四川省成都市彭州市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期中考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年度上期高中2022級(jí)期中聯(lián)考

數(shù)學(xué)

考試時(shí)間120分鐘，滿分150分

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米的黑色簽字筆

填寫(xiě)清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”.

2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈

后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答

題區(qū)域答題的答案無(wú)效；在草稿紙上、試卷上答題無(wú)效.

3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.袋中裝有4個(gè)大小、質(zhì)地完全相同的帶有不同標(biāo)號(hào)的小球，其中2個(gè)紅球，2個(gè)綠球，甲摸一個(gè)后不放

回，乙再摸一個(gè)，試驗(yàn)所有可能的結(jié)果數(shù)為()

A.8B.9C.12D.16

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)不放回抽取的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)4個(gè)小球分別為4，4,B],B2,則試驗(yàn)結(jié)果為4X3=12.

故選：C

2.某大型聯(lián)考有16000名學(xué)生參加，已知所有學(xué)生成績(jī)的第60百分位數(shù)是515分，則成績(jī)?cè)?15分以上

的人數(shù)至少有()

A.6000人B.6240人C.6300人D.6400人

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)第60百分位數(shù)意義進(jìn)行進(jìn)行求解即可.

【詳解】成績(jī)?cè)?15分及以下人數(shù)為16(XX)x60%=9600,則成績(jī)?cè)?15分以上人數(shù)為

16000—9600=640().

故選：D

3.給出下列命題：

①若空間向量a，人滿足a為＜0，則a與人的夾角為鈍角;

②空間任意兩個(gè)單位向量必相等；

③對(duì)于非零向量3，若a，。=b，c,則a=b；

④若｛&//｝為空間的一個(gè)基底，則｛a+b/+e,c+。｝構(gòu)成空間的另一個(gè)基底.

其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】利用空間向量基本概念及數(shù)量積的定義及運(yùn)算，對(duì)各個(gè)命題逐一分析判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】對(duì)于①，當(dāng)a與。的夾角為兀，滿足a包＜0,所以①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，因?yàn)橄蛄考扔写笮∮钟蟹较?，兩向量相等要滿足方向相同，長(zhǎng)度相等，任意兩個(gè)單位向量，只能

確定長(zhǎng)度相等，所以②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，由a.c=Z?.c,得到（a—人）?c=（）,所以a=。或a—/?與c垂直，所以③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，因?yàn)椋?。?c｝為空間向量的一個(gè)基底，所以a,b,c不共面，故a+Z）,b+c,C+4也不共面，所以

｛a+。,匕+c,c+。｝構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，所以④正確.

故選：B.

4.某地高校有100人參加2023數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，成績(jī)頻數(shù)分布表如下，根據(jù)該表估計(jì)該校大學(xué)生數(shù)學(xué)建模

競(jìng)賽成績(jī)的平均分為

成績(jī)分組/分[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95J

人數(shù)/人42550156

A.59B.59.4C.69D.69.4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算可得.

【詳解】—+60x—+70x—+80x—+90x—=69.4.

100100100100100

故選：D

5.若P(A)=；,P⑻=；，P(AuB)=|,則事件A與B的關(guān)系為()

A.相互獨(dú)立B.互為對(duì)立C.互斥D.無(wú)法判斷

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用和事件概率公式P(AB)=*=P(A)+P(B)—P(A8),求出P(A8)=3,從

66

而得至ijP(AB)=P(A)?P(B),即可判斷出結(jié)果.

5135

【詳解】因?yàn)槭?4/?)=-=P(A)+P(B)-P(AB)=-+——P(AB)=-,

6346

1131

得P(AB)=；,所以243)=1乂1=1=P(A),尸(3),

故選：A.

6.把邊長(zhǎng)為友的正方形ABC。對(duì)角線折起，使得平面加與平面C8D所成二面角的大小為

120。，則異面直線A。與BC所成角的余弦值為()

1133

A.—B.--C.---D.—

4444

【答案】D

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出坐標(biāo)，從而得到AO=(g,-1,-日)，

BC=(l,-l,0),再利用線線角的向量法即可求出結(jié)果.

【詳解】取80中點(diǎn)。，連接A。，CO,以O(shè)C,0B分別為x,y軸，垂直面BOC的直線為Z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系。一型，如圖所示，

因?yàn)锳BCD是邊長(zhǎng)為Q的正方形，所以。4=O8=OC=1,

則3(0,1,0),C(l,0,0),D(0,-l,0),

又易知，OA±BD,OC±BD,所以NAOC為二面角A—BD-C的平面角，

(1拒、

由題知，ZAOC=120°,所以NA0Z=30°,則A--,0,——

22

所以，AD=g,-l,

故cos（A￡）,BC^=ADBC

MW

3

所以，異面直線A。與8c所成角的余弦值為二.

7.某校2023年秋季入學(xué)考試，某班數(shù)學(xué)平均分為125分，方差為S；.成績(jī)分析時(shí)發(fā)現(xiàn)有三名同學(xué)的成績(jī)

錄入有誤，A同學(xué)實(shí)際成績(jī)137分，被錯(cuò)錄為118分；B同學(xué)實(shí)際成績(jī)115分，被錯(cuò)錄為103分；。同學(xué)

實(shí)際成績(jī)98分，被錯(cuò)錄為129分，更正后重新統(tǒng)計(jì)，得到方差為學(xué)，則s；與學(xué)的大小關(guān)系為()

A.s：=s；B.s；>s；C.s；<s；D.不能確定

【答案】C

【解析】

【分析】分析前后的平均分，再根據(jù)方差公式判斷即可.

【詳解】設(shè)班級(jí)人數(shù)為〃(〃>0),因?yàn)?18+103+129=137+115+98,所以更正前后平均分不變，

且(118-125y+(103-125y+(129-125)2=549<(137-125)2+(115-125)2+(98-125)2=973,所以

s：<s；.

故選：C

8.如圖所示的多面體是由底面為ABC。的長(zhǎng)方體被截面AEG尸所截得到的，其中鉆=3,BC=2,

CC,=4,BE=2,則BC中點(diǎn)G到平面AEC尸的距離為()

c

A&R3&「3A/22n9722

11112222

【答案】D

【解析】

【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求點(diǎn)面距離即可.

【詳解】以。為原點(diǎn)，以DA,DC，。尸所在直線為X軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一肛Z,

則A(2,0,0),E(2,3,2),C,(0,3,4),G(l,3,0),

所以AC；=(—2,3,4),AE=(0,3,2),GE=(1,0,2),

n?AE=0

設(shè)〃=(x,y,z)為平面AEC/的法向量，則(

n-ACt=0

3y+2z=0人|，1，

所以V:,“c令z=l，所以〃=

一2x+3y+4z=0

GE-zz9/22

點(diǎn)C到平面A￡C,F的距離為d==絲4

同22

故選：D

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求；全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.一組數(shù)據(jù)%(i=1,2,3,,〃)的平均數(shù)為了，方差為52,新數(shù)據(jù)or,.+c(i=l,2,3,,〃)的平均值為亍，

方差為s'2.下列結(jié)論正確的是()

D.$,2=入2

A.Jc-axB.s'2-cTa1+cC.x1-dx+c

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】若一組數(shù)據(jù)%G=1,2,3,,〃)的平均數(shù)為X,方差為§2,

則新數(shù)據(jù)%+C(i=1,2,3,,〃)的平均值為元-應(yīng)+c,方差為

故選：CD

10.下面結(jié)論正確的是()

A.若事件M與獷相互獨(dú)立，則而與N也相互獨(dú)立

B.若事件M與N是互斥事件，則M與N也是互斥事件

C若P(M)=0.4,P(N)=().3,M與N相互獨(dú)立，則P(MN)=0.58

D.若P(M)=0.6,P(N)=0.4,則“與N互為對(duì)立事件

【答案】AC

【解析】

【分析】由相互獨(dú)立和互斥事件的定義可判斷A、B；由相互獨(dú)立的乘法公式和對(duì)立事件的定義可判斷C,

D.

【詳解】對(duì)于A：若事件M與亓相互獨(dú)立，因?yàn)镸H=M_MN，

所以P(MH)=P(M_MN)=P(W_P(MN)

又P(MW)=P(M)P(M=P(M)[I-P(N)]=P(M)-P(M)P(N),

所以P(M/V)=P(M)P(N),所以事件M與N相互獨(dú)立，

所以P(而N)=P(N_/VM)=P(N)-P(NM)

=P(N)-P(N)P(M)=P(N)[I-P(M)]=P(N)PW

所以而與N相互獨(dú)立事件，故A正確；

對(duì)于B：若事件M與耳是互斥事件，如擲一枚骰子出現(xiàn)1、2、3點(diǎn)記為事件M，

出現(xiàn)1、2、3、4點(diǎn)記為事件N,則討為出現(xiàn)5、6點(diǎn)，

滿足事件M與斤是互斥事件，顯然M與N不互斥事件，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若P(M)=0.4,P(N)=0.3,"與N相互獨(dú)立,

則N）=P（M）+P（N）—P（M/V）=0.4+0.3—P（M）P（N）=0.7—0.4x0.3=0.58,故C正

確；

對(duì)于D：如從110共10個(gè)整數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，

記抽到1、2、3、4、5、6為事件則P（M）=0.6,

記抽到1、2、3、4為事件N,則尸（N）=0.4,

顯然M與N不為對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤；

故選：AC

11.某單位健康體測(cè)，男性平均體重為64千克，方差為151：女性平均體重為56千克，方差為159,男女

人數(shù)之比為5:3,該單位全體工作人員平均體重了和方差52分別為（）

A.元=61B.x=60C../=]55D.$2=169

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式計(jì)算可得.

【詳解】依題意，設(shè)男性人數(shù)為5。（“＞（））,女性人數(shù)為3a,

該單位全體人員體重的平均數(shù)為：無(wú)=—―x64+——x56=61,

5a+3。5。+3a

所以該單位全體人員體重的方差為：|X[151+（64-61）2]+|X[159+（56-61）2]=169.

故選：AD

12.如圖，在四棱錐S-ABC。中，底面ABCD是正方形，￡4J_底面ABC。，S4=AB=2,點(diǎn)。是

AC中點(diǎn)，點(diǎn)”是棱SD的上動(dòng)點(diǎn)（M與端點(diǎn)不重合）.下列說(shuō)法正確的是（）

9

A.從A、0、C、S、M,O六個(gè)點(diǎn)中任取三點(diǎn)恰能確定一個(gè)平面的概率為一

10

3

B.從A、。、C、S、M、。六個(gè)點(diǎn)中任取四點(diǎn)恰能構(gòu)成三棱錐的概率為一

C.存在點(diǎn)“，使直線與AB所成的角為60°

D.不存在點(diǎn)〃，使0M〃平面SBC

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)共面的性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式逐一判斷即可.

【詳解】任取3點(diǎn)，有20個(gè)樣本點(diǎn)，除開(kāi)4、。、C和5、。分別共線，其余18種均不共線，故概

29

率為1-----=—；

2010

93

任取4點(diǎn)，共有15個(gè)樣本點(diǎn)；每條直線上任取2個(gè)點(diǎn)，則共有9個(gè)樣本點(diǎn)，故概率為話='.

故A、B正確.

以A為空間原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

A(0,0,0),。(0,2,0),。(2,2,0),5(0,0,2),6(2,0,0),0(1,1,0),

設(shè)/te(0,l),設(shè)A/(x,y,z),

則有(X,y-2,z)=4(0,-2,2)=>M(0,2-2/1,2/1),

則OM=(—1,1一2/1,2/1),AB=(-2,0,0),

21

cos(/4B,OM

網(wǎng).0間^1+(1-22)2+422x2萬(wàn)

解得4%2_2/1-1=0，A=(-2)2+16>0,方程有解，故C正確.

設(shè)平面SBC的法向量加=(ahc),

BC=(0,2,0),Sfi=(2,0,-2),

n-BC=2b=Q

則有，=>n=(l,0,l),

n-SB=2a-2c=0

由。M?幾=0，可得24=1=>4=5，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用空間向量夾角公式、空間向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某射擊運(yùn)動(dòng)員每次擊中靶心的概率均為0.6.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中2

次的概率：先由計(jì)算器算出。到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0,1,2,3表示沒(méi)有擊中靶心，4,5,

6,7,8,9表示擊中靶心；因?yàn)樯鋼?次，故以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬

產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：

8636029371409857572703474373964746983312

6710037162332616959780456011366142817424

據(jù)此估計(jì)，該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中2次靶心的概率為.

3

【答案】-##0.75

4

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，結(jié)合古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】恰好0次擊中包含3321一個(gè)樣本點(diǎn)，

恰好1次擊中包含6233,0293,0371,6011四個(gè)樣本點(diǎn)，

故至多擊中一次包含五個(gè)樣本點(diǎn)，對(duì)立事件至少2次擊中則包含15個(gè)樣本點(diǎn)，

153

故概率為—=—.

204

3

故答案為：

4

14.某區(qū)從11000名小學(xué)生、10000名初中生和4000名高中生中采用分層抽樣方法抽取〃名學(xué)生進(jìn)行視力測(cè)

試，若初中生比高中生多抽取60人，則〃=.

【答案】250

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣等比例抽取的性質(zhì)，列出等式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)小學(xué)生抽取的人數(shù)為々，高中生抽取的人數(shù)為％，則初中生抽取的人數(shù)為%+60,

所以嬴=藻=嬴

解得%=40,?1=110

從而〃=〃]+/+60+%=250.

故答案為：250

15.某高中的獨(dú)孤與無(wú)極兩支排球隊(duì)在校運(yùn)會(huì)中采用五局三勝制(有球隊(duì)先勝三局則比賽結(jié)束).第一局獨(dú)

孤隊(duì)獲勝概率為0.4,獨(dú)孤隊(duì)發(fā)揮受情緒影響較大，若前一局獲勝，下一局獲勝概率增加0.1,反之降低

0.1.則獨(dú)孤隊(duì)不超過(guò)四局獲勝的概率為.

【答案】0.236

【解析】

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率公式計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)A(i=1，2,3,4)為獨(dú)孤隊(duì)第i局取勝,

由題意，獨(dú)孤隊(duì)取勝的可能結(jié)果為四個(gè)互斥事件：A44，AAAA'AAAA>

所以獨(dú)孤隊(duì)取勝的概率用

P=P(44A)+P(4444)+P(4AAJ+P(442AAJ

=0.4x0.5x0.6+0.4x0.5x0.4x0.5+0.4x0.5x0.4x0.5+0.6x0.3x0.4x0.5=0.236.

故答案為：0.236

16.已知空間向量a,h.c兩兩之間的夾角均為60。，且時(shí)=2,忖=6,|c|=2,若向量后y分別滿

足y-(y+a-0)=0與元1=12,則|了-目的最小值為.

【答案】5-幣林-幣+5

【解析】

【分析】由題意可得丁―與g=e,令〃=2二巴，可得出一〃|=療且pc=2,利用數(shù)量積的性質(zhì)得

22

出25,最后由模的三角不等式僅一目="_〃)_(》一〃)閆(％_〃)_('_〃)|可得結(jié)論.

【詳解】依題意a?/?=2x6xcos60。=6,=2x2xcos60°=2,h*c=6x2xcos60°=6，

(A-Y(h-,y\

因?yàn)閥(y+a_〃)=0,所以y2-y.(/,_a)=y———-----=0,

I2JI2,

..(b—a\b'-2d,,b+a~..b—(inz

所dr以y------=---------------=7,d所r以>一——=V7,

242

人b-api、jh-abc-a-c.

令〃=——,則|y_p|=j7,且ap?c=——-c=------------=2,

由元^=12,得12—2=%1一〃1=(x—〃)1<h一〃|?同，所以,一p|2T=5,

所以,一目=|(^_/?)_(刀_「)|斗(％―/?)_(^_0)|25—77,

uu

當(dāng)且僅當(dāng)x-p,y-2共線同向且》-〃，c共線時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：5-V7.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是把已知條件由”(y+“一人)=0結(jié)合已知變形得出>—三?=J7,引入

向量p=—,可得|y-p|=J7,從而得到打一〃|的最小值，從而由向量模的三角不等式得出結(jié)論.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.某稻谷試驗(yàn)田試種了A,B兩個(gè)品種水稻各10畝，并在稻谷成熟后統(tǒng)計(jì)了這20畝地的稻谷產(chǎn)量如下

表，記A,B兩個(gè)品種各10畝產(chǎn)量的平均數(shù)分別為亍和歹，方差分別為S：和S；.

A（單位：10kg）60635076718575636364

B（單位:10kg）56626068787576626370

(1)分別求這兩個(gè)品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù)；

(2)求彳，y,S；,S；；

(3)依據(jù)以上計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，推廣種植A品種還是8品種水稻更合適.

【答案】17.極差：A產(chǎn)品為35,B產(chǎn)品為22,中位數(shù)：A產(chǎn)品為63.5,8產(chǎn)品為65.5；

18.于=67,亍=67；=88,Sj=51.2；

19.推廣B品種水稻更合適.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)中位數(shù)以及極差的計(jì)算公式即可求解，

(2)根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可求解，

(3)由平均數(shù)相同，方差越小越穩(wěn)定即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

由表中數(shù)據(jù)可知，A產(chǎn)品的產(chǎn)量從小到大排列為50,60,63,63,63,64,71,75,76,85,故A產(chǎn)品的極差為

85-50=35,中位數(shù)為處且=63.5

2

8產(chǎn)品的產(chǎn)量從小到大排列為56,60,62,62,63,68,70,75,76,78,8產(chǎn)品極差為78-56=22,中位數(shù)位

63+68*u

------=65.5；

2

【小問(wèn)2詳解】

…_60+63+50+76+71+85+75+63+63+64廠

由題意：x=--------------------------------------=67,

10

,56+62+60+68+78+75+76+62+63+70―

y=---------------------------------------=67,

小問(wèn)3詳解】

結(jié)合第（2）問(wèn)可知A,8兩個(gè)品種水稻的產(chǎn)量平均數(shù)一樣，但是B的方差較小，較穩(wěn)定，所以推廣8品種

水稻更合適.

18.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABCO為正方形，底面ABC。，AB=1.PA=2,點(diǎn)、E

（1）用向量AB，AD'AP表示向量PE：

（2）求E”的長(zhǎng).

【答案】（1）PE=AB+-AD~AP

2

（2）叵

6

【解析】

【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；

（2）首先用向量AB，AD-AP表示向量E"，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，所以==

22

所以PE=/^+A8+BE=AB+!AO—AP；

2

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)H在線段PD上且DH=-DP,

3

一2一

所以PH=—PO,

3

22/x2-2

所以P〃=—PQ=—（AO—AP）=—AO——AP,

33、>33

所以=一-

因?yàn)樵谒睦忮FP—ABC。中，底面ABC。為正方形，B4_L底面ABCD，AB,A。u底面ABC。

所以他，4）,PA±AB,PA±AD,

則AOA6=ADAP=A8AP=0，

鑫同2=f^AD-AB+|API

I-22121I2I453

=—AD+AB+-AP——ADAB+-ADAP——AB-AP=-+\+-=—,

36939336936

??仲卜等

19.藥品監(jiān)督局檢測(cè)某種產(chǎn)品的兩個(gè)質(zhì)量指標(biāo)x,y,用綜合指標(biāo)Q=ry核定該產(chǎn)品的等級(jí).若Q<4,

則核定該產(chǎn)品為一等品.現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取io件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標(biāo)列表如下:

產(chǎn)品編號(hào)4A4A4

質(zhì)量指標(biāo)(x,y)(1,2)(2,2)(2,4)(1,3)(2,3)

產(chǎn)品編號(hào)4444A()

質(zhì)量指標(biāo)(x,y)(1,5)(3,1)(2,1)(1,1)(2,3)

(1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率；

(2)在該樣品的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，設(shè)事件8為“在抽取的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)

均滿足。43”，求事件8的概率.

【答案】(1)0.6；

(2)

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題設(shè)得到產(chǎn)品編號(hào)與綜合指標(biāo)。的表格，應(yīng)用古典概型的概率求法求一等品率；

(2)列舉法求事件B的概率即可.

【小問(wèn)1詳解】

由題設(shè)可得如下表格，

產(chǎn)品編號(hào)A為4AAA4A4Ao

Q2483653216

又Q44則核定該產(chǎn)品為一等品，故一等品共有6個(gè)，所以一等品率為4=0.6；

【小問(wèn)2詳解】

由題意，一等品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品有

(44),(4,4),(4,4)，(A，4)，(A，4)，(&&)，(4，4)，(&4)，

(4,4),(4,4),(4,4),(4,4),(g4),(4,4),(4,4),共15種,

其中事件B為(4,4),(44),(4,4),(A，4)

(A，4),(4,4),(4,4),(4,4)，(4,4)，(4,4)，共1。種

所以P(8)=2

3

20.如圖四邊形ABCO是平行四邊形，ZCBA=-,四邊形A3EF是梯形，BE//AF,且ABLA",

4

AB=BE=；AF=1,BC=O,沿AB將四邊形ABC。翻折后使得平面ABC。上平面河所.

(1)求證：Ef_Z平面ACE；

(2)求二面角A—CE—。的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵在

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)三角形的邊角關(guān)系，可由余弦定理以及勾股定理證明線線垂直，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)

即可求證，

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

連接AE，CA,由于AB_LAF,AB=BE=—AF=1,

2

所以AE=0AB=&,NBAE=NAEB=45，

由余弦定理得EF=yjAE2+AF2-2AE-AFcos45=^2+4-2x>/2x2x^=0，

AE=EF=—AF，：.AE±EF,

2

兀

BC=\/2，AB=1?Z.CBA=—，

4

AC=VBC2+B^-2BC-BAcos45=^2+l-2xV2xlx^^

由于+.AC^AB,

平面A3CD上平面平面ABC。。平面=C4u平面ABC。,

.：4。1平面43￡/，EFu平面ABEF,

.-.AC±EF,ACcA￡=A,AC,AEu平面ACE,

.?.EV_L平面ACE；

【小問(wèn)2詳解】

以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，40,0,0),C(0,0,l),￡(1,1,0),￡>(-1,0,1),

AC=(0,0,1),AE=(1,1,0),C￡=(l,l,-1),即=(—

設(shè)平面ACE和平面CED的法向量分別為m=(%%,z0),〃=(5,y,zJ,

z0=0

-,IRX=-1,7/7=(-1,1,0),

[%+%=°O

-x.-y.+z,=0

3'八，取y=l,..."=(0,1,1),

-2jC]-y+Z]=0

z、mn11

,"刈=麗=反7T5，

設(shè)二面角的平面角為e,

21.某中學(xué)參加成都市數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽結(jié)束后，為了解競(jìng)賽成績(jī)情況，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，

得到他們的成績(jī)，將數(shù)據(jù)整理后分成五組：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并繪制

成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）補(bǔ)全頻率分布直方圖，若只有20%的人能進(jìn)決賽，入圍分?jǐn)?shù)應(yīng)設(shè)為多少分（保留兩位小數(shù)）；

（2）采用分層隨機(jī)抽樣的方法從成績(jī)?yōu)?0~100的學(xué)生中抽取容量為6的樣本，再?gòu)脑摌颖局须S機(jī)抽取3

名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，求至少有1名學(xué)生成績(jī)不低于90的概率；

（3）進(jìn)入決賽的同學(xué)需要再經(jīng)過(guò)考試才能參加冬令營(yíng)活動(dòng).考試分為兩輪，第一輪為筆試，需要考2門

學(xué)科，每科筆試成績(jī)從高到低依次有A+，A,B,C,。五個(gè)等級(jí).若兩科筆試成績(jī)均為A+，則直接

參加：若一科筆試成績(jī)?yōu)锳+,另一科筆試成績(jī)不低于8,則要參加第二輪面試，面試通過(guò)也將參加，否

則均不能參加.現(xiàn)有甲、乙、丙三人報(bào)名參加，三人互不影響.甲在每科筆試中取得4+,A，B,C,

211131

。的概率分別為一，一，一，一，—；乙在每科筆試中取得A+，A，B,C,O的概率分別為一,

56125204

—>一,—,—；丙在每科筆試中取得A+，A,B,C,。的概率分別為一，一，—，—,—

5510203552060

甲、乙、丙在面試中通過(guò)的概率分別為1，—,求甲、乙、丙能同時(shí)參加冬令營(yíng)的概率.

5169

【答案】21.圖形見(jiàn)解析，78.75

【解析】

【分析】（1）首先求出［70,80）的頻率，再根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；

（2）首先求出各組的人數(shù)，再根據(jù)古典概型及對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得；

（3）首先求出甲、乙、丙能參加冬令營(yíng)的概率，再根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得.

【小問(wèn)1詳解】

由頻率分布直方圖可知［70,80）的頻率為1—（0.015+0.030+0.010+0.005）x10=0.40,

所以［70,80）組的縱軸為0.40+10=0.040，

所以頻率分布直方圖如下所示:

又(0.010+0.005)X10=0.15<0.2,0.4+(0.010+0.005)x10=0.55>0.2,

所以第80%分位數(shù)位于［70,80),且空尚電x10+70=78.75,

所以入圍分?jǐn)?shù)應(yīng)設(shè)為78.75分;

【小問(wèn)2詳解】

依題意［8。,9。)抽取6?前需0.005

4人，［90,100］抽取6?2人,

0.01+0.005

6xSx4

從6人中隨機(jī)選3人一共有名石不=20中選法，其中3人都是［80,90)的有4中選法,

設(shè)事件A：“至少有1名學(xué)生成績(jī)不低于90”，則P(4)=l-尸(,)=1—，=：；

【小問(wèn)3詳解】

222(11>11

依題意甲能參加冬令營(yíng)的概率用=-x-+2x—x—+—x—=—,

555\612J55

乙能參加冬令營(yíng)的概率七=：x；+2x；x(+|x55

1632

丙能參加冬令營(yíng)的概率為=：—x-+2x—xf—4-—jx—=—,

所以甲、乙、丙能同時(shí)參加冬令營(yíng)的概率

中內(nèi)532396

22.如圖，已知平行六面體ABC。-AgGA的側(cè)棱長(zhǎng)為3,底面是邊長(zhǎng)為4的菱