離散型隨機變量及其分布列 高二下數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修3

第七章

隨機變量及其分布7.2離散型隨機變量及其分布列學(xué)習(xí)目標(biāo)1.

理解隨機變量及離散型隨機變量的含義2.了解隨機變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.3.掌握離散型隨機變量分布列的表示方法和性質(zhì).4.理解兩點分布．知識準(zhǔn)備一般地，一個試驗如果滿足下列條件：①試驗可以在相同的情形下重復(fù)進行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不只一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果;這種試驗就是一個隨機試驗，為了方便起見，也簡稱試驗.隨機試驗的概念：新知探究引例1：下列隨機試驗如何表示樣本空間中的樣本點？（1）拋擲一枚骰子，可能出現(xiàn)的點數(shù)；（2）擲兩枚骰子，兩枚骰子的點數(shù)之和；（3）從有正品和次品的產(chǎn)品中隨機抽取一件，可能出現(xiàn)的結(jié)果。（1）用實數(shù)m(m=1，2，3，4，5，6)表示“擲出的點數(shù)為m”；（2）樣本空間為Ω={(x,y)|x,y=1,2,…,6}，用x+y表示“兩枚骰子的點數(shù)之和”，樣本點(x,y)就與實數(shù)x+y對應(yīng).（3）對于任何一個隨機試驗，總可以把它的每個樣本點與一個實數(shù)對應(yīng)．即通過引入一個取值依賴于樣本點的變量X，來刻畫樣本點和實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，實現(xiàn)樣本點的數(shù)量化．因為在隨機試驗中樣本點的出現(xiàn)具有隨機性，所以變量X的取值也具有隨機性.新知探究新知探究引例2：考察下列隨機試驗及其引入的變量:試驗1：從100個電子元件(至少含3個以上次品)中隨機抽取三個進行檢驗，變量X表示三個元件中的次品數(shù);試驗2：拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數(shù).思考：（1）這兩個隨機試驗的樣本空間各是什么? （2）各個樣本點與變量的值是如何對應(yīng)的? （3）變量X,Y有哪些共同的特征?新知探究試驗1：從100個電子元件(至少含3個以上次品)中隨機抽取三個進行檢驗，變量X表示三個元件中的次品數(shù);分析：用0表示“元件為合格品”，1表示“元件為次品”，則樣本空間為：Ω1={000，001，010，011，100，101，110，111}.各樣本點與變量X的值的對應(yīng)關(guān)系為：新知探究試驗2：拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數(shù).分析：用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，則樣本空間為：各樣本點與變量Y的值的對應(yīng)關(guān)系為：Ω2=(h，th,tth,ttth，...)

思考：上述變量X、Y有哪些共同特征？新知探究（1）隨機變量取具體的實數(shù)值，且取值依賴于樣本點；（2）試驗之前可以判斷其所有可能的取值；（3）隨機變量建立了實數(shù)與試驗結(jié)果之間的對應(yīng)關(guān)系。即：每一個取值都對應(yīng)特定的試驗結(jié)果概念生成

一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點w，都有唯一的實數(shù)X(w)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機變量.隨機變量：

試驗1中隨機變量X的可能取值為0，1，2，3；試驗2中隨機變量Y的可能取值為1，2，3，...，有無限個取值，但可以一一列舉出來。離散型隨機變量：

取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱之為離散型隨機變量；通常用大寫英文字母表示隨機變量，例如X，Y，Z.概念辨析判斷下列變量是否為離散型隨機變量：（1）從10張已編號的卡片（從1號到10號）中任取1張，被取出的卡片的號數(shù)；（2）接連不斷地射擊，首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)；（3）某人上班途中共有5個紅綠燈路口，此人某天上班遇到紅燈次數(shù)X；（4）一瓶果汁的容量為500±2ml，隨機抽取一瓶檢測其容量Y.（5）某林場樹木最高達50米，此林場樹木的高度.離散型離散型離散型連續(xù)型連續(xù)型小試牛刀1、一個袋中裝有8個紅球和3個白球，若從中任取5個，則其中所含白球的個數(shù)X就是一個隨機變量，求X的取值范圍，并說明X的不同取值所表示的事件。解：X的取值范圍是{0，1，2，3}，其中{X=0}表示的事件是“取出0個白球，5個紅球”；{X=1}表示的事件是“取出1個白球，4個紅球”；{X=2}表示的事件是“取出2個白球，3個紅球”；{X=3}表示的事件是“取出3個白球，2個紅球”；變式：{X<2}在這里又表示什么事件呢？小試牛刀2、一個袋中有5個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5，從中任取3個球，取出的球的最大號碼記為X,求X的取值，并說明每個取值所表示的事件。新知探究探究：拋擲一枚骰子，所得的點數(shù)X有哪些值？X取每個值的概率是多少？X＜3的概率為多少？X為偶數(shù)的概率又為多少？X123456P

解：X的取值有1、2、3、4、5、6，則P(X=m)=，m=1,2,3,4,5,6

概念生成一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率

P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列.概率分布列：概念生成思考：離散型隨機變量分布列具有哪些性質(zhì)？（1）pi≥0，i=1,2,3,4,...，n（2）p1+p2+p3+...+pn=1典例剖析例1、在擲一枚圖釘?shù)碾S機試驗中，令

，如果針尖向上的概率為p，試寫出隨機變量X的分布列。解：根據(jù)分布列的性質(zhì)，針尖向下的概率是(1-p)，于是，隨機變量X的分布列是

像上面這樣的分布列稱為兩點分布列，如果隨機變量X的分布列為兩點分布列，就稱X服從兩點分布。X01P1-pp典例剖析例2某學(xué)校高二年級有200名學(xué)生，他們的體育綜合測試成績分5個等級，每個等級對應(yīng)的分數(shù)和人數(shù)如下表所示。等級不及格及格中等良優(yōu)分數(shù)12345人數(shù)2050604030從這200名學(xué)生中任意選取1人，求所選同學(xué)分數(shù)X的分布列，以及P(X≥4).典例剖析解：由題意知，X是一個離散型隨機變量，其可能取值為1，2，3，4，5，且{X=1}=”不及格”，{X=2}=”及格”,{X=3}=”中等”,{X=4}=“良”,{X=5}=”優(yōu)”.根據(jù)古典概型可知X的分布列如下表所示：X12345P

典例剖析例3一批筆記本電腦共有10臺，其中A品牌3臺，B品牌7臺，如果從中隨機挑選2臺，求這2臺電腦中A品牌臺數(shù)的分布列.鞏固練習(xí)1.隨機變量X所有可能取值是－2，0，3，5，且P(X＝-2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝5)＝

，則P(X＝0)的值為（）A．0

B．

C．

D．C

2．設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m若隨機變量Y=X-2，則P(Y=2)=()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7A鞏固練習(xí)3．從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項公益活動．(1)求所選3人中恰有一名男生的概率；(2)求所選3人中男生人數(shù)ξ的分布列．解：(1)所選3人中恰有一名男生的概率

鞏固練習(xí)3．從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項公益活動．(1)求所選3人中恰有一名男生的概率；(2)求所選3人中男生人數(shù)ξ的分布列．解：(2)ξ的可能取值為0,1,2,3，則

ξ0123P則ξ的分布列為

鞏固練習(xí)4．一袋中裝有5只球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量ξ的分布列.解：隨機變量ξ的可能取值為3，4，5.當(dāng)ξ=3時，即取出的三只球中最大號碼為3，則其他兩只球的編號只能是1，2，故有

當(dāng)ξ=4時，即取出的三只球中最大號碼為4，則其他兩只球只能在編號為1，2，3的3只球中取2只，故有

鞏固練習(xí)當(dāng)ξ=5時，即取出的三