2022-2023學(xué)年河北省唐山市高一年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省唐山市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=(l—i)(l-2i),則忖=()

A.1B.3C.&D.M

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算可得.

［詳解］因?yàn)閦=0_i)(l_2i)=l_2i_i+2i2=T_3i,

所以忖=J(-1)-+(-3)-=>/10.

故選：D

2.已知向量a=(l,G),6=(1,0),則“與6的夾角為()

71C兀八2兀r5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【分析】首先求出口，W，ab，再根據(jù)夾角公式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閍=(1,6),b=(l,0),所以忖=』+(可=2,W=i,

<7-Z>=lxl+V3xO=l，

a-b1r、jr

設(shè)a與匕的夾角為e,貝|Jc°sne=ppw=Q,又e?o,兀］,所以

故選：B

3.已知i為虛數(shù)單位，2+i是關(guān)于x的方程/_,玄+5=0的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)根=(

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】A

【分析】根據(jù)虛根成對(duì)原理可得2-i也是方程的根，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?+i是關(guān)于*的方程/-〃a+5=0的一個(gè)根，

所以2-i也是關(guān)于x的方程/一皿+5=0的一個(gè)根，

所以2+i+2-i=m,解得加=4.

故選：A

4.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為5,圓心角為拳的扇形，則該圓錐的體積為（）

A.B.史3C.127rD.257t

93

【答案】C

【分析】設(shè)底面半徑為"，高為3根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)即為底面周長(zhǎng)求岀廠，再由勾股

定理求出力,最后由錐體體積公式計(jì)算可得.

【詳解】依題意圓錐的母線/=5,設(shè)底面半徑為"，高為〃，則67?rx5=2口，解得r=3,

所以/=J"一戸=4,

則圓錐的體積丫=：5/?=!、兀*32*4=1271.

故選：C

5.小明為了加強(qiáng)體育鍛煉，提高身體素質(zhì)，從網(wǎng)上購(gòu)買了一對(duì)大小相同的健身啞鈴.啞鈴是由兩個(gè)

全等的大圓柱和中間一個(gè)連桿圓柱構(gòu)成的，己知大圓柱的底面直徑是8cm,高為2cm,連桿圓柱的

底面直徑是2cm,高為10cm,則一只健身啞鈴的體積為（）

A.lOTtcm'B.148兀crrr'C.74歡0?D.647tcm,

【答案】C

【分析】利用圓柱的體積公式，再結(jié)合條件即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榇髨A柱的底面直徑是8cm,高為2cm,故兩個(gè)大圓柱的體積為

V,=2itr2h=2兀x16x2=647r,

又連桿圓柱的底面直徑是2cm,高為10cm,故連桿圓柱的體積為匕==無(wú)乂Fxio=10兀，

所以一只健身啞鈴的體積為K+K=64兀+10兀=74九

故選：C.

6.如圖，矩形O'AB'C是水平放置的一個(gè)平面四邊形0U3C的直觀圖，其中。1'=5,OC'=2,則

平面四邊形。4BC的面積為（）

A.10B.20夜C.105/2D.20

【答案】B

【分析】根據(jù)題意利用斜二測(cè)畫法得到原圖形，即可求出其面積.

【詳解】設(shè)8C'與V軸的交點(diǎn)為次，則C'D=OV=2,2夜，

原圖形Q43C如圖所示：00=200=40，0A=5,SOABC=5x442=20y/2.

7.已知_ABC,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a,"c,a=&,Z?=百,8=60。，則A等于()

A.45°B.30°

C.45°或135。D.30°或150°

【答案】A

【分析】直接根據(jù)正弦定理求解即可.

【詳解】解：b=y/3,8=6()。，

:?a<b,A<B,

亠十力宀eab,曰.AasinB五.8仄

由正弦定理一7==不得：sinA=---2_V2,

sinAsin8b--忑一一

：.A=45°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理解三角形，要注意大邊對(duì)大角等隱含條件，注意多解情況的處

理，屬于基礎(chǔ)題.

8.正四棱錐S-AB8中，底面邊長(zhǎng)AB=2,側(cè)棱%=石，在該四棱錐的內(nèi)部有一個(gè)小球，則小球

表面積的最大值為（）

A.4兀B.167rC.—D.—

33

【答案】D

【分析】當(dāng)小球與正四棱錐5-回8各面相切時(shí)半徑最大，此時(shí)小球表面積的最大，計(jì)算求解即可.

【詳解】當(dāng)小球與正四棱錐S-ABCD各面相切時(shí)半徑最大，此時(shí)小球表面積的最大，

設(shè)小球的半徑為，，

由底面邊長(zhǎng)AB=2,側(cè)棱&4=石，可得正四棱錐S-A68的高S0=J&42-QA：=扃-（可=6,

所以匕-他8=?2晨e=怨，

又側(cè)面面積為4s頌L=4xgx2x斤1=8,底面面積為梟皿=2?=4,

-（8+4）-r=,解得r=^^,

333

???小球表面積的最大值為4"?=：兀.

故選：D.

二、多選題

9.下列四個(gè)命題中，真命題是（）

A.兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)

B.四邊形可以確定一個(gè)平面

C.若直線機(jī)，〃相交，且m〃平面a,則〃

D.若直線4u平面a,直線。u平面a,則乙〃/Z

【答案】AC

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,利用確定平面的條件和點(diǎn)、線、面的包含關(guān)系即可判斷出正誤；對(duì)于選項(xiàng)B,

通過(guò)特殊四邊形即可判斷出正誤；對(duì)于選項(xiàng)C,利用直線與平面平行的定義和直線與平面的位置關(guān)

系即可判斷出正誤；對(duì)于選項(xiàng)D,利用平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系即可判斷出正誤.

【詳解】選項(xiàng)A,設(shè)ac/>=A,8cc=B,acc=C,A,B,C不重合，易知可確定唯一平面a,又

Beb,C&a,所以Bea,Cwa,又Bec,Cec,所以c=（z,故選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B,空間四邊形不能確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,因?yàn)槿纭??，加〃平面a,所以p任面a,故所以選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)D,因?yàn)橹本€4u平面a,直線4u平面a,則或4與4相交，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

10.在正方形A3C。中，BC=1,點(diǎn)E滿足。E=rE>C（0<f<l）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)1=丄時(shí)，AE=-AB+AD

33

B.當(dāng)，=：時(shí)，cos〈AE,BE）=^

C.存在f,使得AE丄8E

D.的最小值為2

【答案】AD

【分析】根據(jù)給定的正方形，建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示逐項(xiàng)分析判斷作答.

【詳解】在正方形ABC。中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

由BC=1,得A(0,0),8(0,1),0(1,0),由力E=fDC(0<r<l),得E(lj),AE=(],t),BE=(},t-\),

對(duì)于A,A￡=(l,1),而AB=(0,1),4。=(1,0),則gAB+AO=(l,g)=AE,A正確；

221|x,+tx(-1)7術(shù)

對(duì)于B,/=-,A￡=(1,-),B￡=(1,--),則cos〈AE,BE〉=丁彳1-,B錯(cuò)誤;

333亞+(捫出+(-駅

對(duì)于C,若AE丄BE，則AE8E=l+f(f-l)=0,而方程產(chǎn)T+l=0無(wú)實(shí)根，則不存在f,使得

AE丄BE，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,AE+BE=(2,2t-l),因此|DE+BE|=+(2￡-1產(chǎn)22,當(dāng)且僅當(dāng)1時(shí)取等號(hào)，D正確.

故選：AD

11.如圖，A,B,C,0為三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，下列圖形中，直線AB與8是異面直

線的為（）

【分析】由異面直線的定義判斷A與D；由平行公理判斷B；利用反證法思想說(shuō)明C.

【詳解】對(duì)于A,CDu平面BCD,Be平面BCD,BeCD,A把平面BCD,由異面直線的定義

可知，直線A8與8是異面直線，故A正確;

對(duì)于B,如圖,

C、。為所在棱的中點(diǎn)，所以CD//EF,又ABHEF,由平行公理可得，AB//CD,故B錯(cuò)誤:

對(duì)于C,如圖,

分別取底面三角形兩邊的中點(diǎn)E,F,連接CE,DF,則￡>F〃GE且OF=GE,

AC//GES.AC=GE,所以。F〃AC且。F=AC,

所以四邊形ACOR為平行四邊形，所以AF〃?！?/p>

67)2平面43/，AFu平面A3尸，所以C￡>〃平面45尸,

又ABu平面A3F,因?yàn)?3與CQ無(wú)公共點(diǎn)，

若AB與CD平行，得到A8與AF平行，這樣A母AF=4矛盾，可得AB與CD異面，故C正確;

對(duì)于D,ABu平面ABC,Ce平面ABC,C^AB,￡)任平面ABC,由異面直線的定義可知，直

線A8與C。是異面直線，故D正確.

故選：ACD.

12.在工ABC中，角A8C的對(duì)邊分別為a,6,c,下列說(shuō)法正確的是()

A.若A，，sin?A=sin8sinC,則_43C為等邊三角形

B./>8是cos2A<cos23成立的充要條件

C.若..ABC的面積為,二〃),貝|JA+B=S

4a2

12

D.若。點(diǎn)滿足3￡>=—3C,且2sinC=sin3,則sinNB49=-sinNCAD

43

【答案】ABD

【分析】利用正弦、余弦定理，三角形面積公式及誘導(dǎo)公式，結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)的條件，逐一對(duì)各個(gè)選

項(xiàng)分析判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】選項(xiàng)A,因?yàn)?=4，sin2A=sinBsinC1由正弦定理得到片=be,

又由余弦定理巒=庁+/-?ccos],得至!=+c?-be,即(6-c)2=0,

所以6=c,故選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B,因?yàn)閏os24<cos23,所以l-2sin2Acl-Zsin,B,即sin%>sin*,

又A,8e(0,7t),sinA>0,sinfl>0,所以sinA>sinfi,

由正弦定理得，a>b,又由三角形中，大邊對(duì)大角，得/>B,又以上過(guò)程均可逆，故選項(xiàng)B正確;

選項(xiàng)C,因?yàn)镾=1acsin8="(.+c262)=〃>accosB,整理得。師8=反。$3,

24a4a

TT

又由正弦定理可得sinAsinB=sinBcos5,即sinA=cosB,所以sinA=cos(—A)=cosB,

2

故呉A=8或呉A=W得到A+B或或AT咤故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

BDABDCAC

選項(xiàng)D,如圖，在A/M中,在△AOC中,

sinZBADsinZBDAsinZCAD~sinZCDA

皿#冋“曰BDsinNCA。ABsxnZCDA1口寸(?

兩式相比得-----------=——-------因?yàn)?。=-3c,且2sinC=sin8,D

DCsinZBADACsinZBDA74

-|"/4T-VO

所以BD=-DC,2AB=AC,且sinZB￡X4=sinZCZM,所以—-----=—,

3smZBAD2

2

故sinNBAO=§sinNC4O,所以選項(xiàng)D正確.

A

故選：ABD.

三、填空題

13.若復(fù)數(shù)4=x+i,z2=3+yi,z,+z2=5+6i,其中x,y為實(shí)數(shù)，則zLZ2=

【答案】-l-4i

【分析】先根據(jù)4+Z2=5+6i,其中x,y為實(shí)數(shù)，利用復(fù)數(shù)相等求得x,y求解.

【詳解】解：因?yàn)閿?shù)4=x+i,Zz=3+yi,z,+z2=5+6i,其中x,y為實(shí)數(shù)，

[x+3=5(x=2

所以，厶，解得＜，

[l+y=6[y=5

則Z[=2+i,z2=3+5i,

所以Z1-z?=-1-4i,

故答案為：T-4i

14.已知A(0,l),8(1,-3),C(2,k),且A,B,C三點(diǎn)共線，貝心=.

【答案】-7

【分析】由A8,C三點(diǎn)共線，得AB//BC，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求h

【詳解】4伐。三點(diǎn)共線，；.48〃8。.

A(0,l),B(l,-3),C(2J),.-.AB=(l,^),BC=(l,A:+3),

.-.lx(A:+3)-lx(-4)=0,.-.Jt=-7.

故答案為：-7.

15.記,ABC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,dc,若AC邊上的高為6,且滿足川=-accosAcosC,

3

則tanAtanC=.

【答案】I

【分析】利用面積公式及條件得到改411汩=!8%0$厶<；0$(^,再利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?。的面積為sfcsin*見得到"正貓,

又因?yàn)槿?=-accosAcosC,J9rLUc2sin2B=-b~accosAcosC,

33

即tzcsin2B=-b2cosAcosC,由正弦定理得2RsirL4?2RsinCsin%=丄(2Rsin5)2cosAcosC,即

33

sinAsinC=-cosAcosC,

3

所以tanAtanC=丄.

3

故答案為：

16.已知四點(diǎn)A,B,C,。在半徑為1的圓上，43=8=1,則ACAO+8C8O的最大值為，

【答案】6

【分析?】由題意建立平面直角坐標(biāo)系，不妨取厶0,0),3于/,設(shè)C(cosasinO),則

小os(?+謳in(e+誹同0,2兀)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角函數(shù)求最值.

【詳解】因?yàn)锳B=C￡>=1且圓的半徑為1,所以AB與CQ所對(duì)的圓心角均為，，

如圖建立平面直角坐標(biāo)系，不妨取A(l,0),

,"。+列，6>e[0,27t),

貝ljAC=(cos9一1,sing),AD=(cos^+—j-l,sin^+—It

3

BCcos。一丄,sin。一BD=cos(6^+yl-^,sin^

22

AC-AD=(cos0-l)cos^+^-I+sin^sin[^+―兀>1=--cos^-cosf^+—兀^1?

323丿'

/.AC-AD+BCBD=3--sin6?--cos19--sinf6>+-|--cosf^+-

222I3丿2I3.

x/3.?3?>/5fI.0丄Gj3(1〃G.j

=37------sint/——cos。---一smJ+——cosJ———cos，--------sin，

22222222

=3—3cos。

.,.當(dāng)cos(9=-l,即。=兀時(shí)，AC-AD+808。的最大值為6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是將向量轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的三角函數(shù)，利用三角恒等變換公式及

三角函數(shù)的性質(zhì)求岀最大值.

四、解答題

17.已知向量°與6滿足卜|=2,慟=1,°與〃的夾角為120.

⑴求:

⑵求內(nèi)+3.；

(3)當(dāng)次為何值時(shí),(3+2B)丄化￡叫?

【答案】(1)-1;

Q)屈;

(3)左=

【分析】(1)利用數(shù)量積的定義直接計(jì)算作答.

(2)利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合(1)的結(jié)論求解作答.

(3)利用垂直關(guān)系的向量表示不解作答.

【詳解】(1)因?yàn)楹?2,慟=1,“與b的夾角為120,所以a功=|“||b|cosl20=2xlx(_g)=-l.

(2)由(1)知。丿=-1，所以|2〃+30=)4/+9。+124為=,4*22+9><>-12=拒.

(3)由(a+力)丄(ka-g),^(a+2b)-(ka-b)=ka2-2b：+(2k-l)a-b=4k-2-(2k-l)=2k-l=0,

解得衣=I，

所以當(dāng)A=g時(shí)，(a+助)丄(hz叫.

18.已知beR,。＞0,復(fù)數(shù)z=a+bi,且忖=石，復(fù)數(shù)z(l+i)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在函數(shù)y=-3x

的圖像上.

⑴求復(fù)數(shù)z；

⑵若z-a(〃"R)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)4的值.

【答案】⑴z=l+2i

(2)2

【分析】(1)利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，得至i」z(l+i)="—〃+(a+b)i,再根據(jù)條件得到6=2a,又由題

設(shè)知/+/=5,從而求出。為得到結(jié)果;

(2)利用(1)中的結(jié)果和復(fù)數(shù)的除法，再結(jié)合條件即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)閦=a+6i(a,&eR),

所以z(l+i)=(a+4)(l+i)=a+ai+6i-6=a-6+(a+b)i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(“-仇。+力，

所以“+b=-3(a-力，得到。=2a,又目=石，

所以〃+。2=5,又00,

2I2c

由：二=,解得H=2,

b=2a

所以z=l+2i.

(2)由(1)知，z=l+2i,

廣―m1、m(l-i)im_tn

所以z-------=1+21——-——-=1——4-z(2+—、)1.,

1+i222

1--=0

2

故，得到加=2.

2+—

2

19.如圖，圓錐的底面半徑〃=1,母線制的長(zhǎng)為3,E為SA上靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)，從點(diǎn)A拉

一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)E.

s

(1)求繩子的最短長(zhǎng)度；

(2)過(guò)E點(diǎn)作一個(gè)與底面平行的截面，將圓錐分為上、下兩部分，其體積分別為匕，匕，求

V2

【答案】(i)M

V,8

⑵可=歷

【分析】Q)將圓錐側(cè)面沿母線SA展開可得一扇形，連接AE,此時(shí)繩子的長(zhǎng)度最短，計(jì)算即可;

(2)上部分圓錐體積為匕，下部分圓臺(tái)體積為匕，設(shè)大圓錐體積為V,分別計(jì)算即可.

【詳解】Q)將圓錐側(cè)面沿母線SA展開可得一扇形，連接AE,此時(shí)繩子的長(zhǎng)度最短,

設(shè)NASE=6,因?yàn)閳A錐的底面半徑r=l,母線SA的長(zhǎng)為3,則

27r

6x3=271x1,所以NASE=y,

在4SKE中，由余弦定理可得AE2=AS2+ES2-2ASEScosAASE=19,

所以AE=M，即最短繩長(zhǎng)為曬.

(2)過(guò)點(diǎn)￡作與底面平行的截面，將圓錐分為上下兩部分,

上部分圓錐體積為匕，下部分圓臺(tái)體積為匕，設(shè)大圓錐體積為V,

貝干嗤

黑即％=#，匕="白《乙

所吟

20.在_A5C中，AB=3,AC=2,A￡＞為NA的平分線，。在BC邊上.

（2）若A￡）=逑，求Z84C.

【答案】（1）近

嗚

【分析】（1）由/840=三冗，得到NBAC=7fT,利用余弦定理，即可求解；

o3

（2）設(shè)/54C=2。，根據(jù)％品=5.8+5△伙?“，結(jié)合面積公式，求得任學(xué)=3,得到cos”也，

sin。2

即可求解.

TT71

【詳解】（1）解：因?yàn)?84。=戸，因?yàn)锳O為/A的平分線，所以NB4C=z，

63

由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosZBAC=32+22-2x3x2x-=J,

2

所以BC=出,即邊8c的長(zhǎng)為近.

（2）解：設(shè)/B4C=26,由SAABC=SAACD+SAB8，

a\^-ABACsm20=-ABADsm0+-ACADsme,

222

中斗.八sin2,_（A8+AC）?A。_r-72

因?yàn)閟in6Qw。，所以~~=~~~~~7—=，2,即cos0——，

sin，AB-AC2

因?yàn)樗詄=；,所以/BAC=g.

jr

21.如圖，某景區(qū)綠化規(guī)劃中，有一塊等腰直角三角形空地ABC,ZBAC=-,BC=30m,Q為BC

2

上一點(diǎn)，滿足5Q=2C0.現(xiàn)欲在邊界A8,AC（不包括端點(diǎn)）上分別選取M,N兩點(diǎn)，并在四邊

7T

形AMQV區(qū)域內(nèi)種植花卉，且=設(shè)NNQC=9.

A

⑴證明:

(2)tan。為何值時(shí)，花卉種植的面積占整個(gè)空地面積的一半?

【答案】(1)證明過(guò)程見解析

(2)tan6=-；時(shí)，花卉種植的面積占整個(gè)空地面積的一半

【分析】(1)先得到NCWQ+N冊(cè)WQ=7C,sinNCNQ=sin再利用正弦定理得到答案.

(2)計(jì)算出整個(gè)空地面積，設(shè)QN=xm,則QM=2xm,利用正弦定理及面積關(guān)系得到

5&45

sj"37tq2(sin6+4cos。)，化弦為切，求出正切值.

TT

【詳解】⑴由題意得％=20m,2C=10m,Z5=ZC=^,

4

ITTT

因?yàn)镹MQN=5，ZBAC=-,四邊形內(nèi)角和等于2兀，

所以NA"Q+NANQ=7T,

又ZAMQ+ZBMQ=n.ZANQ+ZCNQ=n,

所以NCNQ+N8MQ=TC,sinNCNQ=sinNBMQ,

在‘8MQ中,由正弦定理得簿=常而,

在厶。。'中,由正弦定理得黑=CQ

sinNCW。

MQBQ

=證畢;

所以"NQ~~QC=2,

（2）由題意得AB=AC=15萬(wàn)m,故S.匸=；AC=225n?，

TTTT

因?yàn)镹MQN=1,^NQC=0,所以NBQM=1-6,

因?yàn)镹C=；,所以NQNC=^-6,

44

設(shè)QN=xm,貝iJQM=2xm,

x_10

在△CQN中，由正弦定理得當(dāng)=,即証兀.，

sinesm.NC，NQsin彳sinl--trI

lOsin-5五

解得x=八"4.

.(3兀①,

sin*sin-----0

I4

由三角形面積公式得SCNQ=gCQ?QNsinZCQN=5xsin0,

SBMQ=~BQ.QMsinZ.BQM=20xsin一夕)=20xcos0,

1225

故SCNQ+SBMQ=5xsin6+20xcos0=—S=--

2ARcr2

45_

所以X=2(sin?+4cos<9)②，

5045

由①②得sinj処2(sin6+4cos6)，

sin6+4cos69

化簡(jiǎn)得

sin0+cos02

分子分母同除以cos。得