運籌學(xué)課件第11章存儲論-第3,4節(jié)

運籌學(xué)第13章存貯論

第3節(jié)隨機性存儲模型1可編輯ppt第13章存貯論第3節(jié)隨機性存儲模型第4節(jié)其他類型存貯問題2可編輯ppt第3節(jié)隨機性存儲模型隨機性存儲模型的重要特點是需求為隨機的，其概率或分布為已知。在這種情況下，前面所介紹過的模型已經(jīng)不能適用了。例如商店對某種商品進貨500件，這500件商品可能在一個月內(nèi)售完，也有可能在兩個月之后還有剩余。商店如果想既不因缺貨而失去銷售機會，又不因滯銷而過多積壓資金，這時必須采用新的存儲策略3可編輯ppt可供選擇的策略主要有三種(1)定期訂貨，但訂貨數(shù)量需要根據(jù)上一個周期末剩下貨物的數(shù)量決定訂貨量。剩下的數(shù)量少，可以多訂貨。剩下的數(shù)量多，可以少訂或不訂貨。這種策略可稱為定期訂貨法。(2)定點訂貨，存儲降到某一確定的數(shù)量時即訂貨，不再考慮間隔的時間。這一數(shù)量值稱為訂貨點，每次訂貨的數(shù)量不變，這種策略可稱之為定點訂貨法。(3)把定期訂貨與定點訂貨綜合起來的方法，隔一定時間檢查一次存儲，如果存儲數(shù)量高于一個數(shù)值s，則不訂貨。小于s時則訂貨補充存儲，訂貨量要使存儲量達到S，這種策略可以簡稱為(s,S)存儲策略。4可編輯ppt與確定性模型不同的特點還有：不允許缺貨的條件只能從概率的意義方面理解，如不缺貨的概率為0.9等。存儲策略的優(yōu)劣通常以贏利的期望值的大小作為衡量的標(biāo)準(zhǔn)。為了講清楚隨機性存儲問題的解法，先通過一個例題介紹求解的思路。5可編輯ppt例7某商店擬在新年期間出售一批日歷畫片，每售出一千張可贏利700元。如果在新年期間不能售出，必須削價處理，作為畫片出售。由于削價，一定可以售完，此時每千張賠損400元。根據(jù)以往的經(jīng)驗，市場需求的概率見表13-1。6可編輯ppt表13-1每年只能訂貨一次，問應(yīng)訂購日歷畫片幾千張才能使獲利的期望值最大?7可編輯ppt解如果該店訂貨4千張，我們計算獲利的可能數(shù)值8可編輯ppt訂購量為4千張時獲利的期望值：E[C(4)]=(-1600)×0.05+(-500)×0.10+600×0.25+1700×0.35+2800×0.15+2800×0.10=1315(元)9可編輯ppt上述計算法及結(jié)果列于表13-2

獲利期望值最大者標(biāo)有(*)記號，為1440元?？芍摰暧嗁?000張日歷畫片可使獲利期望值最大。

10可編輯ppt從相反的角度考慮求解當(dāng)訂貨量為Q時，可能發(fā)生滯銷賠損(供過于求的情況)，也可能發(fā)生因缺貨而失去銷售機會的損失(求過于供的情況)。把這兩種損失合起來考慮，取損失期望值最小者所對應(yīng)的Q值。11可編輯ppt訂購量為2千張時，損失的可能值：12可編輯ppt當(dāng)訂貨量為2千張時，缺貨和滯銷兩種損失之和的期望值E[C(2)]=(-800)×0.05+(-400)×0.10+0×0.25+(-700)×0.35+(-1400)×0.15+(-2100)×0.10=－745(元)按此算法列出表13-3。13可編輯ppt表13-3比較表中期望值以-485最大，即485為損失最小值。該店訂購3000張日歷畫片可使損失的期望值最小。這結(jié)論與前邊得出的結(jié)論一樣，都是訂購3000張。這說明對同一問題可從兩個不同的角度去考慮：一是考慮獲利最多，一是考慮損失最小。這是一個問題的不同表示形式。14可編輯ppt3.1模型五：需求是隨機離散的報童問題：報童每日售報數(shù)量是一個隨機變量。報童每售出一份報紙賺k元。如報紙未能售出，每份賠h元。每日售出報紙份數(shù)r的概率P(r)根據(jù)以往的經(jīng)驗是已知的，問報童每日最好準(zhǔn)備多少份報紙?這個問題是報童每日報紙的訂貨量Q為何值時，賺錢的期望值最大?反言之，如何適當(dāng)?shù)剡x擇Q值，使因不能售出報紙的損失及因缺貨失去銷售機會的損失，兩者期望值之和最小?，F(xiàn)在用計算損失期望值最小的辦法求解。15可編輯ppt解設(shè)售出報紙數(shù)量為r，其概率P(r)為已知設(shè)報童訂購報紙數(shù)量為Q。供過于求時(r≤Q)，這時報紙因不能售出而承擔(dān)的損失，其期望值為：

供不應(yīng)求時(r＞Q)，這時因缺貨而少賺錢的損失，其期望值為：16可編輯ppt綜合①，②兩種情況，當(dāng)訂貨量為Q時，損失的期望值為：要從式中決定Q的值，使C(Q)最小。17可編輯ppt由于報童訂購報紙的份數(shù)只能取整數(shù)，r是離散變量，所以不能用求導(dǎo)數(shù)的方法求極值。為此設(shè)報童每日訂購報紙份數(shù)最佳量為Q，其損失期望值應(yīng)有：①C(Q)≤C(Q+1)②C(Q)≤C(Q-1)18可編輯ppt

從①出發(fā)進行推導(dǎo)有

19可編輯ppt由②出發(fā)進行推導(dǎo)有

20可編輯ppt報童應(yīng)準(zhǔn)備的報紙最佳數(shù)量Q

應(yīng)按下列不等式確定：從贏利最大來考慮報童應(yīng)準(zhǔn)備的報紙數(shù)量。設(shè)報童訂購報紙數(shù)量為Q，獲利的期望值為C(Q)，其余符號和前面推導(dǎo)時表示的意義相同。21可編輯ppt此時贏利的期望值為：當(dāng)需求r＞Q時，報童因為只有Q份報紙可供銷售，贏利的期望值為無滯銷損失。22可編輯ppt由以上分析知贏利的期望值：23可編輯ppt

為使訂購Q贏利的期望值最大，應(yīng)滿足下列關(guān)系式：①C(Q+1)≤C(Q)

②C(Q-1)≤C(Q)

從①式推導(dǎo)，24可編輯ppt經(jīng)化簡后得25可編輯ppt同理從②推導(dǎo)出用以下不等式確定Q的值，這一公式與(13-25)式完全相同。26可編輯ppt現(xiàn)利用公式(13-25)解例7的問題。已知：k=7,h=4,P(0)=0.05，P(1)=0.10，P(2)=0.25，P(3)=0.35知該店應(yīng)訂購日歷畫片3千張。27可編輯ppt例8某店擬出售甲商品，每單位甲商品成本50元，售價70元。如不能售出必須減價為40元，減價后一定可以售出。已知售貨量r的概率服從泊松分布(λ=6為平均售出數(shù))問該店訂購量應(yīng)為若干單位?28可編輯ppt

解該店的缺貨損失，每單位商品為70-50=20。滯銷損失，每單位商品50-40=10，利用(15-13)式，其中k=20，h=10

29可編輯ppt因故訂貨量應(yīng)為：7單位，此時損失的期望值最小。30可編輯ppt例9上題中如缺貨損失為10元，滯銷損失為20元。在這種情況下該店訂貨量應(yīng)為若干?解利用(15-13)式，其中k=10,h=20查統(tǒng)計表，找與0.3333相近的數(shù)31可編輯pptF(4)＜0.3333＜F(5)，故訂貨量應(yīng)為甲商品5個單位。答該店訂貨量為5個單位甲商品。模型五只解決一次訂貨問題，對報童問題實際上每日訂貨策略問題也應(yīng)認(rèn)為解決了。但模型中有一個嚴(yán)格的約定，即兩次訂貨之間沒有聯(lián)系，都看作獨立的一次訂貨。這種存儲策略也可稱之為定期定量訂貨。32可編輯ppt3.2模型六：需求是連續(xù)的隨機變量設(shè)貨物單位成本為K，貨物單位售價為P，單位存儲費為C1，需求r是連續(xù)的隨機變量，密度函數(shù)為Φ(r)，Φ(r)dr表示隨機變量在r與r+dr之間的概率，其分布函數(shù)生產(chǎn)或訂購的數(shù)量為Q，問如何確定Q的數(shù)值，使贏利的期望值最大?33可編輯ppt解首先我們來考慮當(dāng)訂購數(shù)量為Q時，實際銷售量應(yīng)該是min[r,Q]。也就是當(dāng)需求為r而r小于Q時，實際銷售量為r；r≥Q時，實際銷售量只能是Q34可編輯ppt贏利的期望值：

35可編輯ppt記為使贏利期望值極大化，有下列等式：36可編輯ppt(13-26)式表明了贏利最大與損失極小所得出的Q值相同。(13-27)式表明最大贏利期望值與損失極小期望值之和是常數(shù)。從表13-2與表13-3中對應(yīng)著相同的Q，去掉13-3表中數(shù)據(jù)的負(fù)號后，兩者期望值之和皆為19.25，稱為該問題的平均盈利。37可編輯ppt求贏利極大可以轉(zhuǎn)化為求E[C(Q)](損失期望值)極小。當(dāng)Q可以連續(xù)取值時，E[C(Q)]是Q的連續(xù)函數(shù)。可利用微分法求最小。38可編輯ppt從此式中解出Q，記為Q*，Q*為E[C(Q)]的駐點。又因知Q*為E[C(Q)]的極小值點，在本模型中也是最小值點。令

39可編輯ppt若P-K≤0顯然由于F(Q)≥0，等式不成立，此時Q*取零值。即售價低于成本時，不需要訂貨(或生產(chǎn))。式中只考慮了失去銷售機會的損失，如果缺貨時要付出的費用C2＞P時，應(yīng)有40可編輯ppt按上述辦法推導(dǎo)得模型五及模型六都是只解決一個階段的問題。從一般情況來考慮，上一個階段未售出的貨物可以在第二階段繼續(xù)出售。這時應(yīng)該如何制定存儲策略呢?41可編輯ppt

假設(shè)上一階段未能售出的貨物數(shù)量為I，作為本階段初的存儲，有

42可編輯ppt定期訂貨，訂貨量不定的存儲策略

43可編輯ppt3.3模型七：(s,S)型存儲策略1.需求為連續(xù)的隨機變量設(shè)貨物的單位成本為K,單位存儲費用為C1，每次訂購費為C2，需求r是連續(xù)的隨機變量，密度函數(shù)為，分布函數(shù)，期初存儲量為I，定貨量為Q，此時期初存儲達到S=I+Q。問如何確定Q的值，使損失的期望值最小(贏利的期望值最大)?44可編輯ppt本階段需訂貨費45可編輯ppt本階段所需訂貨費及存儲費、缺貨費期望值之和46可編輯pptQ可以連續(xù)取值，C(S)是S的連續(xù)函數(shù)。47可編輯ppt本階段的存儲策略：48可編輯ppt當(dāng)s＜S時不等式右端存儲費用期望值大于左端存儲費用期望值，右端缺貨費用期望值小于左端缺貨費用期望值；一增一減后仍然使不等式成立的可能性是存在的。如有不止一個s的值使下列不等式成立，則選其中最小者作為本模型(s,S)存儲策略的s。49可編輯ppt50可編輯ppt相應(yīng)的存儲策略是：每階段初期檢查存儲，當(dāng)庫存I＜s時，需訂貨，訂貨的數(shù)量為Q，Q=S-I。當(dāng)庫存I≥s時，本階段不訂貨。這種存儲策略是：定期訂貨但訂貨量不確定。訂貨數(shù)量的多少視期末庫存I來決定訂貨量Q，Q=S-I。對于不易清點數(shù)量的存儲，人們常把存儲分兩堆存放，一堆的數(shù)量為s，其余的另放一堆。平時從另放的一堆中取用，當(dāng)動用了數(shù)量為s的一堆時，期末即訂貨。如果未動用s的一堆時，期末即可不訂貨，俗稱兩堆法。51可編輯ppt2．需求是離散的隨機變量時52可編輯ppt本階段所需的各種費用：53可編輯ppt本階段所需的各種費用：54可編輯ppt本階段所需的各種費用：55可編輯ppt求解56可編輯ppt(3)求S的值使C(S)最小。因為57可編輯ppt選出使C(Si

)最小的S值，58可編輯ppt由①可推導(dǎo)出59可編輯ppt因即

60可編輯ppt由②同理可推導(dǎo)出61可編輯ppt綜合以上兩式，得到為確定Si的不等式62可編輯ppt其中63可編輯ppt64可編輯ppt綜合上面兩式，65可編輯ppt例10

66可編輯ppt解：

67可編輯ppt下面對答案進行驗證分別計算S為30，40，50所需訂貨費及存儲費期望值、缺貨費期望值三者之和。比較它們看是否當(dāng)S為40時最小(見表13-4)。68可編輯ppt計算s的方法：考查不等式(13-31)69可編輯ppt70可編輯ppt71可編輯ppt分別將30，40代人(13-31)將30作為s值代入(13-31)式左端得800×30+1015×[(40-30)×0.2+(50-30)×0.4+(60-30)×0.2]=40240將40代入(13-31)式左端得60+800×40+40×[(40-30)×0.2]+1015×[(50-40)×0.4+(60-40)×0.2]=4026072可編輯ppt解答即左端數(shù)值為40240，右端數(shù)值為40260，不等式成立，30已是r的最小值故s=30。例10的存儲策略為每個階段開始時檢查存儲量I，當(dāng)I＞30箱時不必補充存儲。當(dāng)I≤30箱時補充存儲量達到40箱。73可編輯ppt例11某廠對原料需求量的概率為P(r=80)=0.1，P(r=90)=0.2，P(r=100)=0.3P(r=110)=0.3，P(r=120)=0.1訂貨費C3=2825元，K=850元存儲費C1=45元(在本階段的費用)缺貨費C2=1250元(在本階段的費用)求該廠存儲策略。：74可編輯ppt求解75可編輯ppt求解76可編輯ppt答該廠存儲策略每當(dāng)存儲I≤80時補充存儲，使存儲量達到100，每當(dāng)存儲I＞80時不補充。77可編輯ppt例12某市石油公司，下設(shè)幾個售油站。石油存放在郊區(qū)大型油庫里，需要時用汽車將油送至各售油站。該公司希望確定一種補充存儲的策略，以確定應(yīng)儲存的油量。該公司經(jīng)營石油品種較多，其中銷售量較多的一種是柴油。因之希望先確定柴油的存儲策略。78可編輯ppt經(jīng)調(diào)查后知每月柴油出售量服從指數(shù)分布，平均銷售量每月為一百萬升。其密度為：柴油每升2元，不需訂購費。由于油庫歸該公司管轄，油池灌滿與未灌滿時的管理費用實際上沒有多少差別，故可以認(rèn)為存儲費用為零。如缺貨就從鄰市調(diào)用，缺貨費3元/升。求柴油的存儲策略。79可編輯ppt解根據(jù)例12中條件知C1=0，C3=0，K=2，C2=3，計算臨界值。80可編輯ppt利用(13-31)式,81可編輯ppt由觀察，它有唯一解s=S，82可編輯ppt3.4模型八：需求和備貨時間都是隨機離散的(僅通過具體例題介紹求解法)若t時間內(nèi)的需求量r是隨機的，其概率φt(r)已知，單位時間內(nèi)的平均需求為ρ也是已知的，則t時間內(nèi)的平均需求為ρt。備貨時間x是隨機的，其概率P(x)已知。設(shè)單位貨物年存儲費用為C1，每階段單位貨物缺貨費用為C2，每次訂購費用為C3，年平均需求為D。由于需求、備貨時間都是隨機的，應(yīng)有緩沖(安全)存儲量B，以減少發(fā)生缺貨現(xiàn)象。L：訂貨點，B：緩沖存儲量，x1,x2,…備貨時間(見圖13-11)。83可編輯ppt圖13-11問如何確定緩沖存儲量B，訂貨點L，以及訂貨量Q0，使總費用最小?84可編輯ppt對這種類型問題的解法85可編輯ppt86可編輯pptPL的計算很繁，簡化計算87可編輯ppt例13(模型八)某廠生產(chǎn)中需用鋼材，t時間內(nèi)需求的概率服從泊松分布：88可編輯ppt例1389可編輯ppt例13年存儲費用每噸為50元，每次訂購費用為1500元，缺貨費用每噸為5000元，問每年應(yīng)分多少批次?又訂購量Q，緩沖存儲量B，訂貨點L，各為何值才使費用最少?解：

90可編輯ppt下面計算L及B，各步算出的數(shù)值列于表13-5。91可編輯ppt續(xù)表13-592可編輯ppt續(xù)表13-593可編輯ppt根據(jù)表13-5算出PL、B和費用的數(shù)值見表13-6。94可編輯ppt

說明:

①備貨時間小于13，或大于18者，因為它們的概率很小，故略去。②L的選值可以多一些，如保證可以選到最小值，L選值也可少一些。由表中可以看到當(dāng)L=25，B=10費用588*為最小。據(jù)此即可確定存儲策略。95可編輯ppt

答該廠定購批量為146噸，定購點為25噸，每年訂貨2.次(兩年訂貨5次)，緩沖存