2023-2024學(xué)年南京一中高二年級上冊數(shù)學(xué)階段性測試卷（含答案）

南京一中2023?2024學(xué)年第一學(xué)期7月階段性考試檢測卷

高二數(shù)學(xué)

一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1,若復(fù)數(shù)z滿足Z°—2I）=3+I（i是虛數(shù)單位），則目=（）

A.0B.V3C.2D.3

2.投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國時(shí)期較為盛行.如圖為一幅唐朝的

投壺圖，假設(shè)甲、乙、丙是唐朝的三位投壺游戲參與者，且甲、乙、丙每次投壺時(shí)，投中與不投中是等可

能的.若甲、乙、丙各投壺1次，則這3人中至多有1人投中的概率為（）

5

8-

7

3.已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為可，SA與圓錐底面所成角為45。，若ASAB的面

積為5小，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.80岳B.40C.40岳D.40&

4.若a,〃為正實(shí)數(shù)，直線2x+（2a-3）y+2=0與直線法+2>-1=0互相垂直，則ab的最大值為

)

399

A.B.

284

4A/5

A.B.逑

99丁~9~

6.過點(diǎn)A（l,l）的直線/與圓/+>2=3交于M,N兩點(diǎn)，則弦長|肱V|的最小值為（）

A.#jB.277C.1D.2

7.若直線/：y=x+匕與曲線丫=/二?■有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是（）

A.(-72,72)B.(1,72)

c[1,72)D.[1,V2]

8.在_ABC中，AB-AC=9，sinB=cosAsinC,ABC-6,p為線段AB上動點(diǎn)，且

CACB21

CP=x--------+y---------,則一+一的最小值為（）

\CA\-\CB\

AU+逅1111瓜11

B.—C.—+D.—

63612312

二.選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法錯(cuò)誤的是（)

A.過點(diǎn)A（-2,-3）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線/的方程為x+y=-5

B.直線2（m+l）x+（加一3））+7-5加=0必過定點(diǎn)（1,3）

C.經(jīng)過點(diǎn)尸（1,1）,傾斜角為。的直線方程為y-l=tan*x-l）

D.過（工,%）,（%，%）兩點(diǎn)的所有直線的方程為（馬一百）（丫一>）=（必一乂）（上一%）

10.下列選項(xiàng)中，正確的有（）

1dh

A.設(shè)。，人都是非零向量，則=5?！笔恰巴?”成立的充分不必要條件

2

B.若角夕的終邊過點(diǎn)P（3,一m）且sina=-［百，則加=±2

C.在_/18。中，A<B<=>sinA<sinB

D.在一ABC中，若48=20,8=45°,4c=3,則滿足條件的三角形有且只有一個(gè)

11.已知實(shí)數(shù)x，y滿足曲線C的方程/+9-2%一2=0,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.f+『的最大值是6+1

B.巴?的最大值是2+#

x+1

C.|x-y+3|的最小值是2&-6

D.過點(diǎn)(0,作曲線C的切線，則切線方程為x—應(yīng)y+2=0

12.已知正方體ABCD-ASC。的棱長為4,點(diǎn)尸是A4的中點(diǎn)，點(diǎn)”是側(cè)面AAQB內(nèi)的動點(diǎn)，且

滿足RM±CP,下列選項(xiàng)正確的是()

A.動點(diǎn)M軌跡的長度是2逐

32

B,三角形A9”在正方體內(nèi)運(yùn)動形成幾何體的體積是1

C.直線RM與8C所成的角為a,則tana的最小值是寫

D.存在某個(gè)位置使得直線8"與平面ARM所成的角為4

4

三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.數(shù)據(jù)3,4.5,6,a,10,11的平均數(shù)是8,則這組數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)為

14,直線4:3x-y-3=0關(guān)于直線4：x+y-1=0的時(shí)稱直線方程為.

15.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A(l,0),8(4,0),若在曲線。：*2-2℃+)2-4歿+5/-9=0上存在點(diǎn)

P使得|P8|=2|PA|,則實(shí)數(shù)。取值范圍為

16.在矩形ABC。中，AB=坦,BC=\,現(xiàn)將△ABC沿對角線AC翻折，得到四面體。-4BC,則該四面體

7171

外接球的體積為;設(shè)二面角》一AC—8的平面角為仇當(dāng)e在內(nèi)變化時(shí)，8D的取值范圍

為________

四.解答題:本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知一ABC三個(gè)頂點(diǎn)是A(—1,4),B(—2,T),C(2,3)

(1)求8c邊的高所在直線方程；

(2)的面積S

18.如圖，在平面四邊形43CD中，乃，CD=瓜,AACD的面積為手.

⑴求AC的長；

71

(2)若NB=一,求8。的長.

4

19.甲、乙兩同學(xué)組成“星隊(duì)”參加“慶祝中國共產(chǎn)黨成立101周年”知識競賽.現(xiàn)有A、B兩類問題，競

賽規(guī)則如下：

①競賽開始時(shí)，甲、乙兩同學(xué)各自先從A類問題中隨機(jī)抽取一個(gè)問題進(jìn)行回答，答錯(cuò)的同學(xué)本輪競賽結(jié)束；

答對的同學(xué)再從8類問題中隨機(jī)抽取一個(gè)問題進(jìn)行回答，無論答對與否，本輪競賽結(jié)束.

②若在本輪競賽中甲、乙兩同學(xué)合計(jì)答對問題的個(gè)數(shù)不少于3個(gè)，則“星隊(duì)”可進(jìn)入下一輪.已知甲同學(xué)能

答對A類中問題的概率為一，能答對B類中問題的概率為一.乙同學(xué)能答對A類中問題的概率為‘，答對

544

2

8類中問題的概率為

(1)設(shè)“甲答對0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)問題”分別記為事件4、A、4,求事件4、A、4的概率；

(2)求“星隊(duì)”能進(jìn)入下一輪的概率.

20.已知點(diǎn)P(2,2),圓。：/+'2-8)，=0,過點(diǎn)P的動直線/與圓c交于A,5兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)

為M,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求M的軌跡方程；

(2)當(dāng)|OP|=|OM|時(shí)，求/的方程及的面積.

21.在三棱柱ABC-A4G中，AB=BC=AA,=2,BCt=V14,ZABC=y,AC,±A,5.

(1)證明：平面AAC，平面ABC；

(2)求二面角A-A/-C的平面角的余弦值.

22.已知圓C：(x+3)2+(y-4>=16,直線/：(2w+l)x+(w-2)y-3m-4=0(WG/?).

(1)若圓C截直線/所得弦AB的長為2而，求“的值；

(2)若加>0,直線/與圓C相離，在直線/上有一動點(diǎn)尸，過尸作圓C的兩條切線PM,PN,切點(diǎn)分別

13

為M,N,且cosNMPN的最小值為，.求機(jī)的值，并證明直線MN經(jīng)過定點(diǎn).

45

南京一中2023?2024學(xué)年第一學(xué)期7月階段性考試檢測卷

高二數(shù)學(xué)

一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1,若復(fù)數(shù)z滿足Z°—2I）=3+I（i是虛數(shù)單位），則目=（）

A.y/2B.V3C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式計(jì)算可得.

(3+i)(l+2i)3+6i+i+2i?17.

【詳解】因?yàn)閦（l—2i）=3+i'所以z=匚五(l-2i)(l+2i)-5-5+51

故選：A

2.投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國時(shí)期較為盛行.如圖為一幅唐朝的

投壺圖，假設(shè)甲、乙、丙是唐朝的三位投壺游戲參與者，且甲、乙、丙每次投壺時(shí)，投中與不投中是等可

能的.若甲、乙、丙各投壺1次，則這3人中至多有1人投中的概率為（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，列出所有可能，結(jié)合古典概率，即可求解.

【詳解】甲、乙、丙3人投中與否的所有情況為：（中，中，中），（中，中，不中），（中，不中，中）,

（中，不中，不中），（不中，中，中），（不中，中，不中），（不中，不中，中），

41

（不中，不中，不中），共8種，其中至多有1人投中的有4種，故所求概率為三二彳.

o2

故選：C

7

3.已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為一，SA與圓錐底面所成角為45。，若ASAB的面

8

積為5厲，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.80缶B.40C.400萬D.40小兀

【答案】C

【解析】

【分析】利用已知條件求出圓錐的母線長，利用直線與平面所成角求解底面半徑，然后求解圓錐的側(cè)面

積.

7

【詳解】圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,S3所成角的余弦值為w，

可得sinNASB=—11J=半，又鉆的面積為5厲，

可得』&42豆114458=5厲，即JsKxX叵=5/，可得SA=4后，

228

SA與圓錐底面所成角為45，可得圓錐的底面半徑為：也x46=2廂，

2

則該圓錐的側(cè)面積：萬x2ji6x4后=40丘萬，

故選：C

4.若a,人為正實(shí)數(shù)，直線2x+（2a-3）y+2=0與直線"+2>-1=0互相垂直，則ab的最大值為

（）

A3R9930

2844

【答案】B

【解析】

【分析】由兩直線垂直求出2a+匕=3,再利用基本不等式求出的最大值.

【詳解】解：由直線2x+（2a—3）y+2=O與直線版+2y—1=0互相垂直

所以2b+2（2a-3）=0

即2a+6=3

又a、b為正實(shí)數(shù)，所以+

即2而W（生電]=2，當(dāng)且僅當(dāng)〃=3,6=9時(shí)取"=”；

I2J442

9

所以仍的最大值為

8

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了由直線垂直求參數(shù)，基本不等式求最值的應(yīng)用，屬于中檔題.

5.已知sin則cos（2a+/）=（

）

11475475

A.--B.一rn

9999

【答案】A

【解析】

【分析】將以）$（2。+1）化為<：05[2（0-三）+兀],

利用誘導(dǎo)公式以及二倍角的余弦公式，化簡求值，可

得答案.

【詳解】因sin^?-^j=.|,

'兀、7171Vle.2（兀）1811

所以cos2a+—=cos[2（a——）+K]=-cosf2（（Z--）]=2sinl6z--1—1=——1=-—,

<3/3

故選：A.

6.過點(diǎn)A（l,l）的直線/與圓光2+y2=3交于M,N兩點(diǎn)，則弦長|MN的最小值為（）

A.幣B.2A/7C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，得到當(dāng)0A垂直/時(shí)，|MV|最小，結(jié)合弦長公式，即可求解.

【詳解】由圓方程V+y2=3,可知圓心0（0,0）,半徑「=也,

當(dāng)。4垂直/時(shí)，|M7V|最小，此時(shí)。到直線/的距離d=|Q4|=J5,

所以|MN|的最小值為IMNL,=2,尸—屋=2百=2=2.

故選：D.

7.若直線/：。=。+匕與曲線。=J-f有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)匕的取值范圍是()

A.(-72,5/2)B.(1,72)

C.[1,V2)D.口,技

【答案】C

【解析】

【分析】由題可知曲線表示一個(gè)半圓，然后利用數(shù)形結(jié)合即得.

【詳解】由曲線y=Jl—x2得x2+y2=](yN0),表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的上半圓,

,-----陽，廠L

當(dāng)直線6與半圓y=Jl-x2相切時(shí),正=1，則萬=J5,此時(shí)直線為y=X+J5,

當(dāng)直線y=x+。過點(diǎn)(0,1)時(shí)，b=l,此時(shí)直線為y=x+i,

要使直線/：y=x+6與曲線y=JiZ?有兩個(gè)交點(diǎn)，則6的取值范圍是[1,0).

故選：c.

8.在中，ABAC=9>sin3=cosAsinC,SABC=6,P為線段A3上的動點(diǎn)，且

21

則一+一的最小值為()

|CA|■\CB\

A?鴻1111

B.—D.—

612

【答案】C

【解析】

xy21

【分析】由己知條件求得解得b,c,cosA,再求得畫,可得到一+2=1,用基本不等式求一+一的最

34xy

小值.

becosA=9

【詳解】設(shè)|A8|=c,|AC|=b,根據(jù)題意得〈b-ccosA

—￡>csinA=6

12

43

解得b=3,c=5,sinA=—,cosA=-

55

CBAB-ACj=VC2+*2-2Z?CCOSA=^52+32-2X5X3X|=4

?島+，,品

又A、P、3二點(diǎn)共線，—F—=1,

34

21

—+—

xy123

6x

x-------------

當(dāng)且僅當(dāng)〈,、時(shí)，等號成立.

%_y4x2V6

3y2xy

5

故選：c

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:解題的關(guān)鍵是由己知條件求出仇c后，再由A,P,8三點(diǎn)共線，得2+2=1,所以

34

21(21}

—I—=化簡后結(jié)合基本不等式可求出其最小值,

xy(%y)

二.選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.過點(diǎn)A（—2,-3）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線/的方程為x+y=-5

B直線2（旭+1）工+（加一3）丁+7-5加=0必過定點(diǎn)（1,3）

C.經(jīng)過點(diǎn)尸（1,1）,傾斜角為8的直線方程為＞-l=tan6（x-l）

D.過（％,x）,12,%）兩點(diǎn)的所有直線的方程為（馬一玉）（>一y）=（必一y）（工一%）

【答案】AC

【解析】

7T

【分析】根據(jù)直線過原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)直線系方程過定點(diǎn)，可判定B正確；根據(jù)。=一

2

時(shí)，此時(shí)直線的斜率不存在，可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)直線的方程，分類討論，可判定D正確.

【詳解】對于A中：當(dāng)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且等于0時(shí)，直線過原點(diǎn)，

可設(shè)直線方程為^=依，又直線過點(diǎn)4（-2,—3）,則—3=-23即yj

3

此時(shí)直線方程為y=5"，滿足題意，所以A錯(cuò)誤；

對于B中：直線2（加+l）x+（加一3）y+7-5/%=0可化為（2x+y-5）m+2x-3y+7=0,由方程組

2x+y-5=0

12x-3y+7=0解得x=1,y=3,

即直線2（/〃+l）x+（m-3））+7-5/〃=0必過定點(diǎn)（1,3）,所以B正確；

TT

對于C中，當(dāng)傾斜角。=一時(shí)，此時(shí)直線的斜率不存在，tan，無意義，所以C錯(cuò)誤;

2

對于D中，由兩點(diǎn)（3,乂）,。2，%）,

當(dāng)工尸々時(shí)，此時(shí)過a，y）,（x,,%）兩點(diǎn)的所有直線的方程為二互（々一西），即

X—xl

（x2-xl）（y-yl）=（y2-yl）（x-xl）,

當(dāng)王=々時(shí),，此時(shí)過（為。|）,*2，>2）兩點(diǎn)的所有直線的方程為尤=芯或X=》2，適合上式，

所以過（3,％）,。2，%）兩點(diǎn)的所有直線的方程為伍一3）（3->1）=（%一乂）（左一3）所以D正確.

故選：AC.

10.下列選項(xiàng)中，正確的有（）

]_ab

A.設(shè)a,。都是非零向量，貝〃=5?！笔?同=M”成立的充分不必要條件

2

B.若角a的終邊過點(diǎn)P（3,-m）且sina=--尸，則加=±2

5/13

C.在—ABC中，A<B<=>siM<sinB

D.在一ABC中，若AB=20,8=45°,4c=3,則滿足條件的三角形有且只有一個(gè)

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)共線向量的概念，結(jié)合充分、必要條件的判定，可判定A正確；根據(jù)三角函數(shù)的定義，列出

方程，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)三角形的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理和余弦函數(shù)的單調(diào)性，可判定C正確；結(jié)合余弦

定理列出方程，可判定D正確.

【詳解】選項(xiàng)A中，由。=,方，可知。所以

=2b,所以充分性成立;

22同麗調(diào),

ab

若彳部則,因?yàn)槿f為大于。的實(shí)數(shù)，不一定%,所以必要性不成立,

Iab

所以〃=二8是同=忖成立的充分不必要條件，所以A正確;

2

2

選項(xiàng)B中，若角a的終邊過點(diǎn)P（3,T〃），且sina=

-m2

則『=：=一-^,解得m=2,所以B錯(cuò)誤；

7m“+9713

選項(xiàng)C中，因?yàn)樵诠3C中，A<B<^a<b,

由正弦定理可知。vbosinA<sin3,所以Av3<=>sinAvsinB,所以C正確；

選項(xiàng)D中，由cos8=.+叱-4J牛一]:也,可得8。2一48?！?=0,

2ABBC4cBe2

解得8C=2+不或8C=2—石（舍去），滿足條件的三角形有一個(gè)，所以D正確；

故選：ACD.

11.已知實(shí)數(shù)x，y滿足曲線C的方程/+丁2-2%一2=0,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.最大值是G+]

B.2里的最大值是2+Jd

x+1

C.|x-y+3|的最小值是

D.過點(diǎn)（0,我）作曲線C的切線，則切線方程為x—JIy+2=0

【答案】BD

【解析】

【分析】由f+y2表示圓C上的點(diǎn)到定點(diǎn)。（0,（））的距離的平方，可判定人錯(cuò)誤；由言表示圓上的點(diǎn)與

點(diǎn)p（—1,-1）的斜率設(shè)2擔(dān)=女，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，列出不等式，可判定B正確；由|x-y+3|

尢+1

表示圓上任意一點(diǎn)到直線x-y+3=0的距離的血倍，進(jìn)而可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)點(diǎn)僅，血）在圓C上，結(jié)

合圓的切線的性質(zhì)，可判定D正確.

【詳解】由圓。：/+：/一2%-2=0可化為（x—l『+y2=3,可得圓心（1,0）,半徑為r=百，

對于A中，由f+‘2表示圓c上的點(diǎn)到定點(diǎn)0（0,0）的距離的平方，

所以它的最大值為Q（l—0）2+。2+6]2=4+26,所以A錯(cuò)誤；

對于B中，巴?表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)P（—1,-1）的斜率上,設(shè)2擔(dān)=3即y+l=A（x+l）,

x+1x+1

由圓心（1,0）到直線y+l=z（x+l）的距離〃=易/46,解得2-#4442+太，

所以2擔(dān)的最大值為2+灰，所以B正確；

x+1

對于C中，由卜-y+3|表示圓上任意一點(diǎn)到直線x-y+3=0距離的④倍，

圓心到直線的距離4=美=2血，所以其最小值為血（2夜-6）=4-指，所以C錯(cuò)誤；

對于D中，因?yàn)辄c(diǎn)（0，亞卜茜足圓C的方程，即點(diǎn)（0,J5）在圓C上，

則點(diǎn)C與圓心連線的斜率為4=一五，

根據(jù)圓的性質(zhì)，可得過點(diǎn)（0,J5）作圓C的切線的斜率為％=-，=手，

所以切線方程為丫一挺=母（無一0）,即x-也y+2=（）,所以D正確.

故選：BD.

12.已知正方體488—4569的棱長為4，點(diǎn)P是44的中點(diǎn)，點(diǎn)M是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)，且

滿足。下列選項(xiàng)正確的是（）

A.動點(diǎn)M軌跡的長度是2不

32

B.三角形ARM在正方體內(nèi)運(yùn)動形成幾何體的體積是二

3

C.直線AM與BC所成的角為a,則tana的最小值是逆

5

D.存在某個(gè)位置〃，使得直線8。與平面所成的角為四

4

【答案】ABC

【解析】

【分析】建立坐標(biāo)系，由可得出動點(diǎn)動點(diǎn)M軌跡為線段MN,然后結(jié)合勾股定理，異面直線

所成角，線面角，體積公式等逐一判斷即可

【詳解】以。為原點(diǎn)，D4為x軸，。。為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則M（4,y,z）,0（O,O,4）,P（4,O,2）,C（O,4,O），A（4,O,4）,3（4,4,O）,

D、M=（4,y,z-4）,CP=（4,T2）,

?:D、M±CP,

：.D}MCP=Q，即2y-z=4,

取AB得中點(diǎn)N,則動點(diǎn)M軌跡為線段4N,

對于A：動點(diǎn)M軌跡為線段B|N,且B[N=《BN?+BB：=2亞,故A正確；

對于B：三角形AQ用在正方體內(nèi)運(yùn)動形成幾何體為三棱錐Q-ANA,

1]「1/1132

且V0rA叫=§S人叫x44=§x-(2+4)x4--x2x4x4=—,故B正確;

對于C：?.?BC//4A，

，直線與BC所成的角為a=?4AM,

4，48A/58出r-

又4〃,加=37二=以，則tana的最小值是4"疝“_5_2^5,故C正確；

20554r

對于D：易知M與男重合時(shí)，直線8烏與平面ARM所成的角最大，

且為tan?BD,B,-^=-4==—<1=tan-,

''B.D,4^24

71

\?BD.B.一，

114

所以不存在某個(gè)位置M，使得直線8。與平面ARM所成的角為;，

故D錯(cuò)誤；

故選：ABC

三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.數(shù)據(jù)3,4.5,6,a,10,11的平均數(shù)是8,則這組數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)為

【答案】10

【解析】

【分析】先根據(jù)平均數(shù)求出。，然后對這組數(shù)據(jù)從小到大排列，利用百分位數(shù)的定義求解即可

【詳解】解：因?yàn)閿?shù)據(jù)3,4,5,6,4,10,11的平均數(shù)是8,

則3+4+5+6+4+10+11=8x7,解得。=17,

這組數(shù)從小到大排列：3,4，5,6,10,11,17,

因?yàn)?x60%=4.2,

所以第5個(gè)數(shù)據(jù)為這組數(shù)據(jù)的第6()百分位數(shù)，即為10,

故答案為：10.

14.直線4：31-丁-3=0關(guān)于直線/2：N+丁-1=0的對稱直線方程為

【答案】x-3y-l=0

【解析】

【分析】兩直線方程聯(lián)立可求得交點(diǎn)在所求對稱直線上；在直線4上取一點(diǎn)A(0,-3),求得其關(guān)于直線4對

稱的點(diǎn)的坐標(biāo)4(4,1),該點(diǎn)也在對稱直線上；由直線兩點(diǎn)式可整理得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)直線4關(guān)于直線4對稱的直線為‘3,

3元一,-3=0X=1/、

由,得：\y_0,則點(diǎn)(l,o)在直線4上;

x+y—1=0

在直線4上取一點(diǎn)A(0,-3),設(shè)其關(guān)于直線12對稱的點(diǎn)為A'(m,〃),

〃+3_?

m—4./、

則a，解得：',,即4(4,6

m+0n-3,?n=i

-------+---------1=0

22

v—1x—4

直線4的方程為：2一=——，即x—3y—l=0.

0-11-4

故答案為：x-3y-l=0.

15.在平面直角坐標(biāo)系"少中，點(diǎn)A(l,0),8(4,0),若在曲線。：/一2依+丁2-4做+5a2一9=0上存在點(diǎn)

「使得|PB|=2|尸A],則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【答案】-后-乎卜愕君

【解析】

【分析】根據(jù)題意，設(shè)P(x，y),分析可得若|P5|=2|B4|,則有(x-4)2+)2=4(x-1)2+4/,變形可得

爐+爐=4,進(jìn)而可得P的軌跡為以。為圓心,半徑為2的圓;將曲線C的方程變形為(x-a)2+(y-2a)2=9,

可得以(a,2a)為圓心，半徑為3的圓；據(jù)此分析可得若曲線C上存在點(diǎn)P使得|PB|=2|鞏則圓C與圓

始+9=4有公共點(diǎn)，由圓與圓的位置關(guān)系可得3-2?，用+4可42+3,解可得a的取值范圍，即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)P(x，y),

22

若|PB|=2|B4|,即|PB|2=4幽2,則有(x-4)+/=4(x-1)My,

變形可得：/+V=4,

即P的軌跡為以。為圓心，半徑為2的圓，

曲線Cx2-2ax+y2-4@+542-9=0,即(x-tz)2+(y-2a)2=9,則曲線C是以(a,2a)為圓心，半徑

為3的圓；

若曲線C上存在點(diǎn)P使得|P8|=2|%|,則圓C與圓/+產(chǎn)=4有公共點(diǎn)，

則有3-2<7a2+4?2<2+3>即1W石同4，

解可得：-V5<?<--<?<V5-

55

即a的取值范圍為：［—石，一旦U匹,V51；

故答案為［一石，一半］口［李，亞］.

【點(diǎn)睛】判斷圓與圓的位置關(guān)系的常見方法

(D幾何法：利用圓心距與兩半徑和與差的關(guān)系.

(2)切線法：根據(jù)公切線條數(shù)確定.

16.在矩形ABC。中，AB=5BC=l,現(xiàn)將△ABC沿對角線AC翻折，得到四面體O-A8C,則該四面體

7171

外接球的體積為;設(shè)二面角。一4C—8的平面角為仇當(dāng)9在內(nèi)變化時(shí)，8。的取值范圍

為.

小4兀?Tv7阿

【答案】①.一②.—

3\_22

【解析】

【分析】分別過點(diǎn)8，。作BbLAC,DELAC,計(jì)算得到AO=OC=08=8=1,得到半徑和體

，2「75'

積，根據(jù)DB=Q￡：+EE+產(chǎn)B，計(jì)算。8e,得到答案.

【詳解】如圖1，分別過點(diǎn)B,。作3尸，AC,DEI.AC，垂足分別為F,E,

則在四面體ABC。中也滿足_LAC,DELAC.

因?yàn)锳B=G，BC=\,所以AC=2,DE=BF==昱,

22

則AE=C/=L,EF=L

2

在四面體ABC。中，三角形ABC和三角形。AC均為直角三角形，

設(shè)點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，如圖2,連接OB,0D,則AO=OC=OB=OD=1,

即點(diǎn)。為四面體ABCD外接球的球心，則外接球的半徑R=l，

44

所以外接球的體積V=—=—兀.

33

在四面體ABC。中，DB=DE+EF+FB，

因?yàn)槎娼??！狝C—8的平面角為仇且BE_LAC,DEIAC,

所以■和FB的夾角為兀-，，

所以I|2二(/DE+EF+FB\)2=DE2+EF2+FB2+2DEFB

\2

回(兀-6)=1?一geos6

+1+旦旦cos

,272722

因?yàn)閥,所以DBe—,貝川。4￡

47r一幣而

故答案為：—

3

四.解答題:本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(-1,4),8(-2,-1),。(2,3)

(1)求邊的高所在直線方程；

(2)_ABC的面積S

【答案】(1)x+y-3=0；(2)8.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)求斜率可得原c=l，進(jìn)而得出高的斜率匕=-1，由點(diǎn)斜式即可求解.

(2)求出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)A(-L4)到3c的距離，再利用兩點(diǎn)間的距離

公式求出|8C|,利用三角形的面積公式求解即可.

【詳解】(1)設(shè)8C邊的高所在直線為/,

3-(-1)-1

由題知kKC=——-=1則k,=—=-\,

，一(一2)KBC

又點(diǎn)A(—1,4)在直線/上所以直線I的方程為y-4=-lx(x+l)

即y-3=0

(2)8c所在直線方程為：y+l=lx(x+2)即x-y+l=O

1-1-4+11r

點(diǎn)A(-l,4)到BC的距離d=1+(二獷=2.2

又18ch2-2-+(—1—3)2=472

則SMC=L|BCR/」X4收x2收=8

22

18.如圖，在平面四邊形ABC0中，/。=|?，CD=屈,AACD的面積為等.

⑴求AC的長；

n

(2)若A5_LAD,4B=—,求3C的長.

4

【答案】(1)AC=3A/2(2)BC=3y[i

【解析】

【分析】(1)由三角形的面積公式求得4。=遙，再由余弦定理即可得到AC的長;

(2)由(1)可得NBAC=q,在AA3C中，利用正弦定理即可得8c的長.

【詳解】(1)：/。=|〃，CD=瓜,A4CD的面積為孚

S..rn=-ADCD-sinD=-xADx46x—=^-

MCD2222

A￡)=>/6

...由余弦定理得AC?=A。？+C02—2AO-C。.cos。=6+6—2x6x(—1)=18

2

/.AC=3^2

2

⑵由(1)知△ACD中AQ=后，CD=?ND=j

：.?DAC2

6

AB1AD,：.ZBAC=^

又=f，AC=3五

4

AC

.?.在AA3C中，由正弦定理得———

sinABACsinB

BC_3y[2

即逅=詆，,8c=3百

VT

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、面積公式在三角形中的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

19.甲、乙兩同學(xué)組成“星隊(duì)”參加“慶祝中國共產(chǎn)黨成立101周年”知識競賽.現(xiàn)有A、8兩類問題，競

賽規(guī)則如下：

①競賽開始時(shí)，甲、乙兩同學(xué)各自先從A類問題中隨機(jī)抽取一個(gè)問題進(jìn)行回答，答錯(cuò)的同學(xué)本輪競賽結(jié)束；

答對的同學(xué)再從8類問題中隨機(jī)抽取一個(gè)問題進(jìn)行回答，無論答對與否，本輪競賽結(jié)束.

②若在本輪競賽中甲、乙兩同學(xué)合計(jì)答對問題的個(gè)數(shù)不少于3個(gè)，則“星隊(duì)”可進(jìn)入下一輪.已知甲同學(xué)能

433

答對A類中問題的概率為一，能答對8類中問題的概率為一.乙同學(xué)能答對A類中問題的概率為一，答對

544

2

8類中問題的概率為;.

（I）設(shè)“甲答對o個(gè)，1個(gè)，2個(gè)問題”分別記為事件4、4、4,求事件4、4、4的概率；

（2）求“星隊(duì)”能進(jìn)入下一輪的概率.

113

【答案】（1）P（4）=,P（A）=g，P（4）=《

⑵*

【解析】

【分析】(1)利用對立事件的概率公式可求得P(4)的值，利用獨(dú)立事件的概率公式可求得P(4)、)

的值：

(2)設(shè)“乙同學(xué)答對1個(gè)、2個(gè)問題”別記為事件用、計(jì)算出尸(耳)、(男)的值，利用獨(dú)立事件

B2,P

和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.

【小問1詳解】

43

解：甲同學(xué)能答對A類中問題的概率為一，能答對B類中問題的概率為一，

54

414

??.P(4)=I-K，m)=-xp=x

DDJr^)?rr

【小問2詳解】

解：設(shè)“乙同學(xué)答對1個(gè)、2個(gè)問題”別記為事件與、B2,

乙同學(xué)能答對A類中問題的概率為二3，答對8類中問題的概率為2;.

43

4P3)=泊［

設(shè)事件。表示““星隊(duì)”能進(jìn)入下一輪”，

p(c)=p(”2)+?)+p(4耳)=3)+A?)尸(即+p(&)

P(P(A)PP(P(B2)

11313111

=——X1X1X—=,

52545220

故“星隊(duì)”能進(jìn)入下一輪的概率為1.

20

20.已知點(diǎn)P(2,2),圓。：/+/一8)，=0,過點(diǎn)P的動直線/與圓C交于A,3兩點(diǎn)，線段