2023-2024學(xué)年江蘇省南通市海安高級中學(xué)高二（上）段考數(shù)學(xué)試卷一（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省南通市海安高級中學(xué)高二(上)段考

數(shù)學(xué)試卷(一)

一、選擇題(本大題共12小題，共60分)

1.已知集合力={x|%2-2x<0},集合B={y|y=/。92(2-/)},則AuB=()

A.(0,1]B.(-oo.l)C.(-oo,2)D.(0,2)

2.已知復(fù)數(shù)z滿足zi+3=2i,則|￡—i|=()

A.2V~2B.3MC.2\T5D.口

3.“m<1”是“點P(l,l)在圓C：/+y2-=0外”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分又不必要條件

4.已知函數(shù)/(乃與g(x)的部分圖象如圖1,則圖2可能是下列哪個函數(shù)的部分圖象()

圖1圖2

A.y=7'(g(x))B.y=/(x)g(x)C.y=g(/(x))D.y=篇

5.若動點4、B分別在直線。：x+y-7=0和％：x+y-5=0上移動，則中點M到原點距離的最小值

為()

A.B.20C.D.4c

6.已知圓C：x2+y2=4,從點E(-4,0)出發(fā)的光線要想不被圓C擋住直接到達(dá)點F(3,m),則實數(shù)m的取值

范圍為()

A（7a7c

A-（一-r-）B?（-8,-----）U（^-,4-oo）

7.設(shè)函數(shù)f(%)=2sizi(a)%+夕)-13>0),若對于任意實數(shù)w，f(%)在區(qū)間冷爭上至少有2個零點，至多

有3個零點，則a的取值范圍是()

A.[|,y)B.[4,與)C.[4,第D.[|,^)

8.已知I點4(-1,0),8(1,0),C(0,l),直線y=ax+b(a>0)將AABC分割為面積相等的兩部分，貝帕的取值

范圍是()

A.(0,1)B.(1—浮C.(1一號fD.[1,1)

9.下列說法中，正確的有()

A.點斜式y(tǒng)-y1=fc(x-%)可以表示任何直線

B.直線y=4x-2在y軸上的截距為-2

C.直線2x-y+3=0關(guān)于x—y=0對稱的直線方程是x-2y+3=0

D.點P(2,l)到直線ax+(a—l)y+a+3=0的最大距禺為2V10

10.關(guān)于函數(shù)/(x)=2COS2X-COS(2X+2)-1的描述不正確的是()

A.其圖象可由y=，2s譏2x的圖象向右平移]個單位得到

B.f(x)在[0,初僅有1個零點

C.f(x)在(0《)單調(diào)遞增

D./(%)在[一?0]的最小值為一，攵

11.下列說法中，不正確的有()

A.已知點P(a,2),Q(l,2a—1),若直線PQ的傾斜角小于135。，則實數(shù)a的取值范圍為(一8,|]u(2,+8)

B.若集合M==3},N={(x,y)|ax+2y+a=0}滿足MCN=0,則a=-6

C.若兩條平行直線%：，年％-丫+1=0和12；Cx—y+a=0之間的距離小于1,則實數(shù)a的取值范圍為

(T3)

D.若直線ax+y+1=0與連接4(2,3),8(-3,2)的線段相交，則實數(shù)a的取值范圍為(一8,-1]U[2,+oo)

12.香囊，又名香袋、花囊，是我國古代常見的一種民間刺繡工藝品，香囊形狀多樣，如圖1所示的六面體

就是其中一種，已知該六面體的所有棱長均為2,其平面展開圖如圖2所示，則下列說法正確的是()

A.AB1DEB.直線CD與直線EF所成的角為45。

C.該六面體的體積為學(xué)D.該六面體內(nèi)切球的表面積是娑

二、非選擇題(共90分)

13.已知在AABC中，頂點4(4,5),點B在直線八2x-y+2=0上，點C在久軸上，則△4BC的周長的最小值

14.設(shè)a,b是從集合口,2,3,4,5｝中隨機(jī)選取的數(shù)，則直線y=ax+b與圓/+y2=2有公共點的概率是

15.已知兩定點做一4,0),8(2,0),如果動點M滿足|M4|=2|MB|,點N是圓/+3-3)2=9上的動點，則

|MN|的最大值為.

16.在三棱錐P-ABC中，已知PAJ_平面ABC,ABAC=120°,AC=2/3，AB:口,PA=4V-2-貝U該

三棱錐外接球的表面積為.

17.在AABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,向量訪=(a,b),元=(sinB,I^cosA),且布匯

⑴求4

(2)若。=，7，△ABC的面積為?，求△ABC的周長.

18.已知圓C：(x—2)2+y2=9.

(1)直線。過點。(一1,1),且與圓C相切，求直線。的方程；

(2)設(shè)直線x+，？y-1=0與圓C相交于M,N兩點，點P為圓C上的一動點，求△PMN的面積S的最大

值.

19.設(shè)函數(shù)/(x)=sin(2x-+sin(2x+學(xué).

(1)當(dāng)X6[0,：]時，求的取值范圍；

(2)若ae%7r),且居)=：,求sin(2a+S)的值.

20.三角形ABC的頂點B(0,2),邊ZB上的中線CD所在直線為7x+2y-19=0,A的平分線4E所在直線為x-

y-1=0.

(1)求a的坐標(biāo)和直線ac的方程；

(2)若P為直線47上的動點，M(—1,0),N(l,0),求PM2+PN2取得最小值時點P的坐標(biāo).

21.已知圓M與直線x=2相切，圓心M在直線x+y=。上，且直線x-y-2=0被圓M截得的弦長為2/2.

(1)求圓M的方程；

(2)若在%軸上的截距為-1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線/與圓M交于A,B兩點，在久軸上是否存在定點Q,使得

心(?+M<2=0?若存在，求出Q點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

22.如圖所示，四棱錐P-4BC0的底面4BCD是邊長為1的菱形,NBCO=60°,E是CD的中點，P4_L底面力BCD,

PA=2.

(1)證明：平面PBE_L平面P4B；

(2)求點。到平面PBE的距離；

(3)求平面P40和平面PBE所成銳二面角的余弦值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：%2—2%=x(x—2)<0,解得0<x<2,

所以4=(0,2),

2

由于0<2-/<2,所以log2?-x)<log22=1,

所以8=(-8,1],所以4UB=(―8,2).

故選：C.

解不等式求得集合4求函數(shù)的值域求得集合B,進(jìn)而求得4UB.

本題主要考查了集合的并集運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：依題意，z=1=2+3i,所以自一"==|2—旬=2門.

故選：C.

根據(jù)復(fù)數(shù)的運算求得z,再求復(fù)數(shù)W-i的模即可.

本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：圓C：x2+y2—2mx-0,B[J(x—m)2+y2=m2,

點P(l,l)在圓C：x2+y2-2mx=0外，

則1+1—2m>0,解得m<1,

?1,m2>0,

???m0,

.1.m的取值范圍為(-8,0)u(0,1),

“m<1”是“點P(l,l)在圓C：x2+y2-2mx=0外”的必要不充分條件.

故選:B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合點與圓的位置關(guān)系，求出小的取值范圍，再結(jié)合充分條件、必要條件的定義，即可求解.

本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握復(fù)合函數(shù)奇偶性的判斷方法是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

由圖1知，/(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，圖2中的函數(shù)為奇函數(shù)，然后采用排除法，用函數(shù)的奇偶性可排

除選項A和C,從函數(shù)的定義域可排除選項。.

【解答】解：由圖1知，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，圖2中的函數(shù)為奇函數(shù)，

選項A,令h(x)=f(g(x)),

則九(一乃=/(g(-x))=/■(—g(x))=f(g(x))=h(x),

所以函數(shù)y=f(g(x))為偶函數(shù)，不符合題意；

選項C令尸(x)=g(h(x)),

則F(-x)=g(/(-x))=g(/(x))=F(x),

所以函數(shù)y=g(f(x))為偶函數(shù)，不符合題意；

選項。，g(x)作為分母，不能為0,與圖1不符，

故選8.

5.【答案】A

【解析】解：Zi：x+y-7=0和，2：x+y—5=0是平行直線，

???可判斷：過原點且與直線垂直時，M到原點的距離最小.

丫直線k：x+y-7=0和％：x+y—5=0,

二兩直線的距離為了黃/=口

48的中點M到原點的距離的最小值為浮+*=

故選:A.

求出兩直線的距離為，梵原點到直線的％：x+y-5=0距離，運用線段的關(guān)系求解.

本題考查了兩點距離公式，直線的方程，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：由題意知，從點E(-4,0)出發(fā)的光線與圓C相離時，光線不被擋住，

設(shè)過點E(—4,0)與圓C相切的直線方程為，：y=/c(x+4),BP/cx-y+4/c=0,

又圓C：%2+y2=4,

所以圓心C(0,0)到2的距離d=靖［1)2=2,解得上=土?，

故y=土?。+4)，

令X=3,y=±殍，

所以?。鹃杌蚪恚家婚?

故選:B.

根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成點(3,6)落在過點E(-4,0)且與圓C相切的兩直線“外”，再通過求出切線方程即可

求出結(jié)果.

本題考查直線與圓的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

7.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合解題思想，是難題.

令函數(shù)/(x)=0得sin(3x+＜p)=|＞根據(jù)正弦函數(shù)y=sinx的圖象與性質(zhì)，得出函數(shù)y=sinx相鄰4個零點

滿足的條件，求出相鄰三個零點和相鄰四個零點占區(qū)間長度的最小值，由此求得3的取值范圍.

【解答】

解：令函數(shù)f(x)=2sbi(3x+,)-1=0,解得sin(o)x+R)=5

y=sin(3x+@)是由y=sinx圖象變換得到的，且最小正周期為T=條

在［0,2兀］內(nèi)，sin\=sin等=:,

ooZ

所以函數(shù)丫=sinx相鄰4個零點%1、小、%3、%4滿足：

%3—=%4—%2=27T,

X3-X2=(x3-與)-(x2-Xi)=27T-y=y,

相鄰三個零點占區(qū)間長度為di=27T,即區(qū)間長度為27r時至少有2個零點，

相鄰四個零點占區(qū)間長度最短為C?2=X4-=(X4-％3)+(巧一X1)=等+2兀=竽,

%W冷竽時，與3],區(qū)間寬度為尋—,)3=^3,

di43Vd2，即27rM3V萼(號3=di至少有2個零點，如=刈至少有4個零點),

4Z3ZN

解得4<a)<y,所以3的取值范圍是[4,引

故選：B.

8.【答案】B

【解析】解：解法一：由題意可得，三角形48(7的面積為表48?。。=1,

由于直線y-ax+b(a>0)與x軸的交點為M(-\,0),

由直線y=ax+b(a>0)將4ABC分割為面積相等的兩部分，可得b>0,

故-：W0,故點M在射線。4匕

設(shè)直線y=ax+b和BC的交點為N,則由R1b可得點N的坐標(biāo)為(常,管).

①若點M和點A重合，則點N為線段BC的中點，故N(T』)，

把4、N兩點的坐標(biāo)代入直線y=ax+b,求得a=b=!

②若點M在點。和點4之間，此時b>g,點N在點B和點C之間，

由題意可得三角形NMB的面積等于;，

即獲"8以=4即品(1+〉鬻=4可得a=M>0,求得b<；，

ZLLuU~r±L1—2b乙

故有:<b<^.

③若點M在點4的左側(cè)，則由點M的橫坐標(biāo)一2<-1,求得b>a.

4

設(shè)直線y=ax+b和AC的交點為P,則由::;1b求得點P的坐標(biāo)為(若，三|),

此時，由題意可得，三角形CPN的面積等于B|li-(l-h)-|xw-xP|=1,

即夫1一b)?I常一苛?=5化簡可得2(1-。產(chǎn)=la?—1].

由于此時b>a>0,0<a<1,2(1—b)2=|a2-1|=1—a2.

兩邊開方可得「(1一b)=V1-a2<1>.-.l-b<^=,化簡可得b>1—7，

故有1一？<b..

再把以上得到的三個b的范圍取并集，可得b的取值范圍應(yīng)是(1-號弓),

由題意根據(jù)三角形相似且面積比等于相似比的平方可得(型＞=＜，b=l-f，趨于最小.

?LzL

由于a＞0,.?./,＞1一?.

當(dāng)a逐漸變大時，b也逐漸變大，

當(dāng)力=機(jī)寸，直線經(jīng)過點(0,6再根據(jù)直線平分△ABC的面積，故a不存在，故b".

綜上可得，1一年＜b＜：,

故選:B.

解法一：先求得直線、=以+?￡1＞0)與工軸的交點為“(一，,0),由一展0可得點M在射線。4上.求出直

線和BC的交點N的坐標(biāo)，①若點M和點4重合，求得b=g；②若點M在點。和點A之間，求得g＜b＜；;③

若點M在點A的左側(cè)，求得3＞匕＞1-?.再把以上得到的三個b的范圍取并集，可得結(jié)果.

解法二：考查臨界位置時對應(yīng)的b值，綜合可得結(jié)論.

本題主要考查確定直線的要素，點到直線的距離公式以及三角形的面積公式的應(yīng)用，還考察運算能力以及

綜合分析能力，分類討論思想，屬于難題.

9.【答案】BD

【解析】解：點斜式y(tǒng)-yi=k(x—/)，不表示，直線向量不存在的直線，所以4不正確；

直線y=4x-2在y軸上的截距為-2；滿足直線的截距式方程的含義，所以B正確；

直線2》一y+3=0關(guān)于x-y=0對稱的直線方程是x-2y-3=0,所以C不正確；

直線ax+(a-l)y+a+3=0恒過(-4,3),點P(2,l)到直線ax+(a-l)y+a+3=。的最大距離為：

J(一4一2尸+(3-I》2/^0,所以。正確;

故選：BD.

利用直線方程的特征，判斷選項的正誤即可.

本題考查直線方程的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABC

【解析】解：f(%)=2cos2x—cos(2x+2)—1=cos2x+sin2x=V"-2sin(2x+；),

由y=/至s譏2x的圖象向左平移款單位得y=，攵sin(2x+》的圖象，選項A錯誤；

令/'(x)=0，得sin(2x+1)=0,解得2x+J=k7r,fc6Z,X=—gkeZ,

又因為xe⑼用，所以x=1,選項B錯誤；

由正弦函數(shù)的性質(zhì)知，xe(o()時，2x+：e(H),/(%)單調(diào)遞增，

安時力時，2x+”6片)，/(%)單調(diào)遞減，選項C錯誤；

xe[一看0]時，2x+：e[-華舟/。)在尢=-券寸取得最小值一選項Q正確.

故選：ABC.

利用三角恒等變換化函數(shù)f(x)為正弦型函數(shù)，再判斷選項中的命題是否正確.

本題考查了二倍角及輔助角公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用問題，是中檔題.

11.【答案】B

【解析】解：對于4選項，當(dāng)a=l時，直線PQ所在的直線x=1,此時直線PQ的傾斜角為90。，直線的斜率

不存在，當(dāng)"1時，箸<T或等>0,綜上所述，整理得(一8,|]U(2,+8),所以4選項正確.

對于B選項，由￡|=3,得y-3=3(x-2)(x片2)；

所以集合M表示斜率為3的直線y-3=3(x-2)上的點(除去點(2,3)).

由QX+2y+Q=0,得Q(X+1)+2y=0,

所以集合N表示過點(-1,0)且斜率為-微的直線，

若一微=3,。=一6,此時兩直線平行，滿足MCN=。，

若直線ax+2y+Q=0過點(2,3),

則2Q+6+Q=3a+6=0,a=-2,此時MnN=0,

且一卷=-三=1。3,所以B選項錯誤.

對于C選項，依題意與U<l,|a-1|<2,-2<a-1<2,-1<a<3,

所以實數(shù)a的取值范圍是(-1,3),C選項正確.

對于。選項，直線ax+y+1=0過定點S(O,-1),斜率為—a,

噎=鉀=2,旗二筆2-L

所以—a>2或—a<-1,解得a<一2或a>1,

所以實數(shù)a的取值范圍為(一8,-1]u[2,+8),。選項正確.

故選：B.

根據(jù)直線的傾斜角、斜率、平行直線、直線相交等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

本題考查的知識要點：直線的方程，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于中檔題.

12.【答案】AD

【解析】解：由題知，所給六面體由兩個同底面的正四面體組成，將題圖2的平面展開圖還原為直觀圖后如

圖所示，

其中4,C,F,H四點重合；

取DE的中點M,連接AM,BM,

則4MJLDE,BM1DE,

又4MnBM=M,

所以DE，平面4BM,

乂ABu平面ABM,所以ABIDE,故4正確；

由圖可知，CD與EF分另IJ為正三角形ADE的邊CD,AE,其所成的角為60。，故B錯誤；

連接GM,過點G作GOJ■平面4DE,則垂足。在AM上，且力"=GM=-3,OM=9”=?，

所以GO=VGM2-OM2=亨，

所以該六面體的體積1/=2VG_AED=2x"xgx2x2x?xq?=殍，故C錯誤.

因為該六面體的各棱長相等，所以其內(nèi)切球的球心必在公共面AOE上，

又AADE為正三角形，所以點。即為該六面體內(nèi)切球的球心，且該球與GM相切，

過點。作ON1GM,則ON就是內(nèi)切球的半徑，

^.Rt△GOM^,因為GO?OM=GM?ON,

2\f~6>/-3

所以O(shè)N=絲絲=寸丁=2￡6,

GMC9

所以該內(nèi)切球的表面積為47Tx(Z?)2=等，故。正確；

故選：AD.

根據(jù)條件證明DE，平面4BM,根據(jù)線面垂直的定義可證明4

根據(jù)正四面體的性質(zhì)可知直線CD與EF成60。角，可判斷B；

連接GM,過點G作GO，平面4DE,計算可得正四面體的高，六面體體積為2個正四面體體積之和，計算可

得結(jié)果，從而判斷C；

過點。作ONLGM,則ON就是內(nèi)切球的半徑，RtAGOM中計算得ON的長度，代入球的表面積公式計算可

判斷D.

本題考查了線面垂直的證明，兩直線所成的角以及幾何體的表面積，體積，內(nèi)切球表面積等知識，屬于中

檔題.

13.【答案］4、10

【解析】解：如圖所示:

設(shè)點4關(guān)于x軸的對稱點為42（刀2，丫2），點4關(guān)于直線直線八2x-y+2=0的對稱點為41（%,當(dāng)）,

連接&&交，于點B，交x軸于點C,則此時△ABC的周長取最小值，且最小值為|七421

???久與4關(guān)于直線八2x-y+2=0對稱,

‘吟2=-1

X1-4；；=；，.?.41(0,7),

A一，解得

2.吟空+2=0

-LL

???42與4關(guān)于%軸對稱，二公（4,一5）,

?-?A4BC的最小周長MM21=V42+122=4「U，

故答案為：4V~10-

利用對稱性求出點力關(guān)于直線，的對稱點，再利用點到直線的距離說明最小值的位置，求解即可.

本題主要考查了點關(guān)于直線的對稱點的問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，是中檔題.

14.【答案】g

【解析】解：直線y=ax+b與圓/+y2=2公共點，等價于丁當(dāng)二W/訝，等價于2a?+2,

Va,+l

C={(a,b)|a,bE{1,234,5}},n(/2)=25,

設(shè)4={(a,b)|/?2<2a2+2},

當(dāng)b=l時,a=1,2,3,4,5；

當(dāng)b=2時,a=1,2,3,4,5,

當(dāng)b=3時,Q=2,3,4,5；

當(dāng)b=4時，a=3,4,5；

當(dāng)b=5時,a=4,5.

故九⑷=19,

所以P(4)=^=S

即直線y=ax+b與圓/+y2=2有公共點的概率是3

故答案為：

根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得塊<2a2+2,利用列舉法和古典概型的概率公式可求出結(jié)果.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查古典概型的概率公式，屬基礎(chǔ)題.

15.【答案】12

【解析】解：設(shè)點M(x,y),則J(x+4)2+y2=2j院一2)2+丫2,

整理為：(%—4)2+yz=16>

設(shè)圓(4—4)2+y2=16的圓心為Q,圓/+(y-3)2=9的圓心為。2，

如圖可知，|MN|的最大值是圓心距加兩個圓的半徑，即5+3+4=12.

故答案為：12.

首先求點M的軌跡方程，再利用數(shù)形結(jié)合求|MN|的最大值.

本題主要考查了軌跡方程的求解，圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】607r

【解析】解：在△4BC中，AC=2y/~3,AB^BAC=120°,

所以：BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cos120°,

解得：BC=，下，

利用正弦定理：設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r,

所以2r—缶=2產(chǎn)解得丁=7,

設(shè)三棱錐的外接球的半徑為R,

所以產(chǎn)=N+晝)2,

解得R=V15.

所以S球=4兀/?2=607r.

故答案為：607r.

首先求出利用余弦定理的應(yīng)用求出BC的長，再求出AABC的外接圓的半徑，進(jìn)一步求出三棱錐體的外接球

半徑，進(jìn)一步求出球的表面積.

本題考查的知識要點：三棱錐體和球體的關(guān)系，球的半徑的求法，球的表面積公式，主要考查學(xué)生的運算

能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由記1元，得沆?元=as譏B+/3bccos4=0,

由正弦定理得siziAsinB+yJ~~^sinBcosA=0,

在△48C中，sinB>0,sinA=—y/~~3cosAfAtanA=-

v0<<7T,???A=：.

(2)由余弦定理得標(biāo)=62+c2—2bccosA,/.b2+c2+be=7,

??.(b+c)2=be+7,

"SMBC=\bcsinA=詈，二be=2,

??(6+c)2=9(b+c=3,

??.△ABC的周長為3+-7.

【解析】(1)由題意asinB+CbcosA=0，再由正弦定理化簡得tan4=-，與，能求出4；

(2)由余弦定理得(b+c)2=be+7,再由三角形面積公式得be=2,即可求出b+c,由此能求出△ABC的

周長.

本題考查三角形中角、三角形周長的求法，考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是

中檔題.

18.【答案】解：(1)當(dāng)直線［的斜率存在時，設(shè)直線Ay-l=/c(x+l),即kx-y+k+l=0,

|2fc-o+k+l|.,

則-丁1+/_一3解得卜=孑此時直線，：4x-3y+7=0；

當(dāng)直線1的斜率不存在時，直線I：x=-l顯然與圓C相切，

綜上：直線1的方程為x=-1或4x-3y+7=0；

(2)圓心到直線2'的距離d=%鬻=

所以|MN|=2132-(1)2=<35.

則點P到直線，'的距離的最大值為r+d=g,

所以三角形PMN的面積最大值為④x<35x4=守.

【解析】(1)分別考慮斜率存在與不存在兩種情況，斜率存在時設(shè)直線，：y-l=k(x+l),利用直線與圓

相切的性質(zhì)列出方程，解出k即可；斜率不存在時顯然直線與圓相切；

(2)求得圓心到直線的距離d,得到點P到直線的最大值為r+d,再求出|MN|的長度，即可求出三角形面

積最大值.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與圓相切的性質(zhì)，屬中檔題.

19.【答案】解：(l)/(x)=sin(2x-7)+sin(2x+勺=sin(2x-7)+cos(2x-=V2sinQx+勃,

因為％6［0,,

所以2x+彌玲，爭,

所以/（乃的取值范圍為［-亨，，克卜

（2）由臉=2

得V~^sin（a+需）=g,

所以sin（a+"）=?，

因為a6

所以a+小。?,需），

又因為sin（a+"）=一e（0,殍），

所以a+￡￡（］,7），

所以cos（a+雪）=一^

所以sin（2a+》=2s譏（a+器）cos（a+:）=2X?X（一空）=一?.

【解析】（1）利用誘導(dǎo)公式和兩角和或差的三角函數(shù)公式對函數(shù)解析式化簡整理，即可求解；

（2）根據(jù)已知求得sin（a+工）=?的值，討論角的范圍得cos（a+太）=-乎，利用二倍角公式求解即可.

本題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式、兩角和或差的三角函數(shù)公式、二倍角公式的應(yīng)用，三角函

數(shù)圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

20.【答案】解：（1）由題意可設(shè)做x,y）,可得48的中點寫）,

由直線AE,CD的方程可知:

x-y-l=0(x=4

7x*2x浮-19=0=b=3,即4(4,3),

ZL

設(shè)點B關(guān)于直線4E的對稱點夕（a,b）,可得直線4E為的中垂線,

則88'中點坐標(biāo)為G，警)，kAE==與1=勺三

1-宇-1=0

依題意有＜22,解之得a=3,b=-1,即B'(3,—1),

\!＜AE,kBB，=—Q=-1

易知在直線AC上，故由兩點式可得2言=*，化簡得y=4x-13；

—i-□0-4

所以4(4,3),直線4c的方程為：y=4x-13；

(2)由(1)所得4C方程y=4x-13,不妨設(shè)P(m,4m-13),

22222

則PM?+PN2=(7n+l)+(4rn-13)+(m-l)+(4m-13)=34m-208m+340,

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)巾=鬻=含上式取得最小值，此時P(1|,-另.

【解析】(1)設(shè)點4坐標(biāo)并表示中點D坐標(biāo)，由點在直線方程建立方程求解即可得4利用角平分線的性質(zhì)可

得點B關(guān)于直線4E的對稱點，從而求AC方程；

(2)由兩點之間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)求最值計算即可.

本題考查點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)的求法及直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.

21.【答案】解：(1)設(shè)圓M的圓心為M(a,-a),半徑為r,

因為圓M與直線x=2相切，所以r=|a-2|.

又因為直線x-y-2=0被圓M截得的弦長為2。，

所以|a皆2|=J產(chǎn)_(寫)2,解得

即圓心坐標(biāo)為(0,0),r=2,所以圓M的方程為/+y2=4.

(2)存在.設(shè)&x=my-l(m0),^(%2/72)?

(X=my—1,口0

由t鼠2+/=4'得(m+l)y-2my-3=o.

(yt+y2=”

由根與系數(shù)的關(guān)系，得｛+1.

(乃為=而

假設(shè)存在Q(t,0)滿足條件，則心＜?=含=而紀(jì)，卜股二合二通岸.

y1

由k.Q+々BQ=得;myy-l-t+瓶及-]T=o,

陽丫1(譏y2-1-1)+丫2(血〉1-1-1)_(

1

(myi-l-t)(my2-l-t)-，

加2，叫1〃2-(1+0。1+2)=n—6m—2m(1+t)

1(m24-l)(77iy-l-t)(my—1—t)=o,

(myi-l-t)(my2-l-t)―u，12

即27n(t+4)=0且mH0,所以t=—4.

所以存在Q(—4,0)滿足條件.

【解析】(1)設(shè)圓M的圓心為M(a,-a),半徑為r,根據(jù)垂徑定理，結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)列式求解即可;

(2)設(shè)I：x=my-l(m彳0),4al,%),B(x2,y2),聯(lián)立直線與圓的方程，得出韋達(dá)定理，假設(shè)存在Q(t,O)滿

足條件，根據(jù)心Q+/CBQ=。，化簡為號+而鋁=0,再代入韋達(dá)定理化簡即可.

本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考查圓的方程的求法，考查根與系數(shù)的關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題.

22.【答案】(1)證明：連接BD.

由四邊形4BCD是邊長為1的菱形，N