無窮小無窮大極限運算法則

關(guān)于無窮小無窮大極限運算法則當一、無窮小定義1(P39).

若時,函數(shù)則稱函數(shù)例1(P39):函數(shù)當時為無窮小;函數(shù)時為無窮小;函數(shù)當為時的無窮小

.時為無窮小.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明第2頁,共30頁，2024年2月25日，星期天說明(P39):

2、0是可以作為無窮小的唯一常數(shù)時,函數(shù)(或)則稱函數(shù)為定義1.

若(或)則時的無窮小

.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1、無窮小不是很小的數(shù)定理1第3頁,共30頁，2024年2月25日，星期天其中

為時的無窮小量.定理1(P39)

.(無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)證:當時,有對自變量的其它變化過程類似可證.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束無窮大第4頁,共30頁，2024年2月25日，星期天二、無窮大定義2(P40)

.

若任給

M>0,一切滿足不等式的

x,總有則稱函數(shù)當時為無窮大,

使對若在定義中將①式改為①則記作(正數(shù)X),記作總存在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意第5頁,共30頁，2024年2月25日，星期天注意(P40):1.無窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2.函數(shù)為無窮大,必定無界.但反之不真!例(P42題6),

函數(shù)當?shù)詴r,不是無窮大!機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2第6頁,共30頁，2024年2月25日，星期天例2(P40).

證明證:

任給正數(shù)

M,要使即只要取則對滿足的一切x,有所以若則直線為曲線的鉛直漸近線.漸近線說明(P41):機動目錄上頁下頁返回結(jié)束無窮小無窮大關(guān)系第7頁,共30頁，2024年2月25日，星期天三、無窮小與無窮大的關(guān)系若為無窮大,為無窮小;若為無窮小,且則為無窮大.則據(jù)此定理,關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為無窮小來討論.定理2(P41).

在自變量的同一變化過程中,說明:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2證明第8頁,共30頁，2024年2月25日，星期天證設(shè)取當時，有即所以為當時的無窮小.反之，設(shè)且

取當

時，有由得所以為當時的無窮大.內(nèi)容小結(jié)第9頁,共30頁，2024年2月25日，星期天內(nèi)容小結(jié)1.無窮小與無窮大的定義2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系3.無窮小與無窮大的關(guān)系思考與練習(xí)P42題1,3P42題3提示:第五節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁,共30頁，2024年2月25日，星期天

第一章二、極限的四則運算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則一、無窮小運算法則第五節(jié)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束極限運算法則第11頁,共30頁，2024年2月25日，星期天時,有一、無窮小運算法則定理1(P43).

有限個無窮小的和還是無窮小.證:

考慮兩個無窮小的和.設(shè)當時,有當時,有取則當因此這說明當時,為無窮小量.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明第12頁,共30頁，2024年2月25日，星期天說明:

無限個無窮小之和不一定是無窮小!例如，(P56,題4(2))機動目錄上頁下頁返回結(jié)束類似可證:有限個無窮小之和仍為無窮小.定理2第13頁,共30頁，2024年2月25日，星期天定理2(P43).

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

證:

設(shè)又設(shè)即當時,有取則當時,就有故即是時的無窮小.推論1(P44)

.

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2(P44)

.

有限個無窮小的乘積是無窮小.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1第14頁,共30頁，2024年2月25日，星期天例1(P48例8).

求解:

利用定理2(P43)

可知機動目錄上頁下頁返回結(jié)束極限四則運算法則第15頁,共30頁，2024年2月25日，星期天二、極限的四則運算法則則有定理3(P44).

若機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明(P45):

定理3可推廣到有限個函數(shù)相加、減、乘的情形.推論第16頁,共30頁，2024年2月25日，星期天推論1(P45).(C

為常數(shù))推論2(P45).(n

為正整數(shù))例2(P46).

設(shè)

n次多項式試證證機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理4第17頁,共30頁，2024年2月25日，星期天定理4(P45)

.

若則有提示:

因為數(shù)列是一種特殊的函數(shù),故此定理可由定理3(P44)

直接得出結(jié)論.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3第18頁,共30頁，2024年2月25日，星期天

x=3時分母為0!例3(P46).

設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項式,試證:證:說明(P47):

若不能直接用商的運算法則.例如.

若機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4第19頁,共30頁，2024年2月25日，星期天例4(P47).

求解:

x=1時分母=0,分子≠0,但因機動目錄上頁下頁返回結(jié)束由P41定理2有例5第20頁,共30頁，2024年2月25日，星期天例5

.

求解:時,分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束有理分式極限一般結(jié)果第21頁,共30頁，2024年2月25日，星期天一般有如下結(jié)果(P48)：為非負常數(shù))(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束復(fù)合函數(shù)極限運算第22頁,共30頁，2024年2月25日，星期天定理6(P48).

設(shè)且x

滿足時,又則有

說明(P49):

若定理中則類似可得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7三、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則第23頁,共30頁，2024年2月25日，星期天例7.求解:

令已知(見P47例3)∴原式=(見P34例5)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例8第24頁,共30頁，2024年2月25日，星期天例8.求解:

方法1則令∴原式方法2機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)第25頁,共30頁，2024年2月25日，星期天內(nèi)容小結(jié)1.極限運算法則(1)無窮小運算法則(2)極限四則運算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時,用代入法(分母不為0)時,對型,約去公因子時,分子分母同除最高次冪“抓大頭”(2)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)第26頁,共30頁，2024年2月25日，星期天思考及練習(xí)1.是否存在?為什么?答:

不存在.否則由利用極限四則運算法則可知存在,與已知條件矛盾.解:原式2.問機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3題第27頁,共30頁，2024年2月25日，星期天3.

求解法1原式=解法2令則