2023-2024學年河南省新鄉(xiāng)市九年級上學期期末考數(shù)學試卷含詳解

2023—2024學年九年級期末學業(yè)水平檢測

數(shù)學

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的學校、班級、姓名、考號填寫在試卷和答題卡上，并將考號條形碼

粘貼在答題卡上的指定位置.

2.本試卷共8頁，三個大題，滿分120分，考試時間100分鐘.

3.本試卷上不要答題，請按答題卡上注意事項的要求直接把答案寫在答題卡上.答在試卷上的答

案無效.

一、選擇題.

1.若，二7有意義，則X的取值范圍為（）

Ax>7B.C.x>7D.x<7

2.下列方程一定是關(guān)于％的一元二次方程的是（）

A.--%2=2B.3-2x=lC.2x2=0D.ax2+x=0

X

3.如圖，小西家的梯子由等距離的六條平行橫梁（踏板）組成，下寬上窄，其中點A,B,C,。均在橫梁的端點

處，若AB=62cm,則AO的長為（）

B.150cmC.155cmD.186cm

4.下列運算正確的是（）

A.非+下=MB.712-73D.（2忘了=4四

5.某學校隨機調(diào)查了該校100名學生一周的睡眠狀況，并把他們平均每天的睡眠時間/（單位：h）統(tǒng)計如下:

時間（h）t<77<r<88<r<9t>9

人數(shù)6324121

根據(jù)以上結(jié)果，若隨機抽查該校一名學生，則該學生一周平均每天睡眠時間不低于8h的概率為（）

A.0.62B.0.38C.0.73D.0.96

6.某咖啡店n月第一周的營業(yè)額為3.5萬元，第三周營業(yè)額為5萬元.設這三周營業(yè)額的平均每周的增長率為x,

則可列方程為（）

A.3.5（1+2x）=5B.2x3.5（l+%）=5C.3.5（l+%2）=5D,3,5（l+x）=5

7.如圖，點A,B,C均在正方形網(wǎng)格紙中的格點上，則sin/ACB的值是（）

述

8.對于實數(shù)a,b定義運算“③”為。區(qū)人=々2—2"，例如：3（8）2=32—2x3x2=—3，則關(guān)于彳的方程

x⑤億+1）=-2左的根的情況，下列說法正確的是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.無法確定

9.如圖，矩形ABCD的邊AB=4,點E是邊上的一點，連接AE,將，ABE沿AE折疊，使點3落在邊CD

上的點8'處，若VA3Z）與△■B'EC的面積之比為4:1,則AD的長為（）

8"..............￡C

8165

A.—B.—C.—D.5

552

10.如圖，拋物線y=ad+6x+c分另IJ交X軸，y軸于點A,B,對稱軸為直線x=l,下列結(jié)論：①而c<0；②

4ac—尸>0；③4a—2/?<0；④若點M（—3,yJ,N（2,%）在拋物線的圖象上，則%>為.其中正確結(jié)論的

個數(shù)是（）

\A

3\*

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

11.計算：2cos45°=.

12.將拋物線y=-（x-2y+2向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度后，所得拋物線的表達式為

13.如圖，在RtZVLBC中，NB4c=90°,點、D,E,產(chǎn)分別是邊A3,AC,的中點，連接Ab，DE.若

AB=6,AF=5,則AE的長為.

14.已知。，b是方程/一5%+7=0的兩個根，則〃—4。+6—3=

15.如圖，在矩形A3CD中，AB=10,AD=12,G是延長線上的一點，且AG=3,E是邊上的一個

動點（點E不與點B,C重合），將一G3E沿GE折疊，當點B的對應點尸落在矩形任意一邊所在的直線上時，BE

的長為.

三、解答題

16計算：

⑴(―1產(chǎn)+產(chǎn)不-Jgx加

(2)解方程：2/+8X+5=0.

17.如圖，在平面直角坐標系中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，qABC的頂點均在小正方形的格點

上，請完成下列問題：

（1）畫出一ABC關(guān)于x軸對稱的圖形與G，并寫出點片的坐標；

（2）以點B為位似中心，1:2為位似比，在網(wǎng)格中畫出一ABC放大后的對應圖形，.45。2；

（3）求（2）中.425c2的面積.

18.如圖，等邊三角形ABC的邊長為6,點P為上的一點，點。為AC上的一點，連接AP,DP,若

ZAPD=60°,PC=4,求A￡）的長.

19.九年級（1）班評選生物課代表時，甲、乙兩名同學的選票一致.生物老師決定通過游戲的方式確定最終課代表的

人選，游戲規(guī)則如下：

第一步：將正面分別印有“月季”“百合”“蜜蜂”圖案的卡片（除卡片正面圖案不同外，其余完全相同）背面朝

上，洗勻后，隨機抽取一張；

第二步：將正面分別印有“蜻蜓”“桑蠶”“玫瑰”圖案的卡片（除卡片正面圖案不同外，其余完全相同）背面朝

上，洗勻后，隨機抽取一張；

若兩次抽取的卡片圖案為同一類目（同為昆蟲或同為花卉），選甲為課代表，反之選乙為課代表.

請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲?qū)﹄p方是否公平.

20.靈寶蘋果細脆多汁，酸甜爽口，深受大家喜愛.某水果批發(fā)商銷售一批靈寶蘋果，每箱蘋果的成本是40元，經(jīng)

過調(diào)查發(fā)現(xiàn)當每箱蘋果的售價是80元時，每天可售出100箱.如果降價銷售，每降價1元，每天可多售出10箱.

（1）若水果批發(fā)商某天銷售靈寶蘋果的利潤為6000元，且使顧客得到最大優(yōu)惠，求每箱靈寶蘋果的售價；

（2）這批靈寶蘋果在市場一售而空，水果批發(fā)商又以同樣的價格購進一批靈寶蘋果，當每箱靈寶蘋果的售價為多

少元時，每天可以獲得最大利潤？最大利潤為多少元？

21.小穎家和學校僅隔一條馬路，站在陽臺上就能看見教室所在的教學樓CD.在學習完“解直角三角形”后，老

師布置了一項綜合實踐作業(yè)，要求利用所學知識測量一棟樓的高度，小穎決定測量教室所在教學樓CD的高度.并

制訂了測量方案，測量結(jié)果如下表:

活動課

測量教室所在教學樓CD的高度

題

活動目

運用三角函數(shù)知識解決實際問題

的

活動工

測角儀、手機應用一一AR測量

具

AE

方案示

、、C

意圖

BD

如圖，點B,。在同一水平直線上.

(1)利用手機應用“AR測量”測得小穎家陽臺A處離地面的距離AB為

測量步

28m；

驟

(2)利用測角儀在A處測得教學樓點。處的俯角NE4c=14。，教學樓點。

處的俯角ZEAD=3Q°.

請運用所學的知識，根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，幫助小穎求出教學樓CD的高度.(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù):

sinl4°?0.24,cosl4°?0.97,tanl4°?0.25,百合1.73)

22.隨著國民經(jīng)濟和城市化建設不斷發(fā)展，城市道路的功能得到不斷完善，復雜的城市道路網(wǎng)要求設置越來越多

的下沉式立交橋.下沉式立交橋?qū)⑾嘟坏缆吩O置在地面層或地上半層，主路設置在地下層或地下半層，下沉式立

交橋也因此具有比高架立交景觀條件好、比隧道立交造價低的特點.某下沉式立交橋的主路橋截面呈拋物線形，

如圖以主路橋面最低點。為原點，以原點所在的水平直線為x軸建立平面直角坐標系，已知主路橋面跨徑

AB=100m,主路橋面的最低點到A5的距離為10m.

(1)求拋物線的表達式;

（2）由于下沉式立交橋的主路橋面低于周邊地面且縱坡較大，所以容易出現(xiàn)橋面積水現(xiàn)象.在一次暴雨后，橋面

積水跨徑CD為10m,小林的爸爸打算駕駛普通轎車從公司回家，已知普通轎車的安全涉水深度不大于30cm,

請你幫小林的爸爸計算一下他能否駕車從這個下沉式立交橋安全通過？

23.在RtAABC中，ZACB=90°,BC=nAC（n>0）,點尸是邊上一動點（不與點8,C重合），作射線

AP,將A3P沿AP折疊得到點8的對應點O,連接CD,將射線CD繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°交射線AP于點

Q.

圖1圖2

【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1,①ZCAQ與ZCBD的數(shù)量關(guān)系為；②若〃=1,猜想線段CD與CQ的數(shù)量

關(guān)系為________

【類比探究】（2）如圖2,若〃=也,請問（1）中②的結(jié)論還成立嗎？并說明理由;

【拓展應用】（3）在（2）的基礎上，已知，AC=2,在點P移動的過程中，若△3CD為直角三角形，請直接

寫出A。的長.

2023—2024學年九年級期末學業(yè)水平檢測

數(shù)學

一、選擇題.

1.若F不有意義,則x的取值范圍為（）

A.%>7B.龍工7C.x>7D.xv7

【答案】A

【分析】本題考查二次根式有意義的條件：被開方數(shù)非負，根據(jù)二次根式有意義的條件求解即可.

【詳解】解：若4^7有意義，則％—7?0即x?7,

故選：A.

2.下列方程一定是關(guān)于x的一元二次方程的是（）

A.x2=2B.3—2x=lC.2x?=0D.ax2+x=0

x

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，根據(jù)二元一次方程的定義：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次

數(shù)都是1,像這樣的整式方程叫做二元一次方程可以直接選出答案..

【詳解】解：A.-—必=2,不是整式方程，不是一元二次方程，故該選項不正確，不符合題意；

x

B.3-2x=l,是一元一次方程，故該選項不正確，不符合題意；

C.2f=0,是一元二次方程，故該選項正確，符合題意；

D.ax2+x=0<當。=0時，不是一元二次方程，故該選項不正確，不符合題意；

故選：C.

3.如圖，小西家的梯子由等距離的六條平行橫梁（踏板）組成，下寬上窄，其中點A,B,C,。均在橫梁的端點

處，若A3=62cm,則的長為（）

A.105cmB.150cmC.155cmD.186cm

【答案】C

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

如圖，作石于E,作AFLO尸于尸，由題意知，BE〃DF，

【詳解】解：如圖，作于E，作AFLD尸于產(chǎn),

AE_2

由題意知，BE〃DF,

AF-5

.ABEs.ADF，

ABAE622

/.—=—,即nn一=一，

ADAFAD5

解得，40=155,

故選：C.

4.下列運算正確的是（）

A.V5+V5=710B.厄―C.率=3D.（20『=472

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式的混合運算，根據(jù)相關(guān)運算法則逐一計算，即可判斷答案.

【詳解】解：A、6+日=2有，原計算錯誤，不符合題意；

B、歷-6=26-拒=5原計算正確，符合題意；

C、巫=述=也，原計算錯誤，不符合題意；

662

D、（20甘=8,原計算錯誤，不符合題意；

故選：B.

5.某學校隨機調(diào)查了該校100名學生一周的睡眠狀況，并把他們平均每天的睡眠時間『（單位：h）統(tǒng)計如下:

時間（h）t<77<r<88<r<9t>9

人數(shù)6324121

根據(jù)以上結(jié)果，若隨機抽查該校一名學生，則該學生一周平均每天的睡眠時間不低于8h的概率為（）

A.0.62B.0.38C.0.73D,0.96

【答案】A

【分析】本題主要考查概率公式求概率.用第3、4組的人數(shù)和除以總?cè)藬?shù)即可得.

【詳解】解：該學生一周平均每天的睡眠時間不低于8h的概率是FL=0.62,

故選：A.

6.某咖啡店n月第一周的營業(yè)額為3.5萬元，第三周營業(yè)額為5萬元.設這三周營業(yè)額的平均每周的增長率為X,

則可列方程為（）

A.3.5（1+2x）=5B.2x3.5（l+x）=5C.3.5（l+x2）=5D,3.5（1+X）2=5

【答案】D

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)第一周的營業(yè)額為3.5萬元，第三周營業(yè)額為5

萬元列出方程.

【詳解】解：設這三周營業(yè)額的平均每周的增長率為X,則可列方程為：

3.5（1+與=5,

故選：D.

7.如圖，點A,B,C均在正方形網(wǎng)格紙中格點上，則sin/ACB的值是（）

【答案】A

【分析】本題考查了求正弦值，取格點。，勾股定理求得AC的長，進而根據(jù)正弦的定義，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，取格點。，

在Rt_ADC中，AD=4,CD=2

AC=^AD2+CD2=2A/5

sin^ACB=smZACD=—=,

AC255

故選：A.

8.對于實數(shù)"，Z?定義運算“③”為々③人二"一？"，例如：38）2=32—2x3x2=—3，則關(guān)于1的方程

x⑤仕+1）=-2左的根的情況，下列說法正確的是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.無法確定

【答案】A

【分析】本題考查實數(shù)新定義運算和一元二次方程的知識，解題的關(guān)鍵是理解實數(shù)新定義運算，把x⑤優(yōu)+1）=-2%

化簡，再根據(jù)根的判別式進行判斷，即可.

【詳解】?:—2ab，

x⑤（左+1）=x"—2x（左+1）=—2k,

-2x（k+1）+2k—0,

A=Z72-4ac，

；?△=（2左+2『一4*1x2左=4左2+8k+4—8左=4左2+4>0,

???關(guān)于X的方程x（8）（Z+l）=-2左有兩個不相等的實數(shù)根，

故選：A.

9.如圖，矩形ABCD的邊AB=4,點E是邊上的一點，連接AE,將沿AE折疊，使點3落在邊CD

上的點8'處，若VA3Z）與△5'EC的面積之比為4:1,則AD的長為（）

5

D.5

2

【答案】B

【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的運用，掌握相似三角形

的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

設AZ）=x,由四邊形A3CD是矩形，可得NO=NC=4=90°,根據(jù)折疊的性質(zhì)得：ZB'=ZB=9Q°,

AB'=AB=4,從而得出=證得一ADB'S^B'CE,再利用相似三角形性質(zhì)得出

BE=EB'=2,最后在Rt二￡CB'中，通過EC?+=防,2,列出方程求解即可.

【詳解】設A。=x,

..?四邊形A3CD是矩形，

AZD=ZC=Zfl=90°,

ZDAB'+ZDB'A=9Q°,

根據(jù)折疊的性質(zhì)得：ZB'=ZB=90°,AB'=AB=4,

：.ZEB'C+ZDB'A=90°,

：.NEB'C=/DAB',

:.一ADB's一B'CE,

.（組2（AD丫=SABQ

"UBJUrJsB，EC'

42

即X

EB'Ire

:.EB'=2,BrC=-x

2f

:.BE=EB'=2,

EC-x—2,

,/在Rt.ECB'中，EC2+B'C2=EB'~，

x

解得：x1=~^2=°（舍去），

AD=—.

5

故選：B.

10.如圖，拋物線y=af+6x+c分另II交x軸，y軸于點A,B,對稱軸為直線x=l,下列結(jié)論：①abc＜0；②

4ac—〃＞。；③4?！?人＜0；④若點M（—3,yJ,N（2,%）在拋物線的圖象上，則％〉必.其中正確結(jié)論的

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性

質(zhì)等等，根據(jù)拋物線開口向下，與y軸交于正半軸得到a<0,c>0,再由對稱軸為直線x=l,得到

b=-2a>Q,由此即可判斷①③；由函數(shù)圖象可知，拋物線與無軸有兩個不相同的交點，即可判斷②；由拋物線

開口向下，可得離對稱軸越遠函數(shù)值越小，由此即可判斷④.

【詳解】解：???拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，

a<Q,c>0,

:拋物線對稱軸為直線為=1,

.?-2=1,

2a

b——2a>0?

abc<0-4a—2Z?=4a—2-（一2a）=4a+4a=8a<0,故①③正確；

由函數(shù)圖象可知，拋物線與x軸有兩個不相同的交點，

Z?2-4ac>0.故②錯誤；

:拋物線開口向下，

，離對稱軸越遠函數(shù)值越小，

?.?點M（—3,yJ,N（2,%）在拋物線的圖象上，且1一（—3）=4>2-1=1,

%<%，故④錯誤；

...正確的有2個，

故選B.

二、填空題

11計算：2cos45°=.

【答案】V2

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入計算得出答案.

【詳解】解:2cos45。

=2x交

2

=\/2，

故答案為：V2.

【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

12.將拋物線y=-（尤-2）?+2向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度后，所得拋物線的表達式為

【答案】y=-r+1

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移.熟練掌握二次函數(shù)圖象平移左加右減，上加下減是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)左加右減，上加下減進行求解作答即可.

【詳解】解：由題意知，平移后的拋物線的表達式為y=—（x—2+2『+2—1=—V+1,即丁=一代+i,

故答案為：y=-x2+l.

13.如圖，在RtZVLBC中，NB4C=90°,點。，E，產(chǎn)分別是邊AB,AC,的中點，連接A尸，DE.若

AB=6,A/=5,則AE的長為.

【答案】4

【分析】本題考查勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到5C長，然后

根據(jù)勾股定理求出AC長時解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???在RtZXABC中，歹是邊的中點，

：.BC=2AF=2x5=10,

AC=VBC2-AB2=7102-62=8，

又是AC的中點，

AE=-AC=-x8=4,

22

故答案為：4.

14.己知。，b是方程f一5%+7=0的兩個根，則〃一44+6—3=.

【答案】-5

hc

【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握依2+法+c=。的兩根須，X,滿足為+%=—―，占羽=—

aa

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：b是方程好一5%+7=0的兩個根，

??a2—Set——7，a+b=5,

故答案為：-5.

15.如圖，在矩形A3CD中，AB=10,AD=U，G是B4延長線上的一點，且AG=3,E是邊上的一個

動點（點E不與點3,C重合），將_G的沿GE折疊，當點3的對應點R落在矩形任意一邊所在的直線上時，BE

的長為.

【分析】本題考查了矩形與折疊問題，用勾股定理解三角形，先根據(jù)矩形的性質(zhì)找到邊長之間的關(guān)系，設出邊長跖

的值，構(gòu)造出直角三角形，根據(jù)勾股定理求出川0,3N的長，然后再根據(jù)勾股定理可得到有關(guān)x的一元二次方程,

求解即可，作輔助線，根據(jù)直角三角形三邊關(guān)系得到等式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：在矩形A3CD中，AB=10,AD=12,

：.BC=12,

,：AG=3,

：.BG=AB+AG=13,

設6E=x,

V_GBE沿GE折疊得到_GFE,

GF=GB=13,BE=EF=x,

①當點廠落在CD上時，過點P作A￡＞的平行線交A3于一點M，如圖所示:

止匕時MF=5C=12,

VGF=13,

.?.在△GM戶中，GM--MF2=132-122=52,

：.GM=5,

-：GA=3,

：.AM=GM-GA=5-3=2,

即Db=2,

V￡>C=AB=10,

:.CF=DC-DF=10-2=8,

:.CE=BC-BE=12-x,

在/XCEF中，EF2=CF2+CE~，

即無2=82+02—尤)2,

解得：x=—；

3

②當點尸落在直線A￡>上時，延長邊ARBC,過點尸作A3的平行線交的延長線于一點N,如圖所示:

在-G4F中，AF=VGF2-AG2=7132-32=4A/10-

即BN=4M,

EN=BN-BE=4M-X，

在0瓦N中，EF2=EN~+FN~，

即X2=(4^0-X)2+102,

解得：》=電3,

4

綜上班的長為生或身叵，

34

士卜長安％2613M

故答案為:--或-----.

34

三、解答題

16.計算：

⑴(-1)2023+^/(3-^)2-x；

（2）解方程：2/+8x+5=0.

【答案】（1）元—6；

（2）西=坐—2,%=—手―2

【分析】本題考查了二次根式的混合運算，解一元二次方程，熟練掌握相關(guān)運算法則和解題步驟是解題關(guān)鍵.

（1）先計算乘方和二次根式，再合并同類項即可；

（2）利用配方法解方程即可.

【小問1詳解】

解:（-1）2023+7（3-^）2-J1X78

=—1+^—3—2

=71—6；

【小問2詳解】

解：2爐+8X+5=0，

2%2+8x+8=—5+8，

2（X+2）2=3,

（%+2>=—,

x+2=旦或x+2=-旦,

22

解得：再=近^_2，x2=-^--2?

1222

17.如圖，在平面直角坐標系中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，A3c的頂點均在小正方形的格點

上，請完成下列問題：

(1)畫出.ABC關(guān)于關(guān)軸對稱的圖形△4501，并寫出點用的坐標；

(2)以點B為位似中心，1:2為位似比，在網(wǎng)格中畫出一ABC放大后的對應圖形，

(3)求(2)中ABC2的面積.

【答案】(1)(1,-2),圖見解析；

(2)圖見解析；(3)30.

【分析】本題考查的是作簡單平面圖形軸對稱后的圖形及作位似圖形.掌握軸對稱和位似圖形的性質(zhì)，是解題的

關(guān)鍵

(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，畫出即可；

(2)根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，畫出即可；

(3)用割補法求出面積即可.

【小問1詳解】

解：如圖所示，即為所求作三角形，

點區(qū)的坐標為(L-2)；

【小問2詳解】

如圖所示，.ABC2即為所求作三角形,

ABC與二45c2的位似比為1：2,

面積比為1:4

=4xy=30.

18.如圖，等邊三角形ABC的邊長為6,點尸為上的一點，點。為AC上的一點，連接AP,DP，若

ZAPD=60°,PC=4,求AD的長.

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)；根據(jù)一線三等角模型，證明

進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：ABC是等邊三角形,

.-.AB=BC=AC=6,ZC=ZB=60°,

PC=4,

:.BP=BC—PC=6—4=2,

ZAPD=60°,

:.ZDPC+ZAPB=120°.

4=60°,

ZBAP+ZAPB=120°.

:.ZDPC=ZBAP.

NC=NB,

:._ABPspcD

—,即里2,

PCCD4CD

4

解得CD=§.

414

:.AD=AC-CD=6——=

33

14

即A。的長為二.

19.九年級（1）班評選生物課代表時，甲、乙兩名同學的選票一致.生物老師決定通過游戲的方式確定最終課代表的

人選，游戲規(guī)則如下：

第一步：將正面分別印有“月季”“百合”“蜜蜂”圖案的卡片（除卡片正面圖案不同外，其余完全相同）背面朝

上，洗勻后，隨機抽取一張；

第二步：將正面分別印有“蜻蜓”“桑蠶”“玫瑰”圖案的卡片（除卡片正面圖案不同外，其余完全相同）背面朝

上，洗勻后，隨機抽取一張；

若兩次抽取的卡片圖案為同一類目（同為昆蟲或同為花卉），選甲為課代表，反之選乙為課代表.

請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲?qū)﹄p方是否公平.

【答案】不公平，詳見解析.

【分析】列表列出所有等可能的結(jié)果，找出其中同為昆蟲或同為花卉的情況，根據(jù)概率公式即可分別求得選甲、乙

為課代表的概率，概率相等即為公平，不相等即為不公平.本題考查的知識點是列表法或樹狀圖法求概率、根據(jù)概

率公式求概率、游戲的公平性，解題關(guān)鍵是準確地用表格或樹狀圖列出所有等可能情況.

【詳解】解：由題意，列表如下：

;第一

Y月季百合蜜蜂

步\

（月季，蜻（百合，蜻（蜜蜂，蜻

蜻蜓

蜓）蜓）蜓）

（月季，桑（百合，桑（蜜蜂，桑

桑蠶

蠶）蠶）蠶）

（月季，玫（百合，玫（蜜蜂，玫

玫瑰

瑰）瑰）瑰）

由表知，一共有9種等可能的情況，其中同為昆蟲或同為花卉的情況有4種,

445

，選甲為課代表的概率是尸=—,選乙為課代表的概率是P=1-—=-.

999

45

一<一,

99

這個游戲?qū)﹄p方不公平.

20.靈寶蘋果細脆多汁，酸甜爽口，深受大家喜愛.某水果批發(fā)商銷售一批靈寶蘋果，每箱蘋果的成本是40元，經(jīng)

過調(diào)查發(fā)現(xiàn)當每箱蘋果的售價是80元時，每天可售出100箱.如果降價銷售，每降價1元，每天可多售出10箱.

(1)若水果批發(fā)商某天銷售靈寶蘋果的利潤為6000元，且使顧客得到最大優(yōu)惠，求每箱靈寶蘋果的售價；

(2)這批靈寶蘋果在市場一售而空，水果批發(fā)商又以同樣的價格購進一批靈寶蘋果，當每箱靈寶蘋果的售價為多

少元時，每天可以獲得最大利潤？最大利潤為多少元？

【答案】(1)60元

(2)當售價為65元時，每天可以獲得最大利潤，最大利潤為6250元

【分析】(1)設每箱靈寶蘋果的售價為x元，根據(jù)題意，得[100+10(80-40)=6000,計算求出滿足要

求的解即可；

(2)設每箱靈寶蘋果的售價為。元，銷售利潤為w元，依題意得，

w=[100+10(80—a)](a—40)=—10力+1300?！?6000=-10(a—65『+6250,然后根據(jù)二次函數(shù)的圖象與

性質(zhì)求最值即可.

【小問1詳解】

解：設每箱靈寶蘋果的售價為X元，

根據(jù)題意，W[100+10(80-%)](%-40)=6000,-130%+4200=0.

解得西=60,4=70,

要使顧客得到最大優(yōu)惠，60<70,

x=60,

答：每箱靈寶蘋果的售價為60元.

【小問2詳解】

解：設每箱靈寶蘋果的售價為。元，銷售利潤為卬元，

依題意得，W=[100+10(80-?)](?-40)=-10?2+1300?-36000=-10(?-65)2+6250.

V-10<0,

二當。=65時，可有最大值，卬最大=6250,

答：當每箱靈寶蘋果的售價為65元時，每天可以獲得最大利潤，最大利潤為6250元.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，二次函數(shù)的應用，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值.熟練掌握

一元二次方程的應用，二次函數(shù)的應用，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.

21.小穎家和學校僅隔一條馬路，站在陽臺上就能看見教室所在的教學樓CD.在學習完“解直角三角形”后，老

師布置了一項綜合實踐作業(yè)，要求利用所學知識測量一棟樓的高度，小穎決定測量教室所在教學樓CD的高度.并

制訂了測量方案，測量結(jié)果如下表：

活動課

測量教室所在教學樓CD的高度

題

活動目

運用三角函數(shù)知識解決實際問題

的

活動工

測角儀、手機應用一一AH測量

具

AE

方案示

C

意圖、、

BD

如圖，點、B,。在同一水平直線上.

(1)利用手機應用“AR測量”測得小穎家陽臺A處離地面的距離A5為

測量步

28m；

驟

(2)利用測角儀在A處測得教學樓點。處的俯角NE4C=14。，教學樓點。

處的俯角ZEAD=30°.

請運用所學的知識，根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，幫助小穎求出教學樓CD的高度.(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù):

sin14°笈0.24,cos14°?0.97,tanl4°?0.25,73^1.73)

【答案】16m

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，矩形的性質(zhì)與判定，延長。C交射線AE于點尸，先證明四邊

形ABDF為矩形，得到=AB=28m,設CD=jon,則CF=Db—CD=(28—x)m,解RtACF得到

2828—x

CF28—xDFQQ......---------

AF=解RJAD尸得到A尸------,由此建立方程80.25,解方

tanZCAFtan14°tanZ￡)AFtan30°

程即可得到答案.

【詳解】解：如圖，延長DC交射線AE于點尸.

、、、、、、I

L，'、、、、、'10—

由題意得ZEAB=ZABD=ZCDB=90°，

，四邊形ASDF為矩形.

DF=AB=28m,

設CD=jon,則CF=DF—CD=（28—x）m,

CF28—尤

在RtACF中,AF=

tanZCAFtan14°

28

在Rt_ADE中,AF=———

tanZ￡）AFtan30°

2828-x

A/30.25

T

解得,

答：教學樓CD的高度約為16m.

22.隨著國民經(jīng)濟和城市化建設的不斷發(fā)展，城市道路的功能得到不斷完善，復雜的城市道路網(wǎng)要求設置越來越多

的下沉式立交橋.下沉式立交橋?qū)⑾嘟坏缆吩O置在地面層或地上半層，主路設置在地下層或地下半層，下沉式立

交橋也因此具有比高架立交景觀條件好、比隧道立交造價低的特點.某下沉式立交橋的主路橋截面呈拋物線形，

如圖以主路橋面最低點。為原點，以原點所在的水平直線為x軸建立平面直角坐標系，已知主路橋面跨徑

AB=100m,主路橋面的最低點到A3的距離為10m.

(1)求拋物線的表達式；

(2)由于下沉式立交橋的主路橋面低于周邊地面且縱坡較大，所以容易出現(xiàn)橋面積水現(xiàn)象.在一次暴雨后，橋面

積水跨徑CD為10m,小林的爸爸打算駕駛普通轎車從公司回家，已知普通轎車的安全涉水深度不大于30cm,

請你幫小林的爸爸計算一下他能否駕車從這個下沉式立交橋安全通過？

1,

【答案】(1)y=--%2；

（2）能安全通過.

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用;

（1）根據(jù)題意得出點A的坐標為（-50,10）,設拋物線的表達式為丁=。必，待定系數(shù)法求解析式即可求解;

（2）將龍=5代入二次函數(shù)解析式，得出水面深10cm,比較普通轎車的安全涉水深度，即可求解.

【小問1詳解】

解：AB=100m,主路橋面的最低點到A5的距離為10m,

，點A的坐標為（—50,10）

設拋物線的表達式為y=把點4（—50,10）代入，得

10=a

解得a=上；

250

19

拋物線的表達式為y=^x'

【小問2詳解】

1101

在丁=---x9中，當兀=—=5時，y=-----x5"9=0.1

2502250

0.Im=10cm,

水面深10cm.

10<30,

，小林的爸爸能駕車從這個立交橋安全通過.

23.在RtAABC中，ZACB=90°,BC=nAC（n>0）,點P是5C邊上一動點（不與點B,C重合），作射線

AP,將A3P沿AP折疊得到點5的對應點￡>,連接CD,將射線CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。交射線AP于點

Q.

圖1圖2

【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1,①ZCAQ與NCBD的數(shù)量關(guān)系為；②若〃=1,猜想線段CD與CQ的數(shù)量

關(guān)系為

【類比探究】（2）如圖2,若n=6,請問（1）中②的結(jié)論還成立嗎？并說明理由;

【拓展應用】（3）在（2）的基礎上，已知，AC=2,在點P移動的過程中，若△3CD為直角三角形，請直接

寫出AQ的長.

【答案】（1）①NCAQ=NC3D；②CD=CQ；⑵不成立，見解析；（3）AQ長為短或述