四川省綿陽市涪城區(qū)2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試卷

2023-2024學年四川省綿陽市涪城區(qū)九年級第一學期期中數(shù)學試

卷

一.選擇題：本大題共12個小題，每小題3分，共36分。在每個小題給出的四個選項中，

只有一個是符合題目要求的。

1-在一元二次方程-f-4x+l=0中，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是（）

A.-1,4B.-1,-4C.1,4D.1,-4

2.用配方法解方程/+法-5=0時，下列配方結(jié)果正確的是（）

A.（x-1）2=5B.（x+1）2=6C.（x+1）2=7D.（x-1）2=6

3.下面圖形是用數(shù)學家名字命名的，其中是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）

笛卡爾心形線

?斐波那契螺旋線

4.巴人廣場中心標志性建筑處有高低不同的各種噴泉，其中一支高度為1米的噴水管最大

噴水高度為3米，此時噴水水平距離為■米，在如圖所示的坐標系中，這支噴泉的函數(shù)

關(guān)系式是（）

B

14

C.y=-8（x方）+3D.y=-8（x+y）+3

5.下列關(guān)于x的一元二次方程中有兩個相等的實數(shù)根的是（）

A.（X-3）2=4B.^=xC.x2+2x+l=0D.x2-16=0

6.某商場第1年銷售計算機5000臺，如果每年的銷售量比上一年增加相同的百分率先第

3年的銷售量為y臺，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為()

A.y=5000(l+2x)B.>-=5000(1+x)2

C.5000+21-D.y=5000x2

7.若將一個二次函數(shù)的圖象向下平移2個單位，再向左平移3個單位，所得函數(shù)解析式是

y=》，那么這個函數(shù)解析式為()

A.y=—(x+3)2-2B.y=—(x+3)2+2

22

C.y=—(x-3)2-2D.y=—(x-3)2+2

22

8.如圖，在△ABC中，AB=AC,NA=30°,D,E分別在AB、AC上，-1,且

△BED是等腰直角三角形，其中N8E3=90°，則AD的值是()

A.1B.百C.V3-1D.

9.已知關(guān)于x的一元二次方程/+2%=4x有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是

()

A,機22B.機<2C.m》0D.m<0

10.定義新運算：對于兩個不相等的實數(shù)a,b,我們規(guī)定符號，次狀{a,6}表示a,6中的較

大值，如：max{1,3}=3,因此-3)=-1；按照這個規(guī)定，若-x]

x~2x-l；則x的值是()

2

A.-1B.-1或2+遙C.2+75D.1或2-代

11.如圖，將RtzMBC繞著直角頂點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A"C,貝叱CC'A的

度數(shù)為()

B

A.30°B.45°C.60°D.90°

12.對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值滿足：當-IWxWl時，-IWyWl,則稱

這個函數(shù)為"閉函數(shù)".例如：y=x,y=-x均是“閉函數(shù)".己知y=ax1+bx+c

0)是“閉函數(shù)”且拋物線經(jīng)過點A(l,-1)和點8(-1,1),則。的取值范圍是()

A.弓<a4/B.卷<a<0或0<a<￡

C.-IWaWlD.-1W“<O或OVaWl

二.填空題(共6小題，每小題3分，滿分18分)

13.若y=(n+2)xn~切x+1是關(guān)于自變量x的二次函數(shù)，則〃=.

14.已知點A(3a-9,2-a)關(guān)于原點對稱的點為A',點4關(guān)于x軸對稱的點為4",

點A"在第四象限，那么a的取值范圍是.

15.如圖，把RtAABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)40°,得到RtAAB'C,點C'恰好落在邊AB

上，連接29,則/C'B'B的度數(shù)是.

16.如圖，正方形EFG4的頂點在邊長為2的正方形的邊上.若設(shè)A￡=x,正方形EFGH

的面積為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系為

17.如圖，點P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且PA=娓,PB=?,PC=2衣，則N

圖象的一部分，其對稱軸是直線x=-l,且過點（-3,

0）,有以下結(jié)論：①必c>0；②4a+2b+c>0；③a-bW機（帥+b）（機為任意實數(shù)）；

④若方程a(x+3)(1-x)=-1的兩根為xi,X2,且xi<X2,則-3<XI<X2<1,其中

三.解答題（共6小題，滿分46分）

19.在下面的網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）中按要求畫出圖形并解答：

（1）先將AABC向下平移5格得△ABC”再將aABC以點O為旋轉(zhuǎn)中心，沿順時針

方向旋轉(zhuǎn)90°得282c2；

（2）請在圖中以點O為坐標原點，建立適當直角坐標系，寫出此時點4、&、C2的坐

20.如圖，已知拋物線y=-9+（m-1）x+機的對稱軸為x=l,請你解答下列問題:

（I）求〃1的值；

（II）求出拋物線與X軸的交點；

（III）當y隨X的增大而減小時X的取值范圍是

（IV）當y<0時,x的取值范圍是.

21.某公司的商品進價每件60元，售價每件130元，為了支持“抗新冠肺炎”，每銷售一

件捐款4元.且未來30天，該商品將開展每天降價1元”的促銷活動，即從第一天起每

天的單價均比前一天降1元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，設(shè)第x天（1WXW30且x為整數(shù)）的銷量

為>件，y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，其對應(yīng)數(shù)據(jù)如表：

X（天）......1357......

y（件）......35455565......

（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在這30天內(nèi)，哪一天去掉捐款后的利潤是6235元？

（3）設(shè)第x天去掉捐款后的利潤為W元，試求出W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出哪

一天的利潤最大，最大利潤是多少元？

22.如圖，長為10，"的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8%如果梯子的

底端滑動1相，求梯子頂端下滑的區(qū)間.（精確到01米）

區(qū)&

23.某學?；顒有〗M探究了如下問題,清你都助他們完成解答過程:

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1,ZVIBC中，AB=AC,/BAC=90°,。為邊8C上的一點，連

接AD,作/尸4。=90。，并截取連接。尸.求證：BD2+CD2=D/^；

(2)靈活運用：如圖2,在四邊形ABC。中，AC,8。是對角線，AABC是等邊三角形,

ZADC=30°,>4D=3,BD=5,求CD的長.

24.如圖，在頂點為P的拋物線〉=4(乂-〃)2+&(4/0)的對稱軸/上取點4",k+上),

4a

過4作BC，/交拋物線于8、C兩點(8在C的左側(cè))，點4'和點A關(guān)于點P對稱；

過A'作直線機，/,又分別過點8、C作BE,機和CD，”?，垂足為E、D.在這里我們

把點A叫此拋物線的焦點，8c叫此拋物線的直徑，矩形BCOE叫此拋物線的焦點矩形.

(1)直接寫出拋物線y=/的焦點坐標以及直徑的長.

(2)求拋物線y=J(X-3)2+2的焦點坐標以及直徑的長.

(3)已知拋物線y=a(x-/7)2+k50)的直徑為得，求a的值.

(4)①已知拋物線y=ar+6x+c(”#0)的焦點矩形的面積為2,求”的值.

②直接寫出拋物線(x-3)2+2的焦點矩形與拋物線丫=/-2g+/+1有兩個公共

參考答案

一.選擇題：本大題共12個小題，每小題3分，共36分。在每個小題給出的四個選項中，

只有一個是符合題目要求的。

1.在一元二次方程-4x+l=0中，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是()

A.-1,4B.-1,-4C.1,4D.1,-4

【分析】分別根據(jù)一元二次方程的一般形式中二次項系數(shù)和一次項系數(shù)的定義解答即

可.

解：一元二次方程-必-4+1=0中，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是-1,-4.

故選：B.

【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式是：以2+bx+c=O(?,b,c是常數(shù)且a#

0).在一般形式中以2叫二次項，打叫一次項，c是常數(shù)項.其中a,b,c分別叫二次

項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項.

2.用配方法解方程必+2》-5=0時，下列配方結(jié)果正確的是()

A.(x-1)2=5B.(x+1)2=6C.(x+1)2=7D.(x-1)2—6

【分析】此題實際上是把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù).

解：移項，得

配方，得

X2+2X+1=5+1,

即(x+1)2=6,

故選：B.

【點評】本題考查了配方法解一元二次方程.用配方法解一元二次方程的步驟：

(1)形如N+px+q=0型：第一步移項，把常數(shù)項移到右邊；第二步配方，左右兩邊加

上一次項系數(shù)一半的平方；第三步左邊寫成完全平方式；第四步，直接開方即可.

(2)形如加+云+。=0型，方程兩邊同時除以二次項系數(shù)，即化成V+px+qnO,然后配

方.

3.下面圖形是用數(shù)學家名字命名的，其中是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是()

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷后利用排除法求解.

解：A、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故本選項符合題意；

8、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

C、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

￡＞、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：A.

【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖

形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原

圖重合.

4.巴人廣場中心標志性建筑處有高低不同的各種噴泉，其中一支高度為1米的噴水管最大

噴水高度為3米，此時噴水水平距離為■米，在如圖所示的坐標系中，這支噴泉的函數(shù)

關(guān)系式是（）

[1

A-了=-6n)+3B-y=3(x-y)+1

]2]2

c.y=-8(x?)+3D.y=-8(x+y)+3

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進行解答即可.

解：根據(jù)圖象知：

拋物線開口向下，頂點（/，3）,

答案B。不符合.

把點(0,1)代入答案A、C檢驗，該點滿足C.

故選：C.

【點評】在明確拋物線頂點的情況下，設(shè)拋物線頂點式，用拋物線經(jīng)過的另外一點檢驗

或者求“值.

5.下列關(guān)于x的一元二次方程中有兩個相等的實數(shù)根的是()

A.(x-3)2=4B.x2=xC.x2+2x+l=0D.x2-16=0

【分析】通過解方程求得方程的解或根據(jù)根的判別式△=加-4ac的值的符號判斷即可.

解：A、(x-3)2—4,

.,.x-3=±2,

??X1-1rX2=5,

故本選項不符合題意；

B、\'x2—x,

.'.x2-x=0,

'.x(x-1)=0,

；.X1=O,X2—\,

故本選項不符合題意；

C、△=22-4X1X1=0,該方程有兩個相等實數(shù)根.故本選項符合題意；

D、A=O2-4X1X(-16)=64>0,該方程有兩個不相等的實數(shù)根.故本選項不符合

題意；

故選：C.

【點評】此題主要考查了根的判別式.總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)

系：(1)△>()=方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)A=0o方程有兩個相等的實數(shù)根；

(3)AVOo方程沒有實數(shù)根.

6.某商場第1年銷售計算機5000臺，如果每年的銷售量比上一年增加相同的百分率x,第

3年的銷售量為y臺，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為()

A.y=5000(l+2x)B.y=5000(1+x)2

C.y=5000+2%D.y=5000^

【分析】首先表示出第二年的銷售量為5000(1+x),然后表示出第三年的銷售量為5000

(1+x)2,從而確定答案.

解：設(shè)每年的銷售量比上一年增加相同的百分率x,

根據(jù)題意得:y=5000(1+x)2,

故選：B.

【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)的關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是分別表示出第二

年和第三年的銷售量，難度中等.

7.若將一個二次函數(shù)的圖象向下平移2個單位，再向左平移3個單位，所得函數(shù)解析式是

y=#,那么這個函數(shù)解析式為()

A.y=—(x+3)2-2B.y=—(x+3)2+2

22

C.y=—(x-3)2-2D.y=—(x-3)2+2

22

【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律.

解：yg(x-3)2+2向下平移2個單位，再向左平移3個單位得尸家.

故選：D.

【點評】考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減.

8.如圖，在△ABC中，AB=AC,NA=30°,D、E分別在A3、AC上，CE=?-I,且

△BE。是等腰直角三角形，其中N8E￡>=90°,則A。的值是()

A.1B.73C.V3-1D.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得：NA8C=NC=75°,BC=

BE,作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明絲△EG。(A45),得EG=BH,EH=

DG,根據(jù)直角三角形30度的角性質(zhì)得AO=2OG,可得出答案.

解：在△ABC中，AB=AC,NA=30°,

.../ABC=/C=75°,

AD5￡是等腰直角三角形,

:.NDBE=45°,

：.ZCBE=3QQ,

AZBEC=15°=ZC,

:?BC=BE,

過。作。GJ_AC于G,過8作3H_LAC于H,

VZBED=90°,

JZBEH+ZDEG=ZBEH+ZEBH=90°,

：.ZDEG=ZEBH,

?;BE=DE,/BHE=NEGD=90°,

:?4BHEmAEGD(A4S),

:?EG=BH,EH=DG,

為△ADG中，NA=30°,

：.AD=2DGt

?:BC=BE,BHA.CEf

:?CE=2EH=2DG=AD=M-1,

故選：C.

【點評】此題主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度

角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解本題的關(guān)鍵是

證明四△EGD.

9.已知關(guān)于x的一元二次方程/+2m=4x有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是

()

A.B.m<2C.m20D.m<0

【分析】先將方程化為一般形式，再根據(jù)根的情況得出△=(-4)2-4XlX2/n>0,解

之可得答案.

解：'.'x1+2m=4x,

Ax2-4x+2m=0,

根據(jù)題意，得：△=（-4）2-4X1X2?I>0,

解得m<2,

故選：B.

【點評】本題主要考查根的判別式，一元二次方程加+fov+c=O（4云0）的根與△=〃-

4ac有如下關(guān)系：

①當△>（）時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當A=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當A<0時，方程無實數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

10.定義新運算：對于兩個不相等的實數(shù)a,b,我們規(guī)定符號加依他，的表示“，6中的較

大值，如：，”"{1,3}=3,因此n7ax{-1,-3}=-l；按照這個規(guī)定，若/wax{x,-x}

2

=x-2x-l,則x的值是（）

2

A.-1B.-1或2+收C.2+V5D.1或2-依

【分析】根據(jù)新定義分x>0和x<0列出方程，再分別求解可得.

解：若x>-x,即x>0,則x=x'2x-l

解得x=2+F（負值舍去）；

2

若x<-x,即x<0,則-x=*-2xT,解得x=_］（正值舍去）；

2

故選：B.

【點評】本題主要考查了新定義和解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的

幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合

適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，將Rt^ABC繞著直角頂點4順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A8'C,則NCC'A的

度數(shù)為（)

B

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到AC=AC',從而不難求得/CC'A的度數(shù).

解：由題意可得，AC=AC,NC48=90°,則NCC'A=45°,故選艮

【點評】此題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出AC=AC是關(guān)鍵.

【鏈接】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段

的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

12.對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值滿足：當-IWxWl時，-IWyWl,則稱

這個函數(shù)為"閉函數(shù)".例如：y=x,y=-x均是"閉函數(shù)".已知曠=加+法+。(“W

0)是“閉函數(shù)”且拋物線經(jīng)過點A(l,-1)和點夙-1,1),則〃的取值范圍是()

A.B.總<a<0或0<a<￡

C.-IWaWlD.-lWa<0或0<aWl

【分析】把A、B的坐標代入函數(shù)解析式，即可求出a+c=O,b=-l,代入得出拋物線

表達式為y=o^-x-a(。20),得出對稱軸為x=(，再進行判斷即可.

解：:拋物線y=ax1+bx+c(aWO)經(jīng)過點A(1,-1)和點8(-1,1),

/.a+h+c=-1?a-/?+<?=1②

①+②得：〃+c=0即。與c互為相反數(shù)，

①"②得：b=-1；

所以拋物線表達式為丁=加-x-a(aWO),

...對稱軸為

2a

當。<0時，拋物線開口向下，且*=上<0,

2a

;拋物線y—a^--x-a(tz^O)經(jīng)過點A(1,-1)和點B(-1,1),

畫圖可知，當時符合題意，此時-

2a2

同理，當“>0時，拋物線開口向上，且尤=[->0,

綜上所述：a的取值范圍是-"^■Wa<0或

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，能靈活運

用性質(zhì)和已知函數(shù)的新定義求解是解此題的關(guān)鍵.

二.填空題(共6小題，每小題3分，滿分18分)

13.若丫=6+2h"-2皿+1是關(guān)于自變量％的二次函數(shù)，則〃=2.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義可得〃2-2=2且"+2W0,求解即可.

解：???y=(n+2)xn\mx+l是關(guān)于自變量x的二次函數(shù)，

n2-2=2且〃+2W0,

解得n=2,

故答案為：2.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

14.已知點A(3a-9,2-a)關(guān)于原點對稱的點為A',點A'關(guān)于x軸對稱的點為A”,

點A"在第四象限，那么。的取值范圍是2<a<3.

【分析】先根據(jù)對稱性得出A"(9-3a,2-a),然后根據(jù)第四象限內(nèi)點的橫坐標大于

0,縱坐標小于0,列出不等式組，解不等式組即可.

解：..?點A(3a-9,2-a)關(guān)于原點對稱的點為A',

.'.A'(9-3a,?-2),

???點A'關(guān)于x軸對稱的點為A",

：.A"(9-3a,2-a),

?.?點A”在第四象限，

f9-3a>0

：.<,，

2-a<0

解得：2<a<?>.

故答案為：2<aV3.

【點評】本題主要考查了平面直角坐標系中點的坐標特點，關(guān)于x軸對稱的點的特點，

>0

關(guān)于原點對稱點的特點，解題的關(guān)鍵是列出關(guān)于。的不等式組,.

2-a<0

15.如圖，把RtZ\ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)40°,得到RtAAB'C,點C'恰好落在邊AB

上，連接88',則NC'B'B的度數(shù)是20°.

【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求得AB=AB,NBA￡=40°,進而得到AAB斤中，Z

ABB'=70°,再根據(jù)/C=90。,在RtZxBCB'中，求得/UB'8即可.

解：?.?把RtZkABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)40°,得到RtZ\AB'C,

：.AB=AB\NBAB'=40°,

???NA8'B=NAB8,

ZABH'=—X(180°-40°)=70°,

2

又?.?N4CB'=NC=90°,

...n△BOB'中，ZCB'B=90°-70°=20°.

故答案為：20。.

【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距

離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

16.如圖，正方形EFG”的頂點在邊長為2的正方形的邊上.若設(shè)AE=x,正方形EFGH

的面積為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系為v=2F-4x+4.

【分析】由A4S證明△AHE彩△BEE得出AE=BF=x,AH=BE=2-x,再根據(jù)勾股定

理，求出EH2,即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

解：如圖所示：

???四邊形ABCD是邊長為2的正方形,

二乙4=/8=90°,A8=2.

.??Zl+Z2=90",

:四邊形EFG”為正方形，

:.NHEF=90°,EH=EF.

.?.Zl+Z3=90°,

.\Z2=Z3,

在△4HE與△8EF中，

2A=NB

V'N2=N3，

EH=FE

.?.△AHE注ABEF(AAS),

'.AE=BF=x,AH=BE=2-x,

在Rta4HE中，由勾股定理得：

EW2=A￡2+A//2=f+(2-x)2="-4x+4；

即y=2%2-4x+4(0<x<2),

故答案為：y=2^-4x+4.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，本題難度適

中，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，點P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且PA=QPB=如,PC=2&,則/

APB的度數(shù)為150°.

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PB=EB,/EBP=NA8C=60°,可得△PBE為等邊三角

形，由勾股定理的逆定理可得NAPE=90°,即可求解.

解：如圖，將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到的△8EA.

：./\PBC^/\EBA,

:.PB=EB,ZEBP=ZABC=60°,

.?.△PBE為等邊三角形，

:.PE=PB=五,/EP8=60。，

?:AE=PC=2?PA=G

PE^+AP2=AE2,

...△APE為直角三角形，

AZAP￡=90°,

AZAPB=900+60°=150°；

故答案為：150°

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，勾股定理的

逆定理的應(yīng)用，i正得ABPE為等邊三角形和△APE為直角三角形是解題的關(guān)鍵.

18.如圖是二次函數(shù)yuo^+bx+c圖象的一部分，其對稱軸是直線x=-l,且過點（-3,

0）,有以下結(jié)論：①必c>0；②4a+2b+c>0；③a-bW機（mz+6）（機為任意實數(shù)）；

④若方程“（x+3）（1-X）=-1的兩根為X”X2,且Xl<X2,則-3<X1<X2<1,其中

說法正確的有（2）（3）.

【分析】根據(jù)拋物線開口方向、對稱軸、與），軸的交點可對①進行判斷；根據(jù)拋物線的

對稱性可知x=2時，y>0,可對②進行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對③進行判斷；根

據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系可對④進行判斷.

解：?.?拋物線開口向上，

：.a>0,

???拋物線對稱軸為直線彳=-旦=-1,

2a

.\b=2a>0,

?.?拋物線與y軸的交點在x軸下方，

.\c<0,

.".abc<0,所以①錯誤；

拋物線對稱軸是直線x=-1,且過點（-3,0）,

二拋物線過點（1,0）,

，x=2時，y>0,

.?.4a+2b+c>0,所以②正確；

拋物線的對稱軸為直線>=-1,

二當x=-l時，y有最小值，

'.anr+bm+c^-a-b+c（m為任意實數(shù)），

：.m（am+b）^a-b（機為任意實數(shù)），所以③正確；

?.?方程a（x+3）（1-x）=-1的兩根為x”X2,且xi<X2,

拋物線與直線y=l有兩個交點（為，1）,（X2,1）,

由圖象可知xi<-3,X2>1,所以④錯誤.

故答案為：②③.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù).丫=加+以+c（aWO）,二次

項系數(shù)。決定拋物線的開口方向和大小，當“>0時，拋物線向上開口；當aVO時，拋

物線向下開口；一次項系數(shù)6和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當“與&同號時

（即時>0）,對稱軸在y軸左；當。與b異號時（即時V0）,對稱軸在y軸右.（簡

稱：左同右異）.拋物線與y軸交于（O,O.拋物線與x軸交點個數(shù)：△=及-4ac>0

時，拋物線與x軸有2個交點；A=〃-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=按

-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.

三.解答題（共6小題，滿分46分）

19.在下面的網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）中按要求畫出圖形并解答：

（1）先將AABC向下平移5格得4A山C”再將AABC以點。為旋轉(zhuǎn)中心，沿順時針

方向旋轉(zhuǎn)90°得4A282c2；

（2）請在圖中以點0為坐標原點，建立適當直角坐標系，寫出此時點4、星、C2的坐

【分析】本題考查的是平移變換與旋轉(zhuǎn)變換作圖.

作平移圖形時，找關(guān)鍵點的對應(yīng)點也是關(guān)鍵的一步.平移作圖的一般步驟為:

①確定平移的方向和距離，先確定一組對應(yīng)點；

②確定圖形中的關(guān)鍵點；

③利用第一組對應(yīng)點和平移的性質(zhì)確定圖中所有關(guān)鍵點的對應(yīng)點；

④按原圖形順序依次連接對應(yīng)點，所得到的圖形即為平移后的圖形.

作旋轉(zhuǎn)后的圖形的依據(jù)是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，基本作法是：

①先確定圖形的關(guān)鍵點；

②利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作出關(guān)鍵點的對應(yīng)點；

③按原圖形中的方式順次連接對應(yīng)點.要注意旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向和角度.

【點評】在平移時要注意平移的方向和平移的距離，旋轉(zhuǎn)時借助于格點圖形的特征構(gòu)造

直角.要注意旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向和角度.

20.如圖，已知拋物線y=-f+1)的對稱軸為x=l,請你解答下列問題：

(I)求,7?的值；

(II)求出拋物線與X軸的交點；

(III)當y隨x的增大而減小時x的取值范圍是一

(IV)當y<0時，x的取值范圍是x<-1或x>3.

【分析】(I)利用拋物線的對稱軸方程得到-亍既與■=],解方程得到，〃的值；

(II)令y=0,然后解方程-/+2x+3=0得拋物線與x軸的交點

(III)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；

(IV)結(jié)合函數(shù)圖象，寫出拋物線在x軸下方所對應(yīng)的自變量的范圍即可.

解：(I)拋物線的對稱軸為直線x=-2界])=1，

(II)'.'in—3,

二拋物線解析式為丫=-^+2x+3,

當y=0時，-r+2%+3=0,解得汨=-1,忿=3,

.?.拋物線與x軸的交點為(-1,0),(3,0)；

(III)；a=-lV0,對稱軸為直線x=l,

...當x>l時，y的值隨x的增大而減小，

故答案為x>l；

(IV)當x<-1或x>3時，y<0,

故答案為x<-1或x>3.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=af+fec+c(a,匕，c是常數(shù)，

與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性

質(zhì).

21.某公司的商品進價每件60元，售價每件130元，為了支持“抗新冠肺炎”，每銷售一

件捐款4元.且未來30天，該商品將開展每天降價1元”的促銷活動，即從第一天起每

天的單價均比前一天降1元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，設(shè)第x天(1WXW30且x為整數(shù))的銷量

為)，件，y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，其對應(yīng)數(shù)據(jù)如表：

X(天)......1357......

y(件)...35455565...

(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)在這30天內(nèi)，哪一天去掉捐款后的利潤是6235元？

(3)設(shè)第x天去掉捐款后的利潤為W元，試求出W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出哪

一天的利潤最大，最大利潤是多少元？

【分析】(1)設(shè)y與x滿足的一次函數(shù)數(shù)關(guān)系式為y="+b(大片0),用待定系數(shù)法求

解即可；

(2)根據(jù)題意得關(guān)于x的一元二次方程：(130-X-60-4)(5x+30)=6235,求得方

程的解并根據(jù)問題的實際意義作出取舍即可；

(3)由題意得W關(guān)于x的二次函數(shù)，將其寫成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

解：(1)設(shè)y與x滿足的一次函數(shù)數(shù)關(guān)系式為y=Ax+b(Z70),

將(1.35),(3,45)分別代入得：135-k+b,

I45=3k+b

解得：(k=5，

lb=30

與x的函數(shù)關(guān)系式為y=5x+30；

(2)根據(jù)題意得：(130-%-60-4)(5x+30)=6235,

整理得：『-60x+851=0,

解得：x=23或x=37(舍)，

在這30天內(nèi)，第23天去掉捐款后的利潤是6235元；

(3)由題意得：

W=(130-X-60-4)(5x+30

=-5/+300x+1980

=-5(x-30)2+6480,

'."a--5<0,

...當x=30時，W有最大值，最大值為6480元.

...W與x之間的函數(shù)關(guān)系式是W=-5(x-30)2+6480,第30天的利潤最大，最大利潤

是6480元.

【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式及

二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等知識點，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，長為10，"的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8〃?.如果梯子的

底端滑動1相，求梯子頂端下滑的區(qū)間.（精確到0』米）

【分析】設(shè)梯子頂端下滑了xm,利用勾股定理，即可得出關(guān)于尤的一元二次方程，解之

取其符合題意的值即可得出結(jié)論.

解：設(shè)梯子頂端下滑了R*,

依題意得：（87）2+（田2分+1）2=102,

解得：xi=8-J克七0.9,及=8+J克%15.1（不合題意，舍去）.

答：梯子頂端下滑了約09幾

【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，找準等量關(guān)系，正確列出一元

二次方程是解題的關(guān)鍵.

23.某學?；顒有〗M探究了如下問題，請你幫助他們完成解答過程：

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1,ZVIBC中，AB=AC,NBAC=90。，。為邊BC上的一點，連

22

接4）,作/E4O=90°,并截取E4=A￡>,連接。F.求證：BD+CD=￡）/^:

（2）靈活運用：如圖2,在四邊形A8C。中，AC,BO是對角線，△ABC是等邊三角形，

ZADC=30°,AD=3,BD=5,求CD的長.

【分析】（1）利用手拉手模型-旋轉(zhuǎn)性全等證明△ABO名zMCF,從而得BD=CF,Z

B=NACF,進而可得NOC尸=90°,然后根據(jù)勾股定理進行計算即可解答；

（2）以CD為邊在CD的右側(cè)作等邊三角形CDE,連接AE,利用手拉手模型-旋轉(zhuǎn)性

全等證明△BCO四從而可得BD=AE=5,然后再求出NAOE=90°,在RtA

A￡)七中，利用勾股定理求出。區(qū)即可解答.

【解答】(1)證明：???N3AC=90°,

???ZB+ZACD=90°

VZFAD=90°,

AABAC-ZDAC=ZDAF'-ADAC,

：.ZBAD=ZCAFt

???AB=AC,DA=FA,

：./\ABD^/\ACF(SAS),

:?BD=CF,NB=NACF,

：.ZACF+ZACD=90°,

：.ZDCF=90°,

:.DC+CUDF1,

:.BD2+CD2=DI^；

(2)以CO為邊在8的右側(cè)作等邊三角形COE,連接AE,

:,CD=CE=DE,NDCE=NCDE=60°,

???△ABC是等邊三角形，

.\AC=BCfZACB=60°,

JZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,

:?/BCD=/ACE,

AABCD^AACE(SAS),

：.BD=AE=5,

VZADC=30°,

AZADE=ZADC+ZCDE=90°,

.?.D￡=7AE2-AD2=V52-32=4>

：.DE=DC=4,

.?.CD的長為4.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性

質(zhì)，等腰直角三角形，勾股定理，熟練掌握手拉手模型-旋轉(zhuǎn)性全等，并結(jié)合圖形添加

適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在頂點為P的拋物線丫=“(*-/z)2+A(aW0)的對稱軸/上取點A",人+4-),

4a

過4作8C，/交拋物線于8、C兩點(8在C的左側(cè))，點A'和點A關(guān)于點P對稱；

過A'作直線機，/,又分別過點8、C作