2023-2024學(xué)年海南省定安中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年海南省定安中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},則4nB=（）

A.{1,2,3,45,6}B.{3,4}C.{1,2,3,4,5}D.{2,3,4,5,6）

2.復(fù)數(shù)總在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)所在的象限為（）

1—51

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.如圖，正六邊形48co1中，瓦？+而+前=（）

DE

BA

A.萬B.~BEC.ADD.CF

4.已知向量五=（2,4）,6=（-1,1）?則2五+方等于（)

A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)

5.已知向量方滿足|W|=1,|方|=/3，|6—2)|=3,則蒼?b=()

A.B.-1C.1D.2

6.在△ABC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,a=8門，b=6,A=60°,則sinB=()

2B?

A.C好D

34

7.某市為了解高中教師對新冠肺炎防控知識的掌握情況，調(diào)研組采用分層抽樣的方法,從甲、

乙、丙三所不同的高中共抽取60名教師進(jìn)行調(diào)查.已知甲、乙、丙三所高中分別有180名、270

名、90名教師，則從乙校中應(yīng)抽取的人數(shù)為（）

A.10B.20C.30D.40

8.從1,2,3,4這四個數(shù)中依次隨機(jī)地取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的概率

是（）

C]

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知a,0,y是三個不重合的平面，/是直線，給出的下列命題中，正確的命題有（）

A.若/上兩點(diǎn)到a的距離相等，則〃/aB.若Ila,1〃A，則

C.若a〃氏2c0,且〃/a,則〃//?D.若a〃口，ally,則〃/y

10.下列關(guān)于復(fù)數(shù)z=1的四個命題,其中為真命題的是（）

1—1

A.z的虛部為1B.z2-2i

C.z的共扼復(fù)數(shù)為-1+iD.|z|=2

11.口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀大小完全相同的小球，從中任取2球，事件力=取出

的兩球同色，B=取出的2球中至少有一個黃球，C=取出的2球中至少有一個白球，。=取出

兩個球不同色，E=取出的2球中至多有一個白球.下列判斷中正確的是（）

A.事件A與。為對立事件B.事件B與C是互斥事件

C.事件C與E為對立事件D.事件P（CUE）=1

12.下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本與，%2,X”的離散程度的有（）

A.樣本%,x2.......X"的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本/，g，…，f的中位數(shù)

C.樣本X],犯，…，如的極差D.樣本Z，％2，…，%的平均數(shù)

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知向量1=（1,3）,b=（3,4）,若0-2石）1至，則a=.

14.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC的面積為包處也處，則力=

4

15.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等=.

16.如圖，在長方體ABC。一4B1GD1中，AB=BC=2,AAt=1,

則4G與平面4B1QD1所成角的正弦值為.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

在①（sinB—sinC'）2=sin27l—sinBsinC；②bsin=asinB；@asinB=bcos（A一弓）這三

個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并作答.

問題：△ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,若Ca=b+c，,求4和B.

注：若選擇多個條件作答，按第一個解答計(jì)分.

18.（本小題12.0分）

某中學(xué)舉行電腦知識競賽，先將高一參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的

頻率分布直方圖.

（1）求參賽學(xué)生成績的眾數(shù)、中位數(shù);

（2）高一參賽學(xué)生的平均成績;

（3）按分層抽樣的方法從［70,80）［80,90）［90,100］中抽取6名學(xué)生，再從這6人中，抽取2人,

則求這兩人都是在［70,80）的概率.

19.（本小題12.0分）

在四棱錐P-4BCD中，底面4BCD為矩形,PA_L平面4BCD,點(diǎn)E在線段PC上,PC1平面BDE.

(1)證明：BDL^PAC；

(2)若PA=AB=2,AD=3,求幾何體E-BCD的體積.

20.（本小題12.0分）

某田徑隊(duì)有三名短跑運(yùn)動員，根據(jù)平時訓(xùn)練情況統(tǒng)計(jì)，甲、乙、丙三人100米跑（互不影響）的

成績在13s內(nèi)（稱為合格）的概率分別為名反，,若對這三名短跑運(yùn)動員的100米跑的成績進(jìn)行

一次檢測.求：

（1）三人都合格的概率;

(2)三人都不合格的概率;

(3)出現(xiàn)兒人合格的概率最大.

21.(本小題12.0分)

如圖所示，己知為梯形，AB//CD,CD=2AB.

(1)設(shè)平面PABCl平面PCC=，，證明：AB//1；

(2)在棱PC上是否存在點(diǎn)M,使得PA〃平面若存在，請確定點(diǎn)M的位置；若不存在,

請說明理由.

22.(本小題12.0分)

第19屆亞運(yùn)會將于2022年9月在杭州舉行，志愿者的服務(wù)工作是亞運(yùn)會成功舉辦的重要保障.

某高校承辦/杭州志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績，并分成五

組：第一組［45,55),第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五組［85,95),繪制

成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7,第一組和第五組的頻率

相同.

(1)求a,b的值;

(2)根據(jù)組委會要求，本次志愿者選拔錄取率為19%,請估算被錄取至少需要多少分.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：?集合4={1,2,3,4).B={3,4,5,6},

???4、B的共同元素有3和4,故An8={3,4}.

故選:B.

根據(jù)題意，找出集合4與集合B的共同元素，即可求出4、B的交集.

本題主要考查了集合的表示法、集合的交集運(yùn)算等知識，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】【分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求出復(fù)數(shù)所對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得答案.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

【解答】

覷..2-i_(2-i)(l+3i)_2+6i-i-3i2_5+5i_11.

=22=+G

解：--1^3i(l-3i)(l+3i)~1+(-3)~22

在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)名對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為弓,；)，位于第一象限.

故選:A.

3.【答案】D

【解析】【分析】

由題意，結(jié)合正六邊形的性質(zhì)和向量的加法運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可.

本題考查了平面向量的運(yùn)算問題，解題時應(yīng)根據(jù)平面向量的加法法則，直接計(jì)算即可，是基礎(chǔ)題.

【解答】

解：正六邊形4BC0EF中，

???CD=AF，EF=CB^

.-.'BA+'CD+^F='BA+AF+~CB

=CB+BA+AF=CF.

故選：D.

4.【答案】D

【解析】解：向量為=(2,4),K=(-1,1)-

則2方+B=(3,9).

故選：D.

利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力.

5.【答案】C

【解析】解：因?yàn)橄蛄恳曳綕M足|五|=1,|K|=\a-2b\=3.

所以14-2萬|=J(a-2b)2=Ja2-4a-b+4b2=Vl-4a-fe+4x3=3,

兩邊平方得，

13—4a,b=9,

解得力-6=1，

故選：C.

利用|1-2石|=J(a-2by＜結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果?

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閍=8V-3?b=6,A=60°,

所以由正弦定理有：，7=上，

sinAstnB

所以5譏3=4=嘻=2

a8V38

故選：D.

由正弦定理直接計(jì)算可得.

本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：根據(jù)分層抽樣原理，可知從乙校應(yīng)抽取的人數(shù)為60x麗駕0=30(人).

JLOUI4/UIyvJ

故選：C.

利用分層抽樣原理，即可求出從乙校應(yīng)抽取的人數(shù).

本題考查了分層抽樣原理，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：從1,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個數(shù)，可有廢種方法，其中一個數(shù)是另一

個數(shù)的兩倍的只有1,2；2,4這兩種選法.

21

...其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的概率P=碇=士

故選:B.

從1,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個數(shù)，可有底種方法，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的

只有1,2；2,4.兩種選法.利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出.

本題考查了古典概型的概率計(jì)算公式和組合的意義，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】BCD

【解析】解：對于4若I上兩點(diǎn)到a的距離相等，則，可以與平面a相交，選項(xiàng)4錯誤；

對于B,若/J.a,1///3,則由面面垂直的判定可知，al3，選項(xiàng)8正確；

對于C,若。〃0,/(?/?,且〃/a,則由線面平行的判定可知，〃/0,選項(xiàng)C正確；

對于。，若a〃夕，ally,則由平行的傳遞性可知，0〃y,選項(xiàng)。正確.

故選：BCD.

根據(jù)空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系判斷即可.

本題考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AB

【解析】解：z-=1+i,故虛部為1,共規(guī)復(fù)數(shù)為1一i,|z|-Vl2+l2-2，

z2=(1+i)2=2i,故A8正確，C￡>錯誤.

故選：AB.

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】AD

【解析】解：?.?口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同小球，從中取出2球，

事件A=”取出的兩球同色"，B="取出的2球中至少有一個黃球”，

C=”取出的2球至少有一個白球"，D=”取出的兩球不同色”，

E="取出的2球中至多有一個白球”，

由對立事件定義得4與。為對立事件，故選項(xiàng)4正確；

B與C有可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事件，故選項(xiàng)B錯誤；

C與E有可能同時發(fā)生，不是對立事件，故選項(xiàng)C錯誤；

P(C)=1-卷=4P⑹=SP(CE)=H

從而P(CUE)=P(C)+P(E)-P(CE)=1,故選項(xiàng)D正確.

故選：AD.

根據(jù)對立事件和互斥事件的概念，逐項(xiàng)驗(yàn)證得出答案

本題考查互斥事件和對立事件，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查了中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差、平均數(shù)的定義以及含義，屬于基礎(chǔ)題.

利用中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差、平均數(shù)的定義以及含義分析求解即可.

【解答】

解：中位數(shù)是反應(yīng)數(shù)據(jù)的變化，

方差是反應(yīng)數(shù)據(jù)與均值之間的偏離程度，

極差是用來表示統(tǒng)計(jì)資料中的變異量數(shù)，反映的是最大值與最小值之間的差距，

平均數(shù)是反應(yīng)數(shù)據(jù)的平均水平，

故能反應(yīng)一組數(shù)據(jù)離散程度的是標(biāo)準(zhǔn)差，極差.

故選：AC.

13.【答案】|

【解析】【分析】

本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的充要條件，考查方程思想與運(yùn)算求解能力，屬

于基礎(chǔ)題.

利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得值一4石=(1-3尢3-4%)，再由0一4石)1石，可得0-；l3)?石=0，

即可求解4的值.

【解答】

解：因?yàn)橄蛄縒=(1,3),b=(3,4)，

則行一/I方=(1-3尢3—44)，

X(a-2fe)1K-

所以位-Ab)-b=3(1-3A)+4(3-4A)=15—254=0，

解得4=|.

故答案為:

14.【答案】:

【解析】解:由余弦定理可得。2-爐一c2=-2bccosA,

△ABC的面積為C儲-廬-2)=—dccosA，

42

又因?yàn)镾44BC=|bcsinA=——bccosA，

所以tan/l=-V-3,

由AG(0㈤可得4=y.

故答案為：y

由已知結(jié)合余弦定理及三角形的面積公式進(jìn)行化簡即可求解.

本題主要考查了余弦定理及三角形的面積公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.

15.【答案】4-1

【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，直接計(jì)算即可得出答案.

【解答】

做9+2<_(9+20(2-0

畔：2+1-(2+i)(2-i)

18+2+41-9；..

------2------=4-1,

22+1

故答案為：4—i.

16.【答案】|

【解析】解：連接&G，在長方體力BCD—4B1GD1中，

???44_L平面4B1GD1，則41G4為4cl與平面&B1GD1所成角.

在△4G2中，si山=祈=:H彳+)=7

故答案為：

由題意連接&G，貝叱4cMi為所求的角，在△46公計(jì)算出此角的正弦值即可.

本題主要考查了求線面角的過程：作、證、求，用一個線面垂直關(guān)系，屬于中檔題.

17.【答案】解：選擇條件①，

由正弦定理及(sinB-sine)2=sin2A-sinBsinC,知(b—c)2=a2—be,

整理得爐+C2—Q2=兒，

由余弦定理，得cosA=.+〃-層=匹=工，

2bc2bc2

7T

vAE(0,TT),???=-；

選擇條件②，

由正弦定理及加比=asinB,彳導(dǎo)sinBsin笥6=sinAsinB,

?D、八?8+C..日口8+。.

vsinB>0,sin—=sinA,即^—=4,

n-A..4_TT

—=Af-A=~；

選擇條件③,

由正弦定理及asi幾B=bcos（A-^）,得sinAsinB=sinBcos^A-，

vsinB>0，???sinA=cos(4—g)=^-cosA+\sinA，解得tanA=

6z2

vAG(0,7T),-'-i4=1;

由=b+c得，\T~2sinA=sinB+sinC=sinB+sin(4+B),

???V^sin[=sinB+sin?+B)=sinB+?cosB+\sinB>整理得sin(B+g)=空，

33ZL6L

???86(0年)，二8+旌管片)，，8+肄粉牛解得8=割居

【解析】選擇條件①，利用正弦定理化角為邊，并結(jié)合余弦定理，求得cos4=；,可得角4：

選擇條件②，利用正弦定理化邊為角，并結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，可得角力；

選擇條件③，利用正弦定理化邊為角，并結(jié)合兩角差的余弦公式與同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，推

出tanA=15，得角4;

由正弦定理將Ca=b+c中的邊為角，再根據(jù)兩角和的正弦公式，輔助角公式，化簡運(yùn)算得角B.

本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理，三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯

推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：⑴[50,60）的頻率為0.03x10=0.3,[60,70）的頻率為0.04x10=0.4,[70,80）的

頻率為0015x10=0.15,[80,09）的頻率為0.01x10=0.1,[90,100）的頻率為0.005x10=0.05,

由題意可知眾數(shù)為65,由于第一個矩形的面積為0.3,設(shè)中位數(shù)為60+x,則0.3+0.04萬=0.5,

解得x=5,所以中位數(shù)為60+5=65；

（2）依題意平均成績?yōu)?5X0.3+65x0.4+75X0.15+85X0.1+95X0.05=67,

所以平均成績?yōu)?7；

(3)按照分層抽樣的方法,從[70,80),[80,90),[90,100)中抽取6名學(xué)生，則分別抽取3人,2人,

1人；

設(shè)這6個人為4,B,C,D,E,F,則從中抽取2人有牖=15種情況，兩個人都在[70,80)只有CD一

種情況，

故概率值為

【解析】(1)直接利用頻率分布直方圖求出眾數(shù)和中位數(shù)；

(2)利用加權(quán)平均數(shù)求出結(jié)果；

(3)利用分層抽樣和組合數(shù)求出概率值.

本題考查的知識要點(diǎn)：眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，概率值的求法，分層抽樣，主要考查學(xué)生的理解

能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

19.【答案】(1)證明：P4-L平面4BCD,二PA1BD,-：PC_L平面BOE,二PC1BD.又PCCtPA=P,

???BD_L平面P4C.

(2)如圖，設(shè)AC與BO的交點(diǎn)為0,連接0E.公、

???。(？?1平面8￡)￡,二PC_LOE.由(1)可知，BDJ■平面PAC,/；\

???BD1AC,由題可知，四邊形4BCD為正方形.由4)=2,得

AC=BD=2c，OC=ypi-"3''\/

在Rt△ABC中，PC=VPA2+AC2=3.

易知RtAPACsRt&OEC,所以”=線=裝,

。=畀

??VE-BCD=15AC￡D-BD=^X^OE-CEBD=2

綜上所述，幾何體E-BCD的體積是參

【解析】(1)證明P41B0,PC1BD.即可證明8。_L平面P4C.

(2)設(shè)4c與B。的交點(diǎn)為。，連接。E.通過Rt△PACsRt△OEC,求解。E=，，CE=*然后轉(zhuǎn)化求

JJ

解幾何體的體積即可.

本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面垂直的判斷，是中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意可得，三人都合格的概率為=

(2)三人都不合格的概率為(1-|)x(l-1)x(l-|)=^;

(3)僅一個人合格的概率為(x(1-1)x(1-1)+(1-1)xx(1-1)+(1-|)x(1-1)x1=

1,3,1_5

--"f--r~~~~~,

15102012

僅2個人合格的概率為］x|x(l-1)+|x(l-^)xj+(l-1)x|x|=1+^+^