2022-2023學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)北京中學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)期中數(shù)學(xué)試卷含詳解

北京中學(xué)2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期中統(tǒng)練試卷

高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷

班級(jí)姓名成績(jī)

本試卷共8頁(yè)，滿(mǎn)分150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將條形碼貼在答題卡規(guī)定處，并將答案寫(xiě)

在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題，共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的

一項(xiàng).

1.點(diǎn)尸G，2)到直線(xiàn)x-y-3=0的距離為()

A.1B.V2C.2夜D.Ml

13

2.若點(diǎn)4(-1,0,2),3(1,4,10)在直線(xiàn)/上，則直線(xiàn)/的一個(gè)方向向量為()

A.(1,2,4)B.(1,4,2)C.(0,2,-1)D.(0,4,12)

3.已知橢圓1(a>/7>0)的離心率為則

A.a2=2h2B.3a2=4b2C.a=2hD.3a=4h

4.um=—,r是“直線(xiàn)(〃?+2)x+3沖+1=0與直線(xiàn)(加-2)x+Q〃+2)y-3=O垂直”

2

A.充分必要條件B.充分非必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

5.圓01：必+'2-2*=0和圓尤2+y2—4y=()的位置關(guān)系是()

A.內(nèi)含B.內(nèi)切C.外切D.相交

6.已知a=(l,(),l),方=(x,l,2),且〃力=3,則向量。與b的夾角為()

A.30B.60C.120D.150

7.己知直線(xiàn)x—y+m=0與圓O：/+丁=1相交于兩點(diǎn)，且-AQB為等邊三角形，則實(shí)數(shù)團(tuán)的值為()

A3B."C.士@D.土逅

2222

8.已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為().

A.4B.5C.6D.7

9.如圖所示，在平行六面體A3CO-A中，M為4G與瓦A的交點(diǎn)，若AB=a，AD=b，AA,=c,

則（)

]-1,?1-17-c11,-r11

A.—ci—b+cB.—ClH—/?+CC.—a—b+cD.—ci—b1+c

22222222

10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0,l）,3（1,1）,P為直線(xiàn)AB上的動(dòng)點(diǎn)，A關(guān)于直線(xiàn)OP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為。，則線(xiàn)

段BQ的長(zhǎng)度的最大值為（）

A.1B.2C.1+72D?亞+2

二、填空題，共5小題，每小題5分，共25分.

11.若P,。是圓/+:/一2%+今+4=0上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則儼0的最大值為.

12.寫(xiě)出一條與圓/+；/=1相切的直線(xiàn)/的方程：.

13.己知空間中單位向量。、。，且,則一3。|的值為.

V2V'2

14.已知橢圓工+2_=1的焦點(diǎn)為耳、居，點(diǎn)尸在橢圓上，若|Pf=4,則IP居|=,4尸鳥(niǎo)的大小為

92

62022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球座艙，返回艙的軸截面

可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓如圖，在平面直角坐標(biāo)系中半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過(guò)

橢圓的焦點(diǎn)產(chǎn)（0,2）,橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與V軸交于點(diǎn)G.若過(guò)原點(diǎn)。的直線(xiàn)與上半橢圓交于

點(diǎn)A,與下半圓交于點(diǎn)8,則下列說(shuō)法正確的有.

①橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為40；

②線(xiàn)段AB長(zhǎng)度的取值范圍是［4,2+2夜］;

③△ABf'面積的最小值是4；

④八AFG的周長(zhǎng)為4+40.

三、解答題.共6個(gè)大題，共85分.

16.已知圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(-3,0),3(1,—2),且圓心在直線(xiàn)4x-y-l=0上.

(1)求線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程；

(2)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(3)求圓C被直線(xiàn)/:3x+4y+5=0截得的弦長(zhǎng).

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，B4_L平面ABCD,AD1CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為尸。的中

PF1

點(diǎn)，點(diǎn)尸在PC上，且一=-.

PC3

(I)求證：C￡)_L平面PAD；

(II)求二面角F-AE-P余弦值;

2

(IID設(shè)點(diǎn)G在PB上，且一=—.判斷直線(xiàn)AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由.

PB3

18.如圖1,在矩形ABCD中，A3=2，8c=4,E為4。的中點(diǎn)，。為BE中點(diǎn).將AABE沿5E折起到

ABE，使得平面A'BEL平面3CDE(如圖2).

(1)求證：AO±CD;

(2)求直線(xiàn)AC與平面A，DE所成角的正弦值；

A'p

(3)在線(xiàn)段AC上是否存在點(diǎn)P,使得OP//平面A，OE?若存在，求出二二的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22=l(a>〃>0)的離心率為半，上、下頂點(diǎn)分別為A,B,

19.設(shè)橢圓——+-|AB|=4.過(guò)點(diǎn)￡(0,1),且斜率為

a2b2

k的直線(xiàn)/與x軸相交于點(diǎn)F,與橢圓相交于C,。兩點(diǎn).

(1)求橢圓的方程；

(2)若FC=DE，求％的值；

(3)是否存在實(shí)數(shù)使AC//BD?若存在，請(qǐng)求出出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.已知橢圓C：=1過(guò)點(diǎn)A(2,0),3(0,1)兩點(diǎn).

(I)求橢圓C方程及離心率；

(H)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線(xiàn)Q4與)'軸交于點(diǎn)直線(xiàn)尸3與x軸交于點(diǎn)N,求證：四邊

形的面積為定值.

21.己知集合4={%,4,,%J(Z22),其中qeZ(i=l,2,,k),由A中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：

S={(a,/?)|ae4,a+匕eA},T={(a,Z?)aw.

其中(a,6)是有序數(shù)對(duì)，集合S和T中的元素個(gè)數(shù)分別為相和〃.

若對(duì)于任意的aeA,總有一則稱(chēng)集合A具有性質(zhì)P.

(0)檢驗(yàn)集合{0,1,2,3}與{-1,2,3}是否具有性質(zhì)尸并對(duì)其中具有性質(zhì)p的集合，寫(xiě)出相應(yīng)的集合S和T.

k(k-1)

(0)對(duì)任何具有性質(zhì)尸的集合A,證明〃——

2

(回)判斷力和〃的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

北京中學(xué)2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期中統(tǒng)練試卷

高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷

班級(jí)姓名成績(jī)

本試卷共8頁(yè)，滿(mǎn)分150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將條形碼貼在答題卡規(guī)定處，并將答案寫(xiě)

在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題，共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的

一項(xiàng).

1.點(diǎn)尸G，2）到直線(xiàn)x-y-3=0的距離為（）

A.1B.V2C.2夜D.Ml

13

【答案】B

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可直接求出答案.

［詳解】點(diǎn)P（3,2）到直線(xiàn)x-y-3=0的距離為d==V2.

故選：B.

2.若點(diǎn)A（T,0,2）,B（l,4,10）在直線(xiàn)/上，則直線(xiàn)/的一個(gè)方向向量為（）

A.（1,2,4）B.（1,4,2）C.（O,2,-l）D.（0,4,12）

【答案】A

【分析】由方向向量的概念求解，

【詳解】由A6=（2,4,8）,/的方向向量與A8平行，只有選項(xiàng)A滿(mǎn)足題意，

故選：A

r2v2

3.已知橢圓0+二=1（a>b>0）的離心率為，,則

a2b2

A.a2=2b2B.3a2=4h2C.a=2hD.3a=4h

【答案】B

【分析】由題意利用離心率的定義和b,c的關(guān)系可得滿(mǎn)足題意的等式.

c1

【詳解】橢圓的離心率e=—=1,，=42一/,化簡(jiǎn)得3。2=4/,

a2

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),屬于容易題,注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算能力的考查.

4.i（m=—ff是“直線(xiàn)（m+2）x+3my+l=0與直線(xiàn)（加-2）工+（機(jī)+2）丁-3=0垂直”的

2

A.充分必要條件B.充分非必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】先由兩直線(xiàn)垂直求出團(tuán)的值，再由充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)（m+2）x+3/町+1=0與直線(xiàn)（加-2）x+（機(jī)+2）丁一3=0垂直，

則（機(jī)+2）（加-2）+3m（m+2）=0,即（m+2）（4m-2）=0,解得m=一2或=—；

2

因此由“/?=■!■”能推出“直線(xiàn)（m+2）x+3/ny+l=0與直線(xiàn)（相-2）x+（機(jī)+2）y—3=0垂直"，反之不能推出,

2

所以“機(jī)=!”是“直線(xiàn)（機(jī)+2）x+3沖+1=0與直線(xiàn)（機(jī)一2）工+（m+2?-3=0垂直”的充分非必要條件.

2

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查命題充分不必要條件的判定，熟記充分條件與必要條件的概念，以及兩直線(xiàn)垂直的判定條

件即可，屬于?？碱}型.

5.圓01：必+'2-2*=0和圓。2：%2+y2—4y=0的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.內(nèi)切C.外切D.相交

【答案】D

【分析】根據(jù)圓的一般方程分別求出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而求出兩圓心的距離，結(jié)合

乃一公<|?02|<4+乃即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意可知

圓。?的圓心?（1,0）,半徑4=1,圓。2的圓心。2（°，2），半徑彳=2,

所以|。1。2|=石，又弓一《<|?。2]<5+2，

所以圓。?和圓。2的位置關(guān)系是相交，

故選：D.

6.己知a=（l,0,l）,%=（x,l,2）,且〃力=3,則向量a與b的夾角為（）

A.30B.60C.120D.150

【答案】A

【分析】利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出x的值，再利用空間向量數(shù)量積可求得a與b的夾角.

【詳解】由已知可得a/=x+2=3,可得x=l，.??卜|=亞，|^|=71+1+4=76,

,a-b3V3

所以,c…〉=麗=萬(wàn)泰F

0<<a,b><180,因此，<。,〃>=30.

故選：A.

7.已知直線(xiàn)工一、+加=0與圓。：/+丁=1相交于A5兩點(diǎn)，且?4。8為等邊三角形，則實(shí)數(shù)團(tuán)值為()

A.BB.旦C.+3D.+逅

22-22

【答案】D

【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求解.

【詳解】由題意可知，圓。：1+,2=1的圓心坐標(biāo)為0(0,0),半徑為r=],

因?yàn)橹本€(xiàn)x-y+m=0與圓。：/+>>2=1相交于4,8兩點(diǎn)，且“。8為等邊三角形，

所以cAOB的邊長(zhǎng)為1，

則圓心0(0,0)到直線(xiàn)x—y+加=0的距離為Ji—(g)=與，

即"=母=且，解得加=±亞

V222

所以實(shí)數(shù)加的值為±Y5.

2

故選：D.

8.已知半徑為1圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為().

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】求出圓心。的軌跡方程后，根據(jù)圓心M到原點(diǎn)。的距離減去半徑1可得答案.

【詳解】設(shè)圓心C(x,y)，則J(x_3/+(y_4(=1,

化簡(jiǎn)得(x—3『+(y—4)2=1,

所以圓心C的軌跡是以M(3,4)為圓心，1為半徑的圓,

所以|0C|+12|CM1=132+42=5,所以1。。以5—1=4,

當(dāng)且僅當(dāng)C在線(xiàn)段OM上時(shí)取得等號(hào),

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.

9.如圖所示，在平行六面體ABC。一A4GA中，為4G與的交點(diǎn)，若A8=a，AD=b，AA=C，

貝IJBM=（）

A.U+cB-J+CD.L+2+c

C.,

22222222

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量基本定理，用AB,AD,AA,表示出BM即可.

【詳解】由題意，因?yàn)镸為AG與&R的交點(diǎn)，所以M也為4G與qR的中點(diǎn),

因此8M=B1A1-46=g（B1A+qG）+c=-gAB+；AO+c

11,

=——a+—b+c.

22

故選：D.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，己知點(diǎn)A（0』），3（1,1）,P為直線(xiàn)AB上的動(dòng)點(diǎn)，A關(guān)于直線(xiàn)OP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為。，則線(xiàn)

段BQ的長(zhǎng)度的最大值為（)

A.1B.2C.1+72D.血+2

【答案】C

【分析】轉(zhuǎn)化條件得。點(diǎn)軌跡為以。為圓心，0A為半徑的圓(不包括點(diǎn)尸)，由忸。|皿、=|OB|+|Q4|即可得解.

【詳解】解：A關(guān)于直線(xiàn)0P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)記為。，P為直線(xiàn)A3上的動(dòng)點(diǎn)，

，|。2|=|四

，。點(diǎn)軌跡為以。為圓心，Q4為半徑的圓(不包括點(diǎn)尸)，如圖，

又|QB|=J17T=JL

???忸2L=^+|OA|=0+L

故選：C.

二、填空題，共5小題，每小題5分，共25分.

11.若P，。是圓/+了2-2%+今+4=0上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則歸。|的最大值為

【答案】2

【分析】當(dāng)P,。在直徑兩端時(shí)，|PQ|最大.

【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(％—I)?+(1+2)2=1,

圓心為(1,-2),半徑為1,

當(dāng)P，Q在直徑兩端時(shí)，|PQ|最大，

所以|PQ|的最大值為2/'=2.

故答案為：2

12.寫(xiě)出一條與圓V+y2=i相切的直線(xiàn)/的方程：.

【答案】丁=1(答案不唯一)

【分析】由直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系求解，

【詳解】由題意得直線(xiàn)丁=1與圓f+y2=i相切,

故答案為：y=l（答案不唯一）

13.已知空間中單位向量a、b＞且卜力）=60,則|4一36|的值為.

【答案】"

【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則計(jì)算|a-3b『=7,得到答案.

【詳解】|。一3匕/=/+9陵一6a?b=l+9—6xcos60°=l+9—3=7，故|a-3/?|=g-

故答案為：近.

22

14.己知橢圓二+二=1的焦點(diǎn)為耳、工，點(diǎn)P在橢圓上，若|尸耳1=4,貝DIP鳥(niǎo)|=,的大小為

92

【答案】①.2②.120

【分析】由橢圓方程，結(jié)合橢圓的定義求IP居I，在焦點(diǎn)三角形中應(yīng)用余弦定理求丹的余弦值，進(jìn)而確定其

大小.

【詳解】???/=9，〃=2，

c=y]cr—h2=-\/9—2=V7，

耳閭=2?,又|也|=4,|P用+|P6|=2a=6,

.??1"1=2,由余弦定理，得cos/F/F,=2-+4―（2近廣」,

122x2x42

/月「瑪=120.

故答案為：2,120

15.2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面

可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓如圖，在平面直角坐標(biāo)系中半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過(guò)

橢圓的焦點(diǎn)*0,2）,橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與V軸交于點(diǎn)G.若過(guò)原點(diǎn)。的直線(xiàn)與上半橢圓交于

點(diǎn)A,與下半圓交于點(diǎn)2,則下列說(shuō)法正確的有.

y-

①橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4行；

②線(xiàn)段A8長(zhǎng)度的取值范圍是［4,2+20］；

③aAB尸面積的最小值是4；

④乙AEG的周長(zhǎng)為4+40.

【答案】①②④

【分析】由題意可得仄c,然后可得。，可判斷①；由橢圓性質(zhì)可判斷②；取特值，結(jié)合|0川長(zhǎng)度的取值范圍可判

斷③；由橢圓定義可判斷④.

【詳解】解：由題知，橢圓中的幾何量匕=c=2,所以a=廬幣=2近，

則2a=4正，故①正確；

因?yàn)閨A@=|O@+|Q4|=2+|Q4］,由橢圓性質(zhì)可知24|。4區(qū)2夜，所以4司43區(qū)2+2夜，故②正確；

77

記ZAOF=9,則SABF=SAOF+SOBF=；0A-O/sin(9+gOB-。/sin(萬(wàn)一6)

=OAsine+2sin8=(OA+2)sin。

取6=2,則SABF=1+:OA?1+：X2夜<4,故③錯(cuò)誤；

622

由橢圓定義知，|4尸|+|AG|=2"=4jL

所以AFG的周長(zhǎng)C.G=|FG|+4夜=4+4近,故④正確.

三、解答題.共6個(gè)大題，共85分.

16.已知圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(—3,0),8(1,—2),且圓心在直線(xiàn)4x-y-l=0上.

(1)求線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程；

(2)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(3)求圓C被直線(xiàn)/：3x+4y+5=0截得的弦長(zhǎng).

【答案】(1)2x-y+l=0；

(2)(x-l)2+(^-3)2=25；

(3)6.

【分析】(1)由題可得線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)及斜率，然后利用點(diǎn)斜式即得;

(2)由〈，?,，、可得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而即得；

4x-^-l=0

(3)利用弦長(zhǎng)公式即得.

【小問(wèn)1詳解】

由A(—3,0),8(1,—2),可得其中點(diǎn)為(—1,—1),ICAB=_；，

所以線(xiàn)段A8垂直平分線(xiàn)的斜率為2,

故線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程為y+1=2(x+l),即2x—y+1=()；

【小問(wèn)2詳解】

2x—y+1=0[x=1

由4IZ可得Vc，

4x—y-1=0[y=3

所以圓心。(1,3),圓C的半徑為|=7(l+3)2+32=5，

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—iy+(y—3)2=25；

【小問(wèn)3詳解】

因?yàn)閳A心C(l,3),圓C的半徑為5,

|3+3x4+5|

所以圓心C(l,3)到直線(xiàn)/：3x+4y+5=0的距離為d=4,

V32+4r

所以圓C被直線(xiàn)/：3x+4y+5=0截得的弦長(zhǎng)為2斤了=6.

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，B4_L平面ABC。，AD1.CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為PO的中

PF1

點(diǎn)，點(diǎn)尸在PC上，且一=-.

PC3

(I)求證：平面PAD；

(II)求二面角F-AE-P的余弦值;

(川)設(shè)點(diǎn)G在PB上，且空=2.判斷直線(xiàn)AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由.

PB3

【答案】(I)見(jiàn)解析:

(III)見(jiàn)解析.

【分析】(I)由題意利用線(xiàn)面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；

(II)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合兩個(gè)半平面的法向量即可求得二面角凡AE-P的余弦值；

(III)首先求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面AEF的法向量和直線(xiàn)AG的方向向量可判斷直線(xiàn)是否在平面內(nèi).

【詳解】(I)由于必_L平面ABC。，C￡>u平面ABCD,則布，8,

由題意可知且物nAD=A,

由線(xiàn)面垂直的判定定理可得CO_L平面PAD.

(II)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面A8C。內(nèi)與AD垂直的直線(xiàn)為x軸，A2Ap方向?yàn)閥軸，z軸建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

易知：A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),

1<224

由=可得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為尸

由PE=(P￡>可得E(O,1,1),

設(shè)平面AEF的法向量為："z=(x,y,z),則

.A/=(x,y,z){g,|,g、224

m=—x+—y+—z=0

7333

m?AE=(x,y,zj-(0,1,1)=y+z=0

據(jù)此可得平面AEF的一個(gè)法向量為：m=（1,1,一1）,

很明顯平面AEP的一個(gè)法向量為3=（1,0,0），

mnI73

cos<m,n>=?-j-r-|=—7=—

|/n|x|n|V3xl3，

故二面角廣AE-P的余弦值為且

二面角FAE-P的平面角為銳角,

3

2<422

(HI)易知尸(0,0,2),B(2,-l⑼,由=可得

3

,(422

則AG=[§,一§,§

注意到平面A￡F的一個(gè)法向量為：加

其m-AG=0且點(diǎn)A在平面AEF內(nèi)，故直線(xiàn)AG在平面AEF內(nèi).

18.如圖1,在矩形ABC。中，AB=2，3C=4,E為的中點(diǎn)，。為BE中點(diǎn).將AABE沿3E折起到

ABE,使得平面A'BE，平面呂⑺石（如圖2）.

A'

圖2

(1)求證：AO±CD;

(2)求直線(xiàn)AC與平面A（DE所成角的正弦值;

Afp

(3)在線(xiàn)段AC上是否存在點(diǎn)尸，使得。尸//平面不?！?若存在，求出丁的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

AO

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）交：（3）見(jiàn)解析

3

【分析】（1）先證明A'O_L平面8CDE.再證明A'O_LCZ）.（2）以。為原點(diǎn)，OE,OG,OA所在直線(xiàn)分別為

xy，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），利用向量法求直線(xiàn)AC與平面4DE所成角的正弦值sin。為⑶假

3

A'P

設(shè)在線(xiàn)段A'C上存在點(diǎn)P,使得OP//平面AOE.設(shè)尸（Xo，為，zo），且=2（0<X<l）,根據(jù)0尸//平面

A'C

|A'p|

A'DE求得X=^w[O,l],所以當(dāng)H=二時(shí)，OP//平面A'DE.

詳解】（1）由已知A8=AE=2，

因?yàn)?。為BE中點(diǎn)，所以A'O,8￡.

因?yàn)槠矫鍭BE，平面BCDE，且平面A'BEc平面BCDE=BE，

AOu平面ABE，所以A。_L平面BCDE.

又因?yàn)镃Du平面BCDE,所以AO_LCD.

（2）設(shè)F為線(xiàn)段BC上靠近8點(diǎn)的四等分點(diǎn)，G為CD中點(diǎn).

由已知易得OF_1OG.

由（1）可知，A'O_L平面BCDE,

所以40,09，A'OIOG.

以0為原點(diǎn)，OF,OG,OA'所在直線(xiàn)分別為％?z軸

建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.

因?yàn)?3=2，BC=4,

所以川0,0閩,5（1,-1,0）,。（1,3,0）,￡＞（-1,3,0）,￡（-1,1,0）.

設(shè)平面AOE的一個(gè)法向量為m=（玉，y,zj,

因?yàn)锳'。=（—1,3,—后），力E=（0,—2,0）,

m?A!D=0,pn\-xi+3yi-y/2zl=0,

所以《即｝

m?DE=0,-2y=0.

取Z]=-l,得/〃=（也.

而AC=（L3,-⑹.

所以直線(xiàn)A'C與平面ADE所成角的正弦值sin。=

（3）在線(xiàn)段AC上存在點(diǎn)尸，使得OP//平面A'OE.

AP

設(shè)尸（a，%，Zo），且彳3=4（0。g1）,則AP=X4'C，4e[0』].

AC

因?yàn)锳,（0,0，V2）,C（L3,0）,所以卜0，為，z°—逝）=（2,32,-V22）,

所以毛=2,%=32,z0-V2—五入，

所以P（Z3/l,血一立l）,OP=（2,3A,V2-V2/l）.

若OP//平面ADE,則OPL”.即OP-〃?=0.

由（2）可知，平面ADE的一個(gè)法向量機(jī)=（正

即行X-0+84=0,解得4=gw[O[],

A'p1

所以當(dāng)F=二時(shí)，0P〃平面A'DE.

A'C2

ZA

【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查空間直線(xiàn)平面位置關(guān)系的證明，考查二面角的求法

和直線(xiàn)和平面所成的角的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和空間想象分析推理轉(zhuǎn)化能力.（2）直線(xiàn)和平

面所成的角的求法方法一：（幾何法）找一作（定義法）-證（定義）"指-求（解三角形），其關(guān)鍵是找到直

AB,n\

線(xiàn)在平面內(nèi)的射影作出直線(xiàn)和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法）sina=—",其中是直線(xiàn)/的

方向向量，〃是平面的法向量，。是直線(xiàn)和平面所成的角.

22￡7

19.設(shè)橢圓鼻+方=l（a>A>0）的離心率為冷，上、下頂點(diǎn)分別為A,B,|AB|=4.過(guò)點(diǎn)￡（0,1）,且斜率為

k的直線(xiàn)/與x軸相交于點(diǎn)F,與橢圓相交于C,。兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若FC=DE，求發(fā)的值；

（3）是否存在實(shí)數(shù)使AC7/BD?若存在，請(qǐng)求出&的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

【答案】（1）二+匕=1

64

⑵k=+—

3

（3）不存在實(shí)數(shù)左，使直線(xiàn)AC平行于直線(xiàn)BD，證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）直接由離心率和頂點(diǎn)坐標(biāo)求解即可：

（2）由=得到。。,石廠的中點(diǎn)重合，聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程，分別求出CO,ER的中點(diǎn)坐標(biāo)，解方程即

可;

(3)假設(shè)存在，利用AC〃B。建立等式，解方程得火不存在即可.

【小問(wèn)1詳解】

'2b=4

由題意'e=￡=4,解得故橢圓的方程為《+*=1；

a3[b=264

a2-b2=c2

【小問(wèn)2詳解】

￡+J]

由題意知，攵。0,直線(xiàn)/方程為了=依+1,則E(—L,0),

聯(lián)立64，可得

k

y=辰+1

(2+3公卜2+6"―9=(),

△=36爐+36(2+35)>0,設(shè)。(內(nèi)，凹),。(林必)，有用+々=或^，兀/2=大看，

則CO中點(diǎn)橫坐標(biāo)

%+—3人

為=亍，

22+3公

又E(0,l),F(—!，0),則所中點(diǎn)橫坐標(biāo)為一二，又因?yàn)镕C=DE，且C，E，￡。四點(diǎn)共線(xiàn)，取七戶(hù)中點(diǎn)”，則

k2k

FH=HE，

所以FC-FH=DE-HE，即HC=DH，所以“是CO的中點(diǎn)，即CO,E/7的中點(diǎn)重合，即

-3k1解得左=±巫.

2+3k2~~2k3

【小問(wèn)3詳解】

不存在實(shí)數(shù)3使直線(xiàn)AC平行于直線(xiàn)8D,證明如下：由題意，A(0,2),8(0,-2),則

AC=(x1,y1-2),BD=(x2,y2+2),

若AC〃3￡),則AC〃BO，所以%(%+2)=々(乂一2),即王、2—%乂+2(%|+%2)=0，即

司（心+1）-工2（3+1）+2（X]+%2）=0,

-6左—6k

化簡(jiǎn)得X1一與+2（X]+W）=0，/=一3X|,由（2）得，%,+%,=-------3x.=-------------7，解得

\-2+3k22+3k2

3k

%=T，

12+3k2

2

-933k3

%■，玉.（—3%）=解得x；=-------所以I_整理得2+3左2=3/，無(wú)

2+3/2+3公2+3公2+3/

解，

所以不存在實(shí)數(shù)Z,使直線(xiàn)4c平行于直線(xiàn)BQ.

22

X

20.已知橢圓C：方=1過(guò)點(diǎn)A（2,0）,B（0,l）兩點(diǎn).

（I）求橢圓。的方程及離心率；

（II）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線(xiàn)Q4與y軸交于點(diǎn)M,直線(xiàn)P8與X軸交于點(diǎn)N,求證：四邊

形ABNM的面積為定值.

【答案】（I）—+/=1e=—（U）見(jiàn)解析.

4-；2

【詳解】試卷分析：（I）根據(jù)兩頂點(diǎn)坐標(biāo)可知。，匕的值，則亦知橢圓方程，根據(jù)橢圓性質(zhì)及離心率公式求解；（II）

四邊形的面積等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半，分別求出對(duì)角線(xiàn)|AN|,的值求乘積為定值即可.

試卷解析：（I）由題意得，a=2,b=\.

所以橢圓。的方程三+y2=i.

4-

又c=yja2—b2—G'

所以離心率e=￡=正.

a2

2

（H）設(shè)P（%,%）（%<0，%<。），則xj+4y0=4.

又A（2,0）,B（0,l）,所以，

直線(xiàn)PA的方程為y=.

令x=（）,得yM=----工;，從而18Ml=1-加=1+―工.