海南省定安縣定安中學(xué)2023-2024學(xué)年度高二年級(jí)上冊(cè)開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題【解析版】

海南省定安縣定安中學(xué)2023-2024學(xué)年度高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試

題【解析版】

一、選擇題（每小題5分，共40分）

1.集合4={1,2,3,4},B={3,4,5,6},則AB=()

A.{123,4,5,6}B.{3,4}C.{1,2,3,4,5}D.(2,3,4,5,6}

2-i

2.復(fù)數(shù)=在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.如圖，正六邊形ABCDE尸中，BA+CD+EF=（）

D.CF

4.已知向量4=(2,4),Z>=(-1,1),則2d+〃=()

A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)

5.已知向量”,人滿足|“|=1,出|=后,|a-26|=3,則”功=（）

A.-2B.-1C.1D.2

6.在ABC中，角ARC的對(duì)邊分別為a,"c,a=S-j3,b=6,A=60°,則sin8=()

7.某市為了解高中教師對(duì)新冠肺炎防控知識(shí)的掌握情況，調(diào)研組采用分層抽樣的方法，從甲、乙、丙三

所不同的高中共抽取60名教師進(jìn)行調(diào)查.已知甲、乙、丙三所高中分別有180名、270名、90名教師，則

從乙校中應(yīng)抽取的人數(shù)為（）

A.10B.20C.30D.40

8.從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中依次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的概率為（）.

A.-B.-C.-D.g

6392

二、多項(xiàng)選擇題（每題均有多個(gè)選項(xiàng)正確，每題5分，沒有選全對(duì)2分，選錯(cuò)0分，共計(jì)20

分）

9.己知民/是三個(gè)不重合的平面，/是直線，給出的下列命題中，正確的命題有（）

A.若/上兩點(diǎn)到a的距離相等，則〃/a

B.若Ila,1邛,則C4

C.若a〃夕，lap,且〃/a,則〃0

D.若夕〃夕,a〃7,則#//?

10.下列關(guān)于復(fù)數(shù)Z=*的四個(gè)命題，其中為真命題的是（）

1-1

A.z的虛部為1B.z2=2i

C.z的共朝復(fù)數(shù)為-1+iD.|z|=2

11.口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀大小完全相同的小球，從中任取2球，事件A=取出的兩球同

色，3=取出的2球中至少有一個(gè)黃球，C=取出的2球中至少有一個(gè)白球，取出兩個(gè)球不同色，E=

取出的2球中至多有一個(gè)白球.下列判斷中正確的是（）

A.事件A與。為對(duì)立事件B.事件5與C是互斥事件

C.事件C與E為對(duì)立事件D.事件P（C_E）=1

12.下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本大,々，，斗的離散程度的是（）

A.樣本為,々，，x”的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本為,々，，x”的中位數(shù)

C.樣本內(nèi),々，的極差D.樣本內(nèi),々，，%的平均數(shù)

三、填空題（每小題5分，共20分）

13.已知向量a=（l,3）,6=（3,4）,若（a-26）_Lb,則/=.

14.AABC的內(nèi)角A&C的對(duì)邊分別為a也c.若AABC的面積為"一1）,則人=.

4

15.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)9+消2i=__________.

2+1

16.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-AIBICIDI中，AB=BC=2,AAi=l,則ACi與平面AIBICQI所成角的正弦

值為.

四、解答題(第17題10分，第18,19,20,21,22題12分，共計(jì)70分)

=asinB；③asin8=Z?cos(4-看)這三個(gè)條件中

17.在①(sinB-sinC)~usin,A-sinBsinC；②「sin臺(tái)；。

任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并作答.

問題：△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若?=b+c，—，求4和8.

注：若選擇多個(gè)條件作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽，先將高一參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布

(2)高一參賽學(xué)生的平均成績(jī);

(3)按分層抽樣的方法從［70,80),［80,90),［90,100］中抽取6名學(xué)生，再?gòu)倪@6人中，抽取2人，則求這兩人

都是在［70,80)的概率.

19.在四棱錐P-A8CD中，底面為矩形，平面ABCD,點(diǎn)E在線段PC上，PC_L平面BDE.

(1)證明：80/平面PAC；

(2)若E4=l,AD=2,求幾何體E-BCD的體積.

20.某田徑隊(duì)有三名短跑運(yùn)動(dòng)員，根據(jù)平時(shí)訓(xùn)練情況統(tǒng)計(jì)甲、乙、丙三人100米跑(互不影響)的成績(jī)?cè)?/p>

13s內(nèi)(稱為合格)的概率分別為2:，43,、1若對(duì)這三名短跑運(yùn)動(dòng)員的100跑的成績(jī)進(jìn)行一次檢測(cè)，則求：

543

(I)三人都合格的概率；

(II)三人都不合格的概率；

(III)出現(xiàn)幾人合格的概率最大.

21.如圖所示，已知ABCD為梯形，AB〃CD,CD=2AB,M為線段PC上一點(diǎn).

(1)設(shè)平面PABCI平面PDC=/,證明:AB〃/;

(2)在棱PC上是否存在點(diǎn)M,使得PA〃平面MBD,若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2022年9月在杭州舉行，志愿者的服務(wù)工作是亞運(yùn)會(huì)成功舉辦的重要保障.某高校

承辦了杭州志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組［45,55),

第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五組［85,95),繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知

第三、四、五組的頻率之和為0.7,第一組和第五組的頻率相同.

(2)根據(jù)組委會(huì)要求，本次志愿者選拔錄取率為19%,請(qǐng)估算被錄取至少需要多少分.

1.B

【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可.

［詳解］因?yàn)榧螦={1,2,3,4},5={3,4,5,6},

所以A8={3,4}.

故選：B.

2.A

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可化簡(jiǎn)制，從而可求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.

1-31

2-i(2-i)(l+3i)5+5i1+i山2士后.，上斗.C1)

【詳解】----——-------=-----=——，所以該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的1V點(diǎn)為|

l-3i10102122)

該點(diǎn)在第一象限，

故選：A.

3.D

【詳解】將,F平移到工j，/尸平移到乙:，，

BA+CD+EF=CB+BA+AF=CF，

故選D.

本題主要考查平面向量的基本概念及線性運(yùn)算

考點(diǎn)：向量的加法.

4.D

【解析】由4與。的坐標(biāo)，通過線性運(yùn)算即可求得.

【詳解】因?yàn)?=(2,4),故2。=(4,8),則：

2a+6=(3,9).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

5.C

【分析】根據(jù)給定模長(zhǎng)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：???|"2w2=|4|24.萬(wàn)+4時(shí)，

又|&|=1,|6|=百a-2b\=3,

；?9=1-4。?。+4x3=13-4〃?b，

??ah=\

故選：c.

6.D

【分析】利用正弦定理求得正確答案.

b8736

【詳解】由正弦定理得」一

sinAsinB'sin60°sinB

6xsin60°3G_3

sin3=

8出86一§

故選：D

7.C

【分析】利用分層抽樣的定義求解即可

【詳解】從乙校中應(yīng)抽取的人數(shù)為180+；27；01+90-60=30.

故選：C.

8.B

【分析】從1，2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，可有種方法，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍

的只有1,2；2,4.兩種選法.利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出.

【詳解】從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，可有C：種方法，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍

的只有1,2；2,4.兩種選法.所以其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的概率為3=：.

63

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

9.BCD

【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.

【詳解】a,夕是三個(gè)不重合的平面，/是直線.

對(duì)于A,若/上兩點(diǎn)到a的距離相等，則當(dāng)兩點(diǎn)在平面的同側(cè)時(shí)，〃/a,

當(dāng)兩點(diǎn)在平面的異側(cè)時(shí)，/與a相交，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若〃啰，則存在直線4使得〃/加，又因?yàn)?_Le,所以加，a,又利u),所以故B

正確；

對(duì)于C,若a",SB，且〃/a,則由線面平行的判定定理得〃/，故C正確；

對(duì)于D,若a//p,a//y,則6///,故D正確.

故選：BCD.

10.AB

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【詳解】z=j==]+故虛部為1，共軌復(fù)數(shù)為1—i，1zUVi7喬=&,

1-1+1I

22

z=（l+i）=2i,故AB正確，CD錯(cuò)誤,

故選：AB

11.AD

【分析】根據(jù)對(duì)立事件、互斥事件的知識(shí)確定正確答案.

【詳解】設(shè)。是樣本空間，

A選項(xiàng)，由于Au"=Q,AcO=0,所以A與。是對(duì)立事件，A選項(xiàng)正確.

B選項(xiàng)，由于5cC=“取出的2球中，一個(gè)黃球一個(gè)白球”，

所以3與C不是互斥事件，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)，由于CcE="取出的2球中，恰好有1個(gè)白球”，

所以C與E不是對(duì)立事件，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，由于CuE=C,所以P（?！辏?1,所以D選項(xiàng)正確.

故選：AD

12.AC

【分析】考查所給的選項(xiàng)哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)即可確定正確選項(xiàng).

【詳解】由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；

由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；

故選：AC.

13.

5

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出.

【詳解】因?yàn)椤！?（1,3）—2（3,4）=（1—32,3—4為，所以由可得，

a

3（l-3A）+4（3-42）=0,解得4=晟.

3

故答案為：-.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)。=（x，x）力=（%，必），

a_Lb=a力=0o不W+y%=0,注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分.

24

14.y（或120）

【解析】由已知結(jié)合余弦定理及三角形的面積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】解：由余弦定理可得"2-2-。2=-2/?CCOSA,

△ABC的面積為佻&二￡1=-BbccosA,

42

又因?yàn)镾4ABe=[bcsinA=--feecosA.

22

所以tanA=-G，

由AG（0,兀）可得

27r

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理及三角形的面積公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.

15.4-i

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

9+2i（9+2i）（2-i）20-5i

【詳解】2+i-（2+i）（2-i）-5--1,

故答案為：4—i.

16.1

-

【詳解】解：因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCO-ABCa中,AB=BC=2,4A=1,

則AC=V22+22+l2=3,

則作出AC,與平面AB￡R所成角NAGA,

結(jié)合直角三角形可知其正弦值為1.

3

B

17.選擇見解析；A=［,B==或二

31212

【分析】若選擇條件①，先由正弦定理和余弦定理求出角A；

若選擇條件②，利用正弦定理和二倍角公式解出sin/的值，進(jìn)而得出角A；

若選擇條件③，由正弦定理結(jié)合兩角和與差的正弦公式可求出tanA,進(jìn)而得出角A.

再利用正弦定理化簡(jiǎn)缶+/>=2c，把C=TI-(A+B)代入，化簡(jiǎn)求值即可；

【詳解】解析：選擇條件①，由(sin8-sinC),=sin?A-sin8sinC及正值定理知(b-c)?=a2-be，

整理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA="=區(qū)=:

2bc2bc2

VAG(O,7T),A=y；

由yfla=b+c得應(yīng)sinA=sinB+sinC=sinB+sin(A+B),

整理得sin(嗯［=4,

即V2sin—=sinB+sinI—+B

???8+巳蘭或/解得B書或錄

選擇條件②，因?yàn)锳+3+C=7r,所以字==-?；

由Z?sinB+C=asinB得,bcos—=asinB

22

AAA

由正弦定理知，sin3cos—=sinAsinB=2sin—cos—sinB；

222

4A1

XsinB>0,cosy>0,可得sin]=]；

又因?yàn)锳e(O,兀)，所以，9=2故A=g；

263

由y[la=b+c得6sinA=sinB+sinC=sinB+sin(A+B),

整理得［嗯卜等,

即&sin]=sin8+sin仁+3),sin

...匹唱,...5+X需),...崎弋吟,解得嶗瞪

選擇條件③，由“sin8=/?cos(Aq)及正弦定理得sinAsin8=sin8cos(A

*/sinB>0,sinA=cosIA--|=——cosA+—sinA解得tanA=5/3,

I6)22

,/.A=y；

由y/2a=Z?+cWV2sinA=sin5+sinC=sinB+sin(A+B),

即小嗚=5出8+5布K+可，整理得時(shí)8+e

2

吟）,?,?8+3信篇，，B+冷哼解得8弋唔

18.⑴眾數(shù)為65,中位數(shù)為65

(2)67

⑶一

15

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖確定眾數(shù)與中位數(shù)即可；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)即可；

（3）根據(jù)古典概型求解基本事件總數(shù)與所求事件總數(shù)即可得答案.

【詳解】（1）由題圖可知眾數(shù)為65,

因?yàn)閇50,60）的頻率為0.03x10=0.3；[60,70）的頻率為0.04x10=0.4；

[70,80）的頻率為0.015x10=0.15；[80,90）的頻率為。01x10=0.1；

[90,100]的頻率為0.005x!0=0.05；

所以設(shè)中位數(shù)為60+x,則0.3+xx0.04=0.5,解得x=5,所以中位數(shù)為60+5=65；

（2）由（1）可得，平均成績(jī)?yōu)?5x0.3+65x0.4+75x0.15+85x0.1+95x0.05=67,

所以平均成績(jī)?yōu)?7；

（3）按分層抽樣的方法從[70,80）,[80,90）,[90,100]中抽取6名學(xué)生,則分別抽取了3人，2人，1人.

設(shè)這6人分別為AB,C,D,E,F.

再?gòu)钠渲谐槿?人，這一共有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,總共15種情

況.

兩人都在[70,80）有CD一種情況，

則求這兩人都是在[7Q80）的概率為七.

19.（1）證明見解析

【分析】(1)先由線面垂直的性質(zhì)證出必，BD與PC_L8。，再由線面垂直的判定定理證明線面垂直即可;

(2)設(shè)AC與8。的交點(diǎn)為。，連接0E,利用力小=為<如?肛可求三棱錐E-88的體積.

【詳解】(1)證明：1ft4_L平面43CD,Qu面ABC3,

:.PA1BD.

「。，平面也汨，8E>u平面跳圮，

:.PCLBD.

又PA\PC=P,PAPCU平面PAC

平面PAC

(2)如圖，設(shè)AC與BO的交點(diǎn)為。，連接0E.

由(1)知，平面PAC,:.BDA.AC,

由題設(shè)條件知，四邊形ABC。為正方形.

由40=2，得4c=8。=2夜，0C=也.

在Rt/SPAC中，PC=-JPA'+AC2=J12+(2V2)2=3.

易知RtPAC^RtOEC,

.OECE_OCOECE^72rF_4

PAACPC12V2333

V..?=-5BD=--OECEBD=----2>j2=—.

…fl8r3cCmb03263327

20.(1),；(II)'；(III)1人.

2

【分析】記甲、乙、丙三人100米跑成績(jī)合格分別為事件A,B,C,顯然事件A,B,C相互獨(dú)立，則P(A)=-,

P(B)=j3,P(C)=g1,從而根據(jù)不同事件的概率求法求得各小題.

【詳解】記甲、乙、丙三人100米跑成績(jī)合格分別為事件A,B,C,

231

顯然事件A,B,C相互獨(dú)立，貝1」尸(4)=),P(B)=：,P(C)=-

設(shè)恰有k人合格的概率為R(k=0,1,2,3).

2311

(I)三人都合格的概率：^=P(ABC)=P(A)P(B)-P(C)=-x-x-=—

______3121

(II)三人都不合格的概率：/?,=/>(ABC)=P(A)-P(B)P(C)=-x-xj=-.

(III)恰有兩人合格的概率：^=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=-x-x-+-x-x-+-x^x-=—.

54354354360

1231255

恰有一人合格的概率：q=a—A=i--------.

1°231060106012

因?yàn)?231

126010

所以出現(xiàn)1人合格的概率最大.

PM1

21.(1)見解析；(2)存在，—=-

MC2

【詳解】試題分析：(1)因?yàn)锳B〃CD,根據(jù)線面平行的判定定理可得AB〃平面PCD,再根據(jù)線面平行的性