狀態(tài)空間分析

關(guān)于狀態(tài)空間分析9.3.1

由系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式例9-2

力、彈簧、阻尼器組成的機(jī)械系統(tǒng)由牛頓定律其中，輸入為F(t),輸出為位移y(t).若已知初始位移和初始速度，則可唯一確定系統(tǒng)在輸入作用下的解。第2頁,共61頁，2024年2月25日，星期天可選擇位移和速度作為狀態(tài)變量狀態(tài)方程為輸入系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為第3頁,共61頁，2024年2月25日，星期天例9-3

機(jī)械系統(tǒng)如圖所示，若不考慮重力的作用，試寫出以拉力F為輸入，質(zhì)量m1和m2的位移y1和y2為輸出的狀態(tài)空間表達(dá)式。解根據(jù)牛頓定律，分別列寫關(guān)于m1和m2的方程選擇4個(gè)互相獨(dú)立的狀態(tài)變量。第4頁,共61頁，2024年2月25日，星期天第5頁,共61頁，2024年2月25日，星期天9.3.3由微分方程建立狀態(tài)空間描述步驟：直接根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立相應(yīng)的微分(連續(xù)系統(tǒng)）或差分（離散系統(tǒng)）方程組。針對微分方程，定義一組狀態(tài)變量，建立狀態(tài)方程，并根據(jù)系統(tǒng)輸出和狀態(tài)之間的關(guān)系，建立系統(tǒng)的輸出方程。狀態(tài)變量的選取

1.狀態(tài)變量的選取是非唯一的。

2.選取方法

（1）可選取初始條件對應(yīng)的變量或與其相關(guān)的變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。

（2）可選取獨(dú)立儲能（或儲信息）元件的特征變量或與其相關(guān)的變量作為控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量。（如電感電流i、電容電壓uc

、質(zhì)量m

的速度v

等）第6頁,共61頁，2024年2月25日，星期天(1)

線性微分方程中不含有輸入函數(shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

設(shè)單輸入/單輸出的控制系統(tǒng)的動態(tài)過程由下列n階微分方程來描述輸出信號及其各階導(dǎo)數(shù)u系統(tǒng)的輸入信號若已知初始條件及時(shí)刻的輸入信號u(t)，則系統(tǒng)在任何時(shí)刻的行為便可完全確定。第7頁,共61頁，2024年2月25日，星期天狀態(tài)變量可取為可寫為第8頁,共61頁，2024年2月25日，星期天狀態(tài)空間表達(dá)式C=[100…0]其中，各矩陣為,A=,B=第9頁,共61頁，2024年2月25日，星期天由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式的例題見書例9－3b根據(jù)上式繪制的狀態(tài)變量之間關(guān)系的方塊圖,也稱狀態(tài)變量圖,如圖所示，每個(gè)積分器的輸出都是對應(yīng)的一個(gè)狀態(tài)變量，狀態(tài)方程由積分器的輸入輸出關(guān)系確定，輸出方程在輸出端給出

：第10頁,共61頁，2024年2月25日，星期天例9-4

設(shè)一控制系統(tǒng)的動態(tài)過程用微分方程表示為u，y分別為系統(tǒng)的輸入和輸出信號，試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。解：選取狀態(tài)變量為寫成標(biāo)準(zhǔn)形式第11頁,共61頁，2024年2月25日，星期天(2)輸入信號包含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的n階微分方程系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)由下列n階微分方程來描述若采用上述方法選取狀態(tài)變量，則可化成一階微分方程組方程組中，出現(xiàn)了u(t)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，不能采用以上方法。第12頁,共61頁，2024年2月25日，星期天選擇狀態(tài)變量的原則：在包含狀態(tài)變量的n個(gè)一階微分方程構(gòu)成的系統(tǒng)狀態(tài)方程中，任何一個(gè)微分方程都不能含有作用函數(shù)/輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。

若輸入信號在時(shí)刻出現(xiàn)有限跳躍，如階躍函數(shù)，則在t0時(shí)刻出現(xiàn)脈沖函數(shù)，在t0時(shí)刻將是更高階的脈沖函數(shù)，狀態(tài)軌跡則在t0時(shí)刻產(chǎn)生無窮大跳躍。故此時(shí)不能按照前面的方法將系統(tǒng)的輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)直接選作系統(tǒng)的狀態(tài)變量，因?yàn)檫@組狀態(tài)變量已經(jīng)不具備在已知系統(tǒng)輸入和初始狀態(tài)條件下完全確定系統(tǒng)未來運(yùn)動狀態(tài)的特性。第13頁,共61頁，2024年2月25日，星期天選取狀態(tài)變量由此可得輸出方程n-1個(gè)狀態(tài)方程可寫成第14頁,共61頁，2024年2月25日，星期天對xn求導(dǎo)將y(n)代入第15頁,共61頁，2024年2月25日，星期天將上式中所有的輸出項(xiàng)以及輸出的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都用狀態(tài)和輸入的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)表示有可寫成可以保證系統(tǒng)有唯一解。第16頁,共61頁，2024年2月25日，星期天

A=

B=C=[100…0]，將微分方程組改寫成矩陣向量形式第17頁,共61頁，2024年2月25日，星期天例9-5

設(shè)一控制系統(tǒng)的動態(tài)方程用微分方程表示為

試求該控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。解：與下式比較可得選取狀態(tài)變量第18頁,共61頁，2024年2月25日，星期天狀態(tài)方程為系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為第19頁,共61頁，2024年2月25日，星期天一般形式：當(dāng)式中b0=0時(shí)，還可以按如下規(guī)則選擇另一組狀態(tài)變量。設(shè)第20頁,共61頁，2024年2月25日，星期天則得到輸出方程為第21頁,共61頁，2024年2月25日，星期天繼續(xù)變換，則得到第22頁,共61頁，2024年2月25日，星期天對x1求導(dǎo)，并將y

(n)用代入后整理得第23頁,共61頁，2024年2月25日，星期天d=0第24頁,共61頁，2024年2月25日，星期天例9-5（續(xù)）

設(shè)一控制系統(tǒng)的動態(tài)方程用微分方程表示為

試求該控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。解：與下式比較可得選取狀態(tài)變量第25頁,共61頁，2024年2月25日，星期天所以狀態(tài)空間表達(dá)式為對于一個(gè)給定的系統(tǒng)而言，狀態(tài)變量的選取并不是唯一的。第26頁,共61頁，2024年2月25日，星期天例9-6

設(shè)有雙輸入－雙輸出的二階系統(tǒng)，其運(yùn)動方程為

試寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式解：按最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)求解y1、y2的方法，對以上兩方程積分第27頁,共61頁，2024年2月25日，星期天選取狀態(tài)變量由y1的表達(dá)式可得選取狀態(tài)變量則有由y2的表達(dá)式，有綜上第28頁,共61頁，2024年2月25日，星期天將上述方程寫成矩陣方程形式，有系統(tǒng)輸出矩陣方程為第29頁,共61頁，2024年2月25日，星期天9.3.3

由狀態(tài)變量圖求狀態(tài)空間描述狀態(tài)變量圖描述系統(tǒng)狀態(tài)變量之間關(guān)系的圖，由積分環(huán)節(jié)、比例環(huán)節(jié)和相加符號組成。狀態(tài)變量圖的特點(diǎn)：每一個(gè)積分環(huán)節(jié)的輸出都代表系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)變量第30頁,共61頁，2024年2月25日，星期天P276,例9-7：方框圖（結(jié)構(gòu)圖）

狀態(tài)變量圖步驟：結(jié)構(gòu)圖由典型環(huán)節(jié)構(gòu)成；將一階慣性環(huán)節(jié)、二階震蕩環(huán)節(jié)分解成局部狀態(tài)圖；設(shè)定每一個(gè)積分環(huán)節(jié)的輸出為一個(gè)狀態(tài)變量，畫出狀態(tài)變量圖。第31頁,共61頁，2024年2月25日，星期天例9-7

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖，并由圖列寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。解將系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)改寫成令第32頁,共61頁，2024年2月25日，星期天第33頁,共61頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)：P3489-3，9-6，9-9第34頁,共61頁，2024年2月25日，星期天將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間描述將狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)9.3.4系統(tǒng)傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間描述（1）傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間描述第35頁,共61頁，2024年2月25日，星期天選取狀態(tài)變量第36頁,共61頁，2024年2月25日，星期天若有，則輸出方程的前兩項(xiàng)為零。此法也可用來求取微分方程中含有輸入信號的導(dǎo)數(shù)時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，注意與前面介紹的方法不同的是B和C不同。第37頁,共61頁，2024年2月25日，星期天例9-8

設(shè)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試求該統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。解狀態(tài)方程為輸出方程為第38頁,共61頁，2024年2月25日，星期天

傳遞函數(shù)的串聯(lián)實(shí)現(xiàn)傳遞函數(shù)為兩多項(xiàng)式相除形式，分子多項(xiàng)式（Numerator）為分母多項(xiàng)式（Denominator）如果為G(s)的m個(gè)零點(diǎn)，為G（s）的n個(gè)極點(diǎn)，那么G(s)可以表示為：第39頁,共61頁，2024年2月25日，星期天所以系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)可以由共n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，如圖（a）所示。其結(jié)構(gòu)圖可以是如圖（b）中虛框表示。(a)對第一個(gè)環(huán)節(jié)，由于：第40頁,共61頁，2024年2月25日，星期天(b)m=n-1的情況我們令各個(gè)積分器的輸出為系統(tǒng)狀態(tài)變量，則得系統(tǒng)狀態(tài)方程為：第41頁,共61頁，2024年2月25日，星期天第42頁,共61頁，2024年2月25日，星期天傳遞函數(shù)的并聯(lián)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程。當(dāng)Den(s)=0有n個(gè)不等的特征根（）G(s)可以分解為n個(gè)分式之和，即：，稱作系統(tǒng)對應(yīng)極點(diǎn)pi的留數(shù)。

其中其中，第43頁,共61頁，2024年2月25日，星期天上式可以用如圖所示的并聯(lián)方式實(shí)現(xiàn)。(a)(b)并聯(lián)實(shí)現(xiàn)(無重根)第44頁,共61頁，2024年2月25日，星期天從圖（b）我們可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程：輸出方程為：寫成矢量形式為：請注意，這里的系統(tǒng)矩陣A為一標(biāo)準(zhǔn)的對角型。第45頁,共61頁，2024年2月25日，星期天

如果狀態(tài)變量選擇為第46頁,共61頁，2024年2月25日，星期天那么系統(tǒng)輸出則為同樣，經(jīng)過反拉氏變換并展成矩陣形式有對角陣標(biāo)準(zhǔn)型

第47頁,共61頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)上述G(s)的分母Den(s)=0有重根時(shí)，不失一般性，假設(shè)：即為q重根，其它為單根。這時(shí)G(S)可以分解為：其中：

i=1,2,…,qj=q+1,q+2,…,n第48頁,共61頁，2024年2月25日，星期天并聯(lián)實(shí)現(xiàn)（有重根）第49頁,共61頁，2024年2月25日，星期天取圖中每個(gè)積分器輸出為狀態(tài)變量，則有：第50頁,共61頁，2024年2月25日，星期天注意這里的A為一約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。第51頁,共61頁，2024年2月25日，星期天例

求下列傳遞函數(shù)的并聯(lián)實(shí)現(xiàn)解：分母各項(xiàng)多項(xiàng)式分解可得系統(tǒng)并聯(lián)實(shí)現(xiàn)的動態(tài)方程為：第52頁,共61頁，2024年2月25日，星期天系統(tǒng)動態(tài)方程和系統(tǒng)傳遞函數(shù)（陣）都是控制系統(tǒng)兩種經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)模型。動態(tài)方程不但體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入輸出的關(guān)系，而且還清楚地表達(dá)了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量的關(guān)系。傳遞函數(shù)只體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系。從傳遞函數(shù)到動態(tài)方程是個(gè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的問題，這是一個(gè)比較復(fù)雜的并且是非唯一的過程。但從動態(tài)方程到傳遞函數(shù)（陣）卻是一個(gè)唯一的、比較簡單的過程。(2)將狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)第53頁,共61頁，2024年2月25日，星期天單輸入/單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)設(shè)一單輸入/單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為D為標(biāo)量設(shè)初始條件為零，對上式進(jìn)行拉氏變換可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為第54頁,共61頁，2024年2月25日，星期天例9-9

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為

求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解