第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換本章小結(jié)第2課時(shí)高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第三冊

本章小結(jié)第2課時(shí)知識結(jié)構(gòu)問題1

本章內(nèi)容有兩大部分，向量的數(shù)量積與三角恒等變換，在三角恒等變換部分，我們可以用哪幾個(gè)關(guān)鍵詞來描述？知識結(jié)構(gòu)追問1：你能用知識結(jié)構(gòu)圖來表示嗎？公式應(yīng)用三角恒等變換知識結(jié)構(gòu)追問2：每一個(gè)關(guān)鍵詞都有相應(yīng)的內(nèi)容，如我們學(xué)了哪些公式？公式怎么來的？你能將上面的知識結(jié)構(gòu)圖再補(bǔ)充上相關(guān)的內(nèi)容嗎？向量的數(shù)量積Cα－βSα－βSα＋βCα＋βC2αS2αTα＋βTα－βT2α積化和差和差化積知識結(jié)構(gòu)追問3：有與上面不一樣的知識結(jié)構(gòu)圖嗎？和差公式位角公式三角恒等變換兩角和與差的正弦兩角和與差的余弦兩角和與差的正切倍角的正弦倍角的余弦倍角的正切應(yīng)用知識結(jié)構(gòu)追問3：有與上面不一樣的知識結(jié)構(gòu)圖嗎？兩角和的正切兩角差的正弦兩角和的余弦兩角差的余弦兩角和的正弦二倍角的正弦兩角和的正切二倍角的正切二倍角的余弦三角恒等變換研究思路問題2你能簡單描述一下三角恒等變換這部分內(nèi)容的研究過程和方法嗎？本部分是在學(xué)習(xí)向量的數(shù)量積的基礎(chǔ)上，并利用向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示證明了兩角差的余弦公式，并進(jìn)一步學(xué)習(xí)了兩角和與差的余弦、正弦和正切公式、倍角公式，以及運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡單的三角恒等變換．這部分內(nèi)容要始終注意通過問題，用類比、聯(lián)系、化歸的觀點(diǎn)分析與處理問題，逐漸明確三角恒等變換不僅是三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式變換，而且還有角的變換，以及不同三角函數(shù)之間的變換，領(lǐng)悟有關(guān)公式在變換中的作用與用法，學(xué)會(huì)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)選擇和設(shè)計(jì)變換思路．本部分不僅關(guān)注使學(xué)生得到和角與差角公式，而且要特別關(guān)注公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法．研究思路問題2你能簡單描述一下三角恒等變換這部分內(nèi)容的研究過程和方法嗎？例如，在兩角差的余弦公式這一關(guān)鍵性問題的解決中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想以及向量方法的應(yīng)用；從兩角差的余弦公式推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的過程中，始終引導(dǎo)學(xué)習(xí)體會(huì)化歸思想；在應(yīng)用公式進(jìn)行恒等變換的過程中，滲透了觀察、類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法．具體內(nèi)容問題3你能對三角恒等變換這部分內(nèi)容的主要知識點(diǎn)進(jìn)行歸納和整理嗎？具體內(nèi)容兩角和與差的三角函數(shù)公式tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanα·tanβ）；tanα－tanβ＝tan（α－β）（1＋tanα·tanβ）．1．cos（α?β）＝cosαcosβ±sinαsinβ．——同名積，符號反2．sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ．——異名積，符號同3．tan（α±β）＝注意：【方法技巧】記住公式的結(jié)構(gòu)特征，既要會(huì)從左到右正用公式，也要會(huì)從右到左逆用公式，對有的公式還要會(huì)變用，如兩角和與差的正切公式變形為：具體內(nèi)容二倍角公式二倍角公式S2α：sin2α＝2sinαcosα；C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；T2α：tan2α＝具體內(nèi)容二倍角公式升（降）冪縮（擴(kuò)）角公式升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α；降冪公式：cos2α＝

，sin2α＝注意：利用二倍角公式的等價(jià)變形：1－cosα＝

，1＋cosα＝具體內(nèi)容二倍角公式半角公式（以下公式只要求會(huì)推導(dǎo)，不要求記憶）具體內(nèi)容輔助角公式形如asinx＋bcosx的三角函數(shù)式的變形：asinx＋bcosx＝令

，則（其中φ角所在象限由a，b的符號確定，φ角的值由tanφ＝

確定，或由sinφ＝

和cosφ＝

共同確定．）具體內(nèi)容積化和差公式具體內(nèi)容和差化積公式具體內(nèi)容【方法技巧】三角恒等變換的基本思想：統(tǒng)一函數(shù)名稱（化多種三角函數(shù)為單一的三角函數(shù)）；統(tǒng)一角