新高考數(shù)學一輪復(fù)習題型歸類與強化測試（新高考專用）48直線的方程2

專題48直線的方程

知考綱要求

識

考點預(yù)測

梳

理常用結(jié)論

方法技巧

題題型一：直線的傾斜角與斜率

型

題型二：求直線的方程

歸

類題型三：直線方程的綜合應(yīng)用

訓(xùn)練一：

培

訓(xùn)練二：

優(yōu)

訓(xùn)練三：

訓(xùn)

練訓(xùn)練四：

訓(xùn)練五：

訓(xùn)練六：

強

單選題：共8題

化

多選題：共4題

測

試填空題：共4題

解答題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.

3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），了解斜截

式與一次函數(shù)的關(guān)系.

【考點預(yù)測】

1.直線的傾斜角

⑴定義：當直線/與X軸相交時，我們以X軸為基準，X軸正向與直線/向上的方向之間所成

的角a叫做直線/的傾斜角；

（2）規(guī)定：當直線/與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為￡；

（3）范圍：直線的傾斜角a的取值范圍是由0。忘*180。"

2.直線的斜率

（1）定義：我們把一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母女表示,

即k=tana.

⑵計算公式

①經(jīng)過兩點尸1（X1,了1）,尸2（X2,J2）（X1WX2）的直線的斜率左=絲=普.

X2~X1

②設(shè)尸1(X1,a)，尸2(x2,歹2)(其中X1WX2)是直線/上的兩點，則向量戶市2=(X2—XI,/—歹)以及

與它平行的向量都是直線的方向向量.若直線I的斜率為k,它的一個方向向量的坐標為(x,y),

貝Uk=2.

X

3.直線方程的五種形式

名稱幾何條件方程適用條件

斜截式縱截距、斜率

與X軸不垂直的直線

點斜式過一點、斜率y—Vo=k(x—xo)

V~V1_X~X1與兩坐標軸均不垂直

兩點式過兩點

,"2-Vl~~X2—Xl的直線

不過原點且與兩坐標

截距式縱、橫截距u

「b一軸均不垂直的直線

玫+C=0

一般式所有直線

(?l2+52^0)

【常用結(jié)論】

直線的斜率左與傾斜角a之間的關(guān)系

a0°0°<?<90°90°90°<cc<180°

k0左>0不存在k<。

牢記口訣：

1.“斜率變化分兩段，90。是分界線；

遇到斜率要謹記，存在與否要討論”.

2.“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數(shù).應(yīng)注

意過原點的特殊情況是否滿足題意.

3.直線4v+繪+。=0(/2+爐=0)的一個法向量v=(/,B),一個方向向量a=(—8,A).

【方法技巧】

1.斜率的兩種求法：定義法、斜率公式法.

2.傾斜角和斜率范圍求法：①圖形觀察(數(shù)形結(jié)合)；②充分利用函數(shù)在=tana的單調(diào)性.

3.求直線方程一般有以下兩種方法：

①直接法：由題意確定出直線方程的適當形式，然后直接寫出其方程.

②待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù)，

即得所求直線方程.

4.在求直線方程時，應(yīng)選擇適當?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件，特別是對于點斜式、截距式方程，使

用時要注意分類討論思想的運用.

5.直線過定點問題可以利用直線點斜式方程的結(jié)構(gòu)特征，對照得到定點坐標.

6.求解與直線方程有關(guān)的面積問題，應(yīng)根據(jù)直線方程求解相應(yīng)坐標或者相關(guān)長度，進而求得多邊形面積.

7.求參數(shù)值或范圍.注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解.

二、【題型歸類】

【題型一】直線的傾斜角與斜率

71匹]

[,￡6,3」的傾斜角的變化范圍是()

71匹"三

，

A163.3_

匹匹712晨

C.“2_D.L?TJ

【典例2】過函數(shù)兀0=$3一9的圖象上一個動點作函數(shù)圖象的切線，則切線傾斜角的取值范圍為()

匹zfl耀兀]

【典例3】若直線/的斜率為公傾斜角為a,且adL，RULF'，，則左的取值范圍是.

【題型二】求直線的方程

【典例1】經(jīng)過點尸(2,-3),且傾斜角為45。的直線方程為()

A.x+y+1=0B.x-\-y—1=0

C.x—>+5=0D.x—y-5=0

【典例2】已知點〃■是直線/：2x-y-4=0與x軸的交點，將直線/繞點M按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。，得到

的直線方程是()

A.x~\-y—3=0B.x—3y—2=0

C.3x—y+6=0D.3x~\~y—6=0

【典例3】經(jīng)過兩條直線/i：x+y=2,b：2x—y=l的交點，且直線的一個方向向量v=(—3,2)的直線方

程為.

【題型三】直線方程的綜合應(yīng)用

【典例1】已知直線/過點M(2,1),且分別與x軸的正半軸、F軸的正半軸交于4,8兩點，。為原點,

當△/O8面積最小時，求直線/的方程.

【典例2】已知直線x+2y=2分別與x軸、〉軸相交于4,8兩點，若動點尸(a,6)在線段A3上，貝!!"

的最大值為.

【典例3]當左>0時，兩直線區(qū)一y=0，2%+加-2=0與x軸圍成的三角形面積的最大值為

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】（2023?江蘇揚州?儀征中學?？寄M預(yù)測）已知橢圓C：/+5_=1（。>6>0）的左、右焦點分別

為耳、F2,以巴為圓心的圓與x軸交于耳，B兩點，與了軸正半軸交于點A,線段/片與C交于點若怛河|

與C的焦距的比值為回，則C的離心率為（）

3

A.3二LB.；C.百+1D.山

2242

【訓(xùn)練二】（2023?全國?高二專題練習）設(shè)a>0,beR,已知函數(shù)f（x）=xe*+a（x-3）+6,xe［l,3］有且

只有一個零點，則/+〃的最小值為（）

e2e2e2e2

A.—B.—C.—D.—

6543

【訓(xùn)練三】（2023?湖南益陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知直線/與曲線》=3f+4x-1相交，交點依次為。、E、

F,且卬閔=忸司=右，則直線/的方程為（）

A.y=3x-2B.y=2x-lC.y=2x+3D.>=3x+2

【訓(xùn)練四】（2023?全國?模擬預(yù)測）設(shè)直線/：（a-2b）x+by-a^0,圓C：（x-2）2+/=r2（r>0）,若直

線/與圓C恒有兩個公共點B,則下列說法正確的是（）

A.廠的取值范圍是［右,+8）

B.若「的值固定不變，則當2a-3b=0時NNC8最小

C.若廠的值固定不變，則“3C的面積的最大值為

D.若r=3,則當。8c的面積最大時直線/的斜率為1或g

【訓(xùn)練五】（2023?全國?高三專題練習）將兩圓方程

4：/+/+2工一4了+4=0?:/+/一2》+（機-2力+（3-相）=0（機>2）作差，得到直線/的方程，則（）

A.直線/一定過點

B.存在實數(shù)%>2,使兩圓心所在直線的斜率為-2

C.對任意實數(shù)機>2,兩圓心所在直線與直線/垂直

D.過直線/上任意一點一定可作兩圓的切線，且切線長相等

【訓(xùn)練六】（2022?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）己知/⑴是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點（2,0）對稱，當

xe［0,2］時，/（x）=-Jl-（x-l）2,若方程/（尤）-左（丫-2）=0的所有根的和為6,則實數(shù)上的取值范圍

是.

四、【強化測試】

一、單選題

1.（2023?全國?高二專題練習）若直線履-了+2左-1=0恒過點/,點N也在直線冽x+町+2=0上，其中私"

均為正數(shù)，則機”的最大值為（）

11

A.-B.-C.1D.2

42

2.（2023?黑龍江哈爾濱?哈師大附中?？寄M預(yù)測）圓。：/+y=4與直線/：x+（4-l）y-%=0交于M、

N,當|九W|最小時，力的值為（）

A.-2B.2C.-1D.1

/2（），（。）、

V3.2023?湖南邵陽?邵陽某二中學?？寄M預(yù)測已知耳此是橢圓C:]+方=1>6>0的左右焦

點，A是C的上頂點，點?在過A且斜率為2G的直線上，△跳;耳為等腰三角形，ZPF,F2=120°,則。的

離心率為（）

AVioRV7rV3n1

101494

4.（1991?全國?高考真題）如果/.C<0且8C<0,那么直線4v+8y+C=0不通過（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.（2023,全國,高二專題練習）若直線觸―4y+l—2左=0與圓C：（x—以+爐=4相交于A,3兩點，則

的最小值為（）

A.2A/3B.272C.V3D.應(yīng)

6.（2023?全國?高二專題練習）已知直線/:M+（5-2m）y-2=0（加eR）和圓。：/+四=4,則圓心O到直

線/的距離的最大值為（）

,6_275_2A/3n3

5532

7.（2023?全國?高三專題練習）直線4：x+（l+a）y=l-。S^/2:y=-1x,下列說法正確的是（）

A.3aeR,使得4〃4B.3aeR,使得_1乙

C.VaeR,4與4都相交D.九eR,使得原點到乙的距離為3

8.（2023?貴州畢節(jié)??？寄M預(yù)測）如圖，拋物線E:/=2x和直線/：3x+4y+/=0在第一象限內(nèi)的交點為

弦（再,必）.設(shè)"（乙,%）是拋物線E上的動點，且滿足0<%（必，記5工2+|3々+4%+加|=/.現(xiàn)有四個結(jié)論:

①當機=-日時，0<X2<g；②當芭>2時，/的最小值是加+；-：；③當0<占<2時，f的最小值是

35

m+---；④無論加為何值，，都存在最小值.其中正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

二、多選題

9.（2023秋■高二單元測試）己知圓C:（X-1）2+3—2）2=16,直線/:（2加+1卜+何+1）y-7加-4=0，貝！|（）

A.直線/恒過定點

B.直線/能表示平面直角坐標系內(nèi)每一條直線

C.對任意實數(shù)相，直線/都與圓C相交

D.直線/被圓C截得的弦長的最小值為2vH

10.（2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓尸是直線入7+2=0上一點，過點P作圓O的兩條

切線，切點分別為則（）

A.直線血W經(jīng)過定點

B.的最小值為百

C.點（2,0）到直線跖V的距離的最大值為g

D.NKPN是銳角

11.（2023春?湖南岳陽?高三湖南省岳陽縣某中學?？奸_學考試）下列說法正確的是（）

A.直線x-y+g=0的傾斜角為45。

B.存在加使得直3x+叩一2=0與直線mx+2>=0垂直

C.對于任意X,直線］:（4+2）1+（1-24）歹+4—34=0與圓（％+2>+/=8相交

D.若直線方+"+。=0過第一象限，貝！jqb>0,bc>0

12.（2023?全國?高二專題練習）已知直線/：foc-y-左+1=0與圓C：（x-2『+（>+2『=16相交于/,3兩

點，。為坐標原點，下列說法正確的是（）

A.目的最小值為2而B.若圓C關(guān)于直線/對稱，則上=3

C.若NACB=2NCAB,則左=1或左=-，D.若/,B,C,。四點共圓，則上=」

73

三、填空題

13.(2023?全國?高二專題練習)已知直線4：》-陽+1=0過定點/,直線4：〃a+了-加+3=0過定點3,4與

4相交于點尸，則|P4「+|尸球=.

14.(2023?全國?高二專題練習)已知直線/：點-y-2左+2=0被圓C：/+5+1了=16所截得的弦長為整

數(shù)，則滿足條件的直線/有條.

15.(2023?新疆阿勒泰?統(tǒng)考三模)函數(shù)/(x)=/-2x3的圖象在點(1J⑴)處的切線與坐標軸圍成的三角形的

面積為.

16.(2022?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(2,0)對稱，當xe[0,2]時，

〃x)7]_(x_l)2,若方程/(x)-左(x-2)=0的所有根的和為6,則實數(shù)左的取值范圍是.

四、解答題

17.(2003?北京?高考真題)如圖，4，/為橢圓的兩個頂點，耳，耳為橢圓的兩個焦點.

⑴寫出橢圓的方程及準線方程；

⑵過線段。/上異于。，/的任一點K作。/的垂線，交橢圓于尸，々兩點，直線4P與交于點求證:

點〃在雙曲線片=1上.

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