§13-1-兩個(gè)基本原理

13.1兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理多媒體教學(xué)課目的1．掌握分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題；2．通過對分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的理解和運(yùn)用，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，開發(fā)學(xué)生的邏輯思維能力．3．提高比較分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的異同，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)比較、類比、歸納等數(shù)學(xué)思想方法和靈活應(yīng)用的能力．4．通過對兩個(gè)原理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生周密思考、細(xì)心分析的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣．引入1概念概念1引入2問題1.從甲地到乙地,可以乘火車,也可以乘汽車還可以乘輪船.一天中,火車有4班,汽車有2班,輪船有3班.那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?分析:從甲地到乙地有3類方法,

第一類方法:乘火車,有4種方法;

第二類方法:乘汽車,有2種方法;

第三類方法:乘輪船,有3種方法;

所以,從甲地到乙地共有:4+2+3=9種方法概念2概念1引入1引入2概念分類記數(shù)原理:

做一件事情,完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有

N=m1+m2+…+mn種不同的方法.概念2要點(diǎn)：（1）分類；（2）相互獨(dú)立；（3）N=m1+m2+…+mn（各類方法之和）問題2引入2概念概念1引入1問題2.由A村去B村的道路有3條,由B村去C村的道路有2條.從A村經(jīng)B村去C村,共有多少種不同的走法?A村B村C村北南中北南

分析:從A村經(jīng)B村去C村有2步,

第一步:由A村去B村,有3種方法,

第二步:由B村去C村,有2種方法,

所以,從A村經(jīng)B村去C村共有:3×2=6種不同的方法概念2概念概念2引入1引入2概念1

分步記數(shù)原理:

做一件事情,完成它需要分成n個(gè)步驟,做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法,……,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事有

N=m1×m2×…×mn種不同的方法.要點(diǎn):（1）分步；（2）每步缺一不可，依次完成；（3）N=m1×m2×…×mn

（各步方法之積）例1.某班級有男三好學(xué)生5人,女三好學(xué)生4人.(1)從中任選一人去領(lǐng)獎(jiǎng),有多少種不同的選法？

(2)從中任選男、女三好學(xué)生各一人去參加座談會(huì),有多少種不同的選法？分析:(1)完成從三好學(xué)生中任選一人去領(lǐng)獎(jiǎng)這件事,共有2類辦法,

第一類:從男三好學(xué)生中任選一人,共有m1=5種不同的方法;

第二類:從女三好學(xué)生中任選一人,共有m2=4種不同的方法;

所以,根據(jù)分類記數(shù)原理,得到不同選法種數(shù)共有N=5+4=9種。舉例例1例2例3分析:(2)完成從三好學(xué)生中任選男、女各一人去參加座談會(huì)這件事,需分2步完成,

第一步:選一名男三好學(xué)生,有m1=

5種方法;

第二步:選一名女三好學(xué)生,有m2=4種方法;

所以,根據(jù)分步記數(shù)原理,得到不同選法種數(shù)共有N=5×4=20種.點(diǎn)評:

解題的關(guān)鍵是從總體上看做這件事情是“分類完成”,還是“分步完成”?！胺诸愅瓿伞庇谩胺诸愑洈?shù)原理”;“分步完成”用“分步記數(shù)原理”。例1.某班級有男三好學(xué)生5人,女三好學(xué)生4人.(1)從中任選一人去領(lǐng)獎(jiǎng),有多少種不同的選法？

(2)從中任選男、女三好學(xué)生各一人去參加座談會(huì),有多少種不同的選法？舉例問題1在某同學(xué)的桌上共有語文5本，數(shù)學(xué)書6本，（1）要求該同學(xué)拿出一本書給老師，要是你是該同學(xué)，你有多少種拿法？分析：（1）從桌上任取一本書給老師，可分為拿數(shù)學(xué)，拿語文兩類辦法：第一類辦法是從桌上取數(shù)學(xué)書，可以從6本書中任取一本，有6種方法；第二類辦法是從桌上取語文書，可以從5本書中任取一本，有5種方法；解：不同的取法種數(shù)為：

N=6+5=11答：從桌上取一本書給老師有11種不同的取法。分析：（2）從桌上任取數(shù)學(xué)書語文書各1本，可以分成兩個(gè)步驟完成。第一步，取1本數(shù)學(xué)書有6種方法。第二步，取1本語文書有5種方法。（2）要求學(xué)生拿兩本不同學(xué)科的書給老師，要是你是該同學(xué)，你有多少種拿法？在某同學(xué)的桌上共有數(shù)學(xué)書6本，語文書5本，解：不同的取法種數(shù)為：

N=6×5=30答：從桌上任取數(shù)學(xué)書語文書各1本給老師有30種不同的取法。問題2分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理完成一件事，共有n類辦法，關(guān)鍵詞“分類”區(qū)別1完成一件事，共分n個(gè)步驟，關(guān)鍵詞“分步”區(qū)別2區(qū)別3每類辦法都能獨(dú)立地完成這件事情，它是獨(dú)立的、一次的、且每次得到的是最后結(jié)果，只須一種方法就可完成這件事。每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事。各類辦法是互相獨(dú)立的。各步之間是互相關(guān)聯(lián)的。即：類類獨(dú)立，步步關(guān)聯(lián)。例1.書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書．（1）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？（2）從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？（3）從書架上任取2種不同類型的書各1本，有多少種不同的取法？解:(1)4+3+2=9(2)4×3×2＝24(3)4×3＋4×2＋3×2＝26

注意：有些較復(fù)雜的問題往往不是單純的“分類”“分步”可以解決的，而要將“分類”“分步”結(jié)合起來運(yùn)用．一般是先“分類”，然后再在每一類中“分步”，綜合應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理．例2.在所有的兩位數(shù)中,個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？

分析1:按個(gè)位數(shù)字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類,在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是

1個(gè),2個(gè),3個(gè),4個(gè),5個(gè),6個(gè),7個(gè),8個(gè).

則根據(jù)分類記數(shù)原理共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(個(gè)).分析2:按十位數(shù)字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8類,在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是

8個(gè),7個(gè),6個(gè),5個(gè),4個(gè),3個(gè),2個(gè),1個(gè).

則根據(jù)分類記數(shù)原理共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個(gè))枚舉精神！例3．某藝術(shù)組有9人，每人至少會(huì)鋼琴和小號中的一種樂器，其中7人會(huì)鋼琴，3人會(huì)小號，從中選出會(huì)鋼琴與會(huì)小號的各1人，有多少種不同的選法？解：由題意可知，在藝術(shù)組9人中，有且僅有一人既會(huì)鋼琴又會(huì)小號（把該人稱為“多面手”），只會(huì)鋼琴的有6人，只會(huì)小號的有2人，把會(huì)鋼琴、小號各1人的選法分為兩類：第一類：多面手入選，另一人只需從其他8人中任選一個(gè)，故這類選法共有8種．第二類：多面手不入選，則會(huì)鋼琴者只能從6個(gè)只會(huì)鋼琴的人中選出，會(huì)小號的1人也只能從只會(huì)小號的2人中選出，放這類選法共有6×2＝12種，故共有20種不同的選法．找準(zhǔn)分類依據(jù)不重不漏例4.五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？

解：（1）5名學(xué)生中任一名均可報(bào)其中的任一項(xiàng)，因此每個(gè)學(xué)生都有4種報(bào)名方法，5名學(xué)生都報(bào)了項(xiàng)目才能算完成這一事件故報(bào)名方法種數(shù)為4×4×4×4×4=種.（2）每個(gè)項(xiàng)目只有一個(gè)冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得其中的一項(xiàng)獲軍，因此每個(gè)項(xiàng)目獲冠軍的可能性有5種故有n=5×５×５×５=種.抓確定性因素課堂練習(xí)1解:按地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域依次分四步完成,

第一步:m1=3種第二步:m2=2種第三步:m3=1種第四步:m4=1種所以根據(jù)分步記數(shù)原理,得到不同的涂色方案種數(shù)共有N=3×2×1×1=6種.(如圖)要給地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別涂上紅、黃、藍(lán)3種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？

3.如圖,該電路,從A到B共有多少條不同的線路可通電？AB課堂練習(xí)2所以,根據(jù)分類原理,從A到B共有

N=3+1+4=8

條不同的線路可通電。在解題有時(shí)既要分類又要分步。解:從總體上看由A到B的通電線路可分三類,第一類,m1=3條第二類,m2=1條第三類,m3=2×2=4,條給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首個(gè)字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個(gè)要求用數(shù)字1～9，問最多可以給多少個(gè)程序命名？分析：要給一個(gè)程序模塊命名，可以分三個(gè)步驟：第一步，選首字符；第二步，先中間字符；第三步，選末位字符。解：首字符共有7+6＝13種不同的選法，答：最多可以給1053個(gè)程序命名。

中間字符和末位字符各有9種不同的選法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，最多可以有13×9×9＝1053種不同的選法課堂練習(xí)3隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴(kuò)容。交通管理部門出臺(tái)了一種汽車牌照組成辦法，每一個(gè)汽車牌照都必須有３個(gè)不重復(fù)的英文字母和３個(gè)不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且３個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn)，３個(gè)數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，那么這種辦法共能