運(yùn)動(dòng)的守恒定律之對(duì)心非完全彈性碰撞的速度和損失的機(jī)械能

{范例3.4}對(duì)心非完全彈性碰撞的速度和損失的機(jī)械能碰撞前后兩物體的速度方向都在一條直線上，這種碰撞叫做對(duì)心碰撞。如果碰撞后機(jī)械能不守恒，這種碰撞就是非完全彈性碰撞。牛頓從實(shí)驗(yàn)結(jié)果總結(jié)出一個(gè)碰撞定律：碰撞后兩球的分離速度(v2-v1)與碰撞前兩球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由兩球的材料性質(zhì)決定，即e稱為恢復(fù)系數(shù)。(1)推導(dǎo)非完全彈性碰撞后的速度公式。(2)試計(jì)算兩物體對(duì)心非完全彈性碰撞后損失的機(jī)械能。[解析](1)設(shè)兩物體的質(zhì)量分別為m1和m2，它們碰撞前的速度分別為v10和v20，發(fā)生對(duì)心非彈性碰撞后的速度分別為v1和v2。根據(jù)動(dòng)量守恒可列方程m1v10+m2v20=m1v1+m2v2，恢復(fù)系數(shù)公式可化為v2=v1+e(v10–v20)，可解得1可編輯ppt{范例3.4}對(duì)心非完全彈性碰撞的速度和損失的機(jī)械能一個(gè)公式的下標(biāo)1和2互換即可得到另一個(gè)公式。兩式可化為這種形式的公式比較容易記憶。當(dāng)e=1時(shí)，可得完全彈性碰撞的公式。當(dāng)e=0時(shí)，則得完全非彈性碰撞的公式這是兩個(gè)物體碰撞后的共同速度，也是物體系統(tǒng)質(zhì)心的速度。如果質(zhì)心速度為零，那么系統(tǒng)的動(dòng)量為零，兩物體一定相向運(yùn)動(dòng)。2可編輯ppt物體做對(duì)心完全非彈性碰撞的速度曲面與對(duì)心完全彈性碰撞的速度曲面類似，但是速度的最大值小一些，反方向的速度的最大值也小一些，這是因?yàn)榕鲎策^(guò)程有能量損失。3可編輯ppt在v20/v10<1范圍內(nèi)，對(duì)心完全非彈性碰撞的速度曲面在最上面，對(duì)心完全彈性碰撞的速度曲面在最下面，恢復(fù)系數(shù)為0.5的速度曲面在中間；而在v20/v10>1范圍內(nèi)，曲面排列順序與v20/v10<1的情況正好相反。這是因?yàn)槲矬w做恢復(fù)系數(shù)為0.5的非彈性碰撞時(shí)，損失的機(jī)械能比完全彈性碰撞大，比完全非彈性碰撞小。不管恢復(fù)系數(shù)為多少，這些曲面都經(jīng)過(guò)m2/m1=0和v1/v10=1的直線，表示質(zhì)量大的物體與質(zhì)量小的物體碰撞后，速度不變。4可編輯ppt{范例3.4}對(duì)心非完全彈性碰撞的速度和損失的機(jī)械能(2)試計(jì)算兩物體對(duì)心非完全彈性碰撞后損失的機(jī)械能。[解析](2)第一個(gè)物體動(dòng)能的增量為同理可得第二個(gè)物體動(dòng)能的增量?jī)晌矬w動(dòng)能的增量為負(fù)號(hào)表示動(dòng)能減少。5可編輯ppt{范例3.4}對(duì)心非完全彈性碰撞的速度和損失的機(jī)械能(2)試計(jì)算兩物體對(duì)心非完全彈性碰撞后損失的機(jī)械能。①當(dāng)兩物體碰撞前的速度一定時(shí)，如果e=1時(shí)，那么兩物體做完全彈性碰撞，動(dòng)能沒(méi)有損失；當(dāng)e=0時(shí)，兩物體則做完全非彈性碰撞，損失的動(dòng)能最大損失的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量，如果這種能量可以利用起來(lái)，就稱為資用能。[討論]6可編輯ppt{范例3.4}對(duì)心非完全彈性碰撞的速度和損失的機(jī)械能(2)試計(jì)算兩物體對(duì)心非完全彈性碰撞后損失的機(jī)械能。②兩物體碰撞前的動(dòng)能為物體損失的動(dòng)能是它們?cè)袆?dòng)能的一部分，損失的動(dòng)能占碰撞前動(dòng)能比例為如果v10=v20，則兩個(gè)物體無(wú)法碰撞，也沒(méi)有動(dòng)能損失。[討論]令解得m1v10=-m2v20，即：只要兩物體碰撞前的動(dòng)量大小相等，方向相反，它們不論做什么碰撞，所損失的動(dòng)能比例最大。最大比例為如果這兩個(gè)動(dòng)量大小相等，方向相反的物體做完全非彈性碰撞，那么全部動(dòng)能都將轉(zhuǎn)化為其他形式的能量。7可編輯ppt{范例3.4}對(duì)心非完全彈性碰撞的速度和損失的機(jī)械能(2)試計(jì)算兩物體對(duì)心非完全彈性碰撞后損失的機(jī)械能。③在工程中，例如打鐵和打樁這類問(wèn)題，經(jīng)常遇到其中一個(gè)物體是靜止的。設(shè)v20=0，則損失的動(dòng)能比例為[討論]其中T0=mv102/2。在打鐵時(shí)，鐵錘與鍛件(包括鐵砧)碰撞，使鍛件在碰撞過(guò)程中發(fā)生變形，就要盡量使碰撞中的動(dòng)能用于使鍛件變形，也就是充分利用資用能，因此鐵砧的質(zhì)量就要比鐵錘的質(zhì)量大得多：m2>>m1。在打樁時(shí)，要把鐵錘的動(dòng)能盡可能多地傳遞給樁，使樁具有較大的動(dòng)能克服地面阻力下沉，就要求機(jī)械能損失得越小越好，因此要用質(zhì)量較大錘撞擊質(zhì)量較小的樁，即m2<<m1。8可編輯ppt當(dāng)速度比進(jìn)一步增加時(shí)，系統(tǒng)損失的機(jī)械能增加。當(dāng)質(zhì)量比一定時(shí)，隨著速度比由負(fù)向正變化，碰撞損失的機(jī)械能先增加再減小，在最大值處，系統(tǒng)的動(dòng)量為零；當(dāng)速度比從零增加時(shí)，碰撞損失的機(jī)械能繼續(xù)減?。划?dāng)速度比增加到1時(shí)，由于物體不發(fā)生碰撞，損失的機(jī)械能為零；9可編輯ppt數(shù)值為1的峰值線代表?yè)p失最大的機(jī)械能，這是動(dòng)量為零的等值線。當(dāng)物體同向運(yùn)動(dòng)的速度相差比較