8.1 二元一次方程組 初中數(shù)學(xué)人教版七年級(jí)下冊(cè)大單元教學(xué)設(shè)計(jì)

8.1二元一次方程組（單元教學(xué)設(shè)計(jì)）一、【單元目標(biāo)】通過(guò)情景導(dǎo)入，了解二元一次方程與二元一次方程組的概念與區(qū)別，學(xué)會(huì)根據(jù)題目的條件列出二元一次方程或二元一次方程組，學(xué)會(huì)根據(jù)實(shí)際情況，找出二元一次方程組的整數(shù)解情況等；（1）用生活中常見(jiàn)的事例，讓學(xué)生可以根據(jù)題目中所給的條件，列出二元一次方程組，從中提煉出二元一次方程和二元一次方程組的概念；由之前所學(xué)內(nèi)容“一元一次方程”，歸納總結(jié)出二元一次方程與一元一次方程的聯(lián)系與區(qū)別，從而加深學(xué)生對(duì)方程的理解；（2）通過(guò)小組合作探究，讓學(xué)生參與教學(xué)過(guò)程，加深對(duì)二元一次方程和二元一次方程組解的理解，同時(shí)會(huì)根據(jù)實(shí)際情況找出滿(mǎn)足要求的整數(shù)解，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生的類(lèi)比推理素養(yǎng)；（3）通過(guò)典型例題的訓(xùn)練，加強(qiáng)學(xué)生的做題技巧，訓(xùn)練做題的方法，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；（4）在師生共同思考與合作下，學(xué)生通過(guò)概括與抽象、類(lèi)比的方法，體會(huì)了歸因與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，并發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；（5）通過(guò)生活中的事例，提高學(xué)生對(duì)周?chē)挛锏母兄芰?，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的人文素養(yǎng)；二、【單元知識(shí)結(jié)構(gòu)框架】二元一次方程組二元一次方程及其解的定義三、【學(xué)情分析】1．認(rèn)知基礎(chǔ)二元一次方程和二元一次方程組及其解的定義，對(duì)我們后面學(xué)習(xí)的消元法解二元一次方程組和二元一次方程組的應(yīng)用題具有關(guān)鍵作用，本節(jié)內(nèi)容強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)概念，鍛煉學(xué)生的思維能力和判斷能力；2.認(rèn)知障礙學(xué)生在理解二元一次方程組的概念時(shí)，會(huì)和分式方程混淆，導(dǎo)致概念不清晰；在講到二元一次方程的解時(shí)，要理解此時(shí)的解具有無(wú)數(shù)組，但一旦限定在整數(shù)范圍內(nèi)，那就要根據(jù)題目實(shí)際含義縮小范圍；根據(jù)題意列二元一次方程組時(shí)，要讀清題意，加強(qiáng)對(duì)邏輯關(guān)系的分辨，準(zhǔn)確列出二元一次方程組；四、【教學(xué)設(shè)計(jì)思路/過(guò)程】課時(shí)安排：約1課時(shí)教學(xué)重點(diǎn)：二元一次方程及其解的定義，二元一次方程組及其解的定義；根據(jù)實(shí)際情況列二元一次方程組；教學(xué)難點(diǎn)：二元一次方程組的認(rèn)識(shí)與識(shí)別，根據(jù)二元一次方程組解的情況求參數(shù)的值；五、【教學(xué)問(wèn)題診斷分析】情境導(dǎo)入小紅到郵局寄掛號(hào)信，需要郵費(fèi)3元8角．小紅有票額為6角和8角的郵票若干張，問(wèn)各需要多少?gòu)堖@兩種票額的郵票？這個(gè)問(wèn)題中有幾個(gè)未知數(shù)，能列一元一次方程求解嗎？如果設(shè)需要票額為6角的郵票x張，需要票額為8角的郵票y張，你能列出方程嗎？8.1.1二元一次方程及其解的定義問(wèn)題1（利用二元一次方程的定義求參數(shù)）：已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，則m＋n＝________．【破解方法】二元一次方程必須符合以下三個(gè)條件：(1)方程中只含有2個(gè)未知數(shù)；(2)含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)均為一次；(3)方程是整式方程．【解析】根據(jù)二元一次方程滿(mǎn)足的條件，即只含2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)均為1的整式方程，即可求得m、n的值．根據(jù)題意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.故填0.問(wèn)題2（二元一次方程的解）：已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1))是方程2x－ay＝3的一個(gè)解，那么a的值是()A．1B．3C．－3D．－1【破解方法】根據(jù)方程的解的定義知，將x，y的值代入方程中，方程左右兩邊相等，即可求解．【解析】將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1))代入方程2x－ay＝3，得2＋a＝3，所以a＝1.故選A.8.1.2二元一次方程組及其解的定義問(wèn)題3（識(shí)別二元一次方程組）：有下列方程組：①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xy＝1，,x＋y＝2；))②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝3，,\f(1,x)＋y＝1；))③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋z＝0，,3x－y＝\f(1,5)；))④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,\f(x,2)＋\f(y,3)＝7；))⑤eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋π＝3，,x－y＝1，))其中二元一次方程組有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【破解方法】識(shí)別一個(gè)方程組是否為二元一次方程組的方法：一看方程組中的方程是否都是整式方程；二看方程組中是不是只含兩個(gè)未知數(shù)；三看含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是不是都為1.【解析】①方程組中第一個(gè)方程含未知數(shù)的項(xiàng)xy的次數(shù)不是1；②方程組中第二個(gè)方程不是整式方程；③方程組中共有3個(gè)未知數(shù)．只有④⑤滿(mǎn)足，其中⑤方程組中的π是常數(shù)．故選B.問(wèn)題4（利用二元一次方程組的解求參數(shù)的值）甲、乙兩人共同解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋5y＝15；①,4x－by＝－2.②))由于甲看錯(cuò)了方程①中的a，得到方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1；))乙看錯(cuò)了方程②中的b，得到方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4.))試計(jì)算a2014＋(－eq\f(1,10)b)2015的值．【破解方法】利用方程組的解確定字母參數(shù)的方法是將方程組的解代入它適合的方程中，得到關(guān)于字母參數(shù)的新方程，從而求解．【解析】由方程組解的定義知：甲看錯(cuò)了方程①中的a得到方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1，))說(shuō)明eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1))是方程②的解；同樣eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4))是方程①的解．解：把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1))代入②，得－12＋b＝－2，所以b＝10.把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4))代入①，得5a＋20＝15，所以a＝－1.所以a2014＋(－eq\f(1,10)b)2015＝(－1)2014＋(－eq\f(1,10)×10)2015＝1－1＝0.8.1.3列二元一次方程組問(wèn)題5：小劉同學(xué)用10元錢(qián)購(gòu)買(mǎi)了兩種不同的賀卡共8張，單價(jià)分別是1元與2元．設(shè)他購(gòu)買(mǎi)了1元的賀卡x張，2元的賀卡y張，那么可列方程組()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)＝10，,x＋y＝8))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(y,10)＝8，,x＋2y＝10))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝10，,x＋2y＝8))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝8，,x＋2y＝10))【破解方法】要判斷哪個(gè)方程組符合題意，可從題目中找出兩個(gè)相等關(guān)系，然后代入未知數(shù)，即可得到方程組，進(jìn)而得到正確答案．【解析】根據(jù)題意可得到兩個(gè)相等關(guān)系：(1)1元賀卡張數(shù)＋2元賀卡張數(shù)＝8(張)；(2)1元賀卡錢(qián)數(shù)＋2元賀卡錢(qián)數(shù)＝10(元)．設(shè)他購(gòu)買(mǎi)了1元的賀卡x張，2元的賀卡y張，可列方程組為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝8，,x＋2y＝10.))故選D.六、【教學(xué)成果自我檢測(cè)】1．課前預(yù)習(xí)設(shè)計(jì)意圖：落實(shí)與理解教材要求的基本教學(xué)內(nèi)容.1．下列方程組是二元一次方程組的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用二元一次方程組的定義逐一判斷即可解題．【詳解】解：A.方程組含有3個(gè)未知數(shù)，不是二元一次方程組，故此選項(xiàng)不符合題意；B.有一個(gè)方程的次數(shù)是2，不是二元一次方程組，故此選項(xiàng)不符合題意；C.有一個(gè)方程的次數(shù)是2，不是二元一次方程組，故此選項(xiàng)不符合題意；D．此方程組是二元一次方程組，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的定義，理解二元一次方程組的定義是解題的關(guān)鍵．2．下列方程的解為

的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把的值代入方程計(jì)算，即可求解．【詳解】解：選項(xiàng)，，符合題意；選項(xiàng)，，不符合題意；選項(xiàng)，，不符合題意；選項(xiàng)，，不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程的解，掌握代入求值的方法，有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．3．已知是二元一次方程組的解，則的值是()A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二元一次方程的解的定義，將代入方程組，進(jìn)而求得的值，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵是二元一次方程組的解，∴即，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．二元一次方程組的兩個(gè)二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．4．若方程是關(guān)于，的二元一次方程，則的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可知：未知數(shù)的系數(shù)不能等于零，未知數(shù)的最高次數(shù)為，然后進(jìn)行求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得且，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的定義問(wèn)題，掌握定義是解題的關(guān)鍵．5．已知是方程的一個(gè)解，那么a的值是______．【答案】2【分析】把代入，即可求解．【詳解】解：把代入得：，解得：．故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊同時(shí)成立的未知數(shù)的值是方程的解是解題的關(guān)鍵．6．哪些是二元一次方程？為什么？（1）x2＋y＝20；（2）2x＋5＝10；（3）2a＋3b＝1；（4）x2＋2x＋1＝0；（5）2x＋y＋z＝1.【答案】（3），見(jiàn)解析【詳解】解：(3)是二元一次方程，理由是含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程．2．課堂檢測(cè)設(shè)計(jì)意圖：例題變式練.【變式1】在下列方程組中，不是二元一次方程組的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)由兩個(gè)結(jié)合在一起的共含有兩個(gè)未知數(shù)的一次方程叫二元一次方程組進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A.是二元一次方程組；B.是二元一次方程組；C.是二元一次方程組；D.不是二元一次方程組；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的定義，熟練掌握二元一次方程組是由兩個(gè)共含有兩個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且都是整式的方程組成是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知是二元一次方程的解，則k的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將代入二元一次方程，得到關(guān)于的一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】解：依題意，解得：故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解的定義，掌握二元一次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．【變式3】已知是方程的解，則代數(shù)式的值為_(kāi)________．【答案】【分析】根據(jù)二元一次方程的解的定義，得出，整體代入代數(shù)式求值即可求解．【詳解】解：∵是方程的解，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解的定義，代數(shù)式求值，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．使得方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解．【變式4】已知是二元一次方程的一個(gè)解．(1)則_________(2)試直接寫(xiě)出二元一次方程的所有正整數(shù)解．【答案】(1)5(2)，【分析】（1）將代入二元一次方程2x+y=a中，即可求得a的值；（2）將a的值代入方程2x+y=a，再用列舉法求出方程的解即可．【詳解】（1）將代入二元一次方程2x+y=a中可得：，a=5；故答案為：5（2）把a(bǔ)=5代入方程2x+y=a中可得：2x+y=5，所以可列出所有正整數(shù)解為：，．【點(diǎn)睛】考查二元一次方程的解，解題關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程的解與二元一次方程的關(guān)系．3．課后作業(yè)設(shè)計(jì)意圖：鞏固提升.1．下列是二元一次方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將各選項(xiàng)代入方程的左邊計(jì)算，看是否等于5，如果等于5就是方程的解，如果不等于5，就不是方程的解．【詳解】解：A．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本選項(xiàng)不符合題意；B．把代入得：，即是二元一次方程的解，故本選項(xiàng)符合題意；C．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本選項(xiàng)不符合題意；D．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊同時(shí)成立的未知數(shù)的值是方程的解是解題的關(guān)鍵．2．下列方程組中，表示二元一次方程組的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義判斷即可．【詳解】解：因?yàn)锳選項(xiàng)中含有三個(gè)未知數(shù)，因此不是二元一次方程組，不符合題意；因?yàn)锽選項(xiàng)中含有分式，因此不是二元一次方程組，不符合題意；因?yàn)镃選項(xiàng)中含有二次項(xiàng)，因此不是二元一次方程組，不符合題意；因?yàn)镈選項(xiàng)中是二元一次方程組，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的定義，解題關(guān)鍵是掌握其中的三個(gè)條件：①是整式方程，②方程組中一共只含有兩個(gè)未知數(shù)，③含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1．3．下列方程中，二元一次方程的個(gè)數(shù)是（

）①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)二元一次方程的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①只含有一個(gè)未知數(shù)，因此不是二元一次方程；②不是整式方程，因此不是二元一次方程；③中未知數(shù)的最高次數(shù)是2，因此不是二元一次方程；④是二元一次方程；⑤是二元一次方程；⑥含有一個(gè)未知數(shù)，且最高次數(shù)是2次，因此不是二元一次方程；⑦含有3個(gè)未知數(shù)，因此不是二元一次方程；⑧是二元一次方程；⑨中未知數(shù)的次數(shù)是2次，因此不是二元一次方程；綜上分析可知，二元一次方程的個(gè)數(shù)是3個(gè)，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程的定義，如果一個(gè)方程含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)為1次，那么這個(gè)整式方程就叫做二元一次方程．4．方程是關(guān)于，的二元一次方程，則的值為_(kāi)_____．【答案】3【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可得，進(jìn)一步即可求出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意，得，解得：，所以；故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的概念，含有兩個(gè)