數(shù)列求和的八種重要方法與例題

關(guān)于數(shù)列求和的八種重要方法與例題

幾種重要的求和思想方法：1.倒序相加法.

2.錯(cuò)位相減法.3.法：.4.裂項(xiàng)相消法：第2頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天倒序相加法:

如果一個(gè)數(shù)列{an}，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和（都相等，為定值），可采用把正著寫(xiě)和與倒著寫(xiě)和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法.類型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……第3頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天典例.已知求S.2.倒序相加法第4頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.錯(cuò)位相減典例3:1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=？當(dāng){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和適用錯(cuò)位相減通項(xiàng)第5頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天錯(cuò)位相減法：

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法.既{anbn}型等差等比第6頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天4、裂項(xiàng)相消第7頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天分裂通項(xiàng)法：

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為分裂通項(xiàng)法.（見(jiàn)到分式型的要往這種方法聯(lián)想）第8頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天同類性質(zhì)的數(shù)列歸于一組，目的是為便于運(yùn)用常見(jiàn)數(shù)列的求和公式.拆項(xiàng)分組求和:典例5：數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=2n+2n-1，求該數(shù)列的前n項(xiàng)和.第9頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天分組求和法：

把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，或把數(shù)列的項(xiàng)“集”在一塊重新組合，或把整個(gè)數(shù)列分成兩部分，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一求和方法稱為分組求和法.{an+bn+cn}等差等比錯(cuò)位相減或裂項(xiàng)相消第10頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天典型6：1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？局部重組轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)數(shù)列并項(xiàng)求和第11頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天交錯(cuò)數(shù)列，并項(xiàng)求和既{（-1）nbn}型第12頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)10：已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）=20=-21第13頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天總的方向：1.轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和2.轉(zhuǎn)化為能消項(xiàng)的思考方式：求和看通項(xiàng)（怎樣的類型）若無(wú)通項(xiàng)，則須先求出通項(xiàng)方法及題型：1.等差、等比數(shù)列用公式法2.倒序相加法5.拆項(xiàng)分組求和法4.裂項(xiàng)相消法3.錯(cuò)位相減法6.并項(xiàng)求和法第14頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天深化數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想方法：

第15頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天第16頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天第17頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天熱點(diǎn)題型1：遞歸數(shù)列與極限.設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a≠，且,記，n＝l，2，3，…·．（I）求a2，a3；（II）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（III）求．（I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+第18頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天熱點(diǎn)題型1：遞歸數(shù)列與極限.設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a≠，且,記，n＝l，2，3，…·．（I）求a2，a3；（II）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（III）求．

因?yàn)閎n+1＝a2n+1－=a2n－=(a2n－1－)=bn,(n∈N*)

所以{bn}是首項(xiàng)為a－,公比為的等比數(shù)列

第19頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天熱點(diǎn)題型1：遞歸數(shù)列與極限.設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a≠，且,記，n＝l，2，3，…·．（I）求a2，a3；（II）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（III）求．第20頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天熱點(diǎn)題型2：遞歸數(shù)列與轉(zhuǎn)化的思想方法.數(shù)列{an}滿足a1=1且8an+1-16an+1+2an+5=0(n

1)。記(n

1)。(1)求b1、b2、b3、b4的值；(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn。

第21頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天熱點(diǎn)題型2：遞歸數(shù)列與轉(zhuǎn)化的思想方法.數(shù)列{an}滿足a1=1且8an+1-16an+1+2an+5=0(n

1)。記(n

1)。(1)求b1、b2、b3、b4的值；(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn。

第22頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天第23頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天第24頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天第25頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天熱點(diǎn)題型3：遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足：a0=1，(n

N)（1）證明an<an+1<2(n

N)（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1°當(dāng)n=1時(shí)，∴；

2°假設(shè)n=k