第五章數(shù)列專題3數(shù)列中的不等式能成立證明 （含解析） 2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（新高考新教材）

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數(shù)列中的不等式能成立的證明問題1．等差數(shù)列中，，的前n項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：對任意正數(shù)k，均存在使得成立．通過不等式的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)列中n為正整數(shù)的特殊性，將目標(biāo)不等式的證明轉(zhuǎn)化成一個更強的不等式證明，通過取整數(shù)從而推出不等式成立.（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，于是，因為，所以，所以，解得，則；（2），，考慮，即，即，由于，則時，，且，結(jié)合上述不等式得，整理得，任取整數(shù)，則，原不等式成立，于是對于任意正數(shù)k，均存在使得成立．2．已知正項數(shù)列的前項和為，且.(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.3．已知數(shù)列的前項和為，，是與的等差中項．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，求的取值范圍．(3)設(shè)，且數(shù)列的前項和為，求證：．通過不斷的等價轉(zhuǎn)化將目標(biāo)不等式，而當(dāng)時，（*）左邊，又時，，從而使原不等式得以證明.由（1）知，∴，而（*）當(dāng)時，（*）左邊，又時，∴對于任意正整數(shù)k，當(dāng)n滿足，且時，（*）成立，故原式成立4．已知數(shù)列，滿足，，，，．(1)求出數(shù)列，的通項公式．(2)證明：對任意的，．5．設(shè)數(shù)列滿足，．(1)若，令，求數(shù)列的通項公式；(2)若，問：是否存在實數(shù)c，使得對所有成立？證明你的結(jié)論．能成立的問題本質(zhì)上就是要找到符合要求的一組正例，通過構(gòu)造正例，逐條去驗證題目所需的要求，就可以證明該問題.由（1）得：，∴當(dāng)時，則，∴即令，對，取且（為k取整，則），此時∴6．已知數(shù)列滿足，，證明：．7．?dāng)?shù)列中，，對任意正整數(shù)n都有.(1)求的通項公式；(2)設(shè)的前項和為，證明：①；②.8．已知等差數(shù)列的前n項和為，，，數(shù)列滿足：，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)證明：；(3)設(shè)數(shù)列滿足：．證明：．9．已知函數(shù)，數(shù)列的第一項，后面各項按如下方式取定：曲線在點處的切線與經(jīng)過和兩點的直線平行（如圖）．證明：

(1)．(2)．10．已知數(shù)列滿足，.(1)判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請說明理由；(2)若數(shù)列的前10項和為361，記，數(shù)列的前項和為，求證：.11．已知等比數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個等差數(shù)列，記插入的這個數(shù)之和為，若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)記，求證：.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)將變形為，結(jié)合即可算出公差，從而即可求解.（2）結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式以及的通項公式，去分析不等式成立的必要條件為，從而取即可證明.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，于是，因為，所以，所以，解得，則.（2）由（1）可知，所以，，考慮，即，即，由于，則時，，且，結(jié)合上述不等式得，整理得，任取整數(shù)，則，原不等式成立，于是對于任意正數(shù)k，均存在使得成立．2．(1)(2)證明見解析【分析】（1）首先根據(jù)，，變形證明數(shù)列是等差數(shù)列，即可求通項公式；（2）首先根據(jù)（1）的結(jié)果，，再利用放縮法得，最后再求和，即可證明不等式.【詳解】（1）當(dāng)時，，即，由數(shù)列為正項數(shù)列可知，，又，即數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，即，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，成立，所以（2）由（1）可知，，則，當(dāng)時，，成立，，成立，當(dāng)時，，即.綜上可知，，得證.3．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等差中項定義、與關(guān)系可證得數(shù)列為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項公式可推導(dǎo)得到；（2）根據(jù)數(shù)列單調(diào)性可得，分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，采用分離變量的方式確定的取值范圍；（3）根據(jù)通項公式可推導(dǎo)得到，借此不等式進(jìn)行放縮可得到，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）是與的等差中項，；當(dāng)時，，又，；當(dāng)且時，，，，又，，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，.（2）由（1）得：，數(shù)列為遞增數(shù)列，；①當(dāng)為偶數(shù)時，，設(shè)，，數(shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)時，，；②當(dāng)為奇數(shù)時，，由①知：數(shù)列為遞減數(shù)列，則數(shù)列為遞增數(shù)列，當(dāng)時，，；綜上所述：的取值范圍為.（3）由（1）得：，，，，，【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題重點考查了數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用、數(shù)列與不等式綜合應(yīng)用的相關(guān)知識；本題證明不等式的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列通項公式的形式進(jìn)行等比形式的放縮，進(jìn)而利用構(gòu)造出關(guān)于的不等關(guān)系.4．(1)，(2)證明見解析【分析】（1）由題意可得，即是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，可求出，進(jìn)而求出；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，由錯位相減法求出，只要證明時，即可.【詳解】（1）因為，，，∴，，又∵，，∴∴．∴是首項為1，公差為3的等差數(shù)列．∴，．（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，∵①②②得：，所以，，則，當(dāng)時，∴．5．(1)(2)存在，證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，將遞推關(guān)系式化簡可得是首項為，公差為2的等差數(shù)列，然后由等差數(shù)列的通項公式即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，先假設(shè)存在，然后根據(jù)條件可得，從而求得.【詳解】（1）由題意，．所以，即．又因為，所以是首項為，公差為2的等差數(shù)列．因此．故．（2）由題意，，，知．假設(shè)存在實數(shù)c，使得對所有成立，則．所以，即，得．由，得．所以．故存在實數(shù)，使得對所有成立．6．證明見解析【分析】運用放縮法可得，再結(jié)合累乘法可證得結(jié)果.【詳解】證明：由及糖水不等式可得．所以當(dāng)時，，又因為，，所以對一切成立．7．(1)(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意化簡得，得到數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列的通項公式；（2）①易得；②由①得，設(shè)，利用乘公比錯位相減法求得，即可求解.【詳解】（1）解：因為，所以，即，又因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而，則.（2）①因為，所以；②由①得，設(shè)，則，兩式相減得，即，從而，故.8．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合遞推公式，即可證明；（2）根據(jù)條件求和，再代入不等式，利用作差法，即可化簡證明；（3）根據(jù)數(shù)列的通項公式，分別求奇數(shù)項和偶數(shù)項的和，再分別利用裂項相消法和錯位相減法求和，即可證明.【詳解】（1）由，得，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，．（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，得，所以，，，，，得證．（3）當(dāng)n為奇數(shù)時，，，當(dāng)n為偶數(shù)時，，，設(shè)，，兩式相減得得，所以，所以．9．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與兩點斜率公式即可證明；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及二次函數(shù)的單調(diào)性可得，累乘可證不等式左側(cè)成立，再令可得，累乘得，即證得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得：，∴曲線在點處切線的斜率．又∵過和兩點的直線斜率是，且曲線在點處的切線與經(jīng)過和兩點的直線平行，∴．（2）∵函數(shù)在時單調(diào)遞增，而，∴，即．因此累乘可得．又，令，則．∵，∴累乘可得，∴，即．10．(1)數(shù)列成等比數(shù)列，證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）推導(dǎo)出，得到結(jié)論；（2）先得到，，從而得到，令，得到函數(shù)單調(diào)遞增，且由特殊點函數(shù)值得到，，求出，當(dāng)時，利用裂項相消法求和，得到.【詳解】（1）數(shù)列成等比數(shù)列，證明如下：根據(jù)得，；，，，即數(shù)列成等比數(shù)列.（2）由（1）得，，，故，由，得.令，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，故，，，，，當(dāng)時，，綜上，知11．(1)(2)(3)詳見解析.【分析】（1）根據(jù)和的關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求出代入化簡即可解決；（3）求出，進(jìn)行適當(dāng)放縮后用裂項相消求和解決.【詳解】（1