微分方程的經典模型省公開課一等獎全國示范課微課金獎課件

第6章微分方程模型第1頁在自然科學以及工程、經濟、醫(yī)學、體育、生物、社會等學科許多系統(tǒng)中，有時極難找到該系統(tǒng)相關變量之間函數(shù)表示式，但卻輕易建立這些變量微小增量或改變率之間關系式，這個關系式就是微分方程模型。前面章節(jié)能夠看到在很多問題數(shù)學建模中或多或少都包括到微分方程概念和理論，這不足為怪，因為微分方程本身就是處理帶有包括改變率或增量特征問題。第2頁微分方程模型6.1微分方程模型的建模步驟6.2作戰(zhàn)模型6.3傳染病模型習題第3頁6.1微分方程模型建模步驟例1

某人食量是10467焦/天，其中5038焦/天用于基本新陳代謝（即自動消耗）。在健身訓練中，他天天大約每千克體重消耗69焦熱量。假設以脂肪形式貯藏熱量100%地有效，而1千克脂肪含熱量41868焦，試研究此人體重隨時間改變規(guī)律。模型分析

問題中并未出現(xiàn)“改變率”、“導數(shù)”這么關鍵詞，但要尋找是體重（記為W）關于時間t函數(shù)。假如我們把體重W看作是時間t連續(xù)可微函數(shù)，我們就能找到一個含有微分方程。？第4頁模型假設

1.表示時刻某人體重，并設一天開始時人體重為；2.關于連續(xù)而且充分光滑；3．體重改變等于輸入與輸出之差，其中輸入是指扣除了基本新陳代謝之后凈食量吸收；輸出就是進行健身訓練時消耗。模型建立

對于“天天”：體重改變=

W=輸入-輸出體重改變/天==輸入/天—輸出/天第5頁代值：

輸入/天=10467—5038=5429（焦/天）

輸出/天=69×=69（焦/天）輸入/天—輸出/天=5429-69W（焦/天）考慮單位匹配，利用單位轉換公式“1千克=41868焦”，有增量關系（焦/天）取極限并加入初始條件，得微分方程模型第6頁模型求解結果

模型討論

此人體重會到達平衡嗎?顯然由表示式，當時，體重有穩(wěn)定值直接由模型方程往返答這個問題。在平衡狀態(tài)下，是不發(fā)生改變，所以。這就非常直接地給出了第7頁根據(jù)規(guī)律列方程微元分析法。模擬近似法。建立微分方程模型方法第8頁6.2作戰(zhàn)模型

問題提出影響一個軍隊戰(zhàn)斗力原因是多方面，而詳細到一次戰(zhàn)爭勝敗，部隊采取作戰(zhàn)方式一樣至關主要，此時作戰(zhàn)空間一樣成為討論一個作戰(zhàn)部隊整體戰(zhàn)斗力一個不可忽略原因。本節(jié)介紹幾個作戰(zhàn)模型，導出評定一個部隊綜合戰(zhàn)斗力一些方法，以預測一場戰(zhàn)爭大致結局。模型分析甲乙兩支部隊相互交戰(zhàn)，在整個戰(zhàn)爭期間，雙方兵力在不停發(fā)生改變，而影響兵力改變很多原因轉化為數(shù)量非常困難。為此，我們作以下假定把問題簡化。？第9頁模型假設1.x(t),y(t)表示甲乙雙方在時刻

t

人數(shù)，x(0)=x0,y(0)=y0分別表示甲乙雙方在開戰(zhàn)時初始人數(shù)，x0>0,y0>0；2.設x(t),y(t)是連續(xù)改變，而且充分光滑；3.每一方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方兵力，不妨以f(x,y),g(x,y)分別表示甲乙雙方戰(zhàn)斗減員率；4.每一方非戰(zhàn)斗減員率（由疾病、逃跑以及其它非作戰(zhàn)事故原因所造成一個部隊減員），它通?？杀辉O與本方兵力成正比，百分比系數(shù)分別對應甲乙雙方；5.每一方支援率，它通常取決于一個已投入戰(zhàn)爭部隊以外原因，甲乙雙方支援率函數(shù)分別以u(t),v(t)表示。第10頁模型建立依據(jù)假設得到普通戰(zhàn)爭模型第11頁正規(guī)作戰(zhàn)模型

模型假設1.不考慮支援，并忽略非戰(zhàn)斗減員；2.甲乙雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)，每一方士兵活動均公開，處于對方士兵監(jiān)視與殺傷范圍之內，一旦一方某個士兵被殺傷，對方火力馬上轉移到其它士兵身上。第12頁正規(guī)作戰(zhàn)模型所以，甲乙雙方戰(zhàn)斗減員率僅與對方兵力相關，簡單設為是正百分比關系，以b、a

分別表示甲乙雙方單個士兵在單位時間殺傷力，稱為戰(zhàn)斗有效系數(shù)。以rx

、ry

分別表示甲乙雙方單個士兵射擊率，它們通常主要取決于部隊武器裝備；以px、py分別表示甲乙雙方士兵一次射擊（平均）命中率，它們主要取決于士兵個人素質，則有第13頁模型建立正規(guī)作戰(zhàn)數(shù)學模型普通形式由假設2，甲乙雙方戰(zhàn)斗減員率分別為于是得正規(guī)作戰(zhàn)數(shù)學模型第14頁模型求解借助微分方程圖解法求解。注意到相平面是指把時間t作為參數(shù)，以為坐標平面，而軌線是指相平面中由方程組解所描述出曲線。借此能夠在相平面上經過分析軌線改變討論戰(zhàn)爭結局。其中

求解軌線方程。將模型方程一式除以二式，得到用分離變量法得該模型解第15頁圖6-1平方律雙曲線第16頁戰(zhàn)爭結局分析模型解確定圖形是一條雙曲線，箭頭表示伴隨時間增加，、改變趨勢。而評價雙方勝敗，總認定兵力先降為“零”（全部投降或被殲滅）一方為敗。所以，假如，則乙兵力降低到時甲方兵力降為“零”，從而乙方獲勝。同理可知，時，甲方獲勝。而當時，雙方戰(zhàn)平。甲方獲勝充要條件為代入a、b

表示式，深入可得甲方獲勝充要條件為第17頁故可找到一個用于正規(guī)作戰(zhàn)部隊綜合戰(zhàn)斗力評價函數(shù)：式中Z表示參戰(zhàn)方初始人數(shù)，能夠取甲方或乙方。綜合戰(zhàn)斗力評價函數(shù)暗示參戰(zhàn)方綜合戰(zhàn)斗力與參戰(zhàn)方士兵射擊率（武器裝備性能）、士兵一次射擊（平均）命中率（士兵個人素質）、士兵數(shù)平方均服從正百分比關系。第18頁模型應用正規(guī)作戰(zhàn)模型在軍事上得到了廣泛應用，主要是作戰(zhàn)雙方戰(zhàn)斗條件比較相當，方式相同。J.H.Engel就曾經用正規(guī)戰(zhàn)模型分析了著名硫磺島戰(zhàn)役，發(fā)覺和實際數(shù)據(jù)吻合得很好。第19頁游擊作戰(zhàn)模型模型假設1.不考慮支援，忽略非戰(zhàn)斗減員；2.甲乙雙方均以游擊作戰(zhàn)方式，每一方士兵活動均含有隱蔽性，對方射擊行為局限在某個范圍考慮能夠被認為是盲目標。所以，甲乙雙方戰(zhàn)斗減員率不光與對方兵力相關，一樣設為是正比關系；而且與自己一方士兵數(shù)相關，這主要是因為其活動空間限制所引發(fā)，士兵數(shù)越多，其分布密度會越大，顯然二者服從正百分比關系，這么對方投來一枚炮彈平均殺傷力（期望值）也會服從正百分比關系增加；3.若以、分別表示甲乙雙方有效活動區(qū)域面積，以、分別表示甲乙雙方一枚炮彈有效殺傷范圍面積，以、分別表示甲乙雙方單個士兵射擊率，、、、主要取決于部隊武器裝備性能和貯備；、也取決于士兵個人素質。所以甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)，乙方戰(zhàn)斗有效系數(shù)第20頁模型建立游擊作戰(zhàn)模型形式：,，由假設2、3，甲乙雙方戰(zhàn)斗減員率分別為結合以上兩表示式，并代入c、d值，可得游擊作戰(zhàn)數(shù)學模型第21頁模型求解類似正規(guī)作戰(zhàn)模型處理，從模型方程能夠得到進而可得該模型解其中在相平面中畫出以下軌線圖（圖6-2）第22頁混合作戰(zhàn)模型模型假設1.不考慮支援，忽略非戰(zhàn)斗減員2.甲方以游擊作戰(zhàn)方式，乙方以正規(guī)作戰(zhàn)方式；3.以、分別表示甲乙雙方戰(zhàn)斗有效系數(shù)，若以、分別表示甲乙雙方單個士兵射擊率，以、分別表示甲乙雙方士兵一次射擊（平均）命中率，以表示甲方有效活動區(qū)域面積，以表示乙方一枚炮彈有效殺傷范圍面積，則，模型建立混合作戰(zhàn)數(shù)學模型：第23頁模型求解該模型解：

其中

在相平面中畫出以下軌線圖（圖6-3）第24頁模型應用假定以正規(guī)作戰(zhàn)乙方火力較強，以游擊作戰(zhàn)甲方雖火力較弱，但活動范圍較大，利用上式能夠預計乙方為了獲勝需投入多大初始兵力。不妨設，，，活動區(qū)域平方千米，乙方每次射擊有效面積平方米，則可得乙方獲勝條件為：即，乙方必須10倍于甲方兵力。第25頁點評與討論應用了微分方程建模思想這類模型反應了我們描述對象隨時間改變。第26頁問題提出上世紀初，瘟疫還經常在世界一些地域流行，被傳染人數(shù)與哪些原因相關？怎樣預報傳染病高潮到來？為何同一地域一個傳染病每次流行時，被傳染人數(shù)大致不變？6.3傳染病模型？問題分析

社會、經濟、文化、風俗習慣等原因都會影響傳染病傳輸，在建立模型時不可能考慮全部原因，只能抓住關鍵原因，采取合理假設，進行簡化。把傳染病流行范圍內人群分成三類：S類，易感者（SusceptibleI)類；感病者（Infective）；R類，移出者（Removal）第27頁建立模型

SI模型1

模型假設1.每個病人在單位時間內傳染人數(shù)為常數(shù)；2.一人得病后，經久不愈，人在傳染期內不會死亡。

記時刻t得病人數(shù)為，開始時有個傳染病人，則在時間內增加病人數(shù)為得：其解為：第28頁模型分析與解釋這個結果與傳染病早期比較吻合，但它表明病人人數(shù)將按指數(shù)規(guī)律無限增加，顯然與實際不符第29頁SI模型2記時刻健康者人數(shù)為模型假設1.總人數(shù)為常數(shù)，且；2.單位時間內一個病人能傳染人數(shù)與當初健康者人數(shù)成正比，百分比系數(shù)為（傳染強度）；3.一人得病后，經久不愈，人在傳染期內不會死亡。在此假設下可得微分方程解得：第30頁模型分析易得極大值點為：。當傳染強度增加時，將變小，即傳染高峰來得快，這與實際情況吻合。但當時，，這意味著最終人人都將被傳染，顯然與實際不符。帶宣傳效應SI模型3模型假設1.單位時間內正常人被傳染比率為常數(shù)；2.一人得病后，經久不愈，人在傳染期內不會死亡。由導數(shù)含義和假設，易得微分方程：第31頁假設宣傳運動開展將使得傳染上疾病人數(shù)降低，降低速度與總人數(shù)成正比，這個百分比常數(shù)取決于宣傳強度。若從開始，開展一場連續(xù)宣傳運動，宣傳強度為，則有數(shù)學模型為解得：其中：為Heaviside函數(shù)。求得微分方程解為：第32頁

假如宣傳運動是短暫進行，這在日常生活中是常見，比如僅僅是聽一個匯報，或街頭散發(fā)傳單等，即在等個時刻進行次宣傳，宣傳強度分別為，則模型變?yōu)榻獾茫罕砻鬟B續(xù)宣傳是起作用，最終會使發(fā)病率降低。但此時有，這表明短暫宣傳是不起作用，最終還是全部人都染上了疾病。第33頁SIS模型有些傳染病如傷風、痢疾等愈后免疫力很底，能夠假定無免疫性。于是痊愈病人依然能夠再次感染疾病，也就是說痊愈感染者將再次進入易感者人群。模型假設1.總人數(shù)為常數(shù)，且2.單位時間內一個病人能傳染人數(shù)與當初健康者人數(shù)成正比，百分比系數(shù)為k（傳染強度）；3.感病者以固定比率h痊愈，而重新成為易感者。第34頁該假設下模型為：其解為：或第35頁模型分析：時，；時，。這里出現(xiàn)了傳染病學中非常主要閾值概念，或者說門檻（threshhold）現(xiàn)象，即是一個門檻SIR模型

大多數(shù)傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后都有很強免疫力，所以病愈人既非易感者，也非感病者，所以他們將被移出傳染系統(tǒng)，我們稱之為移出者，記為R類。第36頁模型假設1.總人數(shù)為常數(shù)，且；2.單位時間內一個病人能傳染人數(shù)與當初健康者人數(shù)成正比，百分比系數(shù)為（傳染強度）；3.單位時間內病愈免疫人數(shù)與當初病人人數(shù)成正比，百分比系數(shù)為，稱為恢復系數(shù)。該假設下模型為：第37頁取初值：把前面兩個方程相除，并整理，有：解之得:第38頁模型分析：易得；而當時，單調下降趨于零；時，先單調上升到最高峰，然后再單調下降趨于零。所以這里依然出現(xiàn)了門檻現(xiàn)象：是一個門檻。從意義可知，應該降低傳染率，提升恢復率，即提升衛(wèi)生醫(yī)療水平。令

可得假定，可得：若記，則，這也就解釋了本文開頭為何同一地域一個傳染病每次流行時，被傳染人數(shù)大致不變問題。第39頁6.4藥品試驗模型

問題提出藥品進入機體后，在隨血液運輸?shù)礁鱾€器官和組織過程中，不停地被吸收，分布，代謝，最終排除體外。藥品在血液中濃度，即單位體積血液（毫升）中藥品含量（微克或毫克），稱血藥濃度，隨時間和空間（機體各部位）而改變。血藥濃度大小直接影響到藥品療效，濃度太低不能到達預期效果，濃度太高又可能造成藥品中毒，副作用太強或造成浪費。所以研究藥品在體內吸收，分布和排除動態(tài)過程，及這些過程與藥理反應間定量關系（即數(shù)學模型），對于新藥研究，劑量確定，給藥方案設計等藥理學和臨床醫(yī)學發(fā)展都有主要指導意義和使用價值。？第40頁問題分析房室是指機體一部分，藥品在一個房室內呈均勻分布，即血藥濃度是常數(shù)，而在不一樣房室之間則按照一定規(guī)律進行藥品轉移，一個機體分為幾個房室，要看不一樣藥品吸收，分布，排除過程詳細情況，以及研究對象所要求精度而定?，F(xiàn)在我們只討論二室模型，即將機體分為血藥較豐富中心室（包含心，肺，腎等器官）和血液較貧乏周圍室（四肢，肌肉組織等）。藥品動態(tài)過程在每個房室內室一致，轉移只在兩個房室之間以及某個房室與體外之間進行。二室模型建立和求解方法能夠推廣到多室模型。第41頁模型建立在二室模中設1.,和分別表示第i室（i=1,2）血藥濃度，藥量和容積；2.表示第i室向第j室藥品轉移速率系數(shù)；3.是藥品從1室向體外排除速率系數(shù)；4.是給藥速率，由給藥方式和劑量確定模型假設1.機體分為中心室（1室）和周圍室（2室），兩個室容積（即血藥體積或藥品分布容積）在過程中保持不變。2.藥品從一室向另一室轉移速率，及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比。3.只有中心室與體外有藥品交換，即藥品從體外進入中心室，最終又從中心室排除體外。與轉移和排除數(shù)量相比，藥品吸收能夠忽略。第42頁中心室c1(t),x1(t),V1周圍室c2(t),x2(t),V2k12k21給藥12排除12k13圖6-4慣用一個二室模型為方便問題表述和研究，畫出二室模型示意圖以下：第43頁注意到改變率由1室向2室轉移，1室向體外排除，2室向1室轉移及給藥組成；改變率由1室向2室轉移及2室向1室轉移組成。利用函數(shù)導數(shù)特點和含義，依據(jù)假設條件和上圖，能夠寫出兩個房室中藥量滿足微分方程為第44頁

代入（1）式可得數(shù)學模型與血藥濃度,房室容積之間顯然相關系式至此，我們將問題變?yōu)榱藬?shù)學問題。上式中只要給定給藥方式函數(shù)詳細形式就能夠進行微分方程組求解。給藥方式函數(shù)數(shù)學描述與對應給藥方式有以下3種：第45頁1.快速靜脈注射這種注射為在t=0瞬時將劑量D0藥品輸入中心室，血藥濃度馬上上升為D0/V1，它能夠用數(shù)學表示為2.恒速靜脈滴注當靜脈滴注速率為常數(shù)k0時，能夠用數(shù)學表述為3.口服或肌肉注射這種給藥方式相當于在藥品輸入中心室之前先有一個將藥品吸收入血藥過程，能夠簡化為有一個吸收室，以下列圖。第46頁

在這種情況下，有數(shù)學描述為為吸收室藥量，藥品由吸收室進入中心室轉移速率系數(shù)為，于是滿足表示先瞬時吸入全部藥量，然后藥量在體內按百分比降低（指數(shù)衰減），是給藥量。而藥品進入中心室速率為，求解有第47頁習題