2024幾種由遞推式求數(shù)列通項的方法介紹

2024幾種由遞推式求數(shù)列通項的方法介紹幾種由遞推式求數(shù)列通項的方法介紹1．所以各式相加得即2．同1的處理情況我們得到即3．當p＝0或1時的情況很簡單，略。當p≠1且p≠0時，令，則即，由此我們構(gòu)造了一個等比數(shù)列。所以4．其實前三種情況都可以看作的一個特例用常數(shù)替代了其中的或。因此只要這種情況掌握了前三種就基本上沒問題了。之所以分開來講，是因為前三種在高考中是比較常見的。如果對任意的n都有≠0，則我們可以對它進行如下處理;將兩邊同時除以得構(gòu)造新數(shù)列，并且令則有到此我們就發(fā)現(xiàn)數(shù)列剛好是第一種類型的，因此可以求出然后就可以得到幾種由遞推式求數(shù)列通項的方法介紹5．這兩者在結(jié)構(gòu)上是相同的，只要我們解決了前一個，后一個也就沒問題了。對于第一個大家可能都已經(jīng)知道就是用特征方程的方法去解。這里就不詳細介紹了。（1）即的特征方程是，設(shè)其兩根為1）當時，2)當時，可以對其做一下簡化，1）當時，令，然后利用數(shù)列的前兩項就可以求出待定的系數(shù)A，B.2)當時,令，同理可求A,B。（2）對于做這樣的處理，令則1）當時，，構(gòu)造新數(shù)列則有，利用型將求出即可以得到。2）當，由于r≠0，所以x的值不存在。但此時有p＝－（1+q）代入原等式得令，則y（1－q）＝r=1\*GB3①當1－q≠0則若令數(shù)列，則，為等比數(shù)列可以求出我們假設(shè)求出得＝f(n)，則即，[其中g(shù)（n）＝y(tǒng)+f（n）],l利用第一種類型可以解決=2\*GB3②當1－q＝0，即q＝1時，y此時無解，但此時有p＝－（1+q）＝－2，原式子即為所以數(shù)列{}為等差數(shù)列,求出,仍然可以利用第一種類型來求出6.這種類型可以應(yīng)用不動點法,即令,其兩根設(shè)為,..則有,(1)當≠時===1,2想比得,構(gòu)造數(shù)列為等比數(shù)列,得解(2)當=時,有韋達定理知,由(1)知即,構(gòu)造為等差數(shù)列,得解.7這兩類根據(jù)題目可以化為對數(shù)類型,然后應(yīng)用上面介紹的方法就可以解決.第一個可以化為,利用第三種數(shù)列解第二個可以化為,利用第四種數(shù)列解.8.這種遞推式主要是引入消去有關(guān)數(shù)列的各項得到又與前面的方法有關(guān).若求可以引入得去解.解決幾何體的外接球與內(nèi)切球，就這6個題型！一、外接球的問題簡單多面體外接球問題是立體幾何中的難點和重要的考點，此類問題實質(zhì)是解決球的半徑尺或確定球心0的位置問題，其中球心的確定是關(guān)鍵．（一）

由球的定義確定球心在空間，如果一個定點與一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等，那么這個定點就是該簡單多面體的外接球的球心．由上述性質(zhì)，可以得到確定簡單多面體外接球的球心的如下結(jié)論．結(jié)論1：正方體或長方體的外接球的球心其體對角線的中點．結(jié)論2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點．結(jié)論3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點．結(jié)論4：正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過計算找到．結(jié)論5：若棱錐的頂點可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心．（二）構(gòu)造正方體或長方體確定球心長方體或正方體的外接球的球心是在其體對角線的中點處．以下是常見的、基本的幾何體補成正方體或長方體的途徑與方法．途徑1：正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是是直角三角形的三棱錐都分別可構(gòu)造正方體．途徑2：同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐都分別可構(gòu)造長方體和正方體．途徑3：若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系，則可將棱錐補成長方體或正方體．途徑4：若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，則可將三棱錐補成長方體或正方體．

（三）

由性質(zhì)確定球心利用球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點的連線垂直于弦的性質(zhì)，確定球心．二、內(nèi)切球問題若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內(nèi)切球。1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等。2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合。4、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理。5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。解圓錐曲線最值與范圍問題的方法方法1：定義法例1、已知點F是雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦點，定點A的坐標為(1,4)，P是雙曲線右支上的動點，則|PF|＋|PA|的最小值為________．解析如圖所示，根據(jù)雙曲線定義|PF|－|PF′|＝4，即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′||AF′|＝5，將|PF|－4＝|PF′|代入，得|PA|＋|PF|－45，即|PA|＋|PF|9，等號當且僅當A，P，F(xiàn)′三點共線，即P為圖中的點P0時成立，故|PF|＋|PA|的最小值為9.故填9.方法2：幾何法例2、已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線中的取值范圍是________．解析根據(jù)雙曲線定義|PF1|－|PF2|＝2a，設(shè)|PF2|＝r，則|PF1|＝4r，故3r＝2a，即r＝eq\f(2a,3)，|PF2|＝eq\f(2a,3).根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，|PF2|c－a，即eq\f(2a,3)c－a，即eq\f(c,a)eq\f(5,3)，即eeq\f(5,3).又e＞1，故雙曲線的離心率e的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))).故填eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))).例3已知P點在圓x2+(y-2)2=1上移動，Q點在橢圓上移動,試求|PQ|的最大值。解：故先讓Q點在橢圓上固定，顯然當PQ通過圓心O1時|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.設(shè)Q(x，y)，則|O1Q|2=x2+(y-4)2①因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2)②將②代入①得|O1Q|2=9(1-y2)+(y-4)2因為Q在橢圓上移動，所以-1y1，故當時，，此時方法3：切線法例4、求橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1上的點到直線y＝x＋2eq\r(3)的距離的最大值和最小值，并求取得最值時橢圓上點的坐標．解設(shè)橢圓的切線方程為y＝x＋b，代入橢圓方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.由Δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得b＝±eq\r(3).當b＝eq\r(3)時，直線y＝x＋eq\r(3)與y＝x＋2eq\r(3)的距離d1＝eq\f(\r(6),2)，將b＝eq\r(3)代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，解得x＝－eq\f(2\r(3),3)，此時y＝eq\f(\r(3),3)，即橢圓上的點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(\r(3),3)))到直線y＝x＋2eq\r(3)的距離最小，最小值是eq\f(\r(6),2)；當b＝－eq\r(3)時，直線y＝x－eq\r(3)到直線y＝x＋2eq\r(3)的距離d2＝eq\f(3\r(6),2)，將b＝－eq\r(3)代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，解得x＝eq\f(2\r(3),3)，此時y＝－eq\f(\r(3),3)，即橢圓上的點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))到直線y＝x＋2eq\r(3)的距離最大，最大值是eq\f(3\r(6),2).方法4：參數(shù)法選取合適的參數(shù)表示曲線上點的坐標；②求解關(guān)于這個參數(shù)的函數(shù)最值。例5、點P(x，y)是橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1上的一個動點，則S＝x＋y的最大值為________．解析因為橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosφ,y＝sinφ，))(φ為參數(shù))．故可設(shè)動點P的坐標為(eq\r(3)cosφ，sinφ)，其中0≤φ＜2π.因此S＝x＋y＝eq\r(3)cosφ＋sinφ＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosφ＋\f(1,2)sinφ))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(π,3)))，所以，當φ＝eq\f(π,6)時，S取最大值2.故填2.方法5：基本不等式法①將最值用變量表示．②利用基本不等式求得表達式的最值．例6、過橢圓的焦點的直線交橢圓A,B兩點，求面積的最大值。解：橢圓焦點，設(shè)過焦點(0,1)，直線方程為y=kx+1與聯(lián)立，消去y,得，其中兩根為A,B橫坐標。將三角形AOB看作與組合而成，|OF|是公共邊，它們在公共邊上的高長為.,其中|OF|=c=1.===.當，即k=0時,即當直線為y=1時,得到的面積取得最大值為。方法6：函數(shù)法例7.已知A，B，C三點在曲線y＝eq\r(x)上，其橫坐標依次為1，m,4(1<m<4)，當△ABC的面積最大時，求m．解：由題意知A(1,1)，B(m，eq\r(m))，C(4,2)．直線AC所在的方程為x－3y＋2＝0，點B到該直線的距離為d＝eq\f(|m－3\r(m)＋2|,\r(10)).S△ABC＝eq\f(1,2)|AC|·d＝eq\f(1,2)×eq\r(10)×eq\f(|m－3\r(m)＋2|,\r(10))＝eq\f(1,2)|m－3eq\r(m)＋2|＝eq\f(1,2)|(eq\r(m)－eq\f(3,2))2－eq\f(1,4)|.∵m∈(1,4)，∴當eq\r(m)＝eq\f(3,2)時，S△ABC有最大值，此時m＝eq\f(9,4).故選B.方法7：判別式法例8、橢圓E的中心在原點O，焦點在軸上，其離心率,過點C（－1,0）的直線與橢圓E相交于A、B兩點，且滿足點C分向量的比為2.（1）用直線的斜率k(k≠0)表示△OAB的面積；（2）當△OAB的面積最大時，求橢圓E的方程。解：（1）設(shè)橢圓E的方程為(a＞b＞0)，由e=∴a2=3b2故橢圓方程x2+3y2=3b2設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),由于點C（－1，0）分向量的比為2，①②∴即，①②由消去y整理并化簡得(3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0由直線l與橢圓E相交于A（x1,y1）,B(x2,y2)兩點得：③④⑤③④⑤而S△OAB⑤由①③得:x2+1=－，代入⑤得：S△OAB=（2）因S△OAB=,當且僅當S△OAB取得最大值，此時x1+x2=－1,又∵=－1，∴x1=1,x2=－2.將x1,x2及k2=代入④得3b2=5,∴橢圓方程x2+3y2=5.訓(xùn)練題：1．已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是________．2．P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為________．93．拋物線y=-x2