2024裂項相消法求和之再研究

2024裂項相消法求和之再研究 一、多項式數(shù)列求和。（1）用裂項相消法求等差數(shù)列前n項和。即形如的數(shù)列求前n項和此類型可設左邊化簡對應系數(shù)相等求出A,B.例1：已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和。（2）用裂項相消法求多項式數(shù)列前n項和。即形如的數(shù)列求前n項和。此類型可上邊化簡對應系數(shù)相等得到一個含有m元一次方程組。說明：解這個方程組采用代入法，不難求。系數(shù)化簡可以用二項式定理，這里不解釋。解出。再裂項相消法用易知例2：已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和。二、二、多項式數(shù)列與等比數(shù)列乘積構成的數(shù)列。（1）用裂項相消法求等比數(shù)列前n項和。即形如的數(shù)列求前n項和。這里不妨設。（時為常數(shù)列，前n項和顯然為）此類型可設，則有，從而有。再用裂項相消法求得例3：已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和。解：設，則有，從而有，故。（2）用裂項相消法求等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積構成的數(shù)列前n項和。即形如的數(shù)列求前n項和。此類型通常的方法是乘公比錯位錯位相減法，其實也可以用裂項相消法。這里依然不妨設，（時為等差數(shù)列，不再贅述。）可設，則有，從而得到方程組，繼而解出A，B。再用裂項相消法求得例4：已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和。解：設，則有，從而得到方程組，解得。（3）用裂項相消法求多項式數(shù)列與等比數(shù)列乘積構成的數(shù)列前n項和。即形如的數(shù)列求前n項和。此類型有一個采用m次錯位相減法的方法求出，但是當次數(shù)較高時錯位相減法的優(yōu)勢就完全失去了。同樣這里依然不妨設，（時為多項式數(shù)列，不再贅述。）下面介紹錯位相減法的方法：設。先對上式化簡成的形式，其中是用來表示的一次式子。同樣讓對應系數(shù)相等得到一個m元一次方程組，用代入法可以解出再用用裂項相消法求得。例5：已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和。解：設，則有從而得到，解得，所以三、其他數(shù)列。上面的推導和習題，我們不難發(fā)現(xiàn)。錯位相減法適合與等差等比數(shù)列，也適合可用公式法，錯位相減法，分組求和法，并項求和法，裂項相消法，部分倒敘相加法的數(shù)列。事實上裂項求和適合用于所有能將化成形式的所有數(shù)列，與存在形式上相似性，從而利用待定系數(shù)法的方式得到的表達式，最終可以得到。這里部分可用倒敘相加法的數(shù)列不能使用此法是因為它沒有一個統(tǒng)一形式不帶省略號的前n項和公式。例如調和數(shù)列也不能用此法，事實上調和數(shù)列是不可求前n項和的數(shù)列。四、結論。從上面的論斷不難得出，錯位相減法適合所有可求前n項和的數(shù)列。錯位相減法不愧為數(shù)列求前n項和的萬能方法。不過值得肯定的是有部分數(shù)列利用裂項相消法，不易找出它的裂項方法，尤其是與指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)這些比較高級的基本初等函數(shù)相關的初等函數(shù)。對于前兩個大點得出的結論，我們當然也可以使用待定系數(shù)法來求，只是不要忘記它們都是用裂項相消法證明出來的結論。保留原來的參數(shù)得到結論也可以使用，從而直接得出待定參數(shù)的值，但對記性的要求很高，這里就不再啰嗦。本人不建議背誦。例6：已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和。解：設則所以，，解得，所以例7：已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和。解：例8：已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和，。解：，（錯位相減法這里不贅述了）（與倒敘相加法結果一致）作業(yè)：1、請用裂項相消法求下列各數(shù)列的和.（1）已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和；（2）已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和；（3）已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和；（4）已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和；（5）已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和；（6）根據(jù)您的閱讀自己給自己設計一個題目.兩平面向量和之模的最小值題目：若點在圓:上運動,點在軸上運動,則對定點而言,的最小值為【】.A.B.C.D.解法1：設,,則.若設,則由題意可得.即,點在以為圓心,以為半徑的圓:上.由圓與圓有公共點可得,從而.故,答案為A.解法2：設,,則.從而,.故,答案為A.解法3：由點在圓上可設,,則.故.故,答案為A.解法4：設為的中點,則,過作軸的垂線,垂足分別為.由于,因此,即.故,答案為A.解法