專題5倍長中線模型-【壓軸必刷】2024中考數(shù)學壓軸大題之經典模型培優(yōu)案含答案

【壓軸必刷】2022中考數(shù)學壓軸大題之經典模型培優(yōu)案專題5倍長中線模型經典例題經典例題【例1】問題提出(1)如圖，是的中線，則__________；(填“”“”或“”)問題探究(2)如圖，在矩形中，，點為的中點，點為上任意一點，當?shù)闹荛L最小時，求的長；問題解決(3)如圖，在矩形中，，點為對角線的中點，點為上任意一點，點為上任意一點，連接，是否存在這樣的點，使折線的長度最小？若存在，請確定點的位置，并求出折線的最小長度；若不存在，請說明理由．【例2】如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上任意點，AF平分∠EAD，交CD于點F．(1)如圖1，若點F恰好為CD中點，求證：AE=BE+2CE；(2)在(1)的條件下，求的值；(3)如圖2，延長AF交BC的延長線于點G，延長AE交DC的延長線于點H，連接HG，當CG=DF時，求證：HG⊥AG．【例3】．將一大、一小兩個等腰直角三角形拼在一起，，連接．(1)如圖1,若三點在同一條直線上，則與的關系是；(2)如圖2，若三點不在同一條直線上,與相交于點，連接,猜想之間的數(shù)量關系，并給予證明；(3)如圖3，在(2)的條件下作的中點,連接，直接寫出與之間的關系．【例4】(1)閱讀理解：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點逆時針旋轉得到，在中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線的取值范圍是______；(2)問題解決：如圖②，在中，是邊上的中點，于點，交于點，交于點，連接，求證：；(3)問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點作一個的角，角的兩邊分別交、于、兩點，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．培優(yōu)訓練培優(yōu)訓練一、解答題1．已知中，(1)如圖1，點E為的中點，連并延長到點F，使，則與的數(shù)量關系是________．(2)如圖2，若，點E為邊一點，過點C作的垂線交的延長線于點D，連接，若，求證：．(3)如圖3，點D在內部，且滿足，，點M在的延長線上，連交的延長線于點N，若點N為的中點，求證：．2．在△ABM中，AM⊥BM，垂足為M，AM＝BM，點D是線段AM上一動點．(1)如圖1，點C是BM延長線上一點，MD＝MC，連接AC，若BD＝17，求AC的長；(2)如圖2，在(1)的條件下，點E是△ABM外一點，EC＝AC，連接ED并延長交BC于點F，且點F是線段BC的中點，求證：∠BDF＝∠CEF．(3)如圖3，當E在BD的延長上，且AE⊥BE，AE＝EG時，請你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關系．(不用證明)3．已知：等腰和等腰中，，，．(1)如圖1，延長交于點，若，則的度數(shù)為；(2)如圖2，連接、，延長交于點，若，求證：點為中點；(3)如圖3，連接、，點是的中點，連接，交于點，，，直接寫出的面積．4．在中，點為邊中點，直線繞頂點旋轉，直線于點．直線于點，連接，．(1)如圖1，若點，在直線的異側，延長交于點．求證：．(2)若直線繞點旋轉到圖2的位置時，點，在直線的同側，其它條件不變，此時，，，求的長度．(3)若過點作直線于點．試探究線段、和的關系．5．課堂上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，點是邊的中點，，，求的取值范圍．(1)小明的想法是，過點作交的延長線于點，如圖2，從而通過構造全等解決問題，請你按照小明的想法解決此問題；(2)請按照上述提示，解決下面問題：在等腰中，，，點邊延長線上一點，連接，過點作于點，過點作，且，連接交于點，連接，求證．6．(1)方法學習：數(shù)學興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法(如圖2)，①延長AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉化在△ABM中；③利用三角形的三邊關系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系．(2)請你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關系和位置關系，并加以證明．(3)深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用(2)的結論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關系，并加以證明．7．問題背景：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE＝AD，則得到△ADC≌△EDB，小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：(用字母表示)；問題解決：小明發(fā)現(xiàn)：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．請寫出小明解決問題的完整過程；拓展應用：以△ABC的邊AB，AC為邊向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中點，連接AM，DE．當AM＝3時，求DE的長．8．如圖，點P是∠MON內部一點，過點P分別作PA∥ON交OM于點A，PB∥OM交ON于點B(PA≥PB)，在線段OB上取一點C，連接AC，將△AOC沿直線AC翻折，得到△ADC，延長AD交PB于點E，延長CD交PB于點F．(1)如圖1，當四邊形AOBP是正方形時，求證：DF＝PF；(2)如圖2，當C為OB中點時，試探究線段AE，AO，BE之間滿足的數(shù)量關系，并說明理由；(3)如圖3，在(2)的條件下，連接CE，∠ACE的平分線CH交AE于點H，設OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面積(用含a，b的代數(shù)式表示)．9．(1)基礎應用：如圖1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD利用旋轉全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三邊關系可得AD的取值范圍是；(2)推廣應用：應用旋轉全等的方式解決問題如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；(3)綜合應用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，試問線段EF、BE、FD具有怎樣的數(shù)量關系，并證明．10．(1)閱讀理解：如圖1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小聰同學是這樣思考的：延長AD至E，使DE＝AD，連接BE．利用全等將邊AC轉化到BE，在△BAE中利用三角形三邊關系即可求出中線AD的取值范圍．在這個過程中小聰同學證三角形全等用到的判定方法是_________，中線AD的取值范圍是_________；(2)問題解決：如圖2，在△ABC中，點D是BC的中點，點M在AB邊上，點N在AC邊上，若DM⊥DN．求證：BM＋CN＞MN；(3)問題拓展：如圖3，在△ABC中，點D是BC的中點，分別以AB，AC為直角邊向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，連接MN，探索AD與MN的關系，并說明理由．11．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別是AC，AB上的動點，且AE＝CD，BD交CE于點P．(1)如圖1，求證：∠BPC＝120°；(2)點M是邊BC的中點，連接PA，PM，延長BP到點F，使PF＝PC，連接CF，①如圖2，若點A，P，M三點共線，則AP與PM的數(shù)量關系是．②如圖3，若點A，P，M三點不共線，問①中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，說明理由．12．(閱讀)婆羅摩笈多是七世紀印度數(shù)學家，他曾提出一個定理：若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線平分對邊．證明：如圖1所示內接于圓的四邊形的對角線互相垂直，垂足為點，過點的直線垂直于，垂足為點，與邊交于點，由垂直關系得，，所以，由同弧所對的圓周角相等得，所以，則，同理，，故；(思考)命題“若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點的直線垂直于另一邊”為(填“真命題”，“假命題”)；(探究)(1)如圖2，和為共頂點的等腰直角三角形，，過點的直線垂直于，垂足為點，與邊交于點．證明：點是的中點；(2)如圖3，和為共頂點的等腰直角三角形，點是的中點，連接交于點，若，求的長．13．(1)方法呈現(xiàn)：如圖①：在中，若，，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使，再連接BE，可證，從而把AB、AC，集中在中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；(2)探究應用：如圖②，在中，點D是BC的中點，于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷與EF的大小關系并證明；(3)問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關系，并加以證明．14．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，點E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當?shù)妮o助線，構造全等三角形或等腰三角形．(1)現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進行證明．①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G．(2)請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進行證明．15．在通過構造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．(1)如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長到點，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；(2)如圖2，是的中線，點在邊上，交于點且，求證：；(3)如圖3，在四邊形中，，點是的中點，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關系，并予以證明．16．在與中，，，，連接，點為的中點，連接，繞著點旋轉．(1)如圖1，當點落在的延長線上時，與的數(shù)量關系是：__________；(2)如圖2，當旋轉到點落在的延長線上時，與是否仍有具有(1)中的數(shù)量關系，如果具有，請給予證明；如果沒有，請說明理由；(3)旋轉過程中，若當時，直接寫出的值．17．閱讀理解：(1)如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點，使得，再連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關系即可判斷中線的取值范圍是______．(2)解決問題：如圖2，在中，是邊上的中點，，交于點，交于點，連接，求證：．(3)問題拓展：如圖3，在中，是邊上的中點，延長至，使得，求證：．18．已知，在中，，點為邊的中點，分別交，于點，．(1)如圖1，①若，請直接寫出______；②連接，若，求證：；(2)如圖2，連接，若，試探究線段和之間的數(shù)量關系，并說明理由．19．在等腰和等腰中，，連為中點，連．(1)如圖1，請寫出與的關系，并說明理由；(2)將圖1中的旋轉至圖2的位置，其他條件不變，(1)中結論是否成立？請說明理由．20．請閱讀下列材料：問題：在四邊形ABCD中，M是BC邊的中點，且∠AMD=90°(1)如圖1，若AB與CD不平行，試判斷AB+CD與AD之間的數(shù)量關系；小雪同學的思路是：延長DM至E使DM=ME，連接AE，BE，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決請你參考小雪的思路，在圖1中把圖形補充完整，并直接寫出上面問題AB+CD與AD之間的數(shù)量關系：(2)如圖2，若在原條件的基礎上，增加AM平分∠BAD，(1)中結論還成立嗎？若不成立，寫出AB+CD與AD之間的數(shù)量關系，并證明．21．閱讀材料，解答下列問題．如圖1，已知△ABC中，AD為中線．延長AD至點E，使DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，進一步可得到AC=BE，AC//BE等結論．在已知三角形的中線時，我們經常用“倍長中線”的輔助線來構造全等三角形，并進一步解決一些相關的計算或證明題．解決問題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，點F為AD上一點，且BF=AC，連結并延長BF交AC于點E，求證：AE=EF．22．如圖1，已知正方形和等腰，，，是線段上一點，取中點，連接、．(1)探究與的數(shù)量與位置關系，并說明理由；(2)如圖2，將圖1中的等腰繞點順時針旋轉，則(1)中的結論是否仍然成立？請說明理由；(3)在(2)的條件下，若，求的最小值．【壓軸必刷】2022中考數(shù)學壓軸大題之經典模型培優(yōu)案專題5倍長中線模型經典例題經典例題【例1】問題提出(1)如圖，是的中線，則__________；(填“”“”或“”)問題探究(2)如圖，在矩形中，，點為的中點，點為上任意一點，當?shù)闹荛L最小時，求的長；問題解決(3)如圖，在矩形中，，點為對角線的中點，點為上任意一點，點為上任意一點，連接，是否存在這樣的點，使折線的長度最?。咳舸嬖?，請確定點的位置，并求出折線的最小長度；若不存在，請說明理由．【答案】(1)＞；(2)；(3)當點與的中點重合時，折線的長度最小，最小長度為4．【分析】(1)如圖(見解析)，先根據三角形全等的判定定理與性質得出，再根據三角形的三邊關系定理即可得；(2)如圖(見解析)，先根據矩形的性質得出，從而可得AE的長，再根據三角形的周長公式、兩點之間線段最短得出的周長最小時，點F的位置，然后利用相似三角形的判定與性質即可得；(3)如圖(見解析)，先根據軸對稱性質、兩點之間線段最短得出折線的長度最小時，四點共線，再利用直角三角形的性質、矩形的性質得出，，，然后利用軸對稱的性質、角的和差可得，，由此利用勾股定理可求出的長，即折線的最小長度；設交于點，根據等邊三角形的判定與性質可得，從而可得，由此即可得折線的長度最小時，點Q的位置．【解析】(1)如圖，延長AD，使得，連接CE是的中線在和中，在中，由三角形的三邊關系定理得：，即故答案為：；(2)如圖，作點關于的對稱點，連接FG，則四邊形ABCD是矩形，垂直平分點E是BC的中點，，則的周長為要使的周長最小，只需由兩點之間線段最短可知，當點共線時，取得最小值∴∴，即解得；(3)如圖，作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，連接，則∴折線的長度為由兩點之間線段最短可知，，當且僅當點四點共線時，折線取得最小長度為∵在矩形中，∴，∵點為的中點∴∵點與點關于對稱，點與點關于對稱∴，，∴設交于點在中，∴，即又∵∴是等邊三角形∴∵∴點與的中點重合綜上，當點與的中點重合時，折線的長度最小，最小長度為4．【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質、軸對稱的性質、相似三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質等知識點，較難的是題(3)，利用軸對稱的性質正確找出折線的最小長度是解題關鍵．【例2】如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上任意點，AF平分∠EAD，交CD于點F．(1)如圖1，若點F恰好為CD中點，求證：AE=BE+2CE；(2)在(1)的條件下，求的值；(3)如圖2，延長AF交BC的延長線于點G，延長AE交DC的延長線于點H，連接HG，當CG=DF時，求證：HG⊥AG．【答案】(1)見解析；(2)；(3)見解析【分析】(1)延長BC交AF的延長線于點G，利用“AAS”證△ADF≌△GCF得AD＝CG，據此知CG＝BC＝BE＋CE，根據EG＝BE＋CE＋CE＝BE＋2CE＝AE即可得證；(2)設CE＝a，BE＝b，則AE＝2a＋b，AB＝a＋b，在Rt△ABE中，由AB2＋BE2＝AE2可得b＝3a，據此可得答案；(3)連接DG，證△ADF≌△DCG得∠CDG＝∠DAF，再證△AFH∽△DFG得，結合∠AFD＝∠HFG，知△ADF∽△HGF，從而得出∠ADF＝∠FGH，根據∠ADF＝90°即可得證．【解析】解：(1)如圖1，延長BC交AF的延長線于點G，∵AD∥CG，∴∠DAF=∠G，又∵AF平分∠DAE，∴∠DAF=∠EAF，∴∠G=∠EAF，∴EA=EG，∵點F為CD的中點，∴CF=DF，又∵∠DFA=∠CFG，∠FAD=∠G，∴△ADF≌△GCF(AAS)，∴AD=CG，∴CG=BC=BE+CE，∴EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE；(2)設CE=a，BE=b，則AE=2a+b，AB=a+b，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即(a+b)2+b2=(2a+b)2，解得b=3a，b=﹣a(舍)，∴；(3)如圖2，連接DG，∵CG=DF，DC=DA，∠ADF=∠DCG，∴△ADF≌△DCG(SAS)，∴∠CDG=∠DAF，∴∠HAF=∠FDG，又∵∠AFH=∠DFG，∴△AFH∽△DFG，∴，又∵∠AFD=∠HFG，∴△ADF∽△HGF，∴∠ADF=∠FGH，∵∠ADF=90°，∴∠FGH=90°，∴AG⊥GH．【點睛】本題是四邊形的綜合問題，解題的關鍵是掌握正方形的性質、全等三角形和相似三角形的判定與性質等知識點．【例3】．將一大、一小兩個等腰直角三角形拼在一起，，連接．(1)如圖1,若三點在同一條直線上，則與的關系是；(2)如圖2，若三點不在同一條直線上,與相交于點，連接,猜想之間的數(shù)量關系，并給予證明；(3)如圖3，在(2)的條件下作的中點,連接，直接寫出與之間的關系．【答案】(1)且；(2)；證明見解析；(3)且．【分析】(1)根據題意利用全等三角形的判定與性質以及延長AC交BD于點C’進行角的等量代換進行分析即可；(2)根據題意在上截取,連接，并全等三角形的判定證明和，進而利用勾股定理得出進行分析求解即可；(3)過點B作BM∥OC，交OF的延長線于點M，延長FO交AD于點N，證明?BFM??CFO，?AOD??OBM，進而即可得到結論．【解析】解：∵，∴，延長AC交BD于點C’，如下圖：∵，∴，即，綜上且，故答案為：且；證明:在上截取,連接在和中在和中即；且，理由如下：過點B作BM∥OC，交OF的延長線于點M，延長FO交AD于點N，∵BM∥OC，∴∠M=∠FOC，∵∠BFM=∠CFO，BF=CF,∴?BFM??CFO(AAS)，∴OF=MF，BM=CO，∵DO=CO，∴DO=BM，∵BM∥OC，∴∠OBM+∠BOC=180°，∵∠BOC+∠AOD=360°-90°-90°=180°，∴∠OBM=∠AOD，又∵AO=BO，∴?AOD??OBM(SAS)，∴AD=OM=2OF，∠BOM=∠OAD，∵∠BOM+∠AON=180°-90°=90°，∴∠OAD+∠AON=90°，即OF⊥AD．∴且．【點睛】本題考查等腰直角三角形，熟練掌握等腰直角三角形的性質以及全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.【例4】(1)閱讀理解：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點逆時針旋轉得到，在中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線的取值范圍是______；(2)問題解決：如圖②，在中，是邊上的中點，于點，交于點，交于點，連接，求證：；(3)問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點作一個的角，角的兩邊分別交、于、兩點，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)；(2)見詳解；(3)，理由見詳解【分析】(1)根據旋轉的性質可證明，，在中根據三角形三邊關系即可得出答案；(2)延長FD至M，使DF=DM，連接BM，EM，可得出，根據垂直平分線的性質可得出，利用三角形三邊關系即可得出結論；(3)延長AB至N，使BN=DF，連接CN，可得，證明，得出，利用角的和差關系可推出，再證明，得出，即可得出結論．【解析】解：(1)∵∴∴在中根據三角形三邊關系可得出：，即∴故答案為：；(2)延長FD至M，使DF=DM，連接BM，EM，同(1)可得出，∵∴在中，∴；(3)，理由如下：延長AB至N，使BN=DF，連接CN，∵∴∴∴∵∴∴(SAS)∴∴∴．【點睛】本題考查的知識點有旋轉的性質、全等三角形的判定及性質、線段垂直平分線的性質、三角形三邊關系、角的和差等，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出與圖①中結構相關的圖形．此題結構精巧，考查范圍廣，綜合性強培優(yōu)訓練培優(yōu)訓練一、解答題1．已知中，(1)如圖1，點E為的中點，連并延長到點F，使，則與的數(shù)量關系是________．(2)如圖2，若，點E為邊一點，過點C作的垂線交的延長線于點D，連接，若，求證：．(3)如圖3，點D在內部，且滿足，，點M在的延長線上，連交的延長線于點N，若點N為的中點，求證：．【答案】(1)；(2)見解析；(3)見解析【分析】(1)通過證明，即可求解；(2)過點A引交于點F，通過得到，再通過即可求解；(3)過點作交的延長線于點，，在上取一點，使得，連接，利用全等三角形的性質證明、，即可解決．【解析】證明：(1)由題意可得：在和中∴∴(2)過點A引交于點F，如下圖：由題意可得：，且則又∵∴平分，∴∴在和中∴∴在和中∴∴(3)證明：過點作交的延長線于點，，在上取一點，使得，連接，如下圖：∵∴∵，∴∴，∵∴∵∴∴∴∵∴∵∴∵∴又∵∴∴∴∴∴∵∴【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．2．在△ABM中，AM⊥BM，垂足為M，AM＝BM，點D是線段AM上一動點．(1)如圖1，點C是BM延長線上一點，MD＝MC，連接AC，若BD＝17，求AC的長；(2)如圖2，在(1)的條件下，點E是△ABM外一點，EC＝AC，連接ED并延長交BC于點F，且點F是線段BC的中點，求證：∠BDF＝∠CEF．(3)如圖3，當E在BD的延長上，且AE⊥BE，AE＝EG時，請你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關系．(不用證明)【答案】(1)17；(2)見解析；(3)∠3＝2∠1+∠2【分析】(1)根據SAS證明△AMC≌△BMD，由AC＝BD求出AC的長；(2)延長EF到點G，使FG＝FE，連接BG，證明△BFG≌△CFE，可得EC＝GB，∠G＝∠CEF，再由BD＝BG可得∠G＝∠BDF，從而證得結論；(3)延長AE、BM交于點C，作MH⊥AC于點H，作MF⊥BG于點F，證明∠FEM＝∠HEM＝45°及△AEM≌△GEM，再證明∠AME＝∠1，根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和即可推導出∠3＝2∠1+∠2．【解析】解：(1)如圖1，∵AM⊥BM，∴∠AMC＝∠BMD＝90°，∵AM＝BM，MD＝MC，∴△AMC≌△BMD(SAS)，∴AC＝BD＝17．(2)證明：如圖2，延長EF到點G，使FG＝FE，連接BG，∵F為BC中點，∴BF＝CF，∵∠BFG＝∠CFE，∴△BFG≌△CFE(SAS)，∴BG＝EC，∠G＝∠CEF，又∵BD＝AC，EC＝AC，∴BD＝EC，∴BG＝BD，∴∠G＝∠BDF，∴∠BDF＝∠CEF．(3)如圖3，延長AE、BM交于點C，作MH⊥AC于點H，作MF⊥BG于點F，∵AM⊥BM，AE⊥BE，∴∠BEC＝∠AMC＝90°，∴∠MBF＝90°﹣∠C＝∠MAH，∵∠BFM＝∠AHM＝90°，BM＝AM，∴△BFM≌△AHM(AAS)，∴FM＝HM，∵∠EFM＝∠EHM＝90°，EM＝EM，∴Rt△EMF≌Rt△EMH(HL)，∵∠FEH＝90°，∴∠FEM＝∠HEM＝∠FEH＝45°，∵∠AEB＝∠GEC＝90°，∴∠AEM＝∠GEM＝90°+45°＝135°，∵AE＝EG，EM＝EM，∴△AEM≌△GEM(SAS)，∴∠AME＝∠GME，∵∠BEM＝∠BAM＝45°，∴∠AME＝∠3﹣∠BEM＝∠3﹣∠BAM＝∠1，∴∠AMG＝2∠AME＝2∠1，∵∠3＝∠AMG+∠2，∴∠3＝2∠1+∠2．【點睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質綜合，解題的關鍵是根據題意作出輔助線，證明三角形全等．3．已知：等腰和等腰中，，，．(1)如圖1，延長交于點，若，則的度數(shù)為；(2)如圖2，連接、，延長交于點，若，求證：點為中點；(3)如圖3，連接、，點是的中點，連接，交于點，，，直接寫出的面積．【答案】(1)；(2)見解析；(3)【分析】(1)由已知條件可得，對頂角，則，根據即可的；(2)過點作的垂線交的延長線于,證明，得,進而可得，再證明即可得證點為中點；(3)延長至，使得，連接，設交于點，先證明，進而證明，根據角度的計算以及三角形內角和定理求得，進而證明，再根據,證明，根據已知條件求得最后證明即可．【解析】(1)設交于，如圖1，是等腰和是等腰即故答案為(2)如圖2，過點作的垂線交的延長線于,是等腰和是等腰又又即是的中點(3)延長至，使得，連接，設交于點，如圖即是等腰和是等腰在與中，(SAS)，點是的中點，(SAS)(SAS)，即，【點睛】本題考查了三角形全等的性質與判定，等腰直角三角形的性質，三角形內角和定理，三角形外角性質，構造輔助線是解題的關鍵．4．在中，點為邊中點，直線繞頂點旋轉，直線于點．直線于點，連接，．(1)如圖1，若點，在直線的異側，延長交于點．求證：．(2)若直線繞點旋轉到圖2的位置時，點，在直線的同側，其它條件不變，此時，，，求的長度．(3)若過點作直線于點．試探究線段、和的關系．【答案】(1)見解析；(2)；(3)線段、和的位置關系為，數(shù)量關系為或或【分析】(1)根據平行線的性質證得再根據，即可得到，得到．(2)延長與的延長線相交于點．證明，推出，求出的面積即可解決問題．(3)位置關系的證明比較簡單，數(shù)量關系分四種情形：當直線與線段交于一點時，當直線與線段交于一點時，當直線與線段的延長線交于一點時，當直線與線段的延長線交于一點時，畫出對應的圖形，利用三角形和梯形的面積公式分別證明即可解決問題．【解析】(1)證明：如圖1，直線于點，直線于點，，，，又為邊中點，，在和中，，，．(2)解：如圖2，延長與的延長線相交于點，直線于點，直線于點，，，，，又為中點，，又，∴在和中，，，，，，∵，，，，，，，．(3)位置關系：，數(shù)量關系：分四種情況討論∵直線于點．直線于點，直線于點，∴，①如圖3，當直線與線段交于一點時，由(1)可知，，即，，，，∵，．②當直線與線段交于一點時，如圖，延長交的延長線于點．直線于點，直線于點，，，，又為邊中點，，在和中，，，．，即，，，，∵，．③如圖4，當直線與線段的延長線交于一點時．由(2)得：，，，∴，即，．④當直線與線段的延長線交于一點時，如圖，延長交的延長線于點．直線于點，直線于點，，，，，又為中點，，又，∴在和中，，，，，∴，即，．綜上所述，線段、和的位置關系為，數(shù)量關系為或或．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，三角形中線的性質，以及三角形和梯形的面積公式的應用等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形熟練運用全等三角形的判定與性質．5．課堂上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，點是邊的中點，，，求的取值范圍．(1)小明的想法是，過點作交的延長線于點，如圖2，從而通過構造全等解決問題，請你按照小明的想法解決此問題；(2)請按照上述提示，解決下面問題：在等腰中，，，點邊延長線上一點，連接，過點作于點，過點作，且，連接交于點，連接，求證．【答案】(1)；(2)見解析【分析】(1)根據已知證明，進而求得，根據三角形三邊關系即可求得的取值范圍；(2)過點作交的延長線于，證明，得，再證明，進而證明，即可證明【解析】(1)，即(2)如圖，過點作交的延長線于，,,,,即，又,【點睛】本題考查了三角形全等的性質與判定，三角形三邊關系，等腰三角形的性質，掌握三角形全等的性質與判定是解題的關鍵．6．(1)方法學習：數(shù)學興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法(如圖2)，①延長AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉化在△ABM中；③利用三角形的三邊關系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系．(2)請你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關系和位置關系，并加以證明．(3)深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用(2)的結論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關系，并加以證明．【答案】(1)1＜AD＜7；(2)AC∥BM，且AC＝BM，證明見解析；(3)EF＝2AD，證明見解析．【分析】(1)延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，根據題意證明△MDB≌△ADC，可知BM＝AC，在△ABM中，根據AB﹣BM＜AM＜AB+BM，即可求的；(2)由(1)知，△MDB≌△ADC，可知∠M＝∠CAD，AC＝BM，進而可知AC∥BM；(3)延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由(1)(2)的結論以及已知條件證明△ABM≌△EAF，進而可得AM＝2AD，由AM＝EF，即可求得AD與EF的數(shù)量關系．【解析】(1)如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△MDB和△ADC中，，∴△MDB≌△ADC(SAS)，∴BM＝AC＝6，在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，∴1＜AD＜7，故答案為：1＜AD＜7；(2)AC∥BM，且AC＝BM，理由是：由(1)知，△MDB≌△ADC，∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，∴AC∥BM；(3)EF＝2AD，理由：如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由(1)知，△BDM≌△CDA(SAS)，∴BM＝AC，∵AC＝AF，∴BM＝AF，由(2)知：AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABM＝∠EAF，在△ABM和△EAF中，，∴△ABM≌△EAF(SAS)，∴AM＝EF，∵AD＝DM，∴AM＝2AD，∵AM＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD．【點睛】本題考查了三角形三邊關系，三角形全等的性質與判定，利用倍長中線輔助線方法是解題的關鍵．7．問題背景：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE＝AD，則得到△ADC≌△EDB，小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：(用字母表示)；問題解決：小明發(fā)現(xiàn)：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．請寫出小明解決問題的完整過程；拓展應用：以△ABC的邊AB，AC為邊向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中點，連接AM，DE．當AM＝3時，求DE的長．【答案】問題背景：SAS；問題解決：完整過程見解析；拓展應用：DE＝6．【分析】問題背景：先判斷出BD=CD，由對頂角相等∠BDE=∠CDA，進而得出△ADC≌△EDB(SAS)；問題解決：先證明△ADC≌△EDB(SAS)，得出BE=AC=3，最后用三角形三邊關系即可得出結論；拓展應用：如圖2，延長AM到N，使得MN=AM，連接BN，同(1)的方法得出△BMN≌△CMA(SAS)，則BN=AC，進而判斷出∠ABN=∠EAD，進而判斷出△ABN≌△EAD，得出AN=ED，即可求解．【解析】問題背景：如圖1，延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB(SAS)，故答案為：SAS；問題解決：如圖1，延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADC≌△EDB中，，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴BE＝AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∵AB＝4，AC＝3，∴4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，∵DE＝AD，∴AD＝AE，∴＜AD＜；拓展應用：如圖2，延長AM到N，使得MN＝AM，連接BN，由問題背景知，△BMN≌△CMA(SAS)，∴BN＝AC，∠CAM＝∠BNM，∴AC//BN，∵AC＝AD，∴BN＝AD，∵AC//BN，∴∠BAC+∠ABN＝180°，∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∴∠ABN＝∠EAD，在△ABN和△EAD中，，∴△ABN≌△EAD(SAS)，∴AN＝DE，∵MN＝AM，∴DE＝AN＝2AM，∵AM＝3，∴DE＝6．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的判定與性質，補角的性質，掌握倍長中線法，構造全等三角形是解本題的關鍵．8．如圖，點P是∠MON內部一點，過點P分別作PA∥ON交OM于點A，PB∥OM交ON于點B(PA≥PB)，在線段OB上取一點C，連接AC，將△AOC沿直線AC翻折，得到△ADC，延長AD交PB于點E，延長CD交PB于點F．(1)如圖1，當四邊形AOBP是正方形時，求證：DF＝PF；(2)如圖2，當C為OB中點時，試探究線段AE，AO，BE之間滿足的數(shù)量關系，并說明理由；(3)如圖3，在(2)的條件下，連接CE，∠ACE的平分線CH交AE于點H，設OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面積(用含a，b的代數(shù)式表示)．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)【分析】(1)連接AF，根據HL證Rt△ADF≌△APF即可證明DF=PF；(2)延長AC、BF交于點G，根據AAS證△AOC≌△GBC，即可證明BE=DE，又因為AD=AO，所以可得AE=AO+BE；(3)證△ACE是等腰直角三角形，結合(2)的結論證明：即可得出△CDH的底和高，進而求出面積．【解析】解：(1)如圖1，連接AF，∵四邊形AOBP是正方形，△AOC沿直線AC翻折，得到△ADC，∴AO=AD=AP，在Rt△ADF和Rt△APF中，，∴Rt△ADF≌Rt△APF(HL)，∴DF=PF；(2)AE=AO+BE，理由如下：如圖2，延長AC、BF交于點G，連接∵C為OB中點，∴OC=BC，∵AO∥BP，∴∠OAC=∠G，∠O=∠CBG，在△△AOC和△GBC中，，∴△AOC≌△GBC(AAS)，∴BG=AO，∵△AOC沿直線AC翻折，得到△ADC，∴AO=AD，∠OAC=∠CAE，∴AD=BG，∠CAE=∠G，∴△AEG為等腰三角形，∴AE=EG，∵，∴AE=AO+BE；(3)∵AO∥PB，∴∠OAC+∠CAE+∠CEA+∠CEB=180°，∵∠ACH+∠ECH+∠CAE+∠CEA=180°，∴∠OAC+∠CEB=∠ACH+∠ECH，∵CH平分∠ACE，∠CAO=∠CEB，∴∠OAC=∠CEB=∠ACH=∠ECH，又∵∠OAC=∠CAE，由(2)知∠AEC=∠CEB，∴∠OAC=∠CEB=∠ACH=∠ECH=∠CAE=∠CEA=45°，即△ACE是等腰直角三角形，CH平分∠ACE，如圖3，由(2)知：∵OA=a，BE=b，【點睛】本題主要考查平形線的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定與性質等知識點，熟練應用輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．9．(1)基礎應用：如圖1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD利用旋轉全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三邊關系可得AD的取值范圍是；(2)推廣應用：應用旋轉全等的方式解決問題如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；(3)綜合應用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，試問線段EF、BE、FD具有怎樣的數(shù)量關系，并證明．【答案】(1)1＜AD＜6；(2)見解析；(3)結論：EF＝BE﹣FD，證明見解析．【分析】(1)先證明△CDE≌△BDA(SAS)可得CE＝AB＝5，在△ACE中，利用三角形的三邊關系解答即可；(2)如圖2中，延長ED到H，使得DH＝DE，連接DH，F(xiàn)H．再證明△BDE≌△CDH(SAS)可得BE＝CH，再證明EF＝FH，利用三角形的三邊關系解答即可；(3)如圖3，作輔助線，構建△ABG，同理證明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的結論：EF＝BE﹣DF．【解析】(1)解：如圖1：∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，∴△CDE≌△BDA(SAS)，∴EC＝AB＝5，∵7﹣5＜AE＜7+5，∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6，故答案為1＜AD＜6．(2)證明：如圖2中，延長ED到H，使得DH＝DE，連接DH，F(xiàn)H．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，∴△BDE≌△CDH(SAS)，∴BE＝CH，∵FD⊥EH．DE＝DH，∴EF＝FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH＝BE，F(xiàn)H＝EF，∴BE+CF＞EF．(4)結論：EF＝BE﹣FD證明：如圖3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF，∵AB＝AD，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF(SAS)，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD，∴∠GAE＝∠EAF，∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF(SAS)，∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質、三角形的中線的性質、三角形的三邊關系等知識，掌握倍長中線、構造全等三角形成為本題的關鍵．10．(1)閱讀理解：如圖1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小聰同學是這樣思考的：延長AD至E，使DE＝AD，連接BE．利用全等將邊AC轉化到BE，在△BAE中利用三角形三邊關系即可求出中線AD的取值范圍．在這個過程中小聰同學證三角形全等用到的判定方法是_________，中線AD的取值范圍是_________；(2)問題解決：如圖2，在△ABC中，點D是BC的中點，點M在AB邊上，點N在AC邊上，若DM⊥DN．求證：BM＋CN＞MN；(3)問題拓展：如圖3，在△ABC中，點D是BC的中點，分別以AB，AC為直角邊向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，連接MN，探索AD與MN的關系，并說明理由．【答案】(1)SAS，＜AD＜；(2)見解析；(3)2AD=MN，AD⊥MN，理由見解析【分析】(1)閱讀理解：由SAS證明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=8，在△ABE中，由三角形的三邊關系即可得出結論．(2)問題解決：延長ND至點F，使FD=ND，連接BF、MF，同(1)得：△BFD≌△CND，由全等三角形的性質得出BF=CN，由線段垂直平分線的性質得出MF=MN，在△BFM中，由三角形的三邊關系即可得出結論．(3)問題拓展：延長AD至E，使DE=AD，連接CE，由(1)得：△BAD≌△CED，由全等三角形的性質得出∠BAD=∠E，AB=CE，證出∠ACE=∠MAN，證明△ACE≌△NAM得出AE=MN，∠EAC=∠MNA，則2AD=MN．延長DA交MN于G，證出∠AGN=90°，得出AD⊥MN即可．【解析】解：(1)閱讀理解：如圖1中，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，∴△ACD≌△EBD(SAS)，∴BE=AC=8，在△ABE中，由三角形的三邊關系得：BE-AB＜AE＜BE+AB，∴8-5＜AE＜8+5，即3＜AE＜13，∴＜AD＜，故答案為：SAS，＜AD＜；(2)問題解決：證明：如圖2中，延長ND至點F，使FD=ND，連接BF、MF，同(1)得：△BFD≌△CND(SAS)，∴BF=CN，∵DM⊥DN，F(xiàn)D=ND，∴MF=MN，在△BFM中，由三角形的三邊關系得：BM+BF＞MF，∴BM+CN＞MN．(3)問題拓展：解：結論：2AD=MN，AD⊥MN．理由：如圖3中，延長AD至E，使DE=AD，連接CE，延長DA交MN于G．由(1)得：△BAD≌△CED，∴∠BAD=∠E，AB=CE，∵∠BAM=∠NAC=90°，∴∠BAC+∠MAN=180°，即∠BAD+∠CAAD+∠MAN=180°，∵∠E+∠CAD+∠ACE=180°，∴∠ACE=∠MAN，∵△ABM和△ACN是等腰直角三角形，∴AB=MA，AC=AN，∴CE=MA，∴△ACE≌△NAM(SAS)，∴AE=MN，∠EAC=∠MNA，∴2AD=MN．∵∠NAC=90°，∴∠EAC+∠NAG=90°，∴∠MNA+∠NAG=90°，∴∠AGN=90°，∴AD⊥MN．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質、三角形的三邊關系、線段垂直平分線的性質、等腰直角三角形的性質、角的關系等知識；正確作出輔助線并證明三角形全等是解決問題的關鍵．11．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別是AC，AB上的動點，且AE＝CD，BD交CE于點P．(1)如圖1，求證：∠BPC＝120°；(2)點M是邊BC的中點，連接PA，PM，延長BP到點F，使PF＝PC，連接CF，①如圖2，若點A，P，M三點共線，則AP與PM的數(shù)量關系是．②如圖3，若點A，P，M三點不共線，問①中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，說明理由．【答案】(1)見解析；(2)①AP＝2PM；②成立，證明見解析【分析】(1)由“SAS”可證△AEC≌△CDB，得到∠ACE＝∠CBD，根據三角形的內角和定理計算，得出結論；(2)①由等邊三角形的性質和已知條件得出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝30°，得出PB＝PC，由等腰三角形的性質得出∠PBC＝∠PCB＝30°，得出PC＝2PM，證出∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，得出AP＝PC，即可得出AP＝2PM；②延長PM＝MH，連接CH，由“SAS”可證△ACF≌△BCP，可得AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，由“SAS”可證△CMH≌△BMP，可得CH＝BP＝AF，∠HCM＝∠PBM，由“SAS”可證△AFP≌△HCP，可得AP＝PN＝2PM．【解析】(1)證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB(SAS)，∴∠ACE＝∠CBD，∵∠BPC+∠DBC+∠BCP＝180°，∴∠BPC+∠ACE+∠BCP＝180°，∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°；(2)①解：AP＝2PM，理由如下：∵△ABC為等邊三角形，點M是邊BC的中點，∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，∵AM⊥BC，點M是邊BC的中點，∴PB＝PC，∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＝∠PCB＝30°，∴PC＝2PM，∠ACP＝30°，∴∠PAC＝∠PCA，∴PA＝PC，∴AP＝2PM，故答案為：AP＝2PM；②解：①中的結論成立，理由如下：延長PM至H，是MH＝PM，連接AF、CH，∵∠BPC＝120°，∴∠CPF＝60°，∵PF＝PC，∴△PCF為等邊三角形，∴CF＝PF＝PC，∠PCF＝∠PFC＝60°，∵△ABC為等邊三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCF，∴∠BCP＝∠ACF，在△BCP和△ACF中，，∴△BCP≌△ACF(SAS)，∴AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，∴∠AFP＝60°，在△CMH和△BMP中，，∴△CMH≌△BMP(SAS)，∴CH＝BP＝AF，∠MCH＝∠MBP，∴CH∥BP，∴∠HCP+∠BPC＝180°，∴∠HCP＝60°＝∠AFP，在△AFP和△HCP中，，∴△AFP≌△HCP(SAS)，∴AP＝PH＝2PM．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質、等邊三角形的性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．12．(閱讀)婆羅摩笈多是七世紀印度數(shù)學家，他曾提出一個定理：若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線平分對邊．證明：如圖1所示內接于圓的四邊形的對角線互相垂直，垂足為點，過點的直線垂直于，垂足為點，與邊交于點，由垂直關系得，，所以，由同弧所對的圓周角相等得，所以，則，同理，，故；(思考)命題“若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點的直線垂直于另一邊”為(填“真命題”，“假命題”)；(探究)(1)如圖2，和為共頂點的等腰直角三角形，，過點的直線垂直于，垂足為點，與邊交于點．證明：點是的中點；(2)如圖3，和為共頂點的等腰直角三角形，點是的中點，連接交于點，若，求的長．【答案】【思考】真命題；【探究】(1)證明見解析；(2)4．【思考】由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，再利用等量代換計算．結論可得；(1)過點作，交的延長線于點，利用同角的余角相等得出和，進而得到；再證明，結論可得；(2)過點作，交的延長線于點，易證，得到，．再進一步說明，可得，結論可得．【解析】解：【思考】“若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點的直線垂直于另一邊”為真命題．理由如下：如下圖，∵，為的中點，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．即：．∴命題“若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點的直線垂直于另一邊”為真命題．故答案為：真命題．【探究】(1)如下圖，過點作，交的延長線于點，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵為等腰直角三角形，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．在和中，∴．∴．即是的中點．(2)如下圖，過點作，交的延長線于點，∵，∴．在和中，∴．∴．∴．∵，∴．∵，∴．在和中，∴．∴．【點睛】本題主要考查了圓的綜合運用，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質與判定，利用中點添加平行線構造全等三角形是解題的關鍵．13．(1)方法呈現(xiàn)：如圖①：在中，若，，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使，再連接BE，可證，從而把AB、AC，集中在中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；(2)探究應用：如圖②，在中，點D是BC的中點，于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷與EF的大小關系并證明；(3)問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關系，并加以證明．【答案】(1)1＜AD＜5，(2)BE+CF＞EF，證明見解析；(3)AF+CF＝AB，證明見解析．【分析】(1)由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，據此可得答案；(2)延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，同(1)得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關系得出BE+BM＞EM即可得出結論；(3)如圖③，延長AE，DF交于點G，根據平行和角平分線可證AF＝FG，易證△ABE≌△GEC，據此知AB＝CG，繼而得出答案．【解析】解：(1)延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖①所示，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA(SAS)，∴BE＝AC＝4，在△ABE中，由三角形的三邊關系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；故答案為：1＜AD＜5，(2)BE+CF＞EF；證明：延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．同(1)得：△BMD≌△CFD(SAS)，∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；(3)AF+CF＝AB．如圖③，延長AE，DF交于點G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC(AAS)，∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關系、全等三角形的判定與性質、角的關系等知識；本題綜合性強，有一定難度，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關鍵．14．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，點E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當?shù)妮o助線，構造全等三角形或等腰三角形．(1)現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進行證明．①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G．(2)請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進行證明．【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)見解析；【分析】(1)①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F，AB＝CD；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G，△BEF≌△CEG△BAF≌△CDG，AB＝CD；(2)如圖3，過C點作CM∥AB，交DE的延長線于點M，則∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE(AAS)，∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；【解析】(1)①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF，∵點E是BC的中點，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，，∴△BEF≌△CED(SAS)，∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵點E是BC的中點，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG(AAS)，∴BF＝CG，在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG(AAS)，∴AB＝CD；(2)如圖3，過C點作CM∥AB，交DE的延長線于點M，則∠BAE＝∠EMC，∵E是BC中點，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，，∴△BAE≌△CFE(AAS)，∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，∵∠BAE＝∠EDC，∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，對頂角相等，平行線的性質，構造出全等三角形是解本題的關鍵．15．在通過構造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．(1)如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長到點，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；(2)如圖2，是的中線，點在邊上，交于點且，求證：；(3)如圖3，在四邊形中，，點是的中點，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關系，并予以證明．【答案】(1)；(2)見解析；(3)，證明見解析【分析】(1)延長到點，使，連接，即可證明，則可得，在中，根據三角形三邊關系即可得到的取值范圍，進而得到中線的取值范圍；(2)延長到點使，連接，由(1)知，則可得，由可知，，由角度關系即可推出，故，即可得到；(3)延長到，使，連接，即可證明，則可得由，以及角度關系即可證明點在一條直線上，通過證明≌，即可得到，進而通過線段的和差關系得到．【解析】(1)延長到點，使，連接，∵是的中線，∴，在和中，，，，∴，∴，在中，，∴，即，∴；(2)證明:延長到點使,連接，由(1)知，∴，，，，，，，，(3)，延長到，使，連接，，，，，，點在一條直線上，，∴，∴在和中，，，，∴≌，，∵，．【點睛】本題考查了三角形中線、全等三角形的證明和性質、三角形的三邊關系、等腰三角形的性質、平行線的性質、平角的概念、線段的和差關系等，正確的作出輔助線以及綜合運用以上知識是解答本題的關鍵．16．在與中，，，，連接，點為的中點，連接，繞著點旋轉．(1)如圖1，當點落在的延長線上時，與的數(shù)量關系是：__________；(2)如圖2，當旋轉到點落在的延長線上時，與是否仍有具有(1)中的數(shù)量關系，如果具有，請給予證明；如果沒有，請說明理由；(3)旋轉過程中，若當時，直接寫出的值．【答案】(1)；(2)具有，證明見解析；(3)14或．【分析】(1)；當點落在的延長線上時，∠ADE=90o，點為的中點，直角三角形斜邊中線的性質，再證△ACE≌△BCE(SAS)利用性質得AE=BE即可；(2)成立(具有)延長到點，使，連接，由點為的中點，可知是的中位線，有結論，先證，再證，即可；(3)分兩種情況∠BCD再BC的左邊與右邊，構造Rt△ECH，∠HCE=60o或Rt△CGE，∠GCE=30o，CH=，CG=，利用勾股定理求BE2，再用(1)結論即可．【解析】(1)當點落在的延長線上時，∠ADE=90o，∵點為的中點，∴AF=EF=FD，∴，∵BC=AC，∠ACB=90o，CD=DE，∠CDE=90o，∴∠DCE=∠DEC=45o，∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=90o+45o=135o，∴∠ACE=360o-∠ACB-∠BCE=360o-90o-135o=135o=∠BCE，∵CE=CE，∴△ACE≌△BCE(SAS)，∴AE=BE，∴，故答案為：；(2)成立(具有)證明：延長到點，使，連接，∵點為的中點，∴是的中位線，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；(3)14或．過E作EH⊥BC于H，∴在Rt△ECD中，CE=2，∵∠BCD=105o，∴∠HCE=105o-∠DCE=60o，∴CH=，EH=，∵BC=，∴BH=BC-CH=-，∴FD2=；延長BC，過E作EG⊥BC于G，∵∠BCD=105o，∠DCE=45o，∴∠GCE=180o-∠ACD-∠DCE=30o，∴GE=，∴CG=，∴∴FD2=．綜上所述，的值為或．【點睛】本題考查直角三角形斜邊中線性質，三角形全等判定與性質，三角形的旋轉變換，三角形中位線，解直角三角形，勾股定理的應用，涉及的知識多，習題難度大，關鍵是利用數(shù)形結合的思想畫出準確的圖形，畫圖時應注意分類來畫是解題關鍵．17．閱讀理解：(1)如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點，使得，再連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關系即可判斷中線的取值范圍是______．(2)解決問題：如圖2，在中，是邊上的中點，，交于點，交于點，連接，求證：．(3)問題拓展：如圖3，在中，是邊上的中點，延長至，使得，求證：．【答案】(1)；(2)見解析；(3)見解析．【分析】(1)如圖1延長到點，使得，再連接，由AD為中線，推出BD=CD，可證△ACD≌△EBD(SAS)得AC=EB，在中，由三邊關系即可，(2)如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結BG，EG由D為BC中點，BD=CD可證△FCD≌△GBD(SAS)得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中由三邊關系，(3)如圖3，延長AD到G使DG=AD，連結BG，由是邊上的中點，得BD=CD，可證△ACD≌△GBD(SAS)得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，【解析】(1)如圖1延長到點，使得，再連接，∵AD為中線，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=ED，∴△ACD≌△EBD(SAS)，∴AC=EB=6，，∵，∴，∴，(2)如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結BG，EG，由D為BC中點，BD=CD，在△FDC和△GDB中，∵CD=BD，∠FDC=∠GDB，F(xiàn)D=GD，∴△FCD≌△GBD(SAS)，∴FC=GB，∵，DF=DG，∴EF=EG，在△BEG中EG<EB+BG，即，(3)如圖3，延長AD到G使DG=AD，連結BG，由是邊上的中點，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠GDB，AD=GD，∴△ACD≌△GBD(SAS)，∴AC=GB，∠DAC=∠G，∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G=∠CAD．【點睛】本題考查中線加倍，三角形全等，三邊關系，垂直平分線，等腰三角形，掌握中線加倍構造三角形，用三角形全等轉化等量關系，用三邊關系求取值范圍，用垂直平分線轉化線段，用等腰三角形證角是解題關鍵，18．已知，在中，，點為邊的中點，分別交，于點，．(1)如圖1，①若，請直接寫出______；②連接，若，求證：；(2)如圖2，連接，若，試探究線段和之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)①45°；②見解析；(2)，理由見解析【分析】(1)①利用直角三角形兩個銳角相加得和三角形的外角等于不相鄰的兩個內角和的性質結合題干已知即可解題．②延長至點，使得，連接，從而可證明≌(SAS)，再利用全等的性質，可知，即可知道，所以，根據題干又可得到，所以，從而得出結論．(2)延長至點，使得，連接，從而可證明≌(SAS)，再利用全等的性質，可知，，根據題干即可證明≌(HL)，即得出結論．【解析】(1)①∵，∴∵∴又∵∴∴故答案為．②如圖，延長至點，使得，連接，∵點為的中點，∴，又∵，∴≌，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．(2)．如圖，延長至點，使得，連接，∵，，∴≌，∴，，∵．∴≌，∴．【點睛】本題主要考查直角三角形的角的性質，三角形外角的性質，全等三角形的判定和性質以及平行線的性質．綜合性較強，作出輔助線是解答本題的關鍵．19．在等腰和等腰中，，連為中點，連．(1)如圖1，請寫出與的關系，并說明理由；(2)將圖1中的旋轉至圖2的位置，其他條件不變，(1)中結論是否成立？請說明理由．【答案】(1)OM=，理由見解析；(2)(1)結論成立，理由見解析【分析】(1)延長OM至E，使ME=MO，連接DE，AE，可判斷四邊形AODE為平行四邊形，得到AO=DE，根據三角形，四邊形內角和定理，結合條件可判定△BOC≌△EDO，得到BC=OE，進而得出結論；(2)延長MO至E，使ME=OM,連接DE，AE利用(1)中的方法即可得出結論．【解析】(1)解：OM=，理由如下：如圖OM至E，使ME=OM，連接DE，AE

∵AM=DM，EM=OM，∴四邊形AODE為平行四邊形，∴AO=DE，又∵AO=BO，∴OB=DE，∵∠BOC+∠AOD=360°－∠COD－∠AOB=180°，又∠EDO+∠DOA=180°，∴∠BOC=∠EDO，又OC=OD，在△BOC和△EDO中，∴△BOC≌△EDO，∴BC=OE，又∵OM=OE∴OM=BC；(2)(1)中結論任然成立，理由如下：延長OM至E，使ME=MO，連接DE，AE

∵AM=DM，EM=OM，AODE為平行四邊形，∴AO=DE又∵AO=BO，∴OB=DE，∵∠BOC+∠AOD=∠AOB+∠COD=180°，又∠EDO+∠DOA=180°，∴∠BOC=∠EDO，又OC=OD，在△BOC和△EDO中，∴△BOC≌△EDO，∴BC=OE，又∵OM=OE，∴OM=BC；【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質及平行四邊形的判定與性質，解題關鍵是正確做出輔助線利用平行四邊形的性質得出全等三角形最后得出結論．20．請閱讀下列材料：問題：在四邊形ABCD中，M是BC邊的中點，且∠AMD=90°(1)如圖1，若AB與CD不平行，試判斷AB+CD與AD之間的數(shù)量關系；小雪同學的思路是：延長DM至E使DM=ME，連接AE，BE，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決請你參考小雪的思路，在圖1中把圖形補充完整，并直接寫出上面問題AB+CD與AD之間的數(shù)量關系：(2)如圖2，若在原條件的基礎上，增加AM平分∠BAD，(1)中結論還成立嗎？若不成立，寫出AB+CD與AD之間的數(shù)量關系，并證明．【答案】(1)AB+CD＞AD；(2)不成立，AB+CD=AD；證明見解析

【分析】(1)根據條件作出圖形，利用DM=EM、BM=MC便可得到是四邊形BECE是平行四邊形，再結合EM=DM,且∠AMD=90°，得到等腰三角形，最后根據三角形三邊關系求解．(2)增加AM平分∠BAD，便可以得到點A.B.E必然共線，故(1)的結論不成立，通過(1)的分析，邊可以證明其數(shù)量關系．【解析】解：(1)AB與CD不平行根據題意,延長DM使DM=EM，連接BE，AE，EC，BD由于M是BC的中點，故BM=MC∴四邊形BECE是平行四邊形∴CD=BE又EM=DM，且∠AMD=90°∴是等腰三角形∴AD=AB在中，(2)若在原條件的基礎上，增加AM平分∠BAD則(1)的結論不成立關系為：證明：由于M是BC的中點，故BM=MC∴四邊形BECE是平行四邊形∴CD=BE又EM=DM,且∠AMD=90°∴是等腰三角形∴AD=AE又AM平分∠BAD∴點A.B.E必然共線∴【點睛】本題比較綜合，涉及到畫圖能力，平行四邊形判定，等腰三角形性質應用，三角形三邊關系等，解題的關鍵在于熟悉各個知識點的靈活運用．21．閱讀材料，解答下列問題．如圖1，已知△ABC中，AD為中線．延長AD至點E，使DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，進一步可得到AC=BE，AC//BE等結論．在已知三角形的中線時，我們經常用“倍長中線”的輔助線來構造全等三角形，并進一步解決一些相關的計算或證明題．解決問題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，點F為AD上一點，且BF=AC，連結并延長BF交AC于點E，求證：AE=EF．【答案】詳見解析【分析】延長AD到M，使DM=AD，連接BM，根據SAS推出△BDM≌△CDA，根據全等三角形的性質得出BM=AC，∠CAD=∠M，根據BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．【解析】如圖，延長至點，使得，并連結，∵是三角形的中線，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，即．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的運用性質進行推理的能力，關鍵是能根據“倍長中線”法作出輔助線來構造全等三角形．22．如圖1，已知正方形和等腰，，，是線段上一點，取中點，連接、．(1)探究與的數(shù)量與位置關系，并說明理由；(2)如圖2，將圖1中的等腰繞點順時針旋轉，則(1)中的結論是否仍然成立？請說明理由；(3)在(2)的條件下，若，求的最小值．【答案】(1)且．理由見解析；(2)成立，理由見解析；(3)【分析】(1)首先根據正方形和等腰直角三角形的性質得出、、三點共線，然后利用直角三角形斜邊中線的性質即可證明，然后利用等腰三角形的性質和三角形外角的性質即可得出，從而證明；(2)延長至，使，連接交于，連接、，首先通過SAS證明，從而利用全等三角形的性質及平行線的判定證明，進而可利用正方形和等腰直角三角形的性質證明，從而可證明結論仍然成立；(3)連接，首先根據題意確定當、、，在同一直線上時，有最小值，此時在上，然后根據平行四邊形的判定及性質得出有最小值就是的長，最后利用勾股定理求解即可．【解析】解：(1)且．理由如下：如圖1，連接．∵正方形和等腰，∴，∴、、三點共線．∵，為的中點，，∴．∴，．∴，即，∴．(2)仍然成立．理由如下：如圖2，延長至，使，連接交于，連接、．∵，，，∴，∴，，∴．∵是正方形，∴，．∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，，∴，∴為等腰直角三角形．又∵，∴且．(3)如下圖，連接，當、、，在同一直線上時，有最小值，此時在上，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，由(2)知，∴，即有最小