φ)=1F有最小值Fmin=代入數(shù)值得μ=此時tanθ=故選項B正確。4．如圖所示，天花板下方通過支架固定一光滑輕滑輪，一足夠長的細繩跨過滑輪，一端懸掛小球b，另一端與套在水平細桿上的小球a連接，小球a與b的質(zhì)量分別為m和2m。在水平拉力F作用下小球a從圖示虛線（最初是豎直的）位置開始緩慢向右移動至（細繩中張力大小視為不變，b球始終未觸及細桿）。小球a與細桿間的動摩擦因數(shù)為。則此過程中拉力F的可能值為（）A．mg B． C． D．【答案】ABC【詳解】對小球b有對小球a有進行受力分析如圖所示由于小球a從圖示虛線（最初是豎直的）位置開始緩慢向右移動至過程中可知則在豎直方向上有則在水平方向有解得假設(shè)，解得則可求得小球a從圖示虛線位置開始緩慢向右移動過程中，減小，可知F逐漸增大，解得故選ABC。1．（2022年河北高考真題）如圖，用兩根等長的細繩將一勻質(zhì)