2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)進(jìn)才中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含解析）

2023.2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)進(jìn)才中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9

月份）

一、單選題（本大題共4小題，共16.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知復(fù)數(shù)z=則argz=（）

A57r-j-j兀z-557r

ATB-6C-DT

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+3+“?+2?1=71（2"+1）時，從n=k推證n=k+l時，左邊增加的代數(shù)式是

（）

A.4k+3B.4/c+2C.2k+2D.2k+1

3.已知tana、tan.是方程/++4=。的兩個根，且a,/?e則a+/?等于（）

A.B.一莖C3或竽D.亨或一與

4.“圓幕定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個重要定理，它包含三個結(jié)論，其中一~、

個是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等，如圖，\

已知圓。的半徑2,點P是圓。內(nèi)的定點，且OP=「，弦AC,BD均過點P,則

下列說法錯誤的是（）

A.瓦？.正為定值?一,

B.力?云的取值范圍是[一2,0]

C.當(dāng)4C1B0時，荏.而為定值

D.|XC|?|BD|<16

二、填空題（本大題共12小題，共36.0分）

5.已知復(fù)數(shù)z=U，i為虛數(shù)單位，貝妖的虛部是____.

2—1

6.已知,、族為單位向量，且|2日一向=/3，則d,3的夾角為.

7.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,則|z+3-4i|（i為虛數(shù)單位）的最大值為.

8.函數(shù)y=tan（3x-力的單調(diào)增區(qū)間是.

9.在AABC中，鬻='（b+c+a）（b+c-a）=3bc,則△ABC的形狀為.

10.設(shè)平面向量Z3滿足日=（2,廳），ab=18,則B在日方向上的數(shù)量投影為.

11.若tana—^osa,JjJiJcos2a=.

OIoil1W

已知等差數(shù)列｛

12.a"的前n項和為%,且由<0,S6=S20，則L取最小值時，n=.

13.己知函數(shù)/(x)=sin(ojx+(p),如圖,4,B是直線y=與曲線y=/(x)

的兩個交點，若|陰屋，/第=.

14.如圖，等邊三角形4BC的邊長為2,以4為圓心，1為半徑作圓分別交4B,4c邊

于D,E,再以點C為圓心，CD的長為半徑作圓交BC邊于尸，連接E,F,那么圖中陰

影部分的面積為.

15.對于函數(shù)/(x)=sin(cosx)+cos(sinx),有以下命題①/(x—2兀)=f(x)②對于xe[0,n],有f(x+萬)>

。③f(x)是奇函數(shù)④/(x)的最大值大于，無，其中正確的命題有.

16.對于一個有窮正整數(shù)數(shù)列Q,設(shè)其各項為的,a2，…，限各項和為S(Q),集合{(iJ)Q>aj,l<i<j<m}

中元素的個數(shù)為T(Q),對所有滿足S(Q)=100的數(shù)列Q,則T(Q)的最大值為.

三、解答題(本大題共5小題，共48.()分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題6.0分)

已知復(fù)數(shù)z=m+2i是方程%2一6%+13=0的一個虛根(i是虛數(shù)單位，mE/?).

(1)求同;

(2)復(fù)數(shù)Zi=a-i,若另為純虛數(shù)，求實數(shù)a的值.

18.(本小題8.0分)

如圖，在平行四邊形力8C0中，點E是AB的中點，點尸，G分另I」是40,8c的三等分點(河==：BC).

設(shè)48=dfAD—b.

(1)用d,另表示前，EG.

(2)如果EFLEG,|a|=1,求區(qū)

AEB

19.(本小題10.0分)

記△ABC的內(nèi)角B,C的對邊分別為a,b,c,已知3s比=siM—+sin2c

⑴若△ABC的面積為觸2,求tcmB；

(2)若b=2,cosB=I，求△力BC的周長.

20.(本小題10.0分)

已知函數(shù)f(%)=2s譏(3%),其中常數(shù)3>0.

(1)若y=/(x)在［―也等上單調(diào)遞增，求3的取值范圍；

(2)令3=2,將函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移看個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，區(qū)

間［a,b］(a,6€/?且。<6)滿足：y=g(x)在［a,b］上至少含有30個零點，在所有滿足上述條件的口貝中，

求6-Q的最小值.

21.(本小題14.0分)

設(shè)數(shù)列｛an｝的前幾項和為右，且又=2%-2'+1,數(shù)列｛%｝滿足垢=log2^,其中n€N*.

(1)證明｛翁｝為等差數(shù)列，求數(shù)列｛a"的通項公式；

(2)求數(shù)列｛普｝的前n項和為乙；

(3)求使不等式(1+^)-(1+^)...(1+3:)>m-/砥二；對任意正整數(shù)n都成立的最大實數(shù)m的值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：因為z=V-3—i=2(——1i)=2(cos^-^+isi九”^),

LLoo

所以argz=答.

故選：C.

把復(fù)數(shù)變?yōu)橐粋€角的三角形式即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+3+…+2n=n(2n+1)時，

從n=k推證M=k+1時，左邊增加的代數(shù)式=(k+l)[2(/c+1)+1]-k(2k+1)=4k+3.

故選:A.

用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+3+…■l-2n-n(2n+1)時，從n=k推證n=k+1時，左邊增加的代數(shù)式=(fc+

l)[2(k+l)+l]-fc(2/c+l).

本題考查了數(shù)學(xué)歸納法、方程思想，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

3.【答案】B

【解析】解：由題意知，tana+tcmO=—3，3c0，tanatan/?=4>0,

所以tan(a+0)==V-3'且tana,tcm夕同為負(fù)，

因為a,/?6(一表今，所以a,/?e(-p0),

所以a+夕€(―江,0),

又tan(a+￡)=V"所以a+0=一學(xué)

故選：B.

結(jié)合韋達(dá)定理與兩角和的正弦公式，求得tan(a+0)=q,再根據(jù)a,夕的取值范圍，得解.

本題考查三角函數(shù)的求值，熟練掌握兩角和的正弦公式，韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：對于4如圖,

設(shè)直線P。與圓。相交于E,F,則宜.定=-\PA\-\PC\=-\EP\\PF\=-(|0F|-\PO\)(\OE\+|P0|)

=|P0『-\E0\2=2,故A正確；

對于B：取AC的中點為M,連接。M,則耐.元=（而+福）?（麗+祝）

-OM2-MC2-20M2-4-又0W而『3|0p/=2，所以方?元的取值范圍為[-4,0],故B錯誤；

對于C：當(dāng)AC1BD時，AB-CD=（AP+PBy（CP+PD）=AP-CP+PB-PD

=-\AP\-\CP\-\PB\-\'PD\=-2\EP\\PF\=-4,故C正確；

對于。：因為|而|W4，|前|W4，所以|而|?|前|W16，因4C,80不能同時過圓心，

故不能取等號，|而||前|<16，故。正確.

故選：B.

對于4：設(shè)直線P。與圓。相交于E,F,則明.定=一|同||同=「。|2-區(qū)。|2,即可判斷4是否正確；對

于B：取4c的中點為M,連接。M,則瓦？.沆?=（麗+而彳）.（詞+祝）=麗2一祝2=2而2_4,又

0<0M2<\OP\2=2,即可得出函,沆1的取值范圍，即可判斷是否B正確;對于C：當(dāng)4c1BD時，麗?麗=

（而+而）?（方+而）=--2|EP||PF|,即可判斷C是否正確；對于。：由|近|W4,|BD|<4>即可判斷。是

否正確；

本題考查向量的運(yùn)算，解題中注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

5.【答案】|

1-i_(l-i)(2+i)_3-i_31.

【解析】解：因為z2^i=(2T)(2+i)=~=5~Sl

所以z='+"i,虛部為，.

故答案為：

先化簡復(fù)數(shù)z,再求出得到虛部.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】'

【解析】解：由|2五—b\=兩邊平方得4五2—4,?B+京=3,

又悶=\b\=1?

所以益?h=

所以cos（乙另）=

又位歷6[0,n]f所以〈五,b）=,

故答案為:

根據(jù)兩個向量夾角的余弦公式求得結(jié)果.

本題考查的知識要點：向量的模，向量的夾角，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于中檔題.

7.【答案】6

【解析】解：設(shè)2=%+yi（x,y為實數(shù)），

則復(fù)數(shù)z滿足|z|=1的幾何意義是以原點為圓心，以1為半徑的圓上的點，

則憶+3-44=J（%+3,+（y-4）2表示的幾何意義是圓上的點到（一3,4）的距離,

根據(jù)圓的性質(zhì)可知，所求最大值為J（一3-0）2+（4-0）2+1=6.

故答案為：6.

由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的兒何意義及圓的性質(zhì)即可求解.

本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義及圓性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】停一工片+》，kez

【解析】解：對于函數(shù)丫=tan（3x-力，令卜兀一^＜3x-；＜卜兀+看keZ,

求得與一行＜x（浮+%kGZ,

可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（萼-$殍+%keZ.

31ZJ4

故答案為:得一"有+》,kez.

由題意，利用正切函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論.

本題主要考查正切函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】等邊三角形

【解析】解：由正弦定理士=嗎=￡所以c=b,

csmBb

22

代入(b+c+a)(6+c—a)=3Z?c得3b2=(2b+a)(2b—a)=4b—a,Ab=a,

所以a=b=c,三角形為等邊三角形.

故答案為：等邊三角形.

由正弦定理化角為邊得6=c,再代入另一已知條件得8=a,從而得三角形形狀.

本題主要考查三角形的形狀判斷，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】6

【解析】解：另在3方向上的數(shù)量投影I3|cos@B)=署=J22，5)2=6.

故答案為：6.

根據(jù)投影的定義即可結(jié)合數(shù)量積求解.

本題主要考查向量的投影，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】\

【解析】解：tana=言鬻，

DIollllv

cosa

則四竺_~9即3sina+sin2a+cos2a=0,即3si?iQ+1=0,解得sina=—J,

cosa3+sma3

故cos2a=1—2sin2a=1—《=：?

7y

故答案為：

根據(jù)已知條件，先對原式變形，求出s譏a的值，再結(jié)合二倍角公式，即可求解.

本題主要考查二倍角的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】13

【解析】解：由題意知由<0,S6=S20,設(shè)等差數(shù)列｛冊｝的公差為d,

則6al+15d=20al+190d,即175d=-14av

因為即<0,故d>0,即等差數(shù)列｛即｝為首項是負(fù)值的遞增數(shù)列，

又由56=S20可得a:+。8+…+a2。=0,

即7(%3+?14)=0，故%3<0，?14>0，

即等差數(shù)列｛即｝前13項為負(fù)，從第14項開始為正，

故又取最小值時，n=13.

故答案為：13.

根據(jù)56=S20,利用等差數(shù)列前n項和公式推得175d=-14%,結(jié)合的<。判斷d>0,再結(jié)合等差數(shù)列性

質(zhì)可推出。13<0,a14>0,即可求得答案.

本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

13.【答案】?

【解析】解：由于函數(shù)/'(X)=sin(<ox+w)，A,B是直線y=；與曲線y=/(x)的兩個交點，

則可設(shè)出修1),8(*2，；)，

若|48|=2,則%2-與建，

由s譏％=：可知，%=2+2々?；颍?等+2/CTI,kEZ,

2o6

由圖可知，a)x2+(p-(3/+0)=弓一名=與，

所以可得W%2—%1)=手

所以3=4,

因為fg)=sin(y4-(p)=0,

所以:+?=—kEZ,

可得W=+/C7T,kEZf

所以f(%)=sin(4x—與+kn)=sin(4x—+lai),

所以f(%)=sin(4x—等或f(%)=-sin(4x—同),

又因為f(0)<0,

所以/(%)=sin(4x-爭,

所以f岑)=sin(4x與一%=sing=?.

故答案為：￡3.

設(shè)401，券8(小3)，依題可得，%2-%1結(jié)合sinx=：的解可得3(小一%1)=手從而得到3的值，再

根據(jù)/(爭=0以及/(0)<0,即可得/"(x)=sin(4x-爭，進(jìn)而求得/(年).

本題考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.【答案】卷+?一

1224

【解析】解：過4作力M-LBC于M,EN人BC于N,

因為等邊三角形4BC的邊長為2,Z.BAC==乙4cB=60°,

所以4M=?BC=?x2=O-

因為AD=AE=1,

所以40=BD,AE=CE,

所以EN==?，

所以圖中陰影部分的面積為

S4ABe-S扇形ADE—SACEF-GABCD一，扇形Dc￡

1「60X77X121y/~31L30X7TX(C)2

=2X2X^-^60--尹小丁-(/2'門-------360一)

兀，

=+G-—3.

1224

故答案為:21+￡3_3

1224

過4作AMJ.BC于M,EN上BC于N,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到4M,求出EN,根據(jù)三角形的面積和扇形

的面積公式求解即可.

本題考查了扇形的面積計算問題，也考查了運(yùn)算求解能力，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

15?【答案】①②④

【解析】解：①/(%—2兀)=sin(cos(x-2兀))+cos(sin(x-2兀))=sin(cosx)+cos(sinx)=/(%)>故選

項①正確；

②/(x+兀)=sin(cos(x+7T))+cos(sin(x+TT))=sin(—cosx)+cos(—sinx)=—sin(cosx)+cos(sinx),

當(dāng)xe[0,兀]時，cosx+sinx<>/-2<]=cosx<^-sinx,sinxe[0,1]=尹sinxe[^-1,^],而y=sinx

在[0,自上單調(diào)遞增，

?1?sin(cosx)<sin(^-sinx)=cos(sinx),.?.當(dāng)xe[0,zr]時，f(x+兀)>0,故選項②正確；

③/'(x)的定義域為R,/(0)=sinl+cosO=sinl+1^0,故選項③錯誤；

④/'(0)=sin(cosO)+cos(sinO)=sinl+cosO=sinl+1>?+1>\[~2>故選項④正確；

故選：①②④.

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別判斷各選項.

本題考查三角函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】1250

【解析】解：①存在大于1的項，否則此時有7\Q)=0；

@am=1,否則將am拆分成1個1后7(Q)變大；

③當(dāng)t=l,2,m-l時，有否則交換生,&+i順序后7(Q)變?yōu)門(Q)+1,

進(jìn)一步有生-e{0,1},否則有%>at+1+2,此時將&改為&-1,并在數(shù)列末尾添加一項1,此時T(Q)

變大；

④各項只能為2或1,否則由①②③可得數(shù)列Q中有存在相鄰的兩項4=3,4+1=2,

設(shè)此時Q中有x項為2,則將g改為2,并在數(shù)列末尾添加一項1后，

7(Q)的值至少變?yōu)門(Q)+x+1-x=7(Q)+1；

⑤由上可得數(shù)列Q為2,2,2,1,1-??,1的形式，設(shè)其中有％項為2,有y項為1,

則有2x+y=100,從而有T(Q)=xy=(100—2x)x=-2x2+100%,

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)二窩時，T(Q)最大為1250.

故答案為：1250.

根據(jù)給定條件，分五步證明對所有滿足S(Q)=100的數(shù)列Q，求出7(Q)的最大值作答.

本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題.

17.【答案】解：(l)z=m+2i是方程/—6x+13=0的一個虛根，

則W=m-2i也是方程/-6%+13=0的一個虛根，

故t(m-2i)(>n+2i)=13'解侍加一3,

z=3+23

所以|z|=732+22=<13；

(2)zt=a—i,

INI2_3+2i_(3+2i)(a+i)_3a-23+2a.

、Zia—i(a—i)(a+i)a2+la2+l"

???f?為純虛數(shù)，

解得a=|.

13+2QH03

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合韋達(dá)定理，以及共輾復(fù)數(shù)的定義，求出m,再結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解；

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及純虛數(shù)的定義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：⑴由題可得：EF=AF-AE=^AD-^AB=^b-^a,

1111

-+---+-

IG=EB+BG23FC232S3

(2)因為EfJ.EG,所以EFJ.EG，

所以前?前=頡).(頡+頡)=#一扣2=o,

因為|初=1,所以既/一［=0,解得|了|=*

【解析】(1)由平面向量的線性運(yùn)算直接計算即可；

(2)由題得到前.麗=0,結(jié)合(1)可得回的方程，求解即可.

本題考查平面向量的線性運(yùn)算和垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：⑴由3sin2B=sin2j4+sin2c及正弦定理得3b2=a2+c2,

因為△力8c的面積為:爐,

acsinB=gb?,

因為爐=a2+c2—2accosB,

a2+c2-b2b2

所以ac=

2cosB-cosB

2

所以次TSinB=：b2,

所以tcmB=I；

(2)由余弦定理得非=a2+c2—2accosB,

7

又3b2=a2+c2,b=2,cosB=

所以爐=3b2—

則〃=|四，

所以QC=6,

22

所以(Q+c)?=a+c+2ac=3b2+lac=124-12=24,

解得a+c=2\/6,

故^ABC的周長為2+2，石.

【解析】(1)利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，結(jié)合三角形的面積公式求得tanB.

(2)利用余弦定理求得ac,進(jìn)而求得a+c,從而求得三角形的周長.

本題考查了正弦定理及余弦定理，重點考查了三角形的面積公式，屬中檔題.

20.【答案】解：⑴因為3>0,y=f(x)=2s譏3X在［一，爭上單調(diào)遞增，

3>兀

一

7T一

42-3

得

解O<<

期-

-4

3<7T-

32

??.3的取值范圍為(0,力.

(2)令3=2,將函數(shù)y=/(x)=2sin2x的圖象向左平移沙單位長度，可得函數(shù)y=2s譏2Q+奇=

2s譏0+今的圖象；

再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)y=g(x)=2sin(2x+1)+1的圖象，

令。(%)=0，求得sin(2x+g)=-2，

2x+弓=2/CTTH~~—?或2x+-=2knH——,k€z,

3636

求得％=而+工或％=/C7T+乎，kEZ,

故函數(shù)g(x)的零點為》=Mr+駕或％=ATT+羊，kEZ

???相鄰兩個零點之間的距離為拜手

若b-a最小，則a和匕都是零點，此時在區(qū)間［見汗+甸，［見2〃+Q］,…，口加〃+Q］(znWN*)分別恰有3,5,

…,2m+1個零點，

所以在區(qū)間口14〃+甸是恰有29個零點，從而在區(qū)間(14〃+a,可至少有一個零點，

---b—a—147r>宗

另一方面，在區(qū)間塔,14兀+升汾恰有30個零點，

因此b-a的最小值為14兀+g=等?

>-7

【解析】(1)依題意可得｛2/n，解之即可.

(2)由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin(3X+卬)的圖象變換規(guī)律，可得g(x)的解析式，令g(x)=0,即可解出零點的

坐標(biāo)，可得相鄰兩個零點之間的距離.若b—a最小，則a和b都是零點，此時在區(qū)間口6兀+幻(小€/7")恰

有2m+1個零點，所以在區(qū)間阿14兀+a]是恰有29個零點，從而在區(qū)間(14兀+a,0至少有一個零點，即可

得到a,b滿足的條件.進(jìn)一步即可得出b-a的最小值.

本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運(yùn)算求解能力，