天津市大港區(qū)名校2024屆九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

天津市大港區(qū)名校2024屆九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1,

1.拋物線丁=一5（%一3）-+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（3,1）B.（-3,1）C.（1,3）D.（1,-3）

2.如圖，A為反比例函數(shù)y=A的圖象上一點(diǎn)，AB垂直x軸于B,若SAAOB=2,則k的值為（）

3.如圖，釣魚竿AC長6m,露在水面上的魚線BC長3亞m,某釣者想看看魚釣上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)動到AC'

的位置，此時(shí)露在水面上的魚線B，C'為3gm,則魚竿轉(zhuǎn)過的角度是（）

4.如圖，下列條件不能判定△ADBs^ABC的是（）

A.ZABD=ZACBB.ZADB=ZABC

c.AB2=AD?ACD.——=—

ABBC

5.下列二次根式中，是最簡二次根式的是()

A.上B.而C.V27D.77

k

6.如圖，已知雙曲線？=一(4<0)經(jīng)過直角三角形。48斜邊0A的中點(diǎn)且與直角邊AB相交于點(diǎn)C.若點(diǎn)A的

x

坐標(biāo)為(-6,4),則AAOC的面積為

A.12B.9C.6D.4

7.學(xué)校“校園之聲”廣播站要選拔一名英語主持人，小瑩參加選拔的各項(xiàng)成績?nèi)缦?

姓名讀聽寫

小瑩928090

若把讀、聽、寫的成績按5：3：2的比例計(jì)入個(gè)人的總分，則小瑩的個(gè)人總分為()

A.86B.87C.88D.89

8.如圖，在△ABC中，NACB=90°,CDJ_AB于點(diǎn)D,若AC：AB=2：5,則SAADC：SABDC是()

C

4

ADR

A.3：19B.1:719(3.3:721D.4：21

9.拋物線y=x2-2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(1,3)B.(-1,3)(2.(1,2)D.(-1,2)

10.拋物線y=3(x-2)2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(-2,5)B.(-2,-5)((2,5)D.(2,-5)

二、填空題(每小題3分，共24分)

11.二次函數(shù)》=2d-以+4的圖象如圖所示，其對稱軸與它的圖象交于點(diǎn)尸，點(diǎn)N是其圖象上異于點(diǎn)尸的一點(diǎn)，若

2一mMN

軸，MNJ_x軸，則——-=____.

PM2

12.已知一個(gè)幾何體的主視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體可能是.

主衩BE輯視圖

13.計(jì)算：2sin450—J^=.

Jr

14.如圖，已知反比例函數(shù)y=」(k為常數(shù)，導(dǎo)0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,過A點(diǎn)作AB_Lx軸，垂足為B,若AAOB的面積

15.m、n分別為的一元二次方程/一4%-1=()的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式//一4m+機(jī)〃的值為

16.如圖，AABC與ADEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點(diǎn)，則AD：BE的值為.

17.在一個(gè)不透明的口袋中，裝有1個(gè)紅球若干個(gè)白球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出一個(gè)球，摸到紅球的概

率為則此口袋中白球的個(gè)數(shù)為.

4

18.如圖，A3是。的直徑，弦CO交A8于點(diǎn)尸，AP=2,BP=6,ZAPC=30°,則CD的長為?

D

三、解答題（共66分）

19.（10分）如圖，在△A8C中，NR4c=90。，4。是8c邊上的高，E是BC邊上的一個(gè)動點(diǎn)（不與8,C重合）,

EFLAB,EGLAC,垂足分別為尸，G.

EGCG

（）求證:

1AD-CD

（2）尸。與OG是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由;

AB

（3）當(dāng)?。坏闹禐槎嗌贂r(shí)，△FDG為等腰直角三角形？

AC

20.（6分）已知AABC,AB=AC,BD是NABC的角平分線，EF是BD的中垂線，且分別交BC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)

F,交BD于點(diǎn)K,連接DE,DF.

（2）若CD=3,求四邊形BEDF的周長.

21.（6分）如圖①，在△ABC中，NBAC=90。，AB=AC,點(diǎn)E在AC上（且不與點(diǎn)A,C重合），在△ABC的外部

作ACED,使NCED=90。，DE=CE,連接AD,分別以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.

（1）請直接寫出線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系一；

（2）將ACED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，如圖②，連接AE,請判斷線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系，

并證明你的結(jié)論；

（3）在圖②的基礎(chǔ)上，將ACED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請判斷（2）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若不變，結(jié)合圖③

寫出證明過程；若變化，請說明理由.

D

D

國①因②F圖③

22.(8分)如圖，。。為AABC的外接圓，NACB=90°,43=12,過點(diǎn)C的切線與AB的延長線交于點(diǎn)0,0E

交AC于點(diǎn)F,ZCAB=ZE.

(1)判斷0E與8C的位置關(guān)系，并說明理由；

3

(2)若tan/BCO=及，求EF的長.

4

23.(8分)如圖，AB是。的弦，。為半徑。4的中點(diǎn)，過。作CDJ_Q4交弦于點(diǎn)￡,交0于點(diǎn)F,且CE=CB.

(1)求證：8c是。。的切線；

(2)連接Ab、BF,求的度數(shù)：

(3)如果。。=15,BE=T0,sinA=—,求。，0的半徑.

七

24.(8分)如圖，已知一次函數(shù)y=ax+b(a,b為常數(shù)，a￥0)的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,B,且與反比例函

數(shù)y=&(k為常數(shù)，k#0)的圖象在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)C,作CDJLx軸于D,H3

若OA=OD=-OB=1.

X

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

(2)觀察圖象直接寫出不等式OVax+bV&的解集；

X

（1）在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得aPBC是以BC為一腰的等腰三角形？如果存在，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不

存在，請簡要說明理由

25.（10分）如圖，矩形A5CD的四個(gè)頂點(diǎn)在正三角形EFG的邊上.已知△EFG的邊長為2,設(shè)邊長45為x,矩形

ABCD的面積為S.

求：（1）S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式和自變量x的取值范圍.

（2）S的最大值及此時(shí)x的值.

￡

26.(10分)解方程：3x(x-1)=x-1.

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1、A

【分析】利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是：y=a（x-h）2+k（a#0,且a,h,k是常數(shù)），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h,k）進(jìn)行解答.

【詳解】Vy=-1（x-3）2+l,

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3,1）.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k),對稱軸為x=h.熟知二次函數(shù)的頂

點(diǎn)坐標(biāo)式是解答本題的關(guān)鍵

2、A

【分析】過雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個(gè)定值，即

【詳解】由于點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，則SAAOB=J|k|=2；

又由于函數(shù)圖象位于一、三象限，則k=4.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.

3、C

【解析】試題解析：???sinNCAB=gG=￡l=Y2

AC62

AZCAB=45°.

...B'C3736

?sinZ.CAB=-----=------=—,

AC62

二NC，AB，=60。.

...NCAC'=60°-45°=15°,

魚竿轉(zhuǎn)過的角度是15°.

故選C.

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.

4、D

【分析】根據(jù)有兩個(gè)角對應(yīng)相等的三角形相似，以及根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，分別判斷得

出即可.

【詳解】解：A、VZABD=ZACB,NA=NA,

.,.△ABC^AADB,故此選項(xiàng)不合題意；

B、VZADB=ZABC,ZA=ZA,

.,?△ABC^AADB,故此選項(xiàng)不合題意；

C、?；AB2=AD?AC,

ACAB

:.——=——，ZA=ZA,△ABC^AADB,故此選項(xiàng)不合題意；

ABAD

D、——=—不能判定AADBs/^ABC,故此選項(xiàng)符合題意.

ABBC

故選D.

【點(diǎn)睛】

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定，利用了有兩個(gè)角對應(yīng)相等的三角形相似，兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三

角形相似.

5、B

【分析】根據(jù)最簡二次根式概念即可解題.

【詳解】解：A.=正，錯誤，

V22

B.而是最簡二次根式,正確，

C.后=36,錯誤，

D.=錯誤，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了最簡二次根式的概念，屬于簡單題，熟悉概念是解題關(guān)鍵.

6、B

【解析】???點(diǎn)A(-6,4),。是。4中點(diǎn)

:.。點(diǎn)坐標(biāo)(—3,2)

kk

?.?。(―3,2)在雙曲線y=人(女＜0)上，代入可得2==

x-3

A：=—6

,點(diǎn)。在直角邊上，而直線邊AB與％軸垂直

.??點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-6

又?.?點(diǎn)C在雙曲線丫=二9

X

，點(diǎn)C坐標(biāo)為(-6,1)

:.AC=7(-6+6)2+(1-4)2=3

1

從而5AA"=gxACxO8=gx3x6=9,故選B

7、C

【分析】利用加權(quán)平均數(shù)按照比例進(jìn)一步計(jì)算出個(gè)人總分即可.

【詳解】根據(jù)題意得：

92x5+80x3+90x2。。/八、

=

OO(分)9

5+3+2

，小瑩的個(gè)人總分為88分；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了加權(quán)平均數(shù)的求取，熟練掌握相關(guān)公式是解題關(guān)鍵.

8、D

【分析】根據(jù)已知條件易證△ADCS/\ABC,再利用相似三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】：在△ABC中，ZACB=90°,CDJLAB于點(diǎn)D,

.?.ZADC=ZACB=90°,NA=NA,

.'.△ADC^AABC,

.,.AC:AB=2：5,是相似比，

?"?SAADC:SAABC=4；25,

ASAADC：SABDC=4：(25-4)=4：21,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明△ADCsaABC是解決問題的關(guān)鍵.

9、C

【分析】把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式可求得答案.

【詳解】解：Vy=x2-2x+3=(x-1)2+2,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解，解題的關(guān)鍵是熟悉配方法.

10、C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)y=a(x-hF+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k)進(jìn)行求解即可.

【詳解】???拋物線解析式為y=3(x-2)2+5,

二二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,5),

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式，可確定拋物線的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)(對稱軸)，最大(最小)值，增

減性等.

二、填空題(每小題3分，共24分)

11、1.

MN

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式可得到點(diǎn)尸的坐標(biāo)，然后設(shè)出點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后計(jì)算麗y即可解答本題.

【詳解】解：?.?二次函數(shù)y=lx-4x+4=l(x-1)41,

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,1),

設(shè)點(diǎn)Af的坐標(biāo)為(a,1),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(a,la'-4a+4),

...MN_(2/-4。+4)-2=2a2-44+2_2(〃-2a+l)=1

PM?(a-I)2a2-2a+lcz2-2a+1

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

MN

本題考查了二次函數(shù)與幾何的問題，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)P左邊，設(shè)出點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo)，表達(dá)出-

PM2

12、三棱柱

【分析】根據(jù)主視圖和俯視圖的特征判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)主視圖可知：此幾何體前表面應(yīng)為長方形

根據(jù)俯視圖可知，此幾何體的上表面為三角形

二該幾何體可能是三棱柱.

故答案為：三棱柱.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是根據(jù)主視圖和俯視圖判斷幾何體的形狀，掌握常見幾何體的三視圖是解決此題的關(guān)鍵.

13、_72

【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值和二次根式化簡整理，合并同類二次根式即可求解.

【詳解】解：2sin45。一指=2x^--2&2&=-&.

2

故答案為：一也

【點(diǎn)睛】

本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和二次根式的計(jì)算，熟知特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

14、-1

【解析】試題解析：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,n),因?yàn)辄c(diǎn)A在y=二的圖象上，所以，有mn=k,△ABO的面積為-

x2

=1,|=1,/.k=±l,由函數(shù)圖象位于第二、四象限知k<0,.,.k=-l.

考點(diǎn)：反比例外函數(shù)k的幾何意義.

15>1

【分析】由一元二次方程的解的定義可得m2.4m-l=l,則m2.4m=L再由根于系數(shù)的關(guān)系可得mn=-l,最后整體代入即

可解答.

【詳解】解：:!!!、n分別為的一元二次方程4x—l=0

m+n=4,mn=-l,m2-4m-l=l,

:.m2-4m=l

nv-4m+mn=1-1=1

故答案為1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的解和根與系數(shù)的關(guān)系，其中正確運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

16、￡

【詳解】連接OA、OD,

??,△ABC與ADEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點(diǎn)，

AAOIBC,DO±EF,ZEDO=30°,ZBAO=30°,

AOD：OE=OA：OB=6：1,

VZDOE+ZEOA=ZBOA+ZEOA,即NDOA=NEOB,

.,.△DOA^AEOB,

AOD：OE=OA：OB=AD：BE=百：1=百，

故答案為G

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.等邊三角形的性質(zhì)

17、3

【分析】根據(jù)概率公式即可得出總數(shù)，再根據(jù)總數(shù)算出白球個(gè)數(shù)即可.

【詳解】?.?摸到紅球的概率為且袋中只有1個(gè)紅球，

4

...袋中共有4個(gè)球，

???白球個(gè)數(shù)=4-1=3.

故答案為3

【點(diǎn)睛】

本題考查概率相關(guān)的計(jì)算，關(guān)鍵在于通過概率求出總數(shù)即可算出白球.

18、2厲

【分析】作于“，連結(jié)0C,由得HC=HD,由AP=2,BP=6,得OP=2,進(jìn)而得04=1,

根據(jù)勾股定理得CH=店,即可得到答案.

【詳解】作于〃，連結(jié)0C,如圖，

VOHYCD,

...HC=HD,

"：AP=2,BP=6,

AB=8,

,*?OA-4,

OP=OA—AP=2,

,:在Rf_OPH中,NOPH=30。,

:.NPOH=60。,

：.OH=-OP=\,

2

:在RtAOHC中,OC=4,O”=1,

-CH=4OC2-OH2=V15>

ACD=2CH=2715.

故答案為：2厲

【點(diǎn)睛】

本題主要考查垂徑定理和勾股定理的綜合，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形和弦心距，是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（共66分）

AB

19、（1）見解析；（2）尸。與ZJG垂直，理由見解析；（3）當(dāng)——=1時(shí)，△尸OG為等腰直角三角形，理由見解析.

AC

【分析】（D由比例線段可知，我們需要證明AADCS2\EGC,由兩個(gè)角對應(yīng)相等即可證得；

（2）由矩形的判定定理可知，四邊形APEG為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定可得到△AfOsacG。，從

而不難得到結(jié)論；

（3）先判斷出再利用同角的余角相等判斷出ZBAD=ZC,得出AAO尸父△COG,即可

得出結(jié)論.

【詳解】⑴證明：在“OC和AEGC中，

?：ZADC=ZEGC,NC=NC,

.,.△ADC^AEGC.

.EGCG

"7J5~'CD'

（2）解：尸。與。G垂直.

理由如下：

在四邊形AFEG中，

VZE4G=ZAFE=NAGE=90。，

二四邊形APEG為矩形.

：.AF=EG.

..EGCG

"茄一而‘

.AFCG

"AD-CD,

又???△ABC為直角三角形，ADLBC,

：.NFAD=ZC=90°-ZDAC,

:AAFDsXCGD.

:.NADF=NCDG.

'：ZCDG+ZADG=9d°,

：.ZADF+ZADG=9Q°.

即/尸DG=90°.

：.FDA-DG.

A

(3)解：當(dāng)f的值為1時(shí)，△尸DG為等腰直角三角形，理由如下：

由(2)知，ZFDG=90°,

VADFG為等腰直角三角形，

:?DF=DG,

??,AD是3C邊上的高，

:.NADC=90。，

:.ZADG+ZCDG=90°,

■:ZFDG=90°,

:.NAOG+NADF=90。，

:.NAO尸=NCDG,

VZCAD+ZBAD=90°,ZC+ZCAD=90°,

/.ZBAD=ZC,

AADF^ACDG(AAS),

：.AD=CD,

■:ZADC=90°,

/.ZC=45°=ZB,

???4B=AC,

即：當(dāng)k的值為1時(shí)，△五OG為等腰直角三角形.

AC

【點(diǎn)睛】

此題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，同

角的余角相等，判斷出AADFgZkCDG是解本題的關(guān)鍵.

20、(1)見詳解；(2)12

【分析】(1)由角平分線性質(zhì)，得到NABD=NCBD,由EF是BD的中垂線，則BE=DE,則NCBD=NEDB,則

ZABD=ZEDB,即可得到答案；

(2)先證明四邊形BEDF是菱形，由DE〃AB,得至ljDE=CD=3,即可求出周長；

【詳解】(1)證明：???BD是NABC的角平分線，

AZABD=ZCBD,

???EF是BD的中垂線，

ABE=DE,BF=DF,

AZCBD=ZEDB,

AZABD=ZEDB,

ADE/7AB；

（2）解：與（1）同理，可證DF〃BC,

???四邊形BEDF是平行四邊形，

VBE=DE,

J四邊形BEDF是菱形，

VAB=BC,DE/7AB,

AZC=ZABC=ZDEC,

ADE=CD=3,

，菱形BEDF的周長為：3x4=12.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握所學(xué)的性質(zhì)，從而正確的進(jìn)行推導(dǎo).

21、（1）AF=V2AE；（2）AF=6AE,證明詳見解析；（3）結(jié)論不變，AF=V2AE,理由詳見解析.

【分析】（D如圖①中，結(jié)論：AF=V2AE,只要證明^AEF是等腰直角三角形即可.（2）如圖②中，結(jié)論：AF=0AE,

連接EF,DF交BC于K,先證明AEKF^^EDA再證明△AEF是等腰直角三角形即可.（3）如圖③中，結(jié)論不變,

AF=V2AE,連接EF,延長FD交AC于K,先證明△EDFgZXECA,再證明△AEF是等腰直角三角形即可.

【詳解】解：（1）如圖①中，結(jié)論：AF=V2AE.

理由：???四邊形ABFD是平行四邊形，

AAB=DF,

VAB=AC,

AAC=DF,

VDE=EC,

AAE=EF,

VZDEC=ZAEF=90°,

???△AEF是等腰直角三角形，

.,.AF=V2AE.

(2)如圖②中，結(jié)論：AF=V2AE.

理由：連接EF,DF交BC于K.

■:四邊形ABFD是平行四邊形，

，AB〃DF,

.?.ZDKE=ZABC=45°,

.,.EKF=180°-ZDKE=135°,

■:ZADE=180°-ZEDC=180°-45°=135°,

:.NEKF=NADE,

VZDKC=ZC,

.,.DK=DC,

VDF=AB=AC,

，KF=AD,

在△EKF和AEDA中，

EK=DK

{NEKF=ZADE,

KF=AD

/.△EKF^AEDA,

，EF=EA,NKEF=NAED,

.,.ZFEA=ZBED=90°,

...△AEF是等腰直角三角形，

.\AF=V2AE.

(3)如圖③中，結(jié)論不變，AF=V2AE.

理由：連接EF,延長FD交AC于K.

,:ZEDF=180°-ZKDC-ZEDC=135°-NKDC,

ZACE=(90°-ZKDC)+ZDCE=135°-ZKDC,

.*.ZEDF=ZACE,

VDF=AB,AB=AC,

:.DF=AC

在AEDF^DAECA中,

DF=AC

<NEDF=NACE,

DE=CE

.,.△EDF^AECA,

；.EF=EA,NFED=NAEC,

.,.ZFEA=ZDEC=90°,

.?.△AEF是等腰直角三角形，

.,.AF=V2AE.

【點(diǎn)睛】

本題考查四邊形綜合題，綜合性較強(qiáng).

12

22、(1)OE〃BC.理由見解析；(2)y

【分析】(1)連接OC,根據(jù)已知條件可推出NE=NACO,進(jìn)一步得出/AFO=NEFC=90°=/ACB結(jié)論得

以證明；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論可得出NE=NBCZ),對應(yīng)的正切值相等，可得出CE的值，進(jìn)一步計(jì)算出OE的值，在R3A尸O

中，設(shè)。尸=3x,貝U4尸=4x,解出x的值，繼而得出OF的值，從而可得出答案.

【詳解】解：(D.理由如下：

連接OC,

是。。的切線，

：.OCLCD,

...NOCE=90。，

：.Z.OCA+ZECF=9Q°,

"：OC=OA,

：.ZOCA=ZCAB.

又,：NCAB=NE,

：.ZOCA=ZE,

：.NE+NECF=90°,

ZEFC=180°-(ZE+ZECF)=90°.

：.ZEFC=ZACB=9Q°,

：.OE//BC.

(2)由(1)知，OE"BC,

：.NE=NBCD.

在RtAOCE中，?；A8=12,

：.OC=6,

OC

tanE=tanZBC￡>=-----,

：.OE2=OC1+CE1=f^+^,

：.OE=1Q

又由(1)知NEPC=90。，

：.ZAFO=90°.

3

在Rt^AFO中，VtanA=tanE=—,

.,.設(shè)。尸=3x,則AF=4x.

?：OA2=OF2+AF2,即62=(3x)2+(4x)2,

解得：x=(

iQq?

EF=OE-OF^iO--=—

55

【點(diǎn)睛】

本題是一道關(guān)于圓的綜合題目，涉及到的知識點(diǎn)有切線的性質(zhì)，平行線的判定定理，三角形內(nèi)角和定理，正切的定義,

勾股定理等，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵.

23、(1)證明見解析；(2)30°；(3)y.

【分析】(1)連接OB,由圓的半徑相等和已知條件證明NOBC=90°,即可證明BC是。O的切線；

(2)連接OF,AF,BF,首先證明4OAF是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所對的圓周角是所對圓心角的一

半即可求出NABF的度數(shù)；

(3)作CG_LBE于G,如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得BG=5,再證明NOAB=NECG,則sinNECG=sinNOAB

SADDF24

==，于是可計(jì)算出CE=13,從而得到DE=2,由AAOESACGE,得一=—,4。=一，即可求出的

CGGE

半徑.

【詳解】(1)連接08.

OB=OA,CE=CB,

：.ZA=ZOBA,ZCEB=ZABC,

又CDLOA.

.-.ZA+ZAED=ZA+NCEB=90°,

：.ZOBA+ZABC=90°,

:.OB±BC,

:.BC是。的切線；

(2)連接OF,AF,BF,

DA=DO,CDLOA,

AF=OF,

又.OA=OF,

尸是等邊三角形，

:.ZAOF=60°,

：.ZABF=-ZAOF^30\

2

(3)過點(diǎn)C作。G_L6￡于G,

CE=CB

:.EG=~BE=5

2

ZADE=NCGE=90°?ZAED=NGEC,

NGCE=NOAB,

：.^ADEskCGE,

在mAECG中，

EG5

sinZ.ECG------,sinNECG=sinNOAB=—，

CE13

...CE=13,CG=12,

又CO=15,CE=13,

DE—2.

ADDE

由得:

AAOEsACGE,~CG~~GE

DECG24

：.AD=

GET

。的半徑為。4=2AO=，48

【點(diǎn)睛】

此題考查了切線的判定，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

24

24、(1)y=——；(2)-l<x<0；(1)存在滿足條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為(0,-1)或(0,9)或(0,12)

【分析】(1)根據(jù)平行線分線段成比例性質(zhì)可得孚=半=?=求出A(1,0),B(0,4),C(-1,8),再用

CDAD62

待定系數(shù)法求解：(2)由題意可知所求不等式的解集即為直線AC在x軸上方且在反比例函數(shù)圖象下方的圖象所對應(yīng)

424

的自變量的取值范圍：0V-彳x+4W—；(1)APBC是以BC為一腰的等腰三角形，有BC=BP或BC=PC兩種情況.

3X

【詳解】解：(1)VCD±OA,

.?.DC〃OB,

.OB_OA3

??------————,

CDAD62

.,.CD=2OB=8,

3

VOA=OD=-OB=1,

A(1,0),B(0,4),C(-L

3a+b=0

把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入