2024年千錘百煉高考數(shù)學100個熱點問題第60煉 三視圖-幾何體的面積問題含答案

2024年千錘百煉高考數(shù)學100個熱點問題第60煉三視圖——幾何體的面積問題第60煉三視圖——幾何體的面積問題一、基礎知識：1、常見幾何體的表面積計算：（1）三角形面積：設的底為，高為，則（2）圓形面積：設圓的半徑為，則（3）圓柱的側面積：設圓柱底面半徑為，高為，則側面積為（4）圓錐的側面積：設圓錐底面半徑為，母線長為，則側面積為（5）圓臺的側面積：設圓臺上下底面半徑分別為，母線長為，則側面積為（6）棱柱（棱錐，棱臺）的側面積：只需求出每個側面的面積并加在一起（7）球的面積：設球的半徑為，則球的表面積為2、軸截面：對于旋轉體（圓柱，圓錐，圓臺），用軸所在的平面去截幾何體，得到的截面稱為軸截面，軸截面的邊角關系與幾何體的一些要素向對應。（1）圓柱：軸截面為矩形，其中矩形的長對應圓柱的底面直徑，矩形的高對應橢圓的高（2）圓錐：軸截面為等腰三角形，其中等腰三角形的底對應圓錐的底面直徑，高對應圓錐的高，腰對應圓錐的母線長（3）圓臺：軸截面為等腰梯形，其中上底對應圓臺上底面直徑，下底對應下底面直徑，高對應圓臺的高，腰對應圓臺的母線3、三視圖解面積的步驟：（1）分析出所圍成的幾何體的特征（柱，錐，臺還是組合體）（2）確定所求幾何體由哪些面組成（3）根據圍成的面的特點，尋找可求出面積的要素，進而求出面積（4）將各部分面積求和即可得到幾何體的表面積4、求表面積要注意的幾點：（1）三視圖中側面的高通常與某個視圖的邊相對應。（2）圓錐和圓柱可利用軸截面的特點求出相關要素，例如已知圓錐的高和底面半徑，通過軸截面可求出圓錐的母線長（3）當幾何體被切割時，要注意截面也算在表面積之列。（4）如果幾何體是由多個簡單幾何體拼接而成，要注意哪些面因拼接而含在幾何體之中，進而在求表面積時不予考慮。二、典型例題：例1：一個幾何體的三視圖及其尺寸(單位：cm)，如圖所示，則該幾何體的側面積為_cm思路：通過三視圖可判斷出該幾何體為正四棱錐，所以只需計算出一個側面三角形的面積，乘4即為側面積。通過三視圖可得側面三角形的底為8（由俯視圖可得），高為5（左側面的高即為正視圖中三角形左腰的長度），所以面積為，所以側面積為答案：80例2：一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為．思路：由三視圖可得該幾何體由一個半球和一個圓錐組成，其表面積為半球面積和圓錐側面積的和。球的半徑為3，所以半球的面積，圓錐的底面半徑為3，母線長為5，所以圓錐的側面積為，所以表面積為答案：例3：已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于________．思路：可初步判斷出該幾何體可由正方體截得一部分而構成。從三視圖中可得去掉的一角為側棱長為1，且兩兩垂直的三棱錐（如圖所示），可得為邊長是的等邊三角形。所以，其余的面中有三個面是正方形的面積減去一個邊長為1的等腰直角三角形的面積，即，另外三個面為完整的正方形，即，所以表面積答案：例4：某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）A.B.C.D.思路：由三視圖可判斷出該幾何體為一個正四棱柱，所以表面積由側面的四個矩形，還有上下兩個底面（直角梯形）的面積組成。由俯視圖可得梯形的上下底分別為，高為1，所以梯形面積，四個側面的底分別為，高為，所以側面面積為，從而表面積答案：B例5：如圖，一個空間幾何體的正視圖，側視圖都是面積為，一個內角為的菱形，俯視圖為正方形，那么這個幾何體的表面積為（）A.B.C.D.思路：由三視圖可得，該幾何體為兩個正四棱錐上下拼接而成，其表面積為8個側面三角形面積的和。首先計算正視圖中菱形的邊長。圖中的菱形被分成2個全等的等邊三角形，設邊長為，則有，解得答案：D例6：某幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為（）A.B.C.D.思路：由正視圖與側視圖可判斷出幾何體為錐體，再由俯視圖能夠判定該幾何體為圓錐的一半，且底面向上放置。所以表面積由底面半圓，側面的一半，和軸截面的面積組成。由俯視圖可得底面半圓半徑，所以底面半圓面積幾何體的側面為圓錐側面的一半，由正視圖可得圓錐的母線，所以側面面積，軸截面為三角形，底為2（側視圖），高為2（正視圖）所以可得面積，所以該幾何體的表面積為答案：A例7：如圖是一個幾何體的三視圖，則此三視圖所描述幾何體的表面積為（）A.B.C.D.思路：從三視圖中可判斷出幾何體為一個圓錐和圓柱拼接而成，所圍成的表面積為圓錐的側面，圓柱的側面和圓柱的一個底面。圓錐的底面半徑為2，高為，可由軸截面求出母線的長度為，所以圓錐側面，圓柱的高，底面半徑，所以圓柱的側面面積，圓柱底面面積，所以幾何體的表面積為答案：B例8：某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的表面積為________思路：由正視圖和側視圖可判斷出幾何體為錐體，結合俯視圖可得該幾何體為圓錐的一部分。其表面積由底面扇形，圓錐側面的一部分和兩個三角形截面組成，首先通過正視圖線段的長度可得扇形的圓心角為，所以扇形面積，由側視圖可得圓錐的母線長，由底面扇形所占底面圓形的可得圓錐部分側面面積也是圓錐側面面積的，即由正視圖可得兩個三角形的底為2，高為4，所以三角形面積為，所以幾何體的表面積為答案：例9：一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為___________思路：由三視圖可知該幾何體為四棱錐，且頂點在底面的投影為底邊的中點，可嘗試作出四棱錐的直觀圖。底面為邊長為2的正方形，所以面積，的底為2，高為（正視圖的左側直角邊），所以。的底為2，高為2（側視圖的左右邊），所以，的底為2，高，所以，所以棱錐的表面積答案：小煉有話說：在求棱錐的側面面積時，底可以考慮底面的邊長，高則可從正視圖與側視圖三角形的左右兩邊尋找，其邊長分別對應側面三角形的高例10：圓柱被過軸一個平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖與俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為，則（）A.B.C.D.思路：總體想法是用表示出幾何體的表面積，在結合已知列出方程求解。由條件可知該幾何體的表面積由一個半球，圓柱的半個底面，半球截面的一半（半圓），圓柱的半個側面和圓柱的軸截面的面積組成。半球的面積為，半球截面的一半，圓柱半個底面面積為，圓柱半個側面面積為，軸截面為矩形，底為，高為，所以面積為。進而表面積，所以，可解得答案：B小煉有話說：本題在分析表面積構成時要注意細節(jié)的處理，例如在正視圖中的圓有一條分割線，這就體現(xiàn)了半球下圓柱被截的情況。所以半球的底面只有一部分與圓柱重合，露出的部分還應計在表面積之中第61煉三視圖——幾何體的體積問題一、基礎知識：1、常見幾何體的體積公式：（底面積，高）（1）柱體：（2）錐體：（3）臺體：，其中為上底面面積，為下底面面積（4）球：2、求幾何體體積要注意的幾點（1）對于多面體和旋轉體：一方面要判定幾何體的類型（柱，錐，臺），另一方面要看好該幾何體擺放的位置是否是底面著地。對于擺放“規(guī)矩”的幾何體（底面著地），通常只需通過俯視圖看底面面積，正視圖（或側視圖）確定高，即可求出體積。（2）對于組合體，首先要判斷是由哪些簡單幾何體組成的，或是以哪個幾何體為基礎切掉了一部分。然后再尋找相關要素（3）在三視圖中，每個圖各條線段的長度不會一一給出，但可通過三個圖之間的聯(lián)系進行推斷，推斷的口訣為“長對正，高平齊，寬相等”，即正視圖的左右間距與俯視圖的左右間距相等，正視圖的上下間距與側視圖的上下間距相等，側視圖的左右間距與俯視圖的上下間距相等。二、典型例題：例1：已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_________思路：從正視圖，側視圖可判斷出幾何體與錐體相關（帶尖兒），從俯視圖中可看出并非圓錐和棱錐，而是兩者的一個組合體（一半圓錐三棱錐），所以，錐體的高計算可得（利用正視圖），底面積半圓的半徑為，三角形底邊為，高為（俯視圖看出），所以，，則，，所以答案：例2：已知一棱錐的三視圖如圖所示，其中側視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，正視圖為直角梯形，則該棱錐的體積為.思路：觀察可發(fā)現(xiàn)這個棱錐是將一個側面擺在地面上，而棱錐的真正底面體現(xiàn)在正視圖（梯形）中，所以，而棱錐的高為側視圖的左右間距，即，所以答案：例3：若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是________．思路：該幾何體可拆為兩個四棱柱，這兩個四棱柱的高均為4（俯視圖得到），其中一個四棱柱底面為正方形，邊長為2（正視圖得到），所以，另一個四棱柱底面為梯形，上下底分別為，所以，。故幾何體的體積為答案：例4：如下圖是一個組合幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是___________思路：從三視圖中觀察可得該組合體是由一個圓柱與一個躺倒的三棱錐拼接而成，對于圓柱可得其底面半徑為（正視圖），高為（正視圖），所以，而棱柱底面為底是（俯視圖），高為（正視圖）的三角形，棱柱的高為（俯視圖），所以可得，所以組合體的體積為答案：例5：某幾何體三視圖如圖所示（正方形邊長為），則該幾何體的體積為.思路：由正視圖與側視圖可得該幾何體的輪廓為一個棱柱，從俯視圖中可確定該組合體為正方體截掉了兩部分，且這兩部分剛好都是個圓柱，可拼成個圓柱。所以先計算出正方體的體積，而圓柱的底面半徑為，高為，所以，所以組合體的體積為答案：例6：某個長方體被一個平面所截，得到的幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為()A．4B．2C．D．8答案：D思路：由于長方體被平面所截，所以很難直接求出幾何體的體積，可以考慮沿著截面再接上一個一模一樣的幾何體，從而拼成了一個長方體，因為長方體由兩個完全一樣的幾何體拼成，所以所求體積為長方體體積的一半。從圖上可得長方體的底面為正方形，且邊長為，長方體的高為，所以，所以例7：一空間幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為__________思路：由主視圖觀察下方有圓弧形，所以判斷有旋轉體，結合側視圖與俯視圖可判斷出幾何體下部為一個圓柱（圓柱體的一半），且圓柱的上方摞著一個長方體。所以，長方體的長寬高分別為2,2,4，則，圓柱體的高為4（側視圖看出），底面半徑為2（由主視圖看出），則，所以答案：例8：已知四棱錐的直觀圖和三視圖如圖所示，則三棱錐的體積為__________思路：要求三棱錐的體積，則要確定棱錐的高（到底面的距離）和的面積，從主視圖中可判斷出棱錐的高，俯視圖體現(xiàn)出四邊形為矩形，所以的面積為，所以答案：例9：一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為_______思路：從俯視圖可判斷出該幾何體的基礎應為直三棱柱，但從側視圖與正視圖可以看出幾何體是直三棱柱切掉了一部分，其中側視圖體現(xiàn)出三棱柱從上底面一直切到下底面，而正視圖中的線恰好是截面與側面形成的棱（切痕），進而可作出直觀圖，從圖中可看出剩余的幾何體為一個四棱錐（頂點為，所以，棱錐的高是（側視圖的左右間距），四邊形是邊長為的正方形（由正視圖看出），所以，所以答案：例10：如圖，網格紙上的小正方形邊長為1，粗線是一個棱錐的三視圖，則此棱錐的體積為()A.B.C.D.思路：本題很難直接看出棱錐的底面積與高，但通過觀察可看出此棱錐可能由正方體（棱長為2）通過切割而成，所以先畫出正方體，再根據三視圖中的實線虛線判斷如何切割，正視圖中可看出正方體用前后面的對角線所在平面將下方完全切掉，從左視圖可看出正方體的右側面（虛線）有切痕，俯視圖體現(xiàn)出正方體的上底面有切痕。進而可得所求棱錐為一個四棱錐，底面是矩形，寬，長，因為平面，所以平面平面，過作的垂線，則有平面，即高，所以棱錐的體積為答案：第62煉點線面位置關系的判定一、基礎知識（一）直線與直線位置關系：1、線線平行的判定（1）平行公理：空間中平行于同一直線的兩條直線平行（2）線面平行性質：如果一條直線與平面平行，則過這條直線的平面與已知平面的交線和該直線平行（3）面面平行性質：2、線線垂直的判定（1）兩條平行直線，如果其中一條與某直線垂直，則另一條直線也與這條直線垂直直線與平面位置關系：（2）線面垂直的性質：如果一條直線與平面垂直，則該直線與平面上的所有直線均垂直（二）直線與平面的位置關系1、線面平行判定定理：（1）若平面外的一條直線與平面上的一條直線平行，則（2）若兩個平面平行，則一個平面上的任一直線與另一平面平行2、線面垂直的判定：（1）若直線與平面上的兩條相交直線垂直，則（2）兩條平行線中若其中一條與平面垂直，則另一條直線也與該平面垂直（3）如果兩個平面垂直，則一個平面上垂直于交線的直線與另一平面垂直（三）平面與平面的位置關系1、平面與平面平行的判定：（1）如果一個平面上的兩條相交直線均與另一個平面平行，則兩個平面平行（2）平行于同一個平面的兩個平面平行2、平面與平面垂直的判定如果一條直線與一個平面垂直，則過這條直線的所有平面均與這個平面垂直（四）利用空間向量判斷線面位置關系1、刻畫直線，平面位置的向量：直線：方向向量平面：法向量2、向量關系與線面關系的轉化：設直線對應的法向量為，平面對應的法向量為（其中在外）（1）∥∥（2）（3）∥（4）（5）（6）3、有關向量關系的結論（1）若，則平行+平行→平行（2）若，則平行+垂直→垂直（3）若，則的位置關系不定。4、如何用向量判斷位置關系命題真假（1）條件中的線面關系翻譯成向量關系（2）確定由條件能否得到結論（3）將結論翻譯成線面關系，即可判斷命題的真假二、典型例題：例1：已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，現(xiàn)給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中正確命題的個數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3思路：①為面面平行的判定，要求一個平面上兩條相交直線，而①中不一定相交。所以無法判定面面平行；②為面面垂直的性質，要求一個平面上垂直交線的直線，才與另一平面垂直。而②中不一定與交線垂直。所以不成立；③可用向量判定，設對應法向量為，直線方向向量為，則條件轉換為：，可推得，即，③正確；④為線面平行判定，要求在外，所以④錯誤；綜上只有1個命題正確答案：B例2：已知是不同的直線，是不同的平面，以下命題正確的是（）A．②③B．③④C．②④D．③思路：題目中涉及平行垂直較多，所以考慮利用正方體（舉反例）或向量判斷各個命題①兩平面各選一條直線，兩直線平行不能判斷出兩個平面平行，例如在正方體中在平面和平面中，雖然，但兩個平面不平行，所以①錯誤②例如：平面∥平面，，但與不垂直，所以②錯誤③考慮利用向量幫助解決：，所以可以推斷，所以可得④考慮利用向量解決：，由垂直關系不能推出，所以④錯誤答案：D例3：對于直線和平面，的一個充分條件為（）A.B.C.D.思路：求的充分條件，即從A,B,C,D中選出能判定的條件，A選項：例如正方體中的平面和平面可知雖然平面，平面，但這兩個平面不平行。B選項：也可利用A選項的例子說明無法推出，C選項可用向量模型進行分析：，所以可得：，即；D選項可利用A選項的例子：，可知平面，平面，但這兩個平面不平行，綜上所述，只有C為的一個充分條件答案：C例4：給定下列四個命題：①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；②若一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，為真命題的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④思路：分別判斷四個命題：①必須是一個平面內兩條“相交”直線與另一個平面平行，才可判定兩平面平行，所以①錯誤；②該命題為面面垂直的判定，正確；③空間中垂直同一條直線的兩條直線不一定平行，例如正方體中交于一點的三條棱；④可用反證法確定，假設該直線與另一平面垂直，則必然垂直該平面上所有的直線，包括兩平面的交線。所以與條件矛盾。假設不成立。綜上所述，正確的命題是②和④答案：D例5：已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說法中正確的是（）A．若，，則B．若∥，∥則∥C．若，，則∥D．若∥，，則思路：A選項若直線與平面垂直，則直線與這個平面上的所有直線均垂直，所以A正確B選項可用向量判斷，∥，∥，由，無法判斷出的關系，所以不能推出∥；C選項并沒有說明直線是否在平面上，所以結論不正確；D選項也可用向量判斷，∥，，同理由無法判斷的情況，所以無法推斷出，綜上所述：A正確答案：A例6：給出下列命題，其中正確的兩個命題是（）①直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行。②夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面；③直線平面，直線，則；④是異面直線，則存在唯一的平面，使它與都平行且與距離相等A.①②B.②③C.③④D.②④答案：D思路：①到平面距離相等的點可能位于平面的同側或是異側，如果是同側，則兩點所在直線與平面平行，如果異側，則直線與平面相交，且交點為這兩點的中點。②正確，證明如下：如圖，平面，且分別為的中點，過作交于，連接，設是的中點平面③命題中沒有說明直線是否在上，所以不正確；④正確，設為異面直線的公垂線段，為中點，過作的平行線，從而由確定的平面與平行且與的距離相等。所以該平面即為所求。答案：D例7：下列命題正確的個數(shù)是（）①若直線上有無數(shù)個點不在平面內，則∥②若直線∥，則與平面內的任意一條直線都平行③如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行④若直線∥，則與平面內的任意一條直線都沒有公共點A.0B.1C.2D.3思路：①“無數(shù)個點”只是強調數(shù)量多，并不等同于“任意點”，即使直線與平面相交，直線上也有無數(shù)個點不在平面內。所以①不正確；②若∥，說明與沒有公共點，所以與上任意一條直線都沒有公共點，但即使無公共點，的位置關系不只是有平行，還有可能異面，所以②不正確；③線面平行的前提是直線在平面外，而命題③中沒有說明“另一條”直線是否在平面上，所以③不正確；命題④可由②得知，與上任意一條直線都沒有公共點，命題④正確，綜上所述，正確的有1個答案：B例8：直線為兩異面直線，下列結論正確的是（）A.過不在上的任何一點，可作一個平面與都平行B.過不在上的任何一點，可作一個直線與都相交C.過不在上的任何一點，可作一個直線與都平行D.過有且只有一個平面與平行思路：A選項中，如果點與確定的平面與平行，則此平面只和平行，在此平面上，所以這樣的是無法作出符合條件的平面；B選項由A所構造出的平面可得，若過的直線與相交，則也在該平面上，所以與無公共點；若過的直線與相交，則無法與相交，綜上所述對于這樣的點無法作出符合條件的直線；C選項如果過的直線與均平行，則由平行公理可知，與已知條件矛盾，所以C錯誤；D選項，如果異面，則過只能做出一個平面與平行。在上取兩點分別作的平行線，則所唯一確定的平面和平行，且在此平面上。所以D正確答案：D例9：設是兩條異面直線，是空間任意一點，則下列命題正確的是（）A.過點必存在平面與兩異面直線都垂直B.過點必存在平面與兩異面直線都平行C.過點必存在直線與兩異面直線都垂直D.過點必存在直線與兩異面直線都平行思路：A選項，若平面與均垂直，則推得，與異面矛盾；B選項如果點位于某條直線上，則平面無法與該直線平行；C選項中直線的垂直包括異面垂直，所以可以講平移至共面，過的直線只需與這個平面線面垂直，即和都垂直，所以C正確；D選項如果直線與均平行，則由平行公理可得，與異面矛盾。所以C正確答案：C例10：設是不同的直線，是不重合的平面，則下列命題不正確的是（）A.若∥，∥，在外，則∥B.若，則C.若∥，則∥D.若，且，則∥思路：A選項可通過向量來判斷：，由此可得：，因為在外，所以可判定∥，A正確；B選項設，則上所有點的投影落在中，上所有點的投影落在中，因為，所以上所有點的投影均在的交點上，即，所以B正確；C選項符合面面平行的性質，即兩個平面平行，第三個平面與這兩個平面相交，則交線平行，所以C正確；D選項中若A,C位于同側，則命題成立；但如果位于兩側，則滿足條件的與相交。故不正確答案：D三、歷年好題精選1、（2016，山東膠州高三期末）設為不同的平面，為不同的直線，則的一個充分條件為（）A.B.C.D.2、給出下面四個命題：①“直線∥直線”的充要條件是“平行于所在的平面”；②“直線⊥平面α內所有直線”的充要條件是“⊥平面”；③“直線，為異面直線”的充分不必要條件是“直線，不相交”；④“平面∥平面”的必要不充分條件是“內存在不共線三點到的距離相等”．其中正確命題的序號是()A．①②B．②③C．③④D．②④3、（2016，大連二十中期中考試）已知三個互不重合的平面，且，給出下列命題（）①若，則②若，則③若，則④若，則其中正確命題的個數(shù)為（）A.1個B.2個C.3個D.4個4、（江西中南五校聯(lián)考）已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若B.若C.若D.若5、（2016，寧波高三期末）已知平面與平面交于直線,且直線,直線,則下列命題錯誤的是（）A．若，且與不垂直，則B．若，，則C．若，，且與不平行，則D．若，，則6、（2016，上海閘北12月月考）已知是兩條不同直線，是兩個不同平面，給出下列四個命題：①若垂直于同一平面，則與平行②若平行于同一平面，則與平行③若不平行，則在內不存在與平行的直線④若不平行，則與不可能垂直于同一平面其中真命題的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．17、設為兩條直線，為兩個平面，則下列四個命題中，正確的命題是（）A.若，則B.∥∥，∥，則∥C.若∥，∥，則∥D.若∥，則8、（2015，廣東文）若直線是異面直線，在平面內，在平面內，是平面與平面的交線，則下列命題正確的是（）A.至少與中的一條相交B.與都相交C.至多與中的一條相交D.與都不相交9、（2014，遼寧）已知表示兩條不同的直線，表示平面，下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，則C.若，則D.若，，則