天津理工大學(xué)大學(xué)物理：電介質(zhì)省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

導(dǎo)體靜電平衡條件當(dāng)一帶電體系中電荷靜止不動，從而電場分布不隨時間改變時，該帶電體系就到達了靜電平衡。導(dǎo)體特點是其體內(nèi)存在自由電荷，它們在電場作用下可移動，從而改變原有電荷分布。反過來電荷分布改變又會影響到原有電場分布。可見有導(dǎo)體存在時電荷分布和電場分布是相互影響、相互制約。并不是電荷和電場任何一個分布都是靜電平衡分布。導(dǎo)體靜電平衡條件此平衡條件可論證以下：若導(dǎo)體內(nèi)電場E不處處為零，則在E不為零地方，自由電荷將會移動，亦即導(dǎo)體沒有到達靜電平衡。換句話說，當(dāng)導(dǎo)體到達靜電平衡時，其內(nèi)部場強必定處處為零。體內(nèi)場強處處為零1第1頁從上述導(dǎo)體靜電平衡條件出發(fā)，可直接得到以下幾點推論：①在到達靜電平衡以后，導(dǎo)體是個等勢體，導(dǎo)體表面是等勢面。因?qū)w內(nèi)任意兩點P、Q之間電勢差為若場強E處處為零，則導(dǎo)體內(nèi)部全部各點電勢相等，從而導(dǎo)體表面是個等勢面。②在到達靜電平衡以后，導(dǎo)體外場強處處與它表面垂直。

因為電力線處處與等勢面正交，所以導(dǎo)體外場強必定與它表面垂直。2第2頁電荷分布

可用高斯定理證實。假定導(dǎo)體內(nèi)部某處有未被抵消凈電荷q，則可取一個完全在導(dǎo)體內(nèi)部閉合高斯面S，將它完全包圍起來。據(jù)高斯定理，經(jīng)過S電通量為q/

0是一非零值。即在S上面最少有些點場強E不等于零。S面上場強不為零這些地方就達不到靜電平衡，電荷就會重新分布，直到場強處處為零體內(nèi)電荷完全抵消為止。所以據(jù)靜電平衡條件要求，在到達靜電平衡狀態(tài)后，導(dǎo)體內(nèi)部必定處處沒有未被抵消凈電荷，電荷只能分布在導(dǎo)體表面上。

在到達靜電平衡時，導(dǎo)體內(nèi)部處處沒有未被抵消凈電荷（=0），電荷只能分布在導(dǎo)體表面。Sq.3第3頁S導(dǎo)體殼（殼內(nèi)無其它帶電體）上面是實心導(dǎo)體情況。假如是一個導(dǎo)體殼，當(dāng)導(dǎo)體殼內(nèi)沒有其它帶電體時在靜電平衡條件下，導(dǎo)體殼內(nèi)表面上處處沒有電荷，電荷只能分布在外表面，空腔內(nèi)沒有電場，或者說空腔內(nèi)電勢處處相等。證實：在導(dǎo)體殼內(nèi)、外表面之間取一閉合曲面S將空腔包圍起來。因為閉合面S完全處于導(dǎo)體內(nèi)部，據(jù)平衡條件其上場強處處為零，所以沒有電通量穿過它。按照高斯定理，在S內(nèi)部（即導(dǎo)體殼內(nèi)表面上）電荷代數(shù)和為零。4第4頁--++S深入還需證實，在導(dǎo)體殼內(nèi)表面上不但電荷代數(shù)和為零，而且各處面電荷密度也為零。利用反證法，假定內(nèi)表面上不處處為零，因為電荷代數(shù)和為零，必定有些地方＞0，有些地方＜0，而電力線只能從正電荷出發(fā)終止于負(fù)電荷，不能在沒有電荷地方中止。這么空腔內(nèi)就有電力線從＞0地方出發(fā)終止于內(nèi)表面上＜0地方。5第5頁--++S假如存在這么一根電力線，電場沿此電力線積分必不為零。即這電力線兩個端點之間有電勢差，但這電力線兩端都在同一導(dǎo)體上，靜電平衡要求這兩點電勢相等，所以上述結(jié)論與平衡條件相違反?？梢娫诘竭_靜電平衡時，導(dǎo)體殼內(nèi)表面上必須處處為零，既然內(nèi)表面上沒有電荷，腔內(nèi)就不可能有電力線，即腔內(nèi)場強為零。沒有電場就沒有電勢差，故腔內(nèi)空間各點電勢處處相等。6第6頁導(dǎo)體殼（殼內(nèi)有其它帶電體）導(dǎo)體殼空腔內(nèi)有其它帶電體時，在靜電平衡狀態(tài)下，導(dǎo)體殼內(nèi)表面所帶電荷與腔內(nèi)電荷代數(shù)和為零。比如腔內(nèi)有物體帶電q，則內(nèi)表面帶電-q。證實：如圖，在導(dǎo)體殼內(nèi)、外表面之間作一高斯面S，因為高斯面處于導(dǎo)體內(nèi)部，在靜電平衡時場強處處為零。所以經(jīng)過S電通量為零。據(jù)高斯定理，高斯面內(nèi)∑q=0。若導(dǎo)體殼內(nèi)有一帶電體帶電q，則內(nèi)表面必定帶電-q。--------q++++q+S7第7頁BA+3++++--------3+++++++比如，導(dǎo)體球B被同心導(dǎo)體球A所包圍。若分別給A、B兩導(dǎo)體以電量+5微庫侖和+3微庫侖，那么A球外表面帶電多少？

構(gòu)想先不給A球帶電，則它內(nèi)表面必定要出現(xiàn)－3微庫侖電量，這實際上是一個靜電感應(yīng)現(xiàn)象。因為內(nèi)球B帶正電而把－3微庫侖電量吸引到A球內(nèi)表面，多出+3微庫侖電量排斥到外表面。當(dāng)再給A球+5微庫侖電量時，它將分布在外表面，使外表面共取得+8微庫侖電量。5+3=88第8頁面電荷密度與場強關(guān)系尖端放電

在靜電平衡狀態(tài)下，導(dǎo)體表面之外附近空間場強E與該處導(dǎo)體表面面電荷密度有以下關(guān)系9第9頁導(dǎo)體靜電平衡條件:體內(nèi)場強處處為零幾點推論：①導(dǎo)體是個等勢體，導(dǎo)體表面是等勢面。②導(dǎo)體外場強處處與它表面垂直。電荷分布:在到達靜電平衡時，導(dǎo)體內(nèi)部處處沒有未被抵消凈電荷（=0），電荷只能分布在導(dǎo)體表面。導(dǎo)體殼（殼內(nèi)無其它帶電體）在靜電平衡條件下，導(dǎo)體殼內(nèi)表面上處處沒有電荷，電荷只能分布在外表面，空腔內(nèi)沒有電場，或者說空腔內(nèi)電勢處處相等。導(dǎo)體殼（殼內(nèi)有其它帶電體）導(dǎo)體殼空腔內(nèi)有其它帶電體時，在靜電平衡狀態(tài)下，導(dǎo)體殼內(nèi)表面所帶電荷與腔內(nèi)電荷代數(shù)和為零。比如腔內(nèi)有物體帶電q，則內(nèi)表面帶電-q。10第10頁1一個不帶電空腔導(dǎo)體球殼，內(nèi)半徑為R。在腔內(nèi)離球心距離為a處(a<R)放一點電荷+q，如圖所表示。用導(dǎo)線把球殼接地后，再把地線撤去，選無窮遠處為電勢零點，則球心0處電勢為[]D0R?+qa不接地內(nèi)表面帶電-q，外表面帶電+q，接地后再把地線撤去，外表面不帶電。q場在0點產(chǎn)生電勢內(nèi)表面上電荷-q場在0點產(chǎn)生電勢球心0處總電勢11第11頁4.帶電導(dǎo)體到達靜電平衡時，其正確結(jié)論是（A）導(dǎo)體表面上曲率半徑小處電荷密度較?。˙）表面曲率較小處電勢較高（C）導(dǎo)體內(nèi)部任一點電勢都為零（D）導(dǎo)體內(nèi)任一點與其表面上任一點電勢差等于零。[]D尖端放電，與曲率半徑成反比。曲率半徑越小，電荷面密度越大。在到達靜電平衡以后，導(dǎo)體是個等勢體，導(dǎo)體表面是等勢面。12第12頁5兩個同心薄金屬球殼，半徑分別為R1和R2(R2>R1)，若內(nèi)球殼帶上電荷Q，則二者電勢分別為（選無窮遠處為電勢零點）?，F(xiàn)用導(dǎo)線將兩球殼相連接，則它們電勢為R1QR2-Q[]D用導(dǎo)線將兩球殼相連接后，內(nèi)球殼變?yōu)橥馇驓?nèi)表面一部分，即電荷Q全部分布在外球殼表面。13第13頁4如圖所表示，在靜電場中有一立方形均勻?qū)w，邊長為a。已知立方體中心0處電勢為V0，則立方體頂點A電勢為_________。0AaV0靜電平衡，導(dǎo)體等電勢14第14頁1.一均勻帶電球體如圖所表示，總電荷+Q。其外部同心地罩一內(nèi)、外半徑分別為r1、r2金屬球殼，設(shè)無限遠處為電勢零點，則球殼內(nèi)半徑為r處場強和電勢分別為[]２一金屬球殼內(nèi)外半徑分別為R1和R2，帶電荷為Q。在球心處有一電荷為q點電荷，則球殼外表面上電荷面密度=__________。練習(xí)：?r1+Qpr2rR1R2Q?q15第15頁1.一均勻帶電球體如圖所表示，總電荷+Q。其外部同心地罩一內(nèi)、外半徑分別為r1、r2金屬球殼，設(shè)無限遠處為電勢零點，則球殼內(nèi)半徑為r處場強和電勢分別為?r1+Qpr2r靜電平衡，導(dǎo)體內(nèi)部場強為零等電勢[]B16第16頁２一金屬球殼內(nèi)外半徑分別為R1和R2，帶電荷為Q。在球心處有一電荷為q點電荷，則球殼外表面上電荷面密度=__________。R1R2Q?q電荷Q分布在外表面，內(nèi)表面有感應(yīng)電荷-q，外表面有感應(yīng)電荷+q，因另外表面有電荷Q+q。球殼外表面上電荷面密度：17第17頁1孤立導(dǎo)體電容

所謂孤立導(dǎo)體，就是說在這導(dǎo)體附近沒有其它導(dǎo)體和帶電體。+++++++++++q

構(gòu)想使一個孤立導(dǎo)體帶電q，它將含有電勢U。理論和試驗都表明，伴隨q增加U將按百分比地增加。這么一個百分比關(guān)系能夠?qū)懗墒街蠧與導(dǎo)體尺寸和形狀相關(guān)，它是一個與q、U無關(guān)常數(shù)，稱為孤立導(dǎo)體電容。它物理意義是每升高單位電勢所需電量。18第18頁對于一個孤立導(dǎo)體球故它電容為電容國際制單位為法拉，簡稱法，用F表示，這是一個非常大單位。如將地球看作孤立導(dǎo)體，其電容只有709×10-6法，所以通常采取微法

F(=10-6F)或微微法pF(=10-12F)為單位。19第19頁ACDqAqDqC2電容器及其電容假如在一個導(dǎo)體A附近有其它導(dǎo)體，則這導(dǎo)體電勢UA不但與它自己所帶電量qA多少相關(guān)，還取決于周圍其它導(dǎo)體相對位置和形狀。這是因為qA使鄰近導(dǎo)體表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷，它們將影響周圍空間電勢分布和每個導(dǎo)體電勢。在這種情況下，不可能再用一個常數(shù)C=qA/UA來反應(yīng)UA和qA之間依賴關(guān)系了。要想消除其它導(dǎo)體影響，可采取靜電屏蔽方法。20第20頁ABCDqA-qA

如圖所表示，用一個封閉導(dǎo)體殼B把A包圍起來，并將B接地（UB=0）。這么一來，殼外導(dǎo)體C、D等就不會影響A電勢了。這時若使A帶電qA，導(dǎo)體殼B內(nèi)表面將帶電-qA，伴隨qA增加，UA將按百分比地增大，所以可定義它電容為當(dāng)然這時CAB已與導(dǎo)體殼B相關(guān)了。21第21頁ABCDqA-qA其實導(dǎo)體殼B也可不接地，此時它電勢UB≠0。即使這時UA、UB都與外界導(dǎo)體相關(guān)，但電勢差UA－UB仍不受外界影響，且正比于qA，比值不變。這種由導(dǎo)體殼B和腔內(nèi)導(dǎo)體A所組成導(dǎo)體系，叫做電容器。比值叫做它電容。電容器電容與兩導(dǎo)體尺寸、形狀和它們相對位置相關(guān)，與q和U無關(guān)。組成電容器兩導(dǎo)體叫做電容器極板。22第22頁實際中，對電容屏蔽性要求并不象上面所述那樣苛刻。如圖，一對平行平面導(dǎo)體，A、B面積很大而且靠得很近，電荷將集中在兩極板相正確表面上，電力線集中在兩極板之間狹窄空間里。這時外界干擾對二者之間電勢差影響實際上是能夠忽略，也可把這種裝置看成電容器。+++++++-----AB--23第23頁ⅰ平行板電容器實際慣用絕大多數(shù)電容器可看成是由兩塊彼此靠得很近平行金屬極板導(dǎo)體A、B所組成，設(shè)兩極板面積均為S，分別帶有+q、-q電荷，內(nèi)表面之間距離是d，在極板面線度遠大于它們之間距離(S＞＞d2)情況下，除邊緣外兩極板之間電場可視為勻強電場。+++++++-----AB--d+-S電容定義24第24頁電荷面密度分別為電場強度兩極板間電勢差電容對于電容器電容常略去腳標(biāo)不寫，即+++++++-----AB--d+-S25第25頁+++++++-----AB--d+-S此式表明，C正比于極板面積S，反比于極板間隔d。它指明了加大電容器電容量路徑。首先必須使電容器極板間間隔小，但因為工藝制作困難，這有一定程度；其次要加大極板面積，勢必要加大電容器體積。為得到體積小、電容量大電容器，需要選擇適當(dāng)絕緣介質(zhì)。這個問題留待下節(jié)討論。26第26頁ⅱ同心球形電容器0RARBAB如圖所表示，電容器由兩個同心球形導(dǎo)體A、B所組成，其半徑分別為RA和RB（RA＜RB）。設(shè)A、B分別帶電荷±q，利用高斯定理可知，兩導(dǎo)體之間電場強度方向沿徑向兩球形電極A、B之間電勢差為27第27頁0RARBAB于是得電容為28第28頁1電容器儲能假如把一個已充電電容器兩極板用導(dǎo)體短路而放電，可見到放電火花。利用放電火花甚至能夠熔焊金屬，即所謂“電容焊”。放電火花勢能必定是由充了電電容器中儲存電能轉(zhuǎn)化而來。那么電容器儲存電能又是從哪里來呢？下面會看到，在電容器充電過程中，電源必須作功才能克服靜電場力把電荷從一個極板搬運到另一個極板上。這能量以電勢能形式儲存在電容器中，放電時就把這部分能量釋放出來。七靜電場能量能量密度對于電場能量以電容器為例來進行討論+++++++-------

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029第29頁--+-+-設(shè)電容器每一極板所帶電量絕對值為Q，兩極板間電壓為U。為了計算這電容器儲存了多少電能，先分析一下電容器充電過程。充電過程可用下列圖表示。電子從電容器一個極板被拉到電源，并從電源被推到另一極板上去。這時被拉出了電子極板帶正電；推上電子極板帶負(fù)電。如此逐步進行下去。設(shè)充電完成時，電容器極板上帶電量絕對值到達Q。完成這個過程要靠電源作功，從而消耗了電源儲存化學(xué)能，使之轉(zhuǎn)化為電容器儲存電能。30第30頁--+-+-設(shè)在充電過程中某一瞬間，電容器極板上帶電量絕對值為q，電壓為u，這里u是指正極板電勢u+減去負(fù)極板電勢u-，若在這一瞬間電源把-dq電量從正極板搬運到負(fù)極板，從能量守恒觀點看來，這時電源所作功應(yīng)等于電量-dq從正極板遷移到負(fù)極板后電勢能增加，即繼續(xù)充電時，電池要繼續(xù)作功。此功不停地積累為電容器電能，所以在整個充電過程中儲存于電容器電能總量應(yīng)由以下積分計算31第31頁--+-+-積分下限0表示充電開始時電容器電能總量，上限Q表示充電結(jié)束時每一極板上電量絕對值。由得到這就是電容器儲能公式。利用Q=CU，則可寫成及式中Q與U都是充電完成時最終值。32第32頁--+-+-通常電容器充電后電壓值都是給定，這時用第三種表示式來討論比較方便。此式表明：在一定電壓下，電容C大電容器儲能多，在這個意義上說，電容C也是電容器儲能本事大小標(biāo)志。對同一個電容器來講，電壓越高，儲能越多，但不能超出電容器耐壓值，不然就會把里面電介質(zhì)擊穿而燒毀電容器。33第33頁2三塊相互平行導(dǎo)體板之間距離d1和d2比板面積小得多，假如d2=2d1，外面二板用導(dǎo)線連接，中間板上帶電。設(shè)左右兩面上電荷面密度分別為

1和2，如圖所表示，則1/2為(A)1(B)2(C)3(D)4d1d2

2

1相當(dāng)于兩電容器并聯(lián)，U相等。由Q=CU知[]B34第34頁6當(dāng)平行板電容器充電后，去掉電源，在兩極板間充滿電介質(zhì)，其正確結(jié)果是（A）極板上自由電荷降低（B）兩極板間電勢差變大（C）兩極板間電場強度變?。―）兩極板間電場強度不變兩極板間電場強度變小兩極板間電勢差變小[]C去掉電源，極板上自由電荷不變35第35頁8一個平行板電容器，充電后斷開電源，使電容器兩極板間距離變小，則兩極板間電勢差U12、電場強度大小E、電場能量W將發(fā)生以下改變：(A)U12減小，E減小，W減?。?B)U12增大，E增大，W增大．(C)U12增大，E不變，W增大．(D)U12減小，E不變，W減?。?/p>

[]Dd減小，則C增大。電源斷開，電荷不變。E亦不變。C增大，則U減小。C增大，W減小。36第36頁9兩空氣電容器C1和C2串聯(lián)起來接上電源充電，充滿電后將電源斷開，再把一電介質(zhì)板插入C1中，如圖所表示。則（A）C1上電荷增加，C2上電荷降低（B）C1上電荷降低，C2上電荷增加（C）C1上電荷增加，C2上電荷增加（D）C1上電荷不變，C2上電荷不變。C1C2E[]D斷開電源后總電荷不變。串聯(lián)，每個電容器極板所帶電量相等。插入介質(zhì)，C1增大，U1減小。電源斷開，Q不變。37第37頁C1、C2是兩空氣電容器并聯(lián)以后接電源充電，在電源保持連接情況下，在C1中插入一電介質(zhì)板，如圖所表示，則（A）C1極板上電荷不變，C2極板上電荷降低（B）C1極板上電荷不變，C2極板上電荷增加（C）C1極板上電荷增加，C2極板上電荷不變（D）C1極板上電荷降低，C2極板上電荷不變。并聯(lián)U相同，Q1=C1U，Q2=C2U。電源保持連接，U不變，插入介質(zhì)板，C1電容增大，Q1增大，Q2不變。[]CC1C2E38第38頁11有兩只電容器，C1=8F，C2=2F，分別把它們充電到V，然后將它們反接（如圖所表示）此時C1兩極板間電勢差為（A）600V（B）200V（C）0V（D）1200VC1C2++--[]D充電后：并聯(lián)：39第39頁7一平行板電容器，充電后與電源保持連接，然后使兩極板間充滿相對介電常數(shù)為

r各向同性均勻電介質(zhì)，這時兩極板上電荷是原來________倍；電場強度是原來________倍；電場能量是原來________倍。充電后與電源保持連接，U不變，兩極板間充滿電介質(zhì)，C增大到原來

r倍。

r1

r40第40頁9.一平行板電容器充電后切斷電源，若使兩極板間距離增加，則兩極板間電勢差為_________，電容為_________。（填增大或減小或不變）d增大，則C減小。電源斷開，電荷不變。C減小，則U增大。增大減小41第41頁3一個平行板電容器，充電后斷開電源，使電容器兩極板間距離拉大，則兩極板間電勢差U12、電場強度大小E、電場能量W將發(fā)生以下改變：(A)U12減小，E減小，W減?。?B)U12增大，E增大，W增大．(C)U12增大，E不變，W增大．(D)U12減小，E不變，W減?。?/p>

[]練習(xí)：4圖為二分之一徑為a、帶有正電荷Q導(dǎo)體球。球外有一內(nèi)半徑為b、外半徑為c不帶電同心導(dǎo)體球殼。設(shè)無限遠處為電勢零點，試求內(nèi)球和球殼電勢。0acbQ42第42頁3一個平行板電容器，充電后斷開電源，使電容器兩極板間距離拉大，則兩極板間電勢差U12、電場強度大小E、電場能量W將發(fā)生以下改變：(A)U12減小，E減小，W減?。?B)U12增大，E增大，W增大．(C)U12增大，E不變，W增大．(D)U12減小，E不變，W減小．

[]Cd增大，則C減小。電源斷開，電荷不變。E亦不變。C減小，則U增大。C減小，W增大。43第43頁4圖為二分之一徑為a、帶有正電荷Q導(dǎo)體球。球外有一內(nèi)半徑為b、外半徑為c不帶電同心導(dǎo)體球殼。設(shè)無限遠處為電勢零點，試求內(nèi)球和球殼電勢。0acbQ解：球殼內(nèi)表面將出現(xiàn)負(fù)感應(yīng)電荷－Q，外表面為正感應(yīng)電荷Q．按電勢疊加原理(也可由高斯定理求場強，用場強線積分計算)導(dǎo)體球電勢為球殼電勢44第44頁練習(xí)：6

一電容器由兩個同心球形導(dǎo)體殼A、B所組成，A、B間為真空。其半徑分別為RA和RB（RA＜RB）。設(shè)A、B分別帶電荷±q，求（1）兩同心球形導(dǎo)體殼之間某點p電場強度大?。唬?）兩同心球形導(dǎo)體殼A、B間電勢差；（3）此球形電容器電容。5平行板電容器可看成是由兩塊彼此靠得很近平行金屬極板A、B所組