2.6.1函數(shù)的單調(diào)性（課件）高二數(shù)學（北師大版2019選擇性）

函數(shù)的單調(diào)性（4）.對數(shù)函數(shù)的導數(shù):（5）.指數(shù)函數(shù)的導數(shù):

（3）.三角函數(shù)：（1）.常函數(shù)：(C)/

,(c為常數(shù))；

（2）.冪函數(shù)：(xn)/

溫故知新導數(shù)的運算法則:法則1:法則2:法則3:判斷函數(shù)單調(diào)性有哪些方法？比如：判斷函數(shù)的單調(diào)性。xyo函數(shù)在上為____函數(shù)，在上為____函數(shù)。圖象法定義法減增如圖：

首先我們回憶一下函數(shù)的單調(diào)性的概念和導數(shù)的幾何意義.函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間G上，當x1、x2∈D且x1＜x2時函數(shù)單調(diào)性判定單調(diào)函數(shù)的圖象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，則f(x)在D上是增函數(shù)；2）都有f(x1)＞f(x2)，則f(x)在D上是減函數(shù)；若f(x)在D上是增函數(shù)或減函數(shù)，增函數(shù)減函數(shù)則f(x)在D上具有嚴格的單調(diào)性。D稱為單調(diào)區(qū)間D=(a,b)二、復習引入:(2)作差f(x1)－f(x2)(作商)用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：(1)任取x1、x2∈D，且x1<x2.(4)定號(判斷差f(x1)－f(x2)的正負)(與0比較)(3)變形(因式分解、配方、通分、提取公因式)(5)結(jié)論本章學后，此方法基本上就被淘汰yx0abc單調(diào)性導數(shù)的正負函數(shù)及圖象xyoxyo切線斜率的正負xyo函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系？k>0k>0k<0k<0++--遞增遞減導數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性之間具有如下的關(guān)系：(1)若在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f'(x)>0,則在這個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增；(2)若在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f'(x)<0,則在這個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減.抽象概括：導數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性之間具有如下的關(guān)系：注意

若在某個區(qū)間內(nèi),f'(x)≥0且只在有限個點為0，則在這個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增;

若在某個區(qū)間內(nèi)，f'(x)≤0,且只在有限個點為0,則在這個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減.例1討論函數(shù)f(x)=2x3一3x2—36x+16的單調(diào)性.解f'(x)=6x2-6x-36=6(x+2)(x-3).設f'(x)＞0,則6(x+2)(x-3)＞0,即x＜-2或x＞3.故當x∈(-∞,-2)或x∈(3,+∞)時,f'(x)＞0,因此，在這兩個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)f(x)均單調(diào)遞增；當x∈(-2,3)時,f'(x)＜0,因此，在這個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.函數(shù)的單調(diào)性決定了函數(shù)圖象的大致形狀.因此，當確定了函數(shù)的單調(diào)性后，再通過描出一些特殊的點，如(-2,60),(3,-65)等，就可以畫出函數(shù)的大致圖象.圖2-14即為函數(shù)f(x)=2x3一3x2—36x+16的大致圖象.總結(jié):當遇到三次或三次以上的,或圖象很難畫出的函數(shù)求單調(diào)性問題時，應考慮導數(shù)法。納①求定義域②求③令④作出結(jié)論1°什么情況下，用“導數(shù)法”求函數(shù)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間較簡便？2°試總結(jié)用“導數(shù)法”求單調(diào)區(qū)間的步驟？歸

解：（1）因為f(x)=x3+3x，所以f′(x)=3x2+3=3(x2+1)>0；所以函數(shù)f(x)=x3+3x

在R

上單調(diào)遞增，如圖(1)所示；y

=x3

+3xxyO（1）xyO

（2）11

例2已知導函數(shù)的下列信息:當1<x<4時,當x>4,或x<1時,當x=4,或x=1時,試畫出函數(shù)的圖象的大致形狀.解:

當1<x<4時,可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

當x>4,或x<1時,可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;

當x=4,或x=1時,

綜上,函數(shù)圖象的大致形狀如右圖所示.xyO14變式：已知導函數(shù)的下列信息：試畫出函數(shù)圖象的大致形狀。分析：ABxyo23ABxyo23變式：已知導函數(shù)的下列信息：試畫出函數(shù)圖象的大致形狀。分析：ABxyo23解：的大致形狀如右圖：xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C高考試練習：嘗設是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如右圖所示,則的圖象最有可能的是()總結(jié):

當遇到三次或三次以上的,或圖象很難畫出的函數(shù)求單調(diào)性問題時，應考慮導數(shù)法。納①求定義域②求③令④作出結(jié)論1°什么情況下，用“導數(shù)法”求函數(shù)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間較簡便？2°試總結(jié)用“導數(shù)法”求單調(diào)區(qū)間的步驟？歸總結(jié)：1.導數(shù)求單調(diào)區(qū)間首先要確定函數(shù)的定義域2單調(diào)區(qū)間不能用“∪”聯(lián)系，而只能用“，”隔開注意高考試Bxyo練習嘗

例：f(x)=x3,f(x)=x-sinx已知函數(shù)在(a,b)上的單調(diào)性,求參數(shù)的取值范圍:（1）若f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù),則轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0在(a,b)上恒成立;（2）若f(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù),則轉(zhuǎn)化為f′(x)≤0在(a,b)上恒成立.然后檢驗參數(shù)的取值能否使f′(x)恒等于0.請注意：逆向問題——已知單調(diào)性求參數(shù)有“=”f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為0.例3.討論二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:

由,得,即函數(shù)的遞增區(qū)間是;相應地,函數(shù)的遞減區(qū)間是

由,得,即函數(shù)的遞增區(qū)間是;相應地,函數(shù)的遞減區(qū)間是拓展提升：方程根的問題求證：方程只有一個根。隨堂練習1.函數(shù)在R上是減函數(shù)，則（）D2.設函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導，y=f(x)的圖象如右圖所示，則導函數(shù)f'(x)的圖象可能是（）(A)(B)(C)(D)D3.已知函數(shù)則的單調(diào)區(qū)間為

4.已知函數(shù)f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0)，若f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,4)，則k=____.1

4.討論f(x)=x3-6x2+9x-3的單調(diào)性.解:f'(x)=3x2-12x+9令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,當或時，f(x)是增函數(shù).令3x2-12x+9<0,解得1<x<3,因此,當時,f(x)是減函數(shù).

5.如果函數(shù)y=f(x)的圖象如圖1，那么導函數(shù)的圖象可能是（

）A評注：利用函數(shù)的圖像求導函數(shù)的圖像，應注意函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的正、負的關(guān)系.

6.若上是減函數(shù)，則b的取值范圍是（）A.

B.

C.

D.C

解析:由條件，函數(shù)上是減函數(shù)，則.7.函數(shù)f(x)的導函數(shù)

f′(x)的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的是()A．函數(shù)f(x)在區(qū)間(-3，0)上是減函數(shù)B．函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，3)上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，2)上是減函數(shù)D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，4)上是增函數(shù)A

x(?∞，?1)?1(?1，2)2(2，+∞)f′(x)+0?0+f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，f(x)在(?∞，?1)和(2，+∞)上都單調(diào)遞增，在(?1，2)上單調(diào)遞減.xyO

函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)正負的關(guān)系注意：應正確理解“某個區(qū)間”的含義,它必須是定義域內(nèi)的某個區(qū)間。小結(jié)小結(jié)＊

用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）求，并判斷的符號；

（2