高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版選擇性必修一）第15講 2.1.2兩條直線平行和垂直的判定（學(xué)生版）

第02講2.1.2兩條直線平行和垂直的判定課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解兩條直線平行的條件及兩條直線垂直的條件。②能根據(jù)直線的斜率判斷兩條直線平行或垂直.。③能應(yīng)用兩條直線平行或垂直解決相關(guān)問題，理解用代數(shù)法解決幾何問題.。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，理解兩條直線平行與垂直的幾何位置與代數(shù)運(yùn)算相結(jié)合的條件與意義，能應(yīng)用兩直線的斜率的關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，并能解決與兩條直線位置關(guān)系相關(guān)聯(lián)的綜合問題.知識點(diǎn)01：兩條直線平行對于兩條不重合的直線，，其斜率分別為，，有.對兩直線平行與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)(1)成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②與不重合．(2)當(dāng)兩條直線不重合且斜率都不存在時(shí)，與的傾斜角都是，則.(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：或，斜率都不存在.【即學(xué)即練1】（多選）（2023·廣西桂林·高二?？计谥校┤魹閮蓷l不重合的直線，他們的傾斜角分別為，斜率分別為，則下列命題正確的是（

）A．若，則斜率 B．若斜率，則C．若，則傾斜角 D．若傾斜角，則【答案】ABCD【詳解】因?yàn)闉閮蓷l不重合的直線，他們的傾斜角分別為，斜率分別為，若，則斜率相等，即；又斜率是傾斜角的正切值，所以，故AC正確；若，則，所以，故BD正確；故選：ABCD知識點(diǎn)02：兩條直線垂直如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于；反之，如果它們的斜率之積等于，那么它們互相垂直，即.對兩直線垂直與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)(1)成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②且.(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直．(3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：或一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零．【即學(xué)即練2】（多選）（2023·廣西欽州·高二浦北中學(xué)統(tǒng)考期末）已知兩條不重合的直線，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【詳解】對A，若，則，故A正確；對B，若，又兩直線不重合，則，故B正確；對C，若，則與不垂直，故C錯(cuò)誤；對D，若，則，故D正確.故選：ABD.題型01兩直線平行關(guān)系的判定【典例1】（多選）（2023春·廣西柳州·高二校考階段練習(xí)）已知直線與為兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（

）A．若，則斜率B．若斜率，則C．若傾斜角，則D．若，則傾斜角【典例2】（2023春·山東濱州·高一校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，，，試判定四邊形的形狀．【典例3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）判斷下列各組直線是否平行，并說明理由．(1)經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)；(2)的斜率為，經(jīng)過點(diǎn).【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）判斷下列各題中直線與是否平行．(1)經(jīng)過點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)，；(2)經(jīng)過點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)，．【變式2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）判斷下列不同的直線與是否平行.（1）的斜率為2，經(jīng)過，兩點(diǎn)；（2）經(jīng)過，兩點(diǎn)，平行于軸，但不經(jīng)過，兩點(diǎn)；（3）經(jīng)過，兩點(diǎn)，經(jīng)過，兩點(diǎn)．題型02兩直線垂直關(guān)系的判定【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）以為頂點(diǎn)的四邊形是（

）A．平行四邊形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由．(1)經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)；(2)經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)．【變式1】（多選）（2023春·廣西柳州·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）若，，，，下面結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，求證：四邊形為矩形．題型03已知兩直線平行關(guān)求參數(shù)【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知過和的直線與斜率為－2的直線平行，則的值是（

）A．－8 B．0 C．2 D．10【典例2】（2022秋·四川遂寧·高二遂寧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若直線與平行，則（

）A． B． C． D．【典例3】（2022秋·河南濮陽·高二?？茧A段練習(xí)）若直線與直線平行，直線的斜率為，則直線的傾斜角為___________.【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線的傾斜角為，直線的斜率為，若∥，則的值為________．【變式2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)兩點(diǎn)的直線與直線平行，直線的傾斜角為，則___________題型04已知兩直線垂直關(guān)求參數(shù)【典例1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)，的直線與過點(diǎn)，的直線垂直，則的值為（

）A． B．2 C． D．【典例2】（2023春·甘肅蘭州·高二蘭州五十九中?？奸_學(xué)考試）已知經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．或 D．或【典例3】（2023春·黑龍江佳木斯·高二富錦市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，且直線，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【變式1】（2023春·甘肅武威·高二民勤縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則邊上的高的斜率為（

）A．2 B． C． D．【變式2】（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)校考期末）已知點(diǎn)和，點(diǎn)在軸上，且為直角，則點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B．或 C．或 D．題型05直線平行、垂直在幾何中的應(yīng)用【典例1】（2022秋·青海海東·高二?？计谥校┮阎c(diǎn)，，，是的垂心．則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【典例2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，，，，求證：四邊形是梯形．【變式1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）順次連接，，)，)所構(gòu)成的圖形是（）A．平行四邊形 B．直角梯形C．等腰梯形 D．以上都不對【變式2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為________.【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知，，，四點(diǎn)，若順次連接四點(diǎn)，試判斷圖形的形狀．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市培正中學(xué)?？计谥校┮阎本€的傾斜角為，直線，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·山東泰安·高二統(tǒng)考期末）若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A． B． C． D．33．（2023·全國·高二專題練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．若兩條直線斜率相等，則它們互相平行B．若，則C．若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交D．若兩條直線的斜率都不存在，則它們相互平行4．（2023秋·天津和平·高二天津一中?？计谀┮阎本€：，：，若，則實(shí)數(shù)（

）A．－2 B．－1 C．0 D．15．（2023春·上海長寧·高二上海市第三女子中學(xué)校考期中）“兩條直線的斜率乘積為”是“兩條直線互相垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件6．（2023春·河北承德·高二承德市雙灤區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，那么與A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直二、多選題7．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）下列說法中正確的有（

）A．若兩直線平行，則兩直線的斜率相等B．若兩直線的斜率相等，則兩直線平行C．若兩直線的斜率乘積等于，則兩直線垂直D．若兩直線垂直，則兩直線的斜率乘積等于8．（2022秋·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第六中學(xué)?？计谥校┤襞c為兩條不重合的直線，則下列說法中正確的有（

）A．若，則它們的斜率相等 B．若與的斜率相等，則C．若，則它們的傾斜角相等 D．若與的傾斜角相等，則三、填空題9．（2022秋·廣西玉林·高二校考階段練習(xí)）若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，，則下列命題①若，則斜率；

②若斜率，則；③若，則傾斜角；④若傾斜角，則；其中正確命題的個(gè)數(shù)是______．10．（2022秋·全國·高二期中）已知三點(diǎn)，則△ABC為__________三角形.四、解答題11．（2022秋·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）如圖所示，一個(gè)矩形花園里需要鋪兩條筆直的小路，已知矩形花園長，寬，其中一條