2024高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文-數(shù)列教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的挖掘與滲透

2024高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文-數(shù)列教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的挖掘與滲透 數(shù)列教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的挖掘與滲透數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓,是知識轉(zhuǎn)化為能力橋梁.能否有意識地正確運用數(shù)學(xué)思想方法解答數(shù)學(xué)問題，是衡量數(shù)學(xué)素質(zhì)和數(shù)學(xué)能力的重要標志．?dāng)?shù)列中蘊涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)列教學(xué)中注重數(shù)學(xué)思想方法的挖掘與滲透具有十分重要的意義．１.函數(shù)思想函數(shù)思想是用聯(lián)系和變化的觀點考察數(shù)學(xué)對象.數(shù)列是一類特殊的函數(shù),以函數(shù)的觀點認識理解數(shù)列，是解決數(shù)列問題的有效方法.例1等差數(shù)列的前n項和為.已知問數(shù)列的多少項和最大?分析:易知所給數(shù)列不是常數(shù)列,等差數(shù)列的前n項和是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為零,所以可利用函數(shù)思想研究的最值.解法1:由得,∴.從而;故前13項的和最大,其最大值為169.解法2:,的圖象是開口向下的拋物線上一群離散的點,由知最高點的橫坐標為,即前13項的和最大.２.方程思想方程思想就是通過設(shè)元建立方程,研究方程解決問題的方法.在解數(shù)列問題時,利用等差、等比數(shù)列的通項公式、求和公式及性質(zhì)構(gòu)造方程（組），是解數(shù)列問題基本方法.例2等差數(shù)列的前n項和為，若，求.分析:解此題的關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項公式,可利用已知條件列出關(guān)于和d的方程組求出基本量和d,也可用待定系數(shù)法確定.解法1:設(shè)等差數(shù)列的首項為,公差為d,根據(jù)已知條件和等差數(shù)列的前n項和公式得解得∴.從而.解法2:易知所給等差數(shù)列不是常數(shù)列,所以它的前n項和可設(shè)為,由已知條件得解得∴,.3.分類討論思想復(fù)雜問題無法一次性解決,常需分類研究,化整為零,各個擊破.數(shù)列中蘊含著豐富的分類討論的問題.例3已知數(shù)列的前n項和，試求數(shù)列的前n項和的表達式.分析:解題的關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項公式,并弄清數(shù)列中各項的符號以便化去的絕對值.故需分類探討．解:當(dāng)n=1時,;當(dāng)n≥2時,.∴當(dāng)1≤n≤9時,,當(dāng)n≥10時,.從而當(dāng)1≤n≤9時,==;當(dāng)n≥10時,==.∴=４.等價轉(zhuǎn)化思想等價轉(zhuǎn)化就是將研究對象在一定條件下轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種研究對象,使之成為大家熟悉的或容易解決的問題.這是解決數(shù)列問題重要方法.例4等差數(shù)列的前n項和為,.若中,最大,數(shù)列的前多少項和最大?分析:求的最大值有多種轉(zhuǎn)化方法.本題可將滿足的要求轉(zhuǎn)化為公差d滿足的要求；再將k所滿足的條件轉(zhuǎn)化為它的幾何意義，借助圖示直接寫出結(jié)果.解:設(shè)數(shù)列的公差為d,則最大.設(shè)的前k項和最大,則有,且,故有.（*）,.如圖，數(shù)軸的兩個陰影區(qū)間中，左邊是的取值范圍，右邊是的取值范圍，（*）的成立等價于k取兩個區(qū)間之間的自然數(shù)，所以k=3，即的前3項和最大.５.整體思想整體思想就是從整體著眼,通過問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或其它整體處理后，達到簡捷地解題的目的.例5已知數(shù)列為等差數(shù)列，前12項和為354，前12項中奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之比為27:32,求公差d.分析:此題常規(guī)思路是利用求和公式列方程組求解，計算量較大,注意考慮用整體思想去解決,解法十分簡捷.解:由題意令奇數(shù)項和為,偶數(shù)項和為.∵.而.6.遞推思想遞推思想就是通過探求、構(gòu)造和運用所給問題中的遞推關(guān)系解決問題的思想方法.數(shù)列問題，從某種意義上講是遞推關(guān)系的表現(xiàn)形式.利用遞推思想解決某些數(shù)列問題可體現(xiàn)遞推思想解決問題的優(yōu)越性.例6設(shè)數(shù)列的前n項和為,若對于所有的自然數(shù)n,都有,證明數(shù)列是等差數(shù)列.分析:證明等差數(shù)列一般考慮用等差數(shù)列的定義.這里可利用遞推關(guān)系,將轉(zhuǎn)換得,然后再對,的遞推關(guān)系繼續(xù)探求.解:由得,∴當(dāng)n≥2時,,即.同理.兩式相減得,即,從而有(n≥2).由此可知數(shù)列是等差數(shù)列.7.歸納、猜想與證明思想通過對個別、特殊情況的分析、觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律,歸納出一般的結(jié)論或性質(zhì)，再尋求證明方法.這是我們由已知探索未知的重要途徑.例7已知數(shù)列滿足條件:,試求數(shù)列的通項公式.分析:此題求解思路不清晰，從特例入手，觀察、猜想結(jié)論,再加以證明不失為一種好辦法.解:由已知條件,分別取n=1,2,3,…，得,…通過觀察、歸納、可得出猜想:.用數(shù)學(xué)歸納法容易證明這一結(jié)論是正確的(證明略).8.建模與解模思想數(shù)列的工具性決定了應(yīng)用的廣泛性,注重構(gòu)建數(shù)列模型解實際問題,有利于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識和數(shù)學(xué)能力的提高.例8從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入萬元，以后每年投入比上年減少.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加（Ⅰ）設(shè)n年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元．寫出an，bn的表達式；（Ⅱ）至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？分析：構(gòu)建等比數(shù)列的通項和前n項和模型，再用換元法和不等式知識求解.(1)第一年投入為800萬元,第二年投入為800(1萬元,…，第n年投入為800萬元，所以，n年內(nèi)的總投入為；第一年旅游業(yè)收入為400萬元，第二年旅游業(yè)收入為400萬元，…，第n年旅游業(yè)收入為400萬元.所以n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為.(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入,即,所以,化簡得,換元化歸為一元二次不等式,可得,解得n≥5,故至少經(jīng)過5年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.還有一些重要的思想方法，如數(shù)形結(jié)合、分析與綜合、聯(lián)想與類比，構(gòu)造模型等思想方法已在上述例題中有所涉及，限于篇幅，不再贅述.（此文發(fā)表在江西師大《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》2003年第12期）數(shù)列通項公式的求法集錦非等比、等差數(shù)列的通項公式的求法，題型繁雜，方法瑣碎，筆者結(jié)合近幾年的高考情況，對數(shù)列求通項公式的方法給以歸納總結(jié)。累加法形如(n=2、3、4…...)且可求，則用累加法求。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。在數(shù)列{}中，=1，(n=2、3、4……)，求{}的通項公式。解：∵這n-1個等式累加得：=故且也滿足該式∴().例2．在數(shù)列{}中，=1，(),求。解：n=1時,=1以上n-1個等式累加得==，故且也滿足該式∴()。累乘法形如(n=2、3、4……)，且可求，則用累乘法求。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例3．在數(shù)列{}中，=1，，求。解：由已知得，分別取n=1、2、3……(n-1),代入該式得n-1個等式累乘，即=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以時，故且=1也適用該式∴().例4．已知數(shù)列{}滿足=，，求。解：由已知得，分別令n=1，2，3，….(n-1),代入上式得n-1個等式累乘，即=所以，又因為也滿足該式，所以。三、構(gòu)造等比數(shù)列法原數(shù)列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一項添上一個數(shù)或一個式子構(gòu)成新數(shù)列，使之等比，從而求出。該法適用于遞推式形如=或=或=其中b、c為不相等的常數(shù)，為一次式。例5、（06福建理22）已知數(shù)列{}滿足=1，=()，求數(shù)列{}的通項公式。解：構(gòu)造新數(shù)列，其中p為常數(shù)，使之成為公比是的系數(shù)2的等比數(shù)列即=整理得：=使之滿足=∴p=1即是首項為=2，q=2的等比數(shù)列∴==例6、（07全國理21）設(shè)數(shù)列{}的首項，=，n=2、3、4……（）求{}的通項公式。解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為的等比數(shù)列即=整理得：=滿足=得=∴p=-1即新數(shù)列首項為，的等比數(shù)列∴=故=+1例7、（07全國理22）已知數(shù)列{}中，=2，=（）求{}的通項公式。解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為的等比數(shù)列=整理得：=+使之滿足已知條件=+2∴解得∴是首項為的等比數(shù)列，由此得=∴=例8、已知數(shù)列{}中，=1，=，求數(shù)列的通項公式。分析：該數(shù)列不同于以上幾個數(shù)列，該數(shù)列中含是變量，而不是常量了。故應(yīng)構(gòu)造新數(shù)列，其中為常數(shù)，使之為公比是的系數(shù)2的等比數(shù)列。解：構(gòu)造數(shù)列，為不為0的常數(shù)，使之成為q=2的等比數(shù)列即=整理得：=滿足=得∴新數(shù)列是首項為=，q=2的等比數(shù)列∴=∴=例9、（07天津文20）在數(shù)列{}中，=2，=，求數(shù)列的通項。解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為q=4的等比數(shù)列，則=整理得：=滿足=，即得∴新數(shù)列的首項為，q=4的等比數(shù)列∴∴四、構(gòu)造等差數(shù)列法數(shù)列{}既不等差，也不等比，遞推關(guān)系式形如，那么把兩邊同除以后，想法構(gòu)造一個等差數(shù)列，從而間接求出。例10．（07石家莊一模）數(shù)列{}滿足且。求、、是否存在一個實數(shù)，使此數(shù)列為等差數(shù)列？若存在求出的值及；若不存在，說明理由。解：由==81得=33；又∵==33得=13；又∵==13，∴=5假設(shè)存在一個實數(shù)，使此數(shù)列為等差數(shù)列即===該數(shù)為常數(shù)∴=即為首項，d=1的等差數(shù)列∴=2+=n+1∴=例11、數(shù)列{}滿足=()，首項為，求數(shù)列{}的通項公式。解：=兩邊同除以得=+1∴數(shù)列是首項為=1，d=1的等差數(shù)列∴=1+故=例12．?dāng)?shù)列{}中，=5，且（n=2、3、4……），試求數(shù)列{}的通項公式。解：構(gòu)造一個新數(shù)列，為常數(shù)，使之成為等差數(shù)列，即整理得+3，讓該式滿足∴取，得，d=1，即是首項為，公差d=1的等差數(shù)列。故∴=例13、（07天津理21）在數(shù)列{}中，=2，且（）其中＞0，求數(shù)列{}的通項公式。解：的底數(shù)與的系數(shù)相同，則兩邊除以得即∴是首項為，公差d=1的等差數(shù)列?！唷唷Ｈ〉箶?shù)法有些關(guān)于通項的遞推關(guān)系式變形后含有項，直接求相鄰兩項的關(guān)系很困難，但兩邊同除以后，相鄰兩項的倒數(shù)的關(guān)系容易求得，從而間接求出。例14、已知數(shù)列{}，=，，求=？解：把原式變形得兩邊同除以得∴是首項為，d=的等差數(shù)列故∴。例15、（06江西理22）已知數(shù)列{}滿足，且（）求數(shù)列{}的通項公式。解：把原式變形成兩邊同除以得即……⑴構(gòu)造新數(shù)列，使其成為公比q=的等比數(shù)列即整理得：滿足⑴式使∴∴數(shù)列是首項為，q=的等比數(shù)列∴∴。例16．（06江西文22）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足：，且求數(shù)列{}的通項公式。解：把原式變形為兩邊同除以得移項得：所以新數(shù)列是首項為q=2的等比數(shù)列。故解關(guān)于的方程得。六．利用公式求通項有些數(shù)列給出{}的前n項和與的關(guān)系式=，利用該式寫出，兩式做差，再利用導(dǎo)出與的遞推式，從而求出。例17.(07重慶21題)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{}的前n項和為滿足＞1且6=n∈求{}的通項公式。解：由=解得=1或=2，由已知＞1，因此=2又由=得=0∵＞0∴從而{}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，故{}的通項為=2+3(n-1)=3n-1.例18.(07陜西理22)已知各項全不為0的數(shù)列{}的前k項和為，且=(k∈)其中=1，求數(shù)列{}的通項公式。解：當(dāng)k=1時，=及=1得=2；當(dāng)k≥2時，由==得=2∵≠0∴=2從而=1+(m-1)2=2m-1=2+(m-1)2=2m(m∈)故=k(k∈).例19.(07福建文21)數(shù)列{}的前n項和為，=1，(n∈),求{}的通項公式。解：由=1，=2，當(dāng)n≥2時==得=3，因此{}是首項為=2，q=3的等比數(shù)列。故=(n≥2),而=1不滿足該式所以=。例20.(06全國Ⅰ理22)該數(shù)列{}的前n項和(n=1、2、3……)求{}的通項公式。解：由(n=1、2、3……)…①得=所以=2再=（n=2、3…）…②將①和②相減得：==整理得（n=2、3…）因而數(shù)列{}是首項為,q=4的等比數(shù)列。即==，因而。七．重新構(gòu)造新方程組求通項法有時數(shù)列{}和{}的通項以方程組的形式給出，要想求出與必須得重新構(gòu)造關(guān)于和的方程組，然后解新方程組求得和。例21.（07遼寧第21題）：已知數(shù)列{}，{}滿足=2，=1且（）,求數(shù)列{}，{}的通項公式。解析：兩式相加得則{}是首項為，d=2的等差數(shù)列，故=3+2(n-1)=2n+1…………(1)而兩式相減得==則{}是首項為=1，q=的等比數(shù)列，故=…………(2)聯(lián)立(1)、(2)得由此得，。分析該題條件新穎,給出的數(shù)據(jù)比較特殊，兩條件做加法、減法后恰好能構(gòu)造成等差或等比數(shù)列，從而再通過解方程組很順利求出{}、{}的通項公式。若改變一下數(shù)據(jù)，又該怎樣解決呢？下面給出一種通法。例22.在數(shù)列{}、{}中=2，=1，且（n∈）求數(shù)列{}和{}的通項公式。解析：顯然再把與做和或做差已無規(guī)律可循。不妨構(gòu)造新數(shù)列{}其中為的常數(shù)。則==+=令得=2或=3則{}為首項，q=+2的等比數(shù)列。即=2時，{}是首項為4，q=4的等比數(shù)列，故=4×=；=3時，{}是首項為5，q=5的等比數(shù)列，故=5×=聯(lián)立二式解得，。注：該法也可適用于例21，下面給出例21的該種解法解：構(gòu)造新數(shù)列{}，則=++=令得=1或=即=1時，新數(shù)列{}中，=∴（）新數(shù)列{}是首項為，d=2的等差數(shù)列∴==………(1)當(dāng)=時，新數(shù)列{}是首項為=1，q=的等比數(shù)列∴=………(2)聯(lián)立(1)、(2)得，。例23.在數(shù)列{}、{}中，，且（n∈），求{}、{}的通項公式。解：構(gòu)造新數(shù)列{}，則=+=，令得=或=5{}為首項，q=+5的等比數(shù)列即=-3時，{}是首項為=，q=5+=2的等比數(shù)列，故==；當(dāng)=5時，{}是首項為=6，q=+5=10的等比數(shù)列，故=6×聯(lián)立二式得，。數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用知識要點：1．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。2．所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；（2）函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；（3）曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；（4）以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如三角函數(shù)等；（5）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。如等式。3．縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”。4．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域、最值問題中，在三角函數(shù)解題中，運用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。考點一：利用數(shù)形結(jié)合的方法解決有關(guān)方程和不等式問題：【例題分析】例1.若關(guān)于的方程的兩根都在區(qū)間(－1，3）內(nèi)，求的取值范圍。解：由的圖象可知，要使兩根都在區(qū)間（－1，3）內(nèi)，只需，同時成立，解得，故說明：，其圖象與軸交點的橫坐標就是方程的根，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)可以得出對應(yīng)的方程情況。其他函數(shù)和方程也可以類似得出解決的方法。例2.已知，則方程的實根個數(shù)為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.1個或2個或3個解：判斷方程的根的個數(shù)就是判斷圖象的交點個數(shù)，畫出兩個函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個交點，故方程有2個實根，選B。說明：數(shù)形結(jié)合法可以解決一些既不是無理方程，也不是二次或三次方程的其他方程或不等式，也就是超越方程或者不等式。例如本例題中的方程?？键c二：利用數(shù)形結(jié)合法解決有關(guān)最大值最小值的問題例3.如果實數(shù)滿足，則的最大值為（）A. B. C. D. 解：等式有明顯的幾何意義，它表示坐標平面上的一個圓，圓心為，半徑，（如圖），而則表示圓上的點與坐標原點（0，0）的連線的斜率，如此一來，該問題可轉(zhuǎn)化為如下幾何問題：動點在以（2，0）為圓心，以為半徑的圓上移動，求直線的斜率的最大值，由下圖可見，當(dāng)點在第一象限，且與圓相切時，的斜率最大，經(jīng)簡單計算，得最大值為。例4.已知滿足的最大值與最小值。解：對于二元函數(shù)在限定條件下求最值問題，常采用構(gòu)造直線的截距的方法來求之。令，原問題轉(zhuǎn)化為：在橢圓上求一點，使過該點的直線斜率為3，且在軸上的截距最大或最小，由圖形知，當(dāng)直線與橢圓相切時，有最大截距與最小截距。由，得，故的最大值為13，最小值為。例5.求函數(shù)的值域。幾何法：的形式類似于斜率公式，表示過兩點的直線的斜率。由于點在單位圓上（見下圖）顯然，設(shè)過的圓的切線方程為，則有，解得即函數(shù)值域為考點三：利用數(shù)形結(jié)合法解決其它問題：例6.若集合，集合，且，則的取值范圍為___________。解：，顯然，表示以（0，0）為圓心，以3為半徑的圓在軸上方的部分，（如圖），而則表示一條直線，其斜率，縱截距為，由圖形易知，欲使，即是使直線與半圓有公共點，顯然的最小逼近值為，最大值為，即例7.點是橢圓上一點，它到其中一個焦點的距離為2，為的中點，表示原點，則（）A. B. C.4 D.8解：（1）設(shè)橢圓另一焦點為，（如下圖），則而又注意到各為的中點是的中位線（2）若聯(lián)想到第二定義，可以確定點的坐標，進而求中點的坐標，最后利用兩點間的距離公式求出，但這樣就增加了計算量，方法較之（1）顯得有些復(fù)雜。例8.雙曲線C的兩個焦點是F1、F2，雙曲線上任意一點P，過F2作∠F1PF2的平分線的垂線平分線交于M，則M的軌跡是A.圓 B.直線 C.雙曲線 D.拋物線解：如圖，PM是∠F1PF2的平分線，F(xiàn)2N是PM的垂線，則ΔF2PM和ΔNPM全等，所以F2M=MN，PF2=PN，根據(jù)雙曲線的定義PF1-PF2=2a，所以NF1=2a，而在三角形F1NF2中OM為中位線，所以：|OM|=a，所以M點的軌跡為以原點為圓心a為半徑的圓。說明：數(shù)形結(jié)合法解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵是要找到數(shù)學(xué)量的幾何意義或者幾何圖形的性質(zhì)，然后根據(jù)題意構(gòu)造幾何圖形，實現(xiàn)代數(shù)和幾何的相互聯(lián)系?！灸M試題】一.選擇題：1.方程的實根的個數(shù)為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.函數(shù)的圖象恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3.設(shè)命題甲：，命題乙：，則甲是乙成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.不充分也不必要條件4.若不等式的解集為，且，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.45.若時，不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.6.定義在上的函數(shù)在上為增函數(shù)，且函數(shù)的圖象的對稱軸為，則（）A. B.C. D.二.填空題：7.若對任意實數(shù)，都有，則，由小到大依次為______________。8.若關(guān)于的方程有四個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍為___________。9.函數(shù)的最小值為______________。10.若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是。三.解答題：11.若方程在上有唯一解，求的取值范圍。12.若不等式的解集為，且，求的取值范圍。13.設(shè)，試求下述方程有解時的取值范圍：【試題答案】一.選擇題：1.C解：畫出在同一坐標系中的圖象即可。確定lgx=1的解為x=10，y=lgx在(0，+∞)內(nèi)遞增，，所以和的圖象應(yīng)該有三個交點。2.D解：畫出的圖象。情形1：情形2：3.A