2023-2024學(xué)年湖南省百所重點(diǎn)名校高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2023-2024學(xué)年湖南省百所重點(diǎn)名校高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為A. B.C. D.2.已知向量,滿足||=1,||=2,且與的夾角為120°,則=()A. B. C. D.3.執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸出的結(jié)果,則輸入的值為()A. B.C.3或 D.或4.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的值為()A.0 B.1 C. D.6.如圖示,三棱錐的底面是等腰直角三角形,,且,,則與面所成角的正弦值等于()A. B. C. D.7.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)(即質(zhì)數(shù))的和”,如,.在不超過(guò)20的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于20的概率是()A. B. C. D.以上都不對(duì)8.已知橢圓,直線與直線相交于點(diǎn),且點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立,則橢圓的離心率取值范圍為()A. B. C. D.9.已知且,函數(shù),若,則()A.2 B. C. D.10.已知全集,則集合的子集個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.11.設(shè)α,β為兩個(gè)平面,則α∥β的充要條件是A.α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α,β平行于同一條直線D.α,β垂直于同一平面12.已知將函數(shù)(,)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,若和的圖象都關(guān)于對(duì)稱,則下述四個(gè)結(jié)論:①②③④點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且滿足,則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為_(kāi)_____.14.已知向量,,且,則實(shí)數(shù)m的值是________.15.已知,記,則的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為_(kāi)_________.16.曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線與軸及直線=所圍成的三角形面積為,則實(shí)數(shù)=____。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,圓的方程為.(1)寫出直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn)坐標(biāo)為,圓與直線交于兩點(diǎn),求的值.18.(12分)已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.連接.求證:存在實(shí)數(shù),使得成立.19.(12分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為.(1)求a;(2)討論函數(shù)和的單調(diào)性;(3)設(shè),求證:.20.(12分)每年3月20日是國(guó)際幸福日,某電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機(jī)抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù),結(jié)果見(jiàn)如圖所示莖葉圖,其中以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉.若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸?!保?Ⅰ)求從這18人中隨機(jī)選取3人,至少有1人是“很幸?!钡母怕剩?Ⅱ)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“很幸?!钡娜藬?shù),求的分布列及.21.(12分)如圖,在等腰梯形中,AD∥BC,,,,,分別為,,的中點(diǎn),以為折痕將折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置(平面).(1)若為直線上任意一點(diǎn),證明:MH∥平面;(2)若直線與直線所成角為,求二面角的余弦值.22.(10分)設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若滿足不等式的正整數(shù)恰有個(gè),求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析:根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個(gè)單音的頻率成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解:因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為,所以,又,則故選D.點(diǎn)睛:此題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種:(1)定義法,若()或(),數(shù)列是等比數(shù)列;(2)等比中項(xiàng)公式法,若數(shù)列中,且(),則數(shù)列是等比數(shù)列.2、D【解析】

先計(jì)算,然后將進(jìn)行平方,,可得結(jié)果.【詳解】由題意可得:∴∴則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的數(shù)量積的運(yùn)算和模的計(jì)算,屬基礎(chǔ)題。3、D【解析】

根據(jù)逆運(yùn)算,倒推回求x的值,根據(jù)x的范圍取舍即可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?所以當(dāng),解得

,所以3是輸入的x的值;當(dāng)時(shí),解得,所以是輸入的x的值,所以輸入的x的值為

或3,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,通過(guò)結(jié)果反求輸入的值,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復(fù)數(shù)化為,求出,再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】,,則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第二象限.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

根據(jù)輸入的值大小關(guān)系,代入程序框圖即可求解.【詳解】輸入,,因?yàn)?,所以由程序框圖知,輸出的值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)式大小比較,條件程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

首先找出與面所成角,根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值,再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且,是等邊三角形,設(shè)中點(diǎn)為,連接,,可知,,同時(shí)易知,,所以面,故即為與面所成角,有,故.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

首先確定不超過(guò)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù),根據(jù)古典概型概率求解方法計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】不超過(guò)的素?cái)?shù)有,,,,,,,,共個(gè),從這個(gè)素?cái)?shù)中任選個(gè),有種可能;其中選取的兩個(gè)數(shù),其和等于的有,,共種情況,故隨機(jī)選出兩個(gè)不同的數(shù),其和等于的概率.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問(wèn)題的求解,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

先求得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo),判斷出直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn).然后判斷出,判斷出點(diǎn)的軌跡方程,根據(jù)恒在橢圓內(nèi)列不等式,化簡(jiǎn)后求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)是橢圓的焦點(diǎn),所以.直線過(guò)點(diǎn),直線過(guò)點(diǎn),由于,所以,所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓.由于點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立,所以橢圓的短軸大于,即,所以,所以雙曲線的離心率,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與直線的位置關(guān)系,考查動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷,考查橢圓離心率的取值范圍的求法,屬于中檔題.9、C【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式,知當(dāng)時(shí),且,由于,則,即可求出.【詳解】由題意知:當(dāng)時(shí),且由于,則可知:,則,∴,則,則.即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,由分段函數(shù)解析式求自變量.10、C【解析】

先求B.再求,求得則子集個(gè)數(shù)可求【詳解】由題=,則集合,故其子集個(gè)數(shù)為故選C【點(diǎn)睛】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算及子集個(gè)數(shù),熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題11、B【解析】

本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件,滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng),利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷.【詳解】由面面平行的判定定理知:內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件,由面面平行性質(zhì)定理知,若,則內(nèi)任意一條直線都與平行,所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件,故選B.【點(diǎn)睛】面面平行的判定問(wèn)題要緊扣面面平行判定定理,最容易犯的錯(cuò)誤為定理記不住,憑主觀臆斷,如:“若,則”此類的錯(cuò)誤.12、B【解析】

首先根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則表示出,再根據(jù)對(duì)稱性求出、,即可求出的解析式,從而驗(yàn)證可得;【詳解】解:由題意可得,又∵和的圖象都關(guān)于對(duì)稱,∴,∴解得,即,又∵,∴,,∴,∴,,∴①③④正確,②錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,三角函數(shù)的變換規(guī)則,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

由得時(shí),,兩式作差,可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)一步求出數(shù)列的和.【詳解】解:數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且滿足,①當(dāng)時(shí),,②①-②得:,整理得:(常數(shù)),故數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以(首項(xiàng)不符合通項(xiàng)),故,所以:,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用,數(shù)列的前項(xiàng)和的公式,屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】

根據(jù)即可得出,從而求出m的值.【詳解】解:∵;∴;∴m=1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的充要條件,向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.15、【解析】

根據(jù)定積分的計(jì)算,得到,令,求得,即可得到答案.【詳解】根據(jù)定積分的計(jì)算,可得,令,則,即的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的應(yīng)用,以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理求得的表示是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、或1【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可得切線的斜率,以及切線方程,求得切線與軸和的交點(diǎn),由三角形的面積公式可得所求值.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為,可得切線的斜率為3,切線方程為,可得,可得切線與軸的交點(diǎn)為,,切線與的交點(diǎn)為,可得,解得或。【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,以及直線方程的運(yùn)用,三角形的面積求法。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】試題分析:(1)由加減消元得直線的普通方程,由得圓的直角坐標(biāo)方程;(2)把直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程,由直線參數(shù)方程幾何意義得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根據(jù)韋達(dá)定理可得結(jié)果試題解析:解:(Ⅰ)由得直線l的普通方程為x+y﹣3﹣=0又由得ρ2=2ρsinθ,化為直角坐標(biāo)方程為x2+(y﹣)2=5;(Ⅱ)把直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程,得(3﹣t)2+(t)2=5,即t2﹣3t+4=0設(shè)t1,t2是上述方程的兩實(shí)數(shù)根,所以t1+t2=3又直線l過(guò)點(diǎn)P,A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.18、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)由點(diǎn)可得,由,根據(jù)即可求解;(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立可得,設(shè),由韋達(dá)定理可得,再根據(jù)直線的斜率公式求得;由點(diǎn)B與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,可設(shè),可求得,則,即可求證.【詳解】解:(1)由題意可知,,又,得,所以橢圓的方程為(2)證明:設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,可得,設(shè),則有,因?yàn)?所以,又因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以,即,則有,由點(diǎn)在橢圓上,得,所以,所以,即,所以存在實(shí)數(shù),使成立【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線的斜率公式的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.19、(1)(2)為減函數(shù),為增函數(shù).(3)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù),求出切線方程,令得切線的縱截距,可得(必須利用函數(shù)的單調(diào)性求解);(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性;(3)不等式變形為,由遞減,得(),即,即,依次放縮,.不等式,遞增得(),,,,先證,然后同樣放縮得出結(jié)論.【詳解】解:(1)對(duì)求導(dǎo),得.因此.又因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為,即.由題意,.顯然,適合上式.令,求導(dǎo)得,因此為增函數(shù):故是唯一解.(2)由(1)可知,,因?yàn)椋詾闇p函數(shù).因?yàn)?,所以為增函?shù).(3)證明:由,易得.由(2)可知,在上為減函數(shù).因此,當(dāng)時(shí),,即.令,得,即.因此,當(dāng)時(shí),.所以成立.下面證明:.由(2)可知,在上為增函數(shù).因此,當(dāng)時(shí),,即.因此,即.令,得,即.當(dāng)時(shí),.因?yàn)?,所以,所?所以,當(dāng)時(shí),.所以,當(dāng)時(shí),成立.綜上所述,當(dāng)時(shí),成立.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式.本題中不等式的證明,考查了轉(zhuǎn)化與化歸的能力,把不等式變形后利用第(2)小題函數(shù)的單調(diào)性得出數(shù)列的不等關(guān)系:,.這是最關(guān)鍵的一步.然后一步一步放縮即可證明.本題屬于困難題.20、(Ⅰ).(Ⅱ)見(jiàn)解析.【解析】

(Ⅰ)人中很幸福的有人,可以先計(jì)算其逆事件,即人都認(rèn)為不很幸福的概率,再用減去人都認(rèn)為不很幸福的概率即可;(Ⅱ)根據(jù)題意,隨機(jī)變量,列出分布列,根據(jù)公式求出期望即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)事件抽出的人至少有人是“很幸?!钡模瑒t表示人都認(rèn)為不很幸福(Ⅱ)根據(jù)題意,隨機(jī)變量,的可能的取值為;;;所以隨機(jī)變量的分布列為:所以的期望【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布列,數(shù)學(xué)期望的求解,概率分布中的二項(xiàng)分布問(wèn)題,屬于常規(guī)題型.21、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)根據(jù)中位線證明平面平面,即可證明MH∥平面;(2)以,,為,,軸建

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