特色題型專練03 最值問題-相似、三角函數、二次函數-2024年中考數學考試易錯題

上一動點，連接AP，以AP為斜邊在其左側作Rt△APM，使上APM=上B，連接CM，則CM的最小值為()一個動點，以MP為邊在MP右側作R4．如圖，在矩形ABCD中，BC=1，AB≥2，點E是邊CD上的一個動點，連接EA并延長至點F，且AE=2AF，以BE，EF為邊作平行四邊形BEFG，連接GE，則GE的最5．如圖．已知△ABC中，BC=8，直線lⅡBC分別交邊AB、AC于點D、E，F(xiàn)是BC上任意一點，若△ABC的面積為24，則△DEF面積的最大6．如圖，在平面直角坐標系xOy中，A(2,0)，B(0,2)，ΘC的圓心為點C(-1,0)，半徑為1．若D是ΘC上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則△ABE面積的最大值是 7．如圖，在Rt△ABC中，7ABC=90O，AB=4，BC=3，點D是AB上一點，連接DC，DETDC，E點在直線AB下方且tan7DEC=2，連接AE，則△ADE面積的最大為一邊在BC邊上方作正方形CDEF，連接BE，則△BDE的面積的最大值9．如圖，在△ABC中，7A=90O，AB=AC=4，點E點P是在以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動點，則PB十PC的最小值等于()ΘC，P為ΘC上一動點，連接AP、BP，則AP+BP的最小值為() 上一動點，求PC＋PD的最小值.動點，滿足7APB=90O，連接PE繞點P逆時針旋轉90O至PF，連接CF，則CF的最小值為() AF+FE+EC的最小值為()15．如圖，在△ABC中，AB=AC=4，AF丄BC于點F，BH丄AC于點H．交AF于值時，BE的長為. 18．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線x2-2的頂點為A點，且與x19．在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B為為線段OA上一動點，則BC+AC的最小值是.20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A坐標為為線段OA上一個動點，則AB+2BC的最小值為. 21．如圖，△ABC是等邊三角形，AB=83，E線段ED繞點E逆時針旋轉90O，得到線段EF，當點D運動時，則AF的最小值為 22．如圖，在平面直角坐標系中，Rt△AOB的一條直角邊OB 點，連接AM．將Rt△COD以點O為旋轉中心按順時針方向旋轉，在旋轉過程中，線段AM的最小值是() 23．如圖，在矩形ABCD中，DC=4，tan上CAD=，E是AD上一個動點，過點E作24．如圖，O為菱形ABCD對角線的交點，點E和點F分別在邊AB和邊BC上，且滿足S四邊形OEBF=S菱形ABCD，連接EF，若菱形ABCD的邊長為10，sinA=，則EF長度確的結論有().)的部分圖象L如圖所示，點O是坐標系的原點，點P是圖象L對稱軸上的點，圖象L與y軸交于點C，則下面結論：①關于x的方程是()27．如圖，拋物線x+15與y軸交于點A，與x軸交于B、C，點A關于拋物線對稱軸的對稱點為點D，點E在y軸上，點F在以點C為圓心，半徑為2的圓28．如圖，拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點P是拋物線的對稱軸上一動點，連接AP和CP，則AP+CP的最小值是.確的是()A．q-p有最大值，也有最小值B．q-p有最大值，沒有最小值C．q-p沒有最大值，有最小值D．q-p沒有最大值，也沒有最小值A．-4或-B．4或-C．-4或D．4或最小值為-1，則bc的值為.33．如圖，拋物線y=x2+2x-3與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C．點D是第三象限拋物線上一動點，連接AD,AC,CD．則△ACD面積的最大值等于()分別作x軸、y軸的平行線，分別交直線AB于F，H兩點，過點P作AB的垂線，垂足為G．下列說法中正確的是()A．GH的最大值為2B．FG的最大值為235．如圖，拋物線y=-x2+bx與直線y=2x相交于點A(4,m)，B為線段OA上一點，過點B作y軸的平行線，交拋物線于點C.（1）b的值為.（2）BC長度的最大值為.2最大值與正方形OABC有交點時m的最大值和最小值分別是()沿直線AP翻折，點B落在點E處；在CD上有一點M．使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N，連接MA，NA．則以下結論中正確的是()①線段AM長度的最小值為5；②四邊形AMCB的面積最大值為10；④當P為BC中點時，AE是線段NP的垂直平分線.39．如圖，拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點，拋物線的頂點為D，點C為AB的中點，以C為圓心，AC長為半徑在x軸的上方作一個半圓，點E為半圓上一動點，連接DE，取DE的中點F，當點E沿著半圓從點A運動至點B的過程中，線段AF的最小AB=15，從而得出即說明當BP最小時，CM最小．又根據當B的最小值.【詳解】如圖，連接BP.:△APM∽△ABC，:△MAC∽△PAB，:當BP最小時，CM最小.:CE=BE，較難．證明出當BP丄CE時，BP最小，此時CM最小是解題關鍵.【詳解】解：如圖，過點F作BC的垂線，交BC的延長線于點H，:FH//CD，上H=上B，:四邊形CDFH是梯形，:△FEH∽△EAB，:==，G為AE的中點，:EF=EG=，:CH=BE=x，及三角形面積等知識；熟練掌握旋轉的性質和矩形的性質，證明△FEH∽△EAB是解題的關鍵.【分析】因為△AMQ的周長為AM＋AQ＋MQ，其中AM的長可以由直角△ABM中利用勾股定理求得，為定值，所以只需要求得AQ＋MQ的最小值即可，由題意可得，點A，M為定點，Q為動點，即“一動兩定”問題，只需要找到動點Q以過A作關于NH的對稱點K，連接KM交NH于Q，AQ＋MQ的最小值定理可求出KM的值，即可解決.“△MPQ是直角三角形，且PM＝PQ，:△AMN一△PMQ，:=，:△MAP一△MNQ，:直線NH與直線AD夾角為45°,:Q在經過N點且與直線AD夾角為45°的直線NH上運動，在△AME與△NAF中，{ZAME＝ZNAF，{ZAME＝ZNAF，lAM＝NA:△AME≥△NAF（AAS:AE＝NF，EM＝AF，:BM＝4，:四邊形ABME是矩形，:FH＝NF＝4，:AH＝AF＋FH＝5＋4＝9， 在直角△ABM中，AM=·AB2＋BM2=,如圖3，過A作關于直線NH的對稱點K:AQ＋QM＋AM＝QK＋QMMK＋為△ABC的周長的最小值，連接KH并延長交BC于T，:四邊形EMTH為矩形，在直角△MTK中，KT＝KH＋HT＝14，MT＝5，:△AMQ的周長最小值為+,【點睛】本題考查了最短路徑問題，如何將AQ＋QM的最小值問題轉化為將軍飲馬問題是線段最短等知識，作FL丄CD交CD的延長線于點L，F(xiàn)H丄DA交DA的延長線于點H，證明四邊形DHFL是矩形，再證明△AHF∽△ADE，得到AH=AD=，求出FL=，作 即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵.∵四邊形ABCD是矩形，BC=1，:四邊形DHFL是矩形，∵HF∥DE，:△AHF∽△ADE，∵AE=2AF，:AH=AD=，:GPⅡABⅡCD，:ZBGP=ZABG，ZFEL=ZBAE，:GBⅡEF，GB=EF，:ZABG=ZBAE，:ZBGP=ZFEL，:△BGP∽△FEL，作AH丄BC于H，交DE于G，先根據三角形面積公式求出AH=6，設AG=x，則GH=AHAG=6x，證明△ADE∞△ABC，推出DE=則【詳解】解：如圖所示，過點A作AH丄BC于H，交DE于G，∴△ADE∞△ABC，∴S△DEF=DE.GH∴當x=3時，S△DEF最大，最大值為【分析】本題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質以及勾股定理，解題的關鍵是：由題意可得當ΘC與AD相切時，△ABE面積最大，然后連接CD，由切線的性質，根據勾得OE的長，繼而求得△ABE面積的最大值.【詳解】解：由圖可知：當ΘC與AD相切時，△ABE面積最大，連接CD，:△AOE∽△ADC，:OE=，22【詳解】解：作EF丄AB于點F，:DE丄DC，:△DEF∽△CDB，當x=2時，S△ADE有最大值為1.8二次函數頂點式，從而得出△BDE面積的最【詳解】解：過點A作AM丄BC于點M，過點E作EH丄BA的延長線于點H，過點C作 :BM=CM=3，:△AMB∽△CGB，似的判定與性質，配方法等知識點，熟練掌握這些性質是解題的關鍵.【分析】在AB上截取AQ=1，連接AP，PQ，CQ，證明△APQ∽△ABP，可得PQ=BP，則BP+PC=PC+PQ，當C、Q、P三點共線時，PC+PQ的值最小，求出CQ即為所求.【詳解】解：如圖，在AB上截取AQ=1，連接AP，PQ，CQ，∵點E、F分別是邊AB、AC的中點，點P是在以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動點，∵7PAQ=7BAP，:△APQ∽△ABP，在Rt△ACQ中，AC=4，AQ=1，:PB+PC的最小值等于·i17.助線構造相似三角形是解題的關鍵.【分析】作輔助線構造相似三角形，進而找到P在何時會使得AP+BP有最小值，進而得到答案.【詳解】解：如圖，連接CP，作PE交AC于點E，使7CPE=7PAC∵7PCE=7ACP:△PCE一△APC:EC=1AP+BP的最小值為5·i2的關鍵.利用勾股定理即可計算求解.:∠CAO=90°,:ΔPOM~ΔCOP，過M作MH丄BD于H，MN丄AB于N，:∠ABD=90°,:四邊形MNBH為矩形，【點睛】本題考查了切線的性質、正方形的判定和性質、相似三角形的判定和性質等知識， 【分析】①在BC上取一點G，使得BG=1，作DF⊥BC時，PD+PC的值最小，最小值為DG，再利用特殊角的三角函數值以推出PM=PD，當M、P、C共線時，PC+PD的值最小，最小值為CM，再利用含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理求解即可.作DF⊥BC交BC延長線于F.∵7PBG=7PBC，∴當D、P、G共線時，PD+PC的值最小，最小值為DG，②如圖，連接BD，在BD上取一點M，使得BM=，連接PB、PM、MC，過M作MN丄BC于N.:BD=2BO=4·,:△MBP~△PBD，:PC+PD的最小值為.轉化為兩點之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考壓軸題.定點F點的運動路線是解題的關鍵．取AB的中點O，再把OE繞點O逆時針旋轉90O至出結果.:△PEO∽△FEG，:FG=3， :點F在以G為圓心，32為半徑的圓上移動，過點G作GH丄BC于點G，連接GC，過點E作EH丄BC于點H，邊形的判定與性質，勾股定理等知識，解題關鍵是學會用轉化的思想思考問題. 加常用輔助線面構造相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.7ACE=45O，推出點E的運動軌跡是直線EC，推出當AETEC時，AE的值最小，再利用勾股定理求出BE即可.【詳解】解：如圖，連接CG，CE.:BHTAC，:7ABH=45O，:AB=AC，AF丄BC，:7BAF=7CAF=22.5O，BF=CF，:GB=GC，:7BGF=7CGF=67.5O，:7GBF=7GCF=22.5O，:7DBE=7DEB=22.5O，:7DBE=7GBC=7DEB=7GCF，:△DBE∽△GBC，:7DBG=7EBC，:△DBG∽△EBC，:7BGD=7BCE=112.5O，:7ACB=67.5O，:7ACE=45O，:點E的運動軌跡是直線EC，:當AETEC時，AE的值最小，最小值AC=2故答案為：2.三角形對線段進行轉化是解題的關鍵.解：如圖，過點A作AETAD，且7ADC=7EDB:△EDB~△ADC:當EB最小時，AC最小EB≥AB-AE:EB最小為:AC最小為與AD垂直的直線上運動，當點P運動到y(tǒng)軸時，如圖2所示，證明此時點P的坐標為（0，:點A的坐標為（0，2:OA=OD=2，:OE=AE=1，；:△ABP是等邊三角形，△AOD是等邊三角形，:△BAO≥△PAD（SAS:點P在經過點D且與AD垂直的直線上運動，,CG，設直線PD與x軸的交點為H，:當G、P、F三點共線時，GP+PF有最小值，即AP+PC有最小值，，:AG=2AD=2OA=4，:△ACG是等邊三角形，:由勾股定理得，:AP+PC的最小值為2，故選：C.跡是解題的關鍵.AP=PB+PH，根據兩點之間線段最短得到當H、P、B共線時，PB+PH的值最小，最小值為BC的長，然后計算出BC的長即可.，:△AOB為等邊三角形，AP垂直平分OB，:PO=PB，:OP+AP=PB+PH.當H、P、B共線時，PB+PH的值最小，最小值為BC的長，小值是解題的關鍵. 【分析】過點A作直線AD交y軸于點D，使sin上OAD=，過點C作CE丄AD，交AD于 點E，利用三角函數以及垂線段最短將BC+AC轉化為垂線段BE的長，再利用三角函數、勾股定理求解即可.【詳解】解：過點A作直線AD交y軸于點D，使sin上OAD=，過點C作CE丄AD，交AD于點E，,:OD2+OA2=AD222，:B(0,1)，:BD=5，:CE=AC，當B，C，E在同一直線上，即BE丄AD時，BC+AC的值最小，最小值等:sin上DBE=，DE2:=，BD3 255:BC+AC255助線，構造三角函數正弦值巧妙用轉化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題. 線段最短問題，再利用三角函數求解即可.【詳解】解:如圖,作射線AD使∠OAD=30o,與x軸交于點D，作C點關于y軸的對稱點M，過B點作BE丄AD于D，過M點作MN丄AD于D，知識，解題關鍵是理解題意，會構造直角三角形，正確作出輔助線.的性質易得△EDM≌△FEN，然后分D在BC上時和D在BC的延長線上時，分別通過勾股定理計算出AF2，然后利用二次函數的最值解答即可.【詳解】解：作DM丄AC于M，F(xiàn)N丄AC于N設DM=x， :△EDM≌△FEN，在Rt△AFN中，3334824332333482433在Rt△AFN中，:AF的最小值為轉的性質等，涉及知識點較多，較為復雜，正確的作出輔助線并分類討論是解題關鍵.得到BE=8，再證明AM是△BCE的中位線，得到AM=CE；解Rt△COD得到OC=6，小值，即此時AM有最小值，據此求出CE的最小值，即可得到答案.【詳解】解：如圖所示，延長BA到E，使得AE=AB，連接OE，CE，∵點M為BC中點，點A為BE中點，:AM是△BCE的中位線，:當點M在線段OE上時，CE有最小值，即此時AM有最小值，:AM的最小值為CE=2，位線定理，坐標與圖形等等，正確作出輔助線是解題的關鍵.FH丄AD于點H，M作MN丄FH于點N，根據四邊形MNHG為矩形，四邊形ABCD為矩上知識是解題的關鍵.【詳解】如圖，取AE中點G，過F作FH丄AD于點H，M作MN丄FH于點N，∴四邊形MNHG為矩形，四邊形ABCD為矩形，在Rt△HFE中，由勾股定理得FE=HE2HE2+HF2x2x22 同理AE=5x，∵M是BE中點，G是AE中點，∴MN=GH=GEHE=x在Rt△MNF中，∴MF最小值為， 24．45【分析】連接AC、BD，過點E作EH丄BH交于點H，設EH=4a，EB=5a，則BH=3a，再表示出HF，根據EF2=EH2+HF2，列出關于EF2的二次函數即可求得最小值.【詳解】解：連接AC、BD，過點E作EH丄BH交于點H，又:S△AOB=S菱形ABCD，:S四邊形OEBF=S△AOB，:S△AOE=S△FOB，:四邊形ABCD為菱形，:上ABO=上CBO，即BD為<ABC的角平分線，:O到AB、BC的距離相等，:△AOE、△FOB的高相同，:AE=BF，:四邊形ABCD為菱形，:ADⅡHC，:sin上EBH=，:EF2=EH2+HF2,:當a=1時，EF2取得最小值為80， 故答案為：45.作出輔助線，利用二次函數求得最小值.【分析】本題考查了二次函數的圖象及性質、勾股定理，根據拋物線①,根據對稱軸及A(—1,0)，進而可判斷②,由②得拋物線與x軸的另一個交點為(3,0)，則設D(3,0)，連接BD，交對稱軸x=1于C，根據拋物線的對稱性得則此時△ABC的周長最質是解題的關鍵.:拋物線與x軸的另一個交點為(3,0)，則②正確；③由②得拋物線與x軸的另一個交點為(3,0)，則設D(3,0)，:B(0,3)， 22【分析】本題主要考查了二次函數與x軸的交點問題可判斷③;作原點關于直線x=1的對稱點D，則D(2，0)，連接CD交直線x=1于P，此時 判斷④;熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用數形結合的思想是解此題的關鍵.2:二次函數的解析式為：y=—x2+2x+3， :OC=3，如圖，作原點關于直線x=1的對稱點D，則D(2，0)，連接CD交直線x=1于P，:PO=PD，:此時PC+PO的值最小，:此時△PCO周長有最小值， :△PCO周長的最小值為·13+3，故④錯誤，不符合題意；27．23D作y軸的對稱點H(-12,15)，連接CH交y軸于點E，交圓C于點F，則點E、F為所求點，即可求解，利用軸對稱確定最短路線是解題的關鍵.函數的對稱軸為x=6，則點D(12,15)，過點D作y軸的對稱點H(-12,15)，連接CH交y軸于點E，交圓C于點F，則點E、F為所求點，故答案為：23. 28．32【分析】本題考查了二次函數圖象的性質，軸對稱求最小值問題；連接PB，BC，設BC交拋物線對稱軸于點G，當P與點G重合時，AP+CP取得最小值，最小值為BC，令x,y=0分別求得B,C的坐標，勾股定理求得BC的長，即可求解.【詳解】解：如圖所示，連接PB，BC，設BC交拋物線對稱軸于點G，:當P與點G重合時，AP+CP取得最小值，最小值為BC，∵y=x2-2x-3，當x=0時，y=-3，則C(0,-3) 故答案為：32.【分析】本題考查二次函數的性質和一次函數的性質．利用二次函數的性質表示出q-p的代數值，從而轉化為一次函數的性質求解.∴一次函數q-p呈上升趨勢.:二次函數對稱軸為直線，:在-2≤x≤2時有最小值-2，:當x=1時，y=m-2m+2=-2，:m=4；:在-2≤x≤2時有最小值-2，:當x=-2時，y=4m+4m+2=-2，解決此類題的關鍵.根據題意可得二次函數的對稱軸位于y軸的右側，拋物線開口向上，從而得到當x=0時，y=c=-1；x=-時，函數值為-2，據此即可解題.:二次函數的對稱軸位于y軸的右側，拋物線開口向上，如圖.:當x≤0時，函數的最小值為-1，:當x=0時，y=c=-1，:x>0時，函數的最小值為-2，:x=-時，函數值為-2，在討論對稱軸的位置，根據最小值為2k進行求解即可.【詳解】解：∵二次函數解析式為y=-:二次函數開口向下，對稱軸為直線x=k，:k2-6k+5=0，:-(1-k)2+11=2k， 學會構建二次函數解決最值問題，學會利用配方法來求最值問題.【詳解】解：如圖，過點D作DF丄x軸于點F，交AC于點E，:C(0,-3)，令y=0，即x2+2x-3=0，解得x1=-3或x2=1，:A(-3,0),:直線AC的表達式為y=-x-3，設D(m,m2+2m-3)，則E(m,-m-3)，:DE=(-m-3)-(m2+2m-3)=-m2-3m，:當m=-時，S△ACD最大，最大面積為.△PFG周長為(·+1)PH，因而可作出判斷.∴直線AB解析式為y=-x+3；配方得：PH=-當時，PH有最大值；∴由勾股定理得FH=PH；,∴當PH最大時，△PFG周長也最大，且最大值為邊中線的性質，求一次函數解析式等知識，善于轉化是解題的關鍵.【分析】（1）把A(4,m)代入y=2x求出點A坐標，再代入y=-x2+bx即可求解；（2）設點C的橫坐標為n，BC的長度為l，分別求出點C和點B的縱坐標，可得值問題，掌握二次函數的性質是解題的關鍵.【詳解】解1）把A(4,m)代入y=2x得，:A(4,8)，把A(4,8)代入y=-x2+bx得，故答案為：6；:點B的橫坐標也為n，:點B的縱坐標為2n，:l=-n2+6n-2n=-n2+4n，:l是n的二次函數，:BC長度的最大值為4，故答案為：4.2斷②;過點P作PF∥y軸，交BC于點F，求出BC的函數關系式，得出點P的坐標為過點P作PF∥y軸，交BC于點F，如圖1所示.設直線BC的解析式為y=kx+c，:直線BC的解析式為y=-2x+6.:點P(m,n)在平面直角坐標系第一象限內的拋物線上運動，:點P的坐標為(m,-2m2+4m+6)