【基于MATLAB的插值方法的比較探析4300字（論文）】

基于MATLAB的插值方法的比較分析1.幾種插值法原理 51.1拉格朗日插值 51.2牛頓插值 51.3埃爾米特插值 61.4三次樣條插值法【3】 61.5雙線性插值【4】 71.6分段線性插值【1-2】 72.插值法在圖像中的應(yīng)用 82.1圖像的基本概念 82.1.1認(rèn)識(shí)圖像 82.1.2圖像的顯示 82.1.3圖像的插值 82.2雙線性插值【8】 92.3拉格朗日(Lagrange)多項(xiàng)式【8】 92.4牛頓插值【8】 102.5三次樣條插值【8】 103.插值方法的比較分析 103.1算法的起因 103.2算法的構(gòu)成與一般性程度分析 114.結(jié)論 11參考文獻(xiàn) 12前言21世紀(jì)是個(gè)信息爆炸的時(shí)代，而信息的表達(dá)往往缺少不了圖文，人們通常通過(guò)圖片能獲取學(xué)多的信息，在我們現(xiàn)在的生活中最明顯的事例是我們微信里面的各種表情包。數(shù)字圖像處理技術(shù)源于20世紀(jì)20年代，當(dāng)時(shí)通過(guò)海底電纜從英國(guó)倫敦到美國(guó)紐約傳輸了一張照片，采用了數(shù)字壓縮技術(shù)。首先數(shù)字圖像處理技術(shù)可以幫助人們更客觀、準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)世界，人的視覺(jué)系統(tǒng)可以幫助人類從外界獲取3/4以上的信息，而圖像、圖形又是所有視覺(jué)信息的載體，盡管人眼的鑒別力很高，可以識(shí)別上千種顏色，但很多情況下，圖像對(duì)于人眼來(lái)說(shuō)是模糊的甚至是不可見的，通過(guò)圖象增強(qiáng)技術(shù)，可以使模糊甚至不可見的圖像變得清晰明亮。在計(jì)算機(jī)中，按照顏色和灰度的多少可以將圖像分為二值圖像、灰度圖像、索引圖像和真彩色RGB圖像四種基本類型。大多數(shù)圖像處理軟件都支持這四種類型的圖像。中國(guó)物聯(lián)網(wǎng)校企聯(lián)盟認(rèn)為圖像處理將會(huì)是物聯(lián)網(wǎng)產(chǎn)業(yè)發(fā)展的重要支柱之一，它的具體應(yīng)用是指紋識(shí)別技術(shù)?，F(xiàn)在社會(huì)中正興起VR、AR等虛擬現(xiàn)實(shí)的設(shè)備，要支持這些設(shè)備需要大量的數(shù)字圖像處理技術(shù)支持。而在處理這些圖像中用的最多的就是插值算法，而且不同的插值算法往往有不同效果，有時(shí)會(huì)影響整個(gè)設(shè)備的使用，所以插值算法在圖像處理中占有重要的地位。1.幾種插值法原理1.1拉格朗日插值 對(duì)于互異節(jié)點(diǎn)，…所對(duì)應(yīng)的值為，…，而且為這組節(jié)點(diǎn)上的Lagrange插值基函數(shù)則n次多項(xiàng)式為：(ｉ=0，1，…ｎ)1.2牛頓插值設(shè)有函數(shù)，，…為一系列互不相等的點(diǎn)，每個(gè)對(duì)應(yīng)的值為，…，那么與關(guān)于的一階差商為：可表示為一般地，有了階差商之后，可以定義階差商【1】：那么n次牛頓插值多項(xiàng)式為： 1.3埃爾米特插值已知函數(shù)在個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，…為，則有，則埃爾米特插值多項(xiàng)式【2】為：其中，（為拉格朗日插值的基礎(chǔ)函數(shù)【1】）1.4三次樣條插值法【3】設(shè)區(qū)間上給定n+1節(jié)點(diǎn)，…，存在正整數(shù)i使分段函數(shù)，且滿足：（1）在區(qū)間上存在i-1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)（2）每個(gè)小區(qū)間是次數(shù)不大于i的多項(xiàng)式若是節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，則有關(guān)于三次樣條函數(shù)滿足：如果，為每個(gè)區(qū)間上的一個(gè)三次多項(xiàng)式記為而且滿足1.5雙線性插值【4】對(duì)于一個(gè)二維數(shù)組c，我們假設(shè)對(duì)于任意一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)i,c(a,i)到c(a+1,i)之間是線性變化的,c(i,b)到c(i,b+1)之間也是線性變化的(a,b都是整數(shù))那么對(duì)于浮點(diǎn)數(shù)的坐標(biāo)(x,y)滿足(a<=x<a+1,b<=y<b+1)，我們可以先分別求出c(x,b)和c(x,b+1):c(x,b)=c[a+1][b]*(x-a)+c[a][b]*(1+a-x);c(x,b+1)=c[a+1][b+1]*(x-a)+c[a][b+1]*(1+a-x);由于c(x,b)和c(x,b+1)了，而根據(jù)假設(shè)c(x,b)到c(x,b+1)也是線性變化的，所以:c(x,y)=c(x,b+1)*(y-b)+c(x,b)*(1+b-y)這就是雙線性插值，1.6分段線性插值【1-2】給定f（x）n+1節(jié)點(diǎn)，…，設(shè)hi=xi+1-xi,在區(qū)間上，若線性插值的余項(xiàng)有： 如果即為的分段線性插值。2.插值法在圖像中的應(yīng)用2.1圖像的基本概念2.1.1認(rèn)識(shí)圖像現(xiàn)在我們的生活中的圖像都是2維或者3維的，常常我們用到的圖像是灰度圖像。而一幅彩色圖圖像的1個(gè)點(diǎn)會(huì)同時(shí)具有紅綠藍(lán)三個(gè)值，所以我們總是需要根據(jù)圖像中不同位置的不同性質(zhì)來(lái)對(duì)圖像進(jìn)行利用。而且在我們的生活中很多圖像的點(diǎn)都是連續(xù)的，當(dāng)我們要利用計(jì)算機(jī)對(duì)圖像進(jìn)行處理時(shí)，我們需要不圖離散化這樣就可編程方便儲(chǔ)存的數(shù)字圖像，不過(guò)在進(jìn)行離散化圖像操作的過(guò)程中往往會(huì)造成圖像失真，會(huì)忽略了圖像的高頻和低頻信息【5】，進(jìn)行這樣的存儲(chǔ)操作無(wú)疑增加了圖像處理的難度但另一方面由于處理的圖像大都來(lái)自客觀世界的物理存在，從圖像數(shù)字化過(guò)程和數(shù)字化設(shè)備的特點(diǎn)來(lái)看，數(shù)字圖像又具有內(nèi)容上的連續(xù)性，它是連續(xù)信息的離散表示。我們可對(duì)圖像的點(diǎn)進(jìn)行離散的數(shù)學(xué)操作非常有限。而連續(xù)卻恰恰相反，它包含了大量的信息，我們可對(duì)圖像進(jìn)行的連續(xù)操作也多不勝數(shù)。數(shù)字圖像這種看似矛盾實(shí)則統(tǒng)一的特點(diǎn)為圖像處理技術(shù)的發(fā)展提供了無(wú)限可能性。2.1.2圖像的顯示在計(jì)算機(jī)中圖像的表示是以矩陣的形式來(lái)表示的，而顯示則可以通過(guò)多種方式，基本思路是把2維圖像看作在2維空間位置上的一種幅度分布【5】，但是在顯示圖像時(shí)往往我們會(huì)根據(jù)不同的圖像在2維空間上的不同排布來(lái)選定不同的顯示方式。在現(xiàn)實(shí)圖像的過(guò)程中，如果我們的顯示設(shè)備支持，可以對(duì)圖像的空間位置進(jìn)行賦值，從而調(diào)整圖像的灰度，不過(guò)我們常常用這種方法來(lái)表示圖像。2.1.3圖像的插值圖像插值是圖像處理中最基本的處理操作。自從有了計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和圖像處理，就有了圖像插值。圖像插值是圖像處理中圖像重采樣過(guò)程中的重要組成部分，而重采樣過(guò)程廣泛應(yīng)用于改善圖像質(zhì)量、進(jìn)行有損壓縮等，因而研究圖像插值具有十分重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。圖像插值是根據(jù)原有圖像的像素的基礎(chǔ)上重構(gòu)出目的的像素。之前我們所說(shuō)的數(shù)字圖像其實(shí)是通過(guò)采用某一函數(shù)對(duì)原圖像的像素進(jìn)行連續(xù)的取點(diǎn)而得到的，所以圖像插值可以將原圖已有像素作為采樣點(diǎn)，然后我們構(gòu)造出一個(gè)與原像素的連續(xù)函數(shù)的一個(gè)近似函數(shù)，即插值曲面。我們通過(guò)在插值曲面上采用近似增大采樣密度，來(lái)對(duì)目的圖像中的重采樣點(diǎn)進(jìn)行插值計(jì)算，求得重采樣點(diǎn)的顏色值，從而獲取目的圖像的像素值。通常圖像插值通常包括兩種基本操作：像素映射和顏色賦值。2.2雙線性插值【8】雙線性插值相當(dāng)于用三角形函數(shù)對(duì)采樣圖像進(jìn)行卷積。較之于用矩形函數(shù)進(jìn)行卷積，其低通濾波效果有所改善。但由于它削弱了截止頻率附近的頻率，使高頻分量受損，圖像輪廓有一定模糊，尤其在圖像放大倍數(shù)較高時(shí)尤為嚴(yán)重。數(shù)碼相機(jī)等設(shè)備上的圖像幾何變換,通常綜合考慮運(yùn)算能力和變換效果,使用雙線性插值.在這類設(shè)備上,一般希望更快的速度和更低的功耗,插值運(yùn)算的性能仍需提高.許多手持設(shè)備和數(shù)字電視芯片等也有類似的需求.另外,在有些需要實(shí)時(shí)處理的應(yīng)用場(chǎng)合,如醫(yī)學(xué)超聲實(shí)時(shí)寬景成像,每秒需要處理十幀甚至幾十幀圖像,線性插值往往成為速度瓶頸之一.在提高雙線性插值的速度上,已有許多好的研究成果.主要有兩類方法:(1)利用特殊硬件的特性,如使用PC通用處理器的單指令多數(shù)據(jù)流(SIMD)特性,對(duì)插值運(yùn)算并行化,或使用顯卡GPU的功能進(jìn)行加速。2.3拉格朗日(Lagrange)多項(xiàng)式【8】拉格朗日(Lagrange)多項(xiàng)式插值公式的格式整齊規(guī)范，插值多項(xiàng)式總是插值基函數(shù)的線性組合，但沒(méi)有承襲性，當(dāng)需要增加插值節(jié)點(diǎn)以提高插值精度時(shí)，必須重新計(jì)算所有插值基函數(shù)。利用基本插值多項(xiàng)式容易得出滿足插值條件的n次插值多項(xiàng)式:P事實(shí)上,由于每個(gè)基本插值多項(xiàng)式li(x)都是n次多項(xiàng)式,P(x)的次數(shù)不超過(guò)n。根據(jù)lk(x0)=0,…,lk(xk-1)=0,lk(xk)=1,lk(xk+1)=0,…,lk(xn)=0,Pn(x)是滿足插值條件的n次插值多項(xiàng)式,記為L(zhǎng)n(x):L由于基本插值多項(xiàng)式l0(x),l1(x),…,ln(x)是線性無(wú)關(guān)的,n次插值多項(xiàng)式Ln(x)可線性表示,因此又稱l0(x),l1(x),…,ln(x)為n次拉格朗日插值基函數(shù)。2.4牛頓插值【8】牛頓多項(xiàng)式與拉格朗日多項(xiàng)式本質(zhì)上是同一多項(xiàng)式，但公式形式具有承襲性，計(jì)算簡(jiǎn)便。多項(xiàng)式插值的重建誤差隨次數(shù)增加而減小。n次多項(xiàng)式插值結(jié)果具有n-1階連續(xù)，很好地保證了插值圖像背景的平滑。牛頓插值法與坐標(biāo)系建立無(wú)關(guān)系，三次樣條插值的插值結(jié)果與坐標(biāo)系建立有關(guān)（縱橫單位比例）。當(dāng)橫坐標(biāo)以1min為單位時(shí)，其插值精度與牛頓插值相當(dāng)，橫比越小，精度越低。表中幾處大于5cm的數(shù)據(jù)均處于明顯儀器異常位置，屬于粗差，可以剔除。2.5三次樣條插值【8】般的三次樣條也被用于覆蓋四點(diǎn)的插值。三次樣條被定義為一種三次函數(shù)。為了在大量的三次樣條函數(shù)中選出合適的函數(shù)，必須加入一些限制條件:函數(shù)必須關(guān)于0對(duì)稱。在a為一負(fù)數(shù)時(shí)，上面的函數(shù)在0到1之間為整數(shù)，在1到2間為負(fù)數(shù)。隨著a的增加，1與2之間的波瓣深度增加，因此，對(duì)任意固定的負(fù)數(shù)a，這個(gè)函數(shù)大體相當(dāng)于Sinc函數(shù)的加窗結(jié)果。由于這個(gè)函數(shù)比起B(yǎng)樣條有了更好的高頻表現(xiàn)，所以稱這種函數(shù)為高分辨率的三次樣條插值函數(shù)。3.插值方法的比較分析3.1算法的起因插值算法的第一起因是編制更細(xì)化的表格的需要。比如說(shuō)，托勒密的線性插值就是為了由已知的間隔1°的弦長(zhǎng)值算出間隔為（12插值算法的第二起因是天文學(xué)的需要。如，中國(guó)古代的插值算法是為了彌補(bǔ)實(shí)際觀測(cè)的數(shù)據(jù)不足，阿拉伯國(guó)家關(guān)注星體在天空中的位置，牛頓描述星體運(yùn)動(dòng)的拋物線型線等。插值算法的第三起因是純粹數(shù)學(xué)的需要。如朱世杰高次內(nèi)插法與牛頓尋求內(nèi)插公式的努力。這些外在表現(xiàn)不同的起因的共同特征都是對(duì)離散數(shù)據(jù)進(jìn)行連續(xù)處理，即由孤立的已知點(diǎn)值導(dǎo)出其它點(diǎn)的值。而離散數(shù)據(jù)常常都以表格的形式出現(xiàn)，因此，把插值算法描述為“表格線間讀到的科學(xué)”是非常形象的。3.2算法的構(gòu)成與一般性程度分析最簡(jiǎn)單的線性插值把對(duì)象的變化看成是連續(xù)的和均勻的，理論基礎(chǔ)是比例理論和等差數(shù)列求和。很顯然，線性插值誤差很大。二次插值標(biāo)志著插值思想的突破。其理論基礎(chǔ)在不同文明中是各不相同的。中算中插值算法的思想源頭是《九章算術(shù)》。阿拉伯的二次插值來(lái)自對(duì)線性插值的改進(jìn)，建立在幾何背景的比例理論基礎(chǔ)之上。牛頓和拉格朗日的插值方法推廣到任意n次多項(xiàng)式函數(shù)，是純數(shù)學(xué)的抽象形式，能夠直接給出任意高次的插值形式。高次插值的建立標(biāo)志著差分算法的成熟。西方數(shù)學(xué)家們?cè)诖嘶A(chǔ)上考慮插值的誤差(余項(xiàng))、插值算法的進(jìn)一步約束(如對(duì)不同光滑程度的條件要求)、以及插值算法的改進(jìn)(如避免龍格現(xiàn)象的分段插值的提出以及其它形式的插值函數(shù)的選擇等)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的追求。4.結(jié)論插值算法以某種方法描述數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的關(guān)系，文中就常用的四種算法的原理進(jìn)行分析，并使用matlab仿真工具分別就這四種算法對(duì)典型的lena、flower和night圖像進(jìn)行了處理，并對(duì)它們的處理結(jié)果加以比較。插值算法度量簡(jiǎn)單，在插值點(diǎn)上被插函數(shù)與插值函數(shù)精確相等，但進(jìn)行高次插值時(shí)會(huì)出現(xiàn)與原函數(shù)不一致的現(xiàn)象。科學(xué)實(shí)驗(yàn)和工程計(jì)算中，得根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行選擇，保證數(shù)值計(jì)算精度。參考文獻(xiàn)[1]李冬梅若干有理插值方法的分析與比較吉林大學(xué)碩士學(xué)位論文2007.1-2008.4[2]丁麗娟程杞元編著數(shù)值計(jì)算方法高等教育出版社[3]杜廷松，覃太貴主編數(shù)值分析及實(shí)驗(yàn)-2版-北京：科學(xué)出版社，2012.10[4]/link?url=RCHNyb-IiLBt8raZGLRHoHHymEyhSrJghU5M60xjzGFY7kKhPkxvWLFv8iy4EcAY63LMerx4HSnnuSoDMRSFggAVfeqCFx_KuTmDS_YOrYFynJgMeEUQo_an0aPq5b2hpsIFOp_N2Fbd388