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文檔簡介
2024中考數學壓軸題--二次函數第1節(jié)線段周長面積最大值內容導航方法點撥例題演練題組1:線段的最大值例1.如圖,拋物線y=+mx+n與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點D,已知A(﹣1,0),C(0,2).(1)求拋物線的表達式;(2)線段BC上有一動點P,過點P作y軸的平行線,交拋物線于點Q,求線段PQ的最大值.練1.1如圖所示,二次函數y=ax2﹣x+c的圖象經過點A(0,1),B(﹣3,),A點在y軸上,過點B作BC⊥x軸,垂足為點C.(1)求直線AB的解析式和二次函數的解析式;(2)點N是二次函數圖象上一點(點N在AB上方),過N作NP⊥x軸,垂足為點P,交AB于點M,求MN的最大值;練1.2如圖,二次函數y=ax2+bx+2的圖象與x軸相交于點A(﹣1,0)、B(4,0),與y軸相交于點C.(1)求該函數的表達式;(2)點P為該函數在第一象限內的圖象上一點,過點P作PQ⊥BC,垂足為點Q,連接PC.①求線段PQ的最大值;題組2:周長的最大值例2.已知:如圖,直線y=﹣x+2與x軸交于B點,與y軸交于C點,A點坐標為(﹣1,0).(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式.(2)在直線BC上方的拋物線上有一點D,過D作DE⊥BC于E,作DF∥y軸交BC于F,求△DEF周長的最大值.練2.1如圖所示,拋物線y=ax2+bx﹣3交x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C.(1)求拋物線的解析式;(2)如圖,直線BC下方的拋物線上有一點D,過點D作DE⊥BC于點E,作DF平行x軸交直線BC點F,求△DEF周長的最大值;練2.2如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣5,0),B(1,0)兩點,與y軸交于點C,拋物線的對稱軸與x軸交于點D.(1)求拋物線的函數表達式;(2)如圖1,點E(x,y)為拋物線上一點,且﹣5<x<﹣2,過點E作EF∥x軸,交拋物線的對稱軸于點F,作EH⊥x軸于點H,得到矩形EHDF,求矩形EHDF周長的最大值;練2.3如圖,拋物線y=x2﹣4x﹣5與x軸交于A,B兩點(點B在點A的右側),與y軸交于點C,拋物線的對稱軸與x軸交于點D.(1)求A,B,C三點的坐標及拋物線的對稱軸.(2)如圖1,點E(m,n)為拋物線上一點,且2<m<5,過點E作EF∥x軸,交拋物線的對稱軸于點F,作EH⊥x軸于點H,求四邊形EHDF周長的最大值.練2.4如圖1,拋物線y=x2﹣(a+1)x+a與x軸交于A,B兩點(點A位于點B的左側),與y軸負半軸交于點C,若AB=4.(1)求拋物線的解析式;(2)如圖2,E是第三象限內拋物線上的動點,過點E作EF∥AC交拋物線于點F,過E作EG⊥x軸交AC于點M,過F作FH⊥x軸交AC于點N,當四邊形EMNF的周長最大值時,求點E的橫坐標;練2.5綜合與探究如圖,拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于A,B兩點(A在B的左側),與y軸交于點C,點D(m,0)為線段OA上一個動點(與點A,O不重合),過點D作x軸的垂線與線段AC交于點P,與拋物線交于點Q,連接BP,與y軸交于點E.(1)求A,B,C三點的坐標;(2)當點D是OA的中點時,求線段PQ的長;(3)在點D運動的過程中,探究下列問題:是否存在一點D,使得PQ+PC取得最大值?若存在,求此時m的值;若不存在,請說明理由;題組3:面積的最大值例3.如圖,拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a(a<0)與x軸交于A,B兩點,直線y=x+經過點A,與拋物線的另一個交點為點C,點C的橫坐標為3,線段PQ在線段AB上移動,PQ=1,分別過點P、Q作x軸的垂線,交拋物線于E、F,交直線于D,G.(1)求拋物線的解析式;(2)當四邊形DEFG為平行四邊形時,求出此時點P、Q的坐標;(3)在線段PQ的移動過程中,以D、E、F、G為頂點的四邊形面積是否有最大值,若有求出最大值,若沒有請說明理由.練3.1如圖,拋物線y=ax2+bx+2交x軸于點A(﹣3,0)和點B(1,0),交y軸于點C.(1)求這個拋物線的函數表達式.(2)點D的坐標為(﹣1,0),點P為第二象限內拋物線上的一個動點,求四邊形ADCP面積的最大值.練3.2如圖,對稱軸為直線x=2的拋物線經過點A(﹣1,0),C(0,5)兩點,與x軸另一交點為B,已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),點P是第一象限內的拋物線上的動點.(1)求此拋物線的解析式;(2)當a=1時,求四邊形MEFP面積的最大值,并求此時點P的坐標.2024中考數學壓軸題--二次函數第1節(jié)線段周長面積最大值中考數學壓軸題--二次函數第2節(jié)將軍飲馬求最值1--對稱內容導航方法點撥一、兩條線段和的最小值。基本圖形解析:(一)、已知兩個定點:1、在一條直線m上,求一點P,使PA+PB最??;(1)點A、B在直線m兩側:(2)點A、B在直線同側:A、A’是關于直線m的對稱點。2、在直線m、n上分別找兩點P、Q,使PA+PQ+QB最小。(1)兩個點都在直線外側:(2)一個點在內側,一個點在外側:(3)兩個點都在內側:(4)、臺球兩次碰壁模型變式一:已知點A、B位于直線m,n的內側,在直線n、m分別上求點D、E點,使得圍成的四邊形ADEB周長最短.變式二:已知點A位于直線m,n的內側,在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.二、求兩線段差的最大值問題(運用三角形兩邊之差小于第三邊)基本圖形解析:1、在一條直線m上,求一點P,使PA與PB的差最大;(1)點A、B在直線m同側:解析:延長AB交直線m于點P,根據三角形兩邊之差小于第三邊,P’A—P’B<AB,而PA—PB=AB此時最大,因此點P為所求的點。(2)點A、B在直線m異側:解析:過B作關于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’,PA-PB最大值為AB’例題演練題組1:兩定點一動點問題例1.已知,如圖1,拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于點A,在拋物線第一象限的圖象上存在一點B,x軸上存在一點C,使∠ACB=90°,AC=BC,拋物線的頂點為D.(1)求直線AB的解析式;(2)如圖2,若點E是AB上一動點(點A、B除外),連接CE,OE,當EC+OE的值最小時,求△BDE的面積;練1.1如圖,已知拋物線y=x2+3x﹣8的圖象與x軸交于A,B兩點(點A在點B的右側),與y軸交于點C.(1)求直線BC的解析式;(2)點F是直線BC下方拋物線上的一點,當△BCF的面積最大時,在拋物線的對稱軸上找一點P,使得△BFP的周長最小,請求出點F的坐標和點P的坐標;題組2:兩動點一定點問題例2.如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=mx+n相交于點A(1,8)和點B(5,4).(1)求拋物線和直線AB的解析式.(2)如圖1,直線AB上方的拋物線上有一點P,過點P作PQ垂直于AB所在直線,垂足為Q,在x軸正半軸和y軸正半軸上分別有兩個動點M和N,連接PN,NM,MB,BP.當線段PQ的長度最大時,求四邊形PNMB周長的最小值.練2.1如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣x2+x+3,分別交x軸于A、B兩點,交y軸交于C點,頂點為D.(1)如圖1,連接AD,R是拋物線對稱軸上的一點,當AR⊥AD時,求點R的坐標;(2)在(1)的條件下.在直線AR上方,對稱軸左側的拋物線上找一點P,過P作PQ⊥x軸,交直線AR于點Q,點M是線段PQ的中點,過點M作MN∥AR交拋物線對稱軸于點N,當平行四邊形MNRQ周長最大時,在拋物線對稱軸上找一點E,y軸上找一點F,使得PE+EF+FA最小,并求此時點E、F的坐標.題組3:線段之差的最大值問題例3.如圖,二次函數y=﹣x2+2x+1的圖象與一次函數y=﹣x+1的圖象交于A,B兩點,點C是二次函數圖象的頂點,P是x軸下方線段AB上一點,過點P分別作x軸的垂線和平行線,垂足為E,平行線交直線BC于F.(1)當△PEF面積最大時,在x軸上找一點H,使|BH﹣PH|的值最大,求點H的坐標和|BH﹣PH|的最大值;練3.1已知拋物線ω:y=﹣x2﹣x+4與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,D點為拋物線的頂點,E為拋物線上一點,點E的橫坐標為﹣5.(1)如圖1,連接AD、OD、AE、OE,求四邊形AEOD的面積.(2)如圖2,連接AE,以AB,AE為邊作?AEFB,將拋物線w與?AEFB一起先向右平移6個單位長度,再向上平移m個單位長度,得到拋物線w′和?A′E′F′B′,在向上平移的過程中?AEFB與?A′E′F′B′重疊部分的面積為S,當S取得最大值時,E′F′與BF交于點Q,在直線A′B′上有兩動點P,H,且PH=2(P在H的右邊),當|PQ﹣HC|取得最大值時,求點P的坐標.練3.2如圖1,二次函數y=的圖象與x軸交于A,B兩點(點A在點B的右邊),與y軸交于點C,直線l是它的對稱軸.(1)求直線l與直線AC交點的坐標;(2)如圖2,在直線AC上方的拋物線上有一動點P,過點P作x軸的垂線,垂足為點D,與直線AC交于點E,過點P作直線AC的垂線,垂足為點F,當△PEF的周長最大時,在對稱軸l上找點M,使得|BM﹣PM|的值最大,求出|BM﹣PM|的最大值,并求出對應的點M的坐標;練3.3如圖1,在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣x2+x+3交x軸于A,B兩點(點A在點B的左側),交y軸于點W,頂點為C,拋物線的對稱軸與x軸的交點為D.(1)求直線BC的解析式;(2)點E(m,0),F(m+2,0)為x軸上兩點,其中2<m<4,EE′,FF′分別垂直于x軸,交拋物線于點E′,F′,交BC于點M,N,當ME′+NF′的值最大時,在y軸上找一點R,使|RF′﹣RE′|的值最大,請求出R點的坐標及|RF′﹣RE′|的最大值;內容導航方法點撥例題演練題組1:線段的最大值例1.如圖,拋物線y=+mx+n與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點D,已知A(﹣1,0),C(0,2).(1)求拋物線的表達式;(2)線段BC上有一動點P,過點P作y軸的平行線,交拋物線于點Q,求線段PQ的最大值.【解答】解:(1)拋物線y=﹣+mx+n與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,A(﹣1,0),C(0,2).∴,解得:,故拋物線解析式為:y=﹣x2+x+2;(2)令y=0,則﹣x2+x+2=0,解得x1=﹣1,x2=4,∴B(4,0),設直線BC的解析式為y=kx+b,∴,解得,∴直線BC的解析式為y=﹣x+2,設P(m,﹣m+2);則Q(m,﹣m2+m+2),則PQ=(﹣m2+m+2)﹣(﹣m+2)=﹣m2+2m=﹣(m﹣2)2+2,此時PQ的最大值為2.練1.1如圖所示,二次函數y=ax2﹣x+c的圖象經過點A(0,1),B(﹣3,),A點在y軸上,過點B作BC⊥x軸,垂足為點C.(1)求直線AB的解析式和二次函數的解析式;(2)點N是二次函數圖象上一點(點N在AB上方),過N作NP⊥x軸,垂足為點P,交AB于點M,求MN的最大值;【解答】解:(1)設直線AB的解析式為:y=kx+b,∴,∴,∴直線AB的解析式為:y=﹣x+1;把A(0,1),B(﹣3,)代入y=ax2﹣x+c得,,∴二次函數的解析式為:y=﹣x2﹣x+1;(2)設點N的坐標為(m,﹣m2﹣m+1)(﹣3<m<0),則點M的坐標為(m,﹣m+1),∴MN=﹣m2﹣m+1﹣(﹣m+1)=﹣m2﹣m+1=﹣(m+)2+,∴當m=﹣時,MN取最大值,最大值為;練1.2如圖,二次函數y=ax2+bx+2的圖象與x軸相交于點A(﹣1,0)、B(4,0),與y軸相交于點C.(1)求該函數的表達式;(2)點P為該函數在第一象限內的圖象上一點,過點P作PQ⊥BC,垂足為點Q,連接PC.①求線段PQ的最大值;【解答】解:(1)拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣4),即y=ax2﹣3ax﹣4a,則﹣4a=2,解得a=﹣,所以拋物線解析式為y=﹣x2+x+2;(2)①作PN⊥x軸于N,交BC于M,如圖,BC==2,當x=0時,y=﹣x2+x+2=2,則C(0,2),設直線BC的解析式為y=mx+n,把C(0,2),B(4,0)得,解得,∴直線BC的解析式為y=﹣x+2,設P(t,﹣t2+t+2),則M(t,﹣t+2),∴PM=﹣t2+t+2﹣(﹣t+2)=﹣t2+2t,∵∠NBM=∠NPQ,∴△PQM∽△BOC,∴=,即PQ=,∴PQ=﹣t2+t=﹣(t﹣2)2+,∴當t=2時,線段PQ的最大值為;題組2:周長的最大值例2.已知:如圖,直線y=﹣x+2與x軸交于B點,與y軸交于C點,A點坐標為(﹣1,0).(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式.(2)在直線BC上方的拋物線上有一點D,過D作DE⊥BC于E,作DF∥y軸交BC于F,求△DEF周長的最大值.【解答】解:(1)直線y=﹣x+2與x軸交于B(2,0),與y軸交于C點(0,2),設過A、B、C的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,把A(﹣1,0)、B(2,0)、C(0,2)的坐標代入,∴a=﹣1,b=1,c=2,∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+x+2,(2)設D(x,﹣x2+x+2),F(x,﹣x+2),∴DF=(﹣x2+x+2)﹣(﹣x+2)=﹣x2+2x,所以x=1時,DF最大=1,∵OB=OC,∴△OBC為等腰直角三角形,∵DE⊥BC,DF∥y軸,∴△DEF為等腰直角三角形,∴△DEF周長的最大值為1+練2.1如圖所示,拋物線y=ax2+bx﹣3交x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C.(1)求拋物線的解析式;(2)如圖,直線BC下方的拋物線上有一點D,過點D作DE⊥BC于點E,作DF平行x軸交直線BC點F,求△DEF周長的最大值;【解答】解:(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣3交x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點,∴解得:∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3(2)∵拋物線y=x2﹣2x﹣3與y軸交于點C∴點C坐標為(0,﹣3)∴直線BC解析式為:y=x﹣3∵點B(3,0),點C(0,﹣3)∴OB=OC=3,∴∠OBC=∠OCB=45°∵DF∥AB,∴∠EFD=45°=∠OBC,∵DE⊥BC,∴∠EFD=∠EDF=45°,∴DE=EF,∴DF=EF,∴EF=DE=DF,∴△DEF周長=DE+EF+DF=(1+)DF,設點D(a,a2﹣2a﹣3),則F(a2﹣2a,a2﹣2a﹣3)∴DF=a﹣a2+2a=﹣a2+3a=﹣(a﹣)2+∴當a=時,DF有最大值為,即△DEF周長有最大值為(1+)×=,練2.2如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣5,0),B(1,0)兩點,與y軸交于點C,拋物線的對稱軸與x軸交于點D.(1)求拋物線的函數表達式;(2)如圖1,點E(x,y)為拋物線上一點,且﹣5<x<﹣2,過點E作EF∥x軸,交拋物線的對稱軸于點F,作EH⊥x軸于點H,得到矩形EHDF,求矩形EHDF周長的最大值;【解答】解:(1)把A(﹣5,0),B(1,0)兩點坐標代入y=﹣x2+bx+c,得到,解得,∴拋物線的函數表達式為y=﹣x2﹣4x+5.(2)如圖1中,∵拋物線的對稱軸x=﹣2,E(x,﹣x2﹣4x+5),∴EH=﹣x2﹣4x+5,EF=﹣2﹣x,∴矩形EFDH的周長=2(EH+EF)=2(﹣x2﹣5x+3)=﹣2(x+)2+,∵﹣2<0,∴x=﹣時,矩形EHDF的周長最大,最大值為.練2.3如圖,拋物線y=x2﹣4x﹣5與x軸交于A,B兩點(點B在點A的右側),與y軸交于點C,拋物線的對稱軸與x軸交于點D.(1)求A,B,C三點的坐標及拋物線的對稱軸.(2)如圖1,點E(m,n)為拋物線上一點,且2<m<5,過點E作EF∥x軸,交拋物線的對稱軸于點F,作EH⊥x軸于點H,求四邊形EHDF周長的最大值.【解答】解:(1)當x=0時,y=﹣5,∴C(0,﹣5),當y=0時,x2﹣4x﹣5=0,x1=5,x2=﹣1,∴A(﹣1,0),B(5,0),由對稱性得:拋物線的對稱軸是:x==2;(2)如圖1,∵E(m,n),且2<m<5,∴E在第四象限,∴EF=m﹣2,EH=n=﹣m2+4m+5,設四邊形EHDF周長為W,則W=2(EF+EH)=2(m﹣2﹣m2+4m+5)=﹣2m2+10m+6=﹣2(m﹣)2+,∵﹣2<0,∴當m=時,四邊形EHDF周長的最大值是;練2.4如圖1,拋物線y=x2﹣(a+1)x+a與x軸交于A,B兩點(點A位于點B的左側),與y軸負半軸交于點C,若AB=4.(1)求拋物線的解析式;(2)如圖2,E是第三象限內拋物線上的動點,過點E作EF∥AC交拋物線于點F,過E作EG⊥x軸交AC于點M,過F作FH⊥x軸交AC于點N,當四邊形EMNF的周長最大值時,求點E的橫坐標;【解答】解:(1)x2﹣(a+1)x+a=0,則x1+x2=a+1,x1x2=a,則AB==(a﹣1)2=16,解得:a=5或﹣3,拋物線與y軸負半軸交于點C,故a=5舍去,則a=﹣3,則拋物線的表達式為:y=x2+2x﹣3…①;(2)由y=x2+2x﹣3得:點A、B、C的坐標分別為:(﹣3,0)、(1,0)、(0,﹣3),設點E(m,m2+2m﹣3),OA=OC,故直線AC的傾斜角為45°,EF∥AC,直線AC的表達式為:y=﹣x﹣3,則設直線EF的表達式為:y=﹣x+b,將點E的坐標代入上式并解得:直線EF的表達式為:y=﹣x+(m2+3m﹣3)…②,聯(lián)立①②并解得:x=m或﹣3﹣m,故點F(﹣3﹣m,m2+4m),點M、N的坐標分別為:(m,﹣m﹣3)、(﹣3﹣m,m+3),則EF=(xF﹣xE)=(﹣2m﹣3)=MN,四邊形EMNF的周長S=ME+MN+EF+FN=﹣2m2﹣(6+4)m﹣6,∵﹣2<0,故S有最大值,此時m=﹣,故點E的橫坐標為:﹣;練2.5綜合與探究如圖,拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于A,B兩點(A在B的左側),與y軸交于點C,點D(m,0)為線段OA上一個動點(與點A,O不重合),過點D作x軸的垂線與線段AC交于點P,與拋物線交于點Q,連接BP,與y軸交于點E.(1)求A,B,C三點的坐標;(2)當點D是OA的中點時,求線段PQ的長;(3)在點D運動的過程中,探究下列問題:是否存在一點D,使得PQ+PC取得最大值?若存在,求此時m的值;若不存在,請說明理由;【解答】解:(1)令y=0,得﹣x2﹣2x+3=0,解方程得x1=1,x2=﹣3,∴A(﹣3,0),B(1,0)令x=0,得y=3∴C(0,3)(2)當點D是OA的中點時,點D(﹣,0),Q(,),∵直線AC的解析式為y=x+3∴P(﹣,)∴PQ=(3)①如圖,作PF⊥CO設D(m,0),則P(m,m+3),Q(m,﹣m2﹣2m+3)PQ+PC=(﹣m2﹣2m+3)﹣(m+3)+(﹣m)═﹣(m+2)2+4∴當m=﹣2時,PQ+PC有最大值4題組3:面積的最大值例3.如圖,拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a(a<0)與x軸交于A,B兩點,直線y=x+經過點A,與拋物線的另一個交點為點C,點C的橫坐標為3,線段PQ在線段AB上移動,PQ=1,分別過點P、Q作x軸的垂線,交拋物線于E、F,交直線于D,G.(1)求拋物線的解析式;(2)當四邊形DEFG為平行四邊形時,求出此時點P、Q的坐標;(3)在線段PQ的移動過程中,以D、E、F、G為頂點的四邊形面積是否有最大值,若有求出最大值,若沒有請說明理由.【解答】解:(1)∵點C的橫坐標為3,∴y=×3+=2,∴點C的坐標為(3,2),把點C(3,2)代入拋物線,可得2=9a﹣9a﹣4a,解得:a=,∴拋物線的解析式為y=;(2)設點P(m,0),Q(m+1,0),由題意,點D(m,m+)m,E(m,),G(m+1,m+1),F(m+1,),∵四邊形DEFG為平行四邊形,∴ED=FG,∴()﹣(m+)=()﹣(m+1),即=,∴m=0.5,∴P(0.5,0)、Q(1.5,0);(3)設以D、E、F、G為頂點的四邊形面積為S,由(2)可得,S=()×1÷2=(﹣m2+m+)=,∴當m=時,S最大值為,∴以D、E、F、G為頂點的四邊形面積有最大值,最大值為.練3.1如圖,拋物線y=ax2+bx+2交x軸于點A(﹣3,0)和點B(1,0),交y軸于點C.(1)求這個拋物線的函數表達式.(2)點D的坐標為(﹣1,0),點P為第二象限內拋物線上的一個動點,求四邊形ADCP面積的最大值.【解答】解:(1)拋物線的表達式為:y=a(x+3)(x﹣1)=a(x2+2x﹣3)=ax2+2ax﹣3a,即﹣3a=2,解得:a=﹣,故拋物線的表達式為:y=﹣x2﹣x+2,(2)連接OP,設點P(x,﹣x2﹣x+2),則S=S四邊形ADCP=S△APO+S△CPO﹣S△ODC=×AO×yP+×OC×|xP|﹣×CO×OD=(﹣x2﹣x+2)×2×(﹣x)﹣=﹣x2﹣3x+2,∵﹣1<0,故S有最大值,當x=﹣時,S的最大值為;練3.2如圖,對稱軸為直線x=2的拋物線經過點A(﹣1,0),C(0,5)兩點,與x軸另一交點為B,已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),點P是第一象限內的拋物線上的動點.(1)求此拋物線的解析式;(2)當a=1時,求四邊形MEFP面積的最大值,并求此時點P的坐標.【解答】解:(1)∵對稱軸為直線x=2,∴設拋物線解析式為y=a(x﹣2)2+k.將A(﹣1,0),C(0,5)代入得:,解得,∴y=﹣(x﹣2)2+9=﹣x2+4x+5.(2)當a=1時,E(1,0),F(2,0),OE=1,OF=2.設P(x,﹣x2+4x+5),如答圖2,過點P作PN⊥y軸于點N,則PN=x,ON=﹣x2+4x+5,∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4.S四邊形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME=(PN+OF)?ON﹣PN?MN﹣OM?OE=(x+2)(﹣x2+4x+5)﹣x?(﹣x2+4x+4)﹣×1×1=﹣x2+x+=﹣(x﹣)2+,∴當x=時,四邊形MEFP的面積有最大值為,把x=時,y=﹣(﹣2)2+9=.此時點P坐標為(,).中考數學壓軸題--二次函數第2節(jié)將軍飲馬求最值1--對稱內容導航方法點撥一、兩條線段和的最小值?;緢D形解析:(一)、已知兩個定點:1、在一條直線m上,求一點P,使PA+PB最??;(1)點A、B在直線m兩側:(2)點A、B在直線同側:A、A’是關于直線m的對稱點。2、在直線m、n上分別找兩點P、Q,使PA+PQ+QB最小。(1)兩個點都在直線外側:(2)一個點在內側,一個點在外側:(3)兩個點都在內側:(4)、臺球兩次碰壁模型變式一:已知點A、B位于直線m,n的內側,在直線n、m分別上求點D、E點,使得圍成的四邊形ADEB周長最短.變式二:已知點A位于直線m,n的內側,在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.二、求兩線段差的最大值問題(運用三角形兩邊之差小于第三邊)基本圖形解析:1、在一條直線m上,求一點P,使PA與PB的差最大;(1)點A、B在直線m同側:解析:延長AB交直線m于點P,根據三角形兩邊之差小于第三邊,P’A—P’B<AB,而PA—PB=AB此時最大,因此點P為所求的點。(2)點A、B在直線m異側:解析:過B作關于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’,PA-PB最大值為AB’例題演練題組1:兩定點一動點問題例1.已知,如圖1,拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于點A,在拋物線第一象限的圖象上存在一點B,x軸上存在一點C,使∠ACB=90°,AC=BC,拋物線的頂點為D.(1)求直線AB的解析式;(2)如圖2,若點E是AB上一動點(點A、B除外),連接CE,OE,當EC+OE的值最小時,求△BDE的面積;【解答】解:(1)由題意A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3)設C(m,0),則B(m,m+1),把點B坐標代入拋物線的解析式得到:m+1=m2﹣2m﹣3,解得m=4或﹣1(舍棄),∴C(4,0),B(4,5),設直線AB的解析式為y=kx+b,則有,∴,∴直線AB的解析式為y=x+1.(2)如圖1中,如圖作點C關于直線AB的對稱點C′,連接OC′交直線AB于E,連接EC、EO,此時EO+EC的值最小.∵C(4,0),CC′關于直線AB對稱,∴C′(﹣1,5),∴直線OC′的解析式為y=﹣5x,由,解得,∴E(﹣,),∵D(1,﹣4),∴S△BDE=9×(4+)﹣×3×9﹣×(1+)(4+)﹣×(4+)(5﹣)=12.5.練1.1如圖,已知拋物線y=x2+3x﹣8的圖象與x軸交于A,B兩點(點A在點B的右側),與y軸交于點C.(1)求直線BC的解析式;(2)點F是直線BC下方拋物線上的一點,當△BCF的面積最大時,在拋物線的對稱軸上找一點P,使得△BFP的周長最小,請求出點F的坐標和點P的坐標;【解答】解:(1)對于拋物線y=x2+3x﹣8,令y=0,得到x2+3x﹣8=0,解得x=﹣8或2,∴B(﹣8,0),A(2,0),令x=0,得到y(tǒng)=﹣8,∴A(2,0),B(﹣8,0),C(0,﹣8),設直線BC的解析式為y=kx+b,則有,解得,∴直線BC的解析式為y=﹣x﹣8.(2)如圖1中,作FN∥y軸交BC于N.設F(m,m2+3m﹣8),則N(m,﹣m﹣8)∴S△FBC=S△FNB+S△FNC=?FN×8=4FN=4[(﹣m﹣8)﹣(m2+3m﹣8)]=﹣2m2﹣16m=﹣2(m+4)2+32,∴當m=﹣4時,△FBC的面積有最大值,此時F(﹣4,﹣12),∵拋物線的對稱軸x=﹣3,點B關于對稱軸的對稱點是A,連接AF交對稱軸于P,此時△BFP的周長最小,設直線AF的解析式為y=ax+b,則有,解得,∴直線AF的解析式為y=2x﹣4,∴P(﹣3,﹣10),∴點F的坐標和點P的坐標分別是F(﹣4,﹣12),P(﹣3,﹣10).題組2:兩動點一定點問題例2.如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=mx+n相交于點A(1,8)和點B(5,4).(1)求拋物線和直線AB的解析式.(2)如圖1,直線AB上方的拋物線上有一點P,過點P作PQ垂直于AB所在直線,垂足為Q,在x軸正半軸和y軸正半軸上分別有兩個動點M和N,連接PN,NM,MB,BP.當線段PQ的長度最大時,求四邊形PNMB周長的最小值.【解答】解:(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=mx+n相交于點A(1,8)和點B(5,4).∴,,解得,,∴拋物線解析式為y=﹣x2+5x+4,直線y解析式為=﹣x+9.(2)如圖1中,設直線AB與x軸交于點F,與y軸交于點E,則E(0,9),F(9,0),連接PE、PF、PO.當PQ最大時,△PEF的面積最大,設P(m,﹣m2+5m+4)∵S△PEF=S△POE+S△POF﹣S△EOF=×9×m+×9×(﹣m2+5m+4)﹣×9×9=﹣(m﹣3)2+18,∵﹣<0,∴m=3時,△PEF的面積最大值為18,此時P(3,10),作點P關于y軸的對稱點P′,B關于x軸的對稱點B′,連接P′B,與y軸交于點N,與x軸交于點M,此時四邊形PNMB的周長最?。碛桑核倪呅蜳NMB周長=PN+MN+MB+PB=P′N+MN+MB′+PB=P′B′+PB,∵PB是定長,兩點之間線段最短,∴此時四邊形PNMB周長最小.∵P′(﹣3,10),B′(5,﹣4),∴P′B′==2,∵PB==2,∴四邊形PNMB周長的最小值為2+2.練2.1如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣x2+x+3,分別交x軸于A、B兩點,交y軸交于C點,頂點為D.(1)如圖1,連接AD,R是拋物線對稱軸上的一點,當AR⊥AD時,求點R的坐標;(2)在(1)的條件下.在直線AR上方,對稱軸左側的拋物線上找一點P,過P作PQ⊥x軸,交直線AR于點Q,點M是線段PQ的中點,過點M作MN∥AR交拋物線對稱軸于點N,當平行四邊形MNRQ周長最大時,在拋物線對稱軸上找一點E,y軸上找一點F,使得PE+EF+FA最小,并求此時點E、F的坐標.【解答】解:(1)對于拋物線y=﹣x2+x+3,令y=0,得﹣x2+x+3=0,解得x=﹣2或6,∴B(﹣2,0),A(6,0),∵y=﹣x2+x+3=﹣(x﹣2)2+4,∴拋物線頂點D坐標為(2,4),對稱軸x=2,設直線AD的解析式為y=kx+b則有,解得,∴直線AD的解析式為y=﹣x+6,∵AR⊥AD,∴直線AR的解析式為y=x﹣2,∴點R坐標(2,﹣).(2)如圖1中,設P(m,﹣m2+m+3),則Q(m,m﹣2),M(m,﹣m2+m+),由(1)可知tan∠DAB==,∴∠DAB=60°,∵∠DAQ=90°,∴∠BAQ=30°,∴平行四邊形MNRQ周長=2(﹣m2+m+﹣m+2)+2(2﹣m)÷cos30°=﹣m2﹣m+,∴m=﹣時,平行四邊形MNRQ周長最大,此時P(﹣,),如圖2中,點P關于對稱軸的對稱點為M,點M關于y軸的對稱點為N,連接AN交y軸于F,連接FM交對稱軸于E,此時PE+EF+AF最?。碛桑篜E+EF+AF=EM+FE+AF=FM+AF=FN+AF=AN,根據兩點之間線段最短,可知此時PE+EF+AF最?。進(,),N(﹣,),∴直線AN的解析式為y=﹣x+,∴點F坐標(0,),∴直線FM的解析式為y=x+,∴點E坐標(2,).題組3:線段之差的最大值問題例3.如圖,二次函數y=﹣x2+2x+1的圖象與一次函數y=﹣x+1的圖象交于A,B兩點,點C是二次函數圖象的頂點,P是x軸下方線段AB上一點,過點P分別作x軸的垂線和平行線,垂足為E,平行線交直線BC于F.(1)當△PEF面積最大時,在x軸上找一點H,使|BH﹣PH|的值最大,求點H的坐標和|BH﹣PH|的最大值;【解答】解:(1)設點P(m,﹣m+1),則點E(m,0),聯(lián)立兩個函數表達式得,解得,即點A、B的坐標分別為(0,1)、(6,﹣5),由拋物線的表達式知,點C(2,3),由B、C的坐標得,直線BC的表達式為y=﹣2x+7,當y=﹣2x+7=﹣m+1時,x=,故點F(,﹣m+1),△PEF面積=×PE?PF=×(m﹣1)(﹣m)=﹣(m﹣1)(m﹣6),∵﹣<0,故△PEF面積有最大值,此時m=(1+6)=,故點P(,﹣),當P、B、H三點共線時,|BH﹣PH|的值最大,即點H為直線AB與x軸的交點,故點H(1,0),則|BH﹣PH|的最大值=BH﹣PH=BP==;練3.1已知拋物線ω:y=﹣x2﹣x+4與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,D點為拋物線的頂點,E為拋物線上一點,點E的橫坐標為﹣5.(1)如圖1,連接AD、OD、AE、OE,求四邊形AEOD的面積.(2)如圖2,連接AE,以AB,AE為邊作?AEFB,將拋物線w與?AEFB一起先向右平移6個單位長度,再向上平移m個單位長度,得到拋物線w′和?A′E′F′B′,在向上平移的過程中?AEFB與?A′E′F′B′重疊部分的面積為S,當S取得最大值時,E′F′與BF交于點Q,在直線A′B′上有兩動點P,H,且PH=2(P在H的右邊),當|PQ﹣HC|取得最大值時,求點P的坐標.【解答】解:(1)令﹣x2﹣x+4=0,解得:x1=﹣4,x2=2,∴A(﹣4,0),B(2,0)當x=﹣=﹣1時,y=,即D(﹣1,),當x=﹣5時,y=,即E(﹣5,﹣)∴S四邊形AEOD=S△AOE+S△AOD=?AD?(yD﹣yE)=×4×()=16;(2)如圖1,延長FE′交x軸于點H,由平移可知:F(1,),FH⊥x軸,FE′=m,FH=,∴BH=1,△FHB∽FE′Q,∴=,即=,∴E′Q=,由平移可知,重疊部分四邊形為平行四邊形,S重疊四邊形=E′Q?HE′=()=m2+m,當m==時,平行四邊形的面積有最大值,此時yQ=﹣當y=﹣時,即Q是線段FB的中,∴xQ==,即Q(,).如圖2,作點Q關于直線A′B′的對稱點Q′,將線段CH向右平移兩個單位使點H與點
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