2024屆河北省保定市冀英學校九年級數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆河北省保定市冀英學校九年級數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題（每小題3分,共30分）

1.已知XI,X2是一元二次方程χ2-2x=0的兩根，則X1+X2的值是（）

B.2C.-2D.4

2.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

??

?

3.如圖，AB是半圓。的直徑，半徑OC_LA3于O,Ao平分NC4B交BC于點。，連接C。，OD,BD.下列結(jié)論中

B.CE=OE

C.^ODE^Δ,ADOD.AC—2.CD

4.如圖，拋物線y=aχ2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=-1,給出下列結(jié)論:

①b2=4ac;②abc>O;③a>c；④4a-2b+c>0,其中正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.方程(x—I)?=O的根是()

A.Xl=X[=?B.x1=l,x2=0

c.%=-1，％2=OD?玉—-1,——1

6.關(guān)于X的一元二次方程%2—3%+相=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為()

、99,9

A.m>—B.m<—C.m=-D.m<-一

4444

7.已知二次函數(shù)y=aχ2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc>O;②b<a+c；③4a+2b+c>0;(4)2c-3b<0;

⑤a+b>n(an+b)(n≠l),其中正確的結(jié)論有()

C.4個D.5個

下列說法中錯誤的是()

A.頂點坐標為(1,-2)

B.對稱軸是直線X=I

c.當x>ι時，y隨X的增大減小

D.拋物線開口向上

9.點A(-3,j1),B(0,J2),C(3,J3)是二次函數(shù)y=-(x+2)2+”,圖象上的三點，則山，及，山的大小關(guān)系是

()

A.JI<J2<J3B.jι=j3<j2C.yy<yι<y?D.y?<y3<y2

10.已知m是方程χ2一2006x+1=0的一個根，則代數(shù)式蘇-2005，〃+當竺+3的值等于()

m^+l

A.2005B.2006C.2007D.2008

二、填空題(每小題3分,共24分)

11.如圖，在正方形ABCD中，Aβ=a,點E,尸在對角線8。上，且NEC尸=NA8。，將CE繞點C旋轉(zhuǎn)一定角

度后，得到AOCG,連接尸G.則下列結(jié)論:

①NFCG=NCDG；

②△CE尸的面積等于L/；

4

③尸C平分NB尸G；

@BE2+DF2=EF2；

其中正確的結(jié)論是.（填寫所有正確結(jié)論的序號）

12.以原點O為位似中心，將AAOB放大到原來的2倍，若點A的坐標為（2,3）,則點A的對應(yīng)點4的坐標為.

13.如圖所示，矩形DEFG的邊EF在ΔABC的邊BC上，頂點O,G分別在邊AB,AC上.已知AC=6,AB=S,

BC=I0,設(shè)律=x,矩形。EFG的面積為丁，則丁關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式為.（不必寫出定義域）

14.如圖，AABC是不等邊三角形，DE=BC,以D,E為兩個頂點作位置不同的三角形，使所作的三角形與aABC

全等，這樣的三角形最多可以畫出_____個.

3

15.如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，點A（加,6）在第一象限，與X軸所夾的銳角為α,且Sina=《，

則機的值是.

16.若代數(shù)式4χ2-2χ-5與2招+1的值互為相反數(shù)，則X的值是一.

17.在一個不透明的袋子中裝有3個除顏色外完全相同的小球，其中綠球1個，紅球2個，摸出一個球放回，混合均勻

后再摸出一個球，兩次都摸到紅球的概率是.

18.已知拋物線y=0√+2αχ+c與X軸的一個交點坐標為（2,0）,則一元二次方程62√+2依+。=（）的根為

三、解答題（共66分）

19.（10分）在面積都相等的一組三角形中，當其中一個三角形的一邊長X為1時，這條邊上的高y為L

（1）①求）'關(guān)于X的函數(shù)解析式；

②當xN3時，求）'的取值范圍；

（2）小明說其中有一個三角形的一邊與這邊上的高之和為4,你認為小明的說法正確嗎？為什么？

20.（6分）綜合與探究

如圖，已知拋物線丁="2-2%+。與4軸交于4（-3,0）,B（LO）兩點，與》軸交于點C,對稱軸為直線/,頂點為D.

⑴求拋物線的解析式及點O坐標；

⑵在直線/上是否存在一點加，使點M到點B的距離與到點C的距離之和最??？若存在，求出點M的坐標；若不

存在，請說明理由.

⑶在X軸上取一動點尸（加,0）,-3<m<-l,過點P作X軸的垂線，分別交拋物線，AD,AC于點E，F(xiàn),G.

①判斷線段EP與FG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由

②連接E4,ED,CD,當機為何值時，四邊形AEz）C的面積最大？最大值為多少？

21.（6分）綜合與探究：三角形旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學問題.

ZABO+ZOBC=90o.?.ZDAO+ZDCO=90°

實驗與操作：Rt?ABC中，ZABC=90o,NACB=30。.將Rt?ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到Rt?ABC（點

B,,。分別是點B,C的對應(yīng)點）.設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（（ΓVa<180D,旋轉(zhuǎn)過程中直線B，B和線段CC相交于點D.

猜想與證明：

（1）如圖1,當AO經(jīng)過點B時，探究下列問題：

①此時，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為。；

②判斷此時四邊形AB，DC的形狀，并證明你的猜想；

（2）如圖2,當旋轉(zhuǎn)角a=90。時，求證：CD=CD；

（3）如圖3,當旋轉(zhuǎn)角a在0。VaVl80。范圍內(nèi)時，連接AD,直接寫出線段AD與CC'之間的位置關(guān)系（不必證明）.

(1)求k的取值范圍；

(2)若方程的兩實數(shù)根分別為XI,X2,且xF+X22=6x∣X2-15,求k的值.

k

23.(8分)如圖，已知一次函數(shù)y=-x+n的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象交于A(4,-2),B(-2,m)兩點.

X

k

(1)請直接寫出不等式-x+nW-的解集；

X

(2)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(3)過點A作X軸的垂線，垂足為C,連接BC,求AABe的面積.

24.(8分)如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的邊CD在y軸上，點A在反比例函數(shù)M=K(X>0)的圖象上,

X

63

點B在反比例函數(shù)為=\0>0)的圖象上，AB交X軸與點E,S矩形OCBE=]S矩形8AE?

(1)求k的值;

(2)若AZ)=2,點P為y軸上一動點，當PA+P3的值最小時，求點P的坐標.

25.(10分)已知：如圖,在。O中,弦A8、CD交于點E,AD=CB.

求證：AE=CE.

26.(10分)如圖1,矩形ABCD中，AD=2,AB=3,點E,尸分別在邊AB,BC±,且8尸=連接OE,EF,

并以O(shè)E,E尸為邊作。。EFG.

(1)連接。尸，求。尸的長度；

(2)求。OE尸G周長的最小值；

(3)當□OE尸G為正方形時(如圖2),連接BG,分別交EF,CD于點P、Q,求BP：QG的值.

參考答案

一、選擇題(每小題3分,共30分)

1、B

【解析】Vxι,Xi是一元二次方程χ2一2x=0的兩根，?'?xι+xι=L故選B.

2、C

【分析】根據(jù)軸對稱，中心對稱的概念逐一判斷即可.

【詳解】解：A、該圖形為軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故A錯誤；

B、該圖形為中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故B錯誤；

C、該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故C正確；

D、該圖形為軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故D錯誤；

故答案為C.

【點睛】

本題考查了軸對稱，中心對稱圖形的識別，掌握軸對稱，中心對稱的概念是解題的關(guān)鍵.

3、A

【分析】A.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，利用等量代換求證NCAD=NADo即可；

B.過點E作EF_LAC,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得OE=EF,再根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可

證；

C.兩三角形中，只有一個公共角的度數(shù)相等，其它兩角不相等，所以不能證明③^ODEs^ADO;

D.根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出NCAD=NBAD,根據(jù)在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等，可得CD=BD,又因

為CD+BD>BC,X?AC=BC可得AC<2CD,從而可判斷D錯誤.

【詳解】解：解：A.?.?AB是半圓直徑，

ΛAO=OD,

ΛZOAD=ZADO,

VAD平分NCAB交弧BC于點D,

ΛZCAD=ZDAO=?NCAB,

ΛZCAD=ZADO,

.,.ACZzOD,

...A正確.

B.如圖，過點E作EFJ_AC,

VOC±AB,AD平分NCAB交弧BC于點D,

ΛOE=EF,

在RtAEFC中，CE>EF,

ΛCE>OE,

.?.B錯誤.

C.;在AODE和AADO中，只有NADo=NEDO,

?：ZCOD=2ZCAD=2ZOAD,

.?.ZDOE≠ZDAO,

.?.不能證明AODE和AADO相似，

.??C錯誤;

D.VAD平分NC48交BC于點。，

.?.ZCAD=ZBAD.

ΛCD=BD

二BC<CD+BD=2CD,

：半徑OCJ于0,

ΛAC=BC,

ΛAC<2CD,

.?.D錯誤.

故選A.

【點睛】

本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定

理等知識點的靈活運用，此題步驟繁瑣，但相對而言，難易程度適中，很適合學生的訓練.

4,C

【詳解】試題解析：①???拋物線與X軸有2個交點，

.,.?=b2-4ac>0,

所以①錯誤；

②；拋物線開口向上，

Λa>O,

Y拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)，

.?.a、b同號，

Λb>O,

?.?拋物線與y軸交點在X軸上方，

Λc>O,

.?abc>O,

所以②正確；

③?.?χ=-1時，y<0,

即a-b+c<O,

T對稱軸為直線χ=-l,

b=2a,

Λa-2a+c<0,即a>c,

所以③正確；

④???拋物線的對稱軸為直線X=-1,

X=-2和x=0時的函數(shù)值相等，即X=-2時，y>0,

Λ4a-2b+c>0,

所以④正確.

所以本題正確的有：②③④，三個，

故選C?

5、A

【分析】利用直接開平方法進行求解即可得答案.

【詳解】（x-l）2=0,

X-I=O,

.*.X1=X2=1,

故選A.

【點睛】

本題考查解一元二次方程，根據(jù)方程的特點選擇恰當?shù)姆椒ㄊ墙忸}的關(guān)鍵.

6、B

【分析】根據(jù)方程有兩個不等的實數(shù)根，故白>0,得不等式解答即可.

【詳解】試題分析：由已知得A>0,即（-3）2-4m>0,

9

解得mV丁.

4

故選B.

【點睛】

此題考查了一元二次方程根的判別式.

7、B

【分析】①觀察圖象可知a<0,b>0,c>0,由此即可判定①；②當X=-I時，y=a-b+c由此可判定②；③由對稱知,

b

當x=2時，函數(shù)值大于0,即y=4a+2b+c>0,由此可判定③；④當x=3時函數(shù)值小于0,即y=9a+3b+c<0,且X=------

2a

b

=L可得a=-5,代入y=9a+3b+c<0即可判定④；⑤當x=l時,y的值最大.此時，y=a+b+c,當x=n時,y=an2+bn+c,

由此即可判定⑤.

【詳解】①由圖象可知：a<0,b>0,c>0,abc<O,故此選項錯誤；

②當X=-I時，y=a-b+c<O,即b>a+c,故此選項錯誤；

③由對稱知，當x=2時，函數(shù)值大于0,即y=4a+2b+c>(),故此選項正確；

④當x=3時函數(shù)值小于0,v=9a+3b+c<0,且X=——=1BPa=--,代入得9(--)+3b+c<0,得2cV3b,故此

2a22

選項正確；

⑤當x=l時，y的值最大.此時，y=a+b+c,而當x=n時，y=an2+bn+c,所以a+b+cAaM+bn+c,?a+b>an2+bn,即

a+b>n(an+b),故此選項正確.

二③④⑤正確.

故選B.

【點睛】

本題主要考查了拋物線的圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，熟知拋物線的圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題

的關(guān)鍵.

8、C

【分析】A.將拋物線一般式化為頂點式即可得出頂點坐標，由此可判斷A選項是否正確；

B.根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式即可得出對稱軸，由此可判斷B選項是否正確；

C.由函數(shù)的開口方向和頂點坐標即可得出當x>1時函數(shù)的增減性，由此可判斷C選項是否正確；

D.根據(jù)二次項系數(shù)a可判斷開口方向，由此可判斷D選項是否正確.

［詳解］jy=x2-2x-l=(Λ-l)2-2,

,該拋物線的頂點坐標是(1,-2),故選項A正確，

對稱軸是直線尤=1,故選項B正確，

當x>l時，丁隨X的增大而增大，故選項C錯誤，

a=l,拋物線的開口向上，故選項D正確，

故選：C.

【點睛】

bb

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì).對于二次函數(shù)y=αχ2+必+cQ≠勿，若。>0,當x≤-丁時，y隨X的增大而減??；當x≥-丁

2a2a

時，y隨X的增大而增大.若a<0,當xS—3時，y隨X的增大而增大；當x≥-3時，y隨X的增大而減小.在本

2Q2a

題中能將二次函數(shù)一般式化為頂點式(或會用頂點坐標公式計算)得出頂點坐標是解決此題的關(guān)鍵.

9、C

【解析】先確定拋物線的對稱軸，然后比較三個點到對稱軸的距離，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷對應(yīng)的函數(shù)值的大小.

【詳解】二次函數(shù)y=-(X+2)2+加圖象的對稱軸為直線X=-2,

又a二l,二次函數(shù)開口向下，

.?.xV?2時，y隨X增大而增大，x>?2時，y隨X增大而減小，

而點A(-3,jι)到直線X=-2的距離最小，點C(3,J3)到直線X=-2的距離最大，

所以gVyzVyi.

故選：C.

【點睛】

此題主要考查二次函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖像與性質(zhì).

10、D

【分析】由m是方程χ2.2006x+l=0的一個根，將x=m代入方程，得到關(guān)于m的等式，變形后代入所求式子中計算，

即可求出值.

【詳解】解：Tm是方程X2-2006X+1=0的一個根，

Λm2-2006m+l=0,即m2+l=2006m,m2=2006m-l,

,2Ce2006.

貝rι!]"-2005/72+—?——+3

m+1

=2006加-1-2005/H+2006+3

2006機

1C

=m-i——+2

m

m2+1C

=---------+2

m

2006mC

=----------+2

m

=2006+2

=2008

故選：D.

【點睛】

此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

二、填空題(每小題3分,共24分)

11、?@?

【分析】由正方形的性質(zhì)可得A5=bC=CD=AD=α,ZABD=ZCBD=ZADB=ZBDC=45o,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

NCBE=NCDG=45°,BE=DG9CE=CG9ZDCG=ZBCEf由SAS可證∏T<EF=FG9NEFC

=Z-GFC9SAECF=SACFG,即可求解.

【詳解】解：???四邊形ABCD是正方形，

：.AB=BC=CD=AD=a,NABD=NCBD=NADB=NBDC=45°,

ZECF=ZABD=45o,

:?NBCE+NFCD=45°,

??,將繞點。旋轉(zhuǎn)一定角度后，得到aDCG,

INCBE=NCDG=45°,BE=DG9CE=CG9ZDCG=ZBCE9

：.ZFCG=ZECF=45o,

；?NFCG=NCDG=45°,故①正確，

VEC=CG,NFCG=NECF,FC=Fa

：.AECF/AGCF(SAS)

:?EF=FG,/EFC=∕GFC,SAECF=S&CFG,

，C/平分NB/G,故③正確，

YNBDG=NBDC+NCDG=9Q°,

.?.DG2+。尸=FG2,

??.KEZ+。尸2=E772,故④正確，

VDF+DG>FG,

:?BE+DF>EF,

?"?SACEF<SAREC^SADFC,

11?

.?.ACEF的面積C-SABCD=一才，故②錯誤；

24

故答案為：①③④

【點睛】

本題是一道關(guān)于旋轉(zhuǎn)的綜合題目，要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形

的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)等知識點.

12、(4,6)或(-4,-6)

【分析】由題意根據(jù)在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點的

坐標的比等于k或-k,即可求得答案.

【詳解】解：?.?點A的坐標分別為（2,3）,以原點O為位似中心，把4AAOB放大為原來的2倍，

則A'的坐標是：（4,6）或（-4,-6）.

故答案為：（4,6）或（-4,-6）.

【點睛】

本題考查位似圖形與坐標的關(guān)系，注意在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k,那么

位似圖形對應(yīng)點的坐標比等于k或-k?

13、y=4.8x-0.48Y

【分析】易證得AADGS^ABC,那么它們的對應(yīng)邊和對應(yīng)高的比相等，可據(jù)此求出AP的表達式，進而可求出PH

即DE、GF的長，已知矩形的長和寬，即可根據(jù)矩形的面積公式得到y(tǒng)、X的函數(shù)關(guān)系式；

【詳解】如圖，作AH為BC邊上的高，AH交DG于點P,

.?.三角形ABC是直角三角形，

二△ABC的高==4.8,

10

；矩形DEFG的邊EF在白ABC的邊BC上，

.?.DG"BC,

Λ?ADG^ΔABC,

VAH±BC,

ΛAP±DG

.APDG

"AH-BC'

.APDG

,,48^?0^,

.AP_.QDG_

*?—zz4.8X=0.48X

4.810

ΛPH=4.8-0.48Λ,

Λy=DG-PH=x(4.8-0.48x)=4.8x-0.48x2

故答案為：y=4.8x-0.48f

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)求出矩形的邊長.

14、4

【解析】試題分析：如圖，能畫4個,分別是:以D為圓心,AB為半徑畫圓;以C為圓心,CA為半徑畫圓.兩圓相交于兩

點（DE上下各一個），分別于D、E連接后,可得到兩個三角形：以D為圓心,AC為半徑畫圓;以E為圓心,AB為半徑畫

圓.兩圓相交于兩點（DE上下各一個），分別于D、E連接后,可得到兩個三角形.因此最多能畫出4個

考點：作圖題.

15、8

【分析】過A作AB_LX軸，根據(jù)正弦的定義和點A的坐標求出AB,OA的長，根據(jù)勾股定理計算即可.

【詳解】如圖，過A作AB_LX軸,

.AB

sina=----,

OA

.3

Vs?na=-,

5

.AB3

??—■一,

OA5

?：A(m,6),

.?.AB=6,

.?.0A=空=10,

根據(jù)勾股定理得：OB=y∣OA2-AB2=√102-62=8>

即m=8,

故答案為8.

【點睛】

本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義、坐標與圖形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，銳角的正弦是其對邊與斜邊的比是解題

的關(guān)鍵?

16、1或——

3

2

【解析】由題意得：4x2-2x-5+2√+1=0,解得：x=l或x=--,

3

2

故答案為：1或--.

3

4

17、-

9

【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次都摸到紅球的情況，然后利用概率公式求

解即可求得答案.注意此題屬于放回實驗.

【詳解】解：畫樹狀圖得：

開始

Y共有9種等可能的結(jié)果，兩次都摸到紅球的只有4種情況，

-4

,兩次都摸到紅球的概率是：一.

9

4

故答案為

【點睛】

此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率的知識.正確的列出樹狀圖是解決問題的關(guān)鍵.

18、xl=2,X2=-4

【分析】將x=2,y=l代入拋物線的解析式可得到c=-8a,然后將c=-8a代入方程，最后利用因式分解法求解即可.

【詳解】解：將x=2,y=l代入y=αχ2+20x+c得：2a+2a+c=l.

解得：c=-8a.

將c=-8a代入方程得：0r2+20r-8α=0

a(x2+2x-8)=0.

?*?a(X—2)(x+2)=1.

??XiX2^?2?

【點睛】

本題主要考查的是拋物線與X軸的交點，求得a與C的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(共66分)

19、(1)①>，=9；②0<y42;(2)小明的說法不正確.

X

【分析】(I)①直接利用三角形面積求法進而得出y與X之間的關(guān)系；

②直接利用X≥3得出y的取值范圍；

(2)直接利用X+y的值結(jié)合根的判別式得出答案.

【詳解】(1)①S=LXIX6=3,

2

?.?χ為底，y為高，

?xy=3,

,6

??y=一；

X

②當χ=3時，y=2,

二當xN3時，)'的取值范圍為：OVy42；

(2)小明的說法不正確，

理由：根據(jù)小明的說法得：%+-=4,

X

整理得：X2—4x+6=0,

?.?Q=1,h=-4>c=6,

二∕=4αc=(T)2-4x1x6=-8<0,

方程無解，

.?.一個三角形的一邊與這邊上的高之和不可能是4,

.?.小明的說法不正確.

【點睛】

本題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程的解法，正確得出y與X之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

20、(l)y=-x2-2x+3,點。坐標為(—1,4)；(2)點M的坐標為(T,2)；⑶①W=2FG；②當，”為-2時，四邊

形AEZ)C的面積最大，最大值為4.

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式，然后化為頂點式求出點D的坐標即可；

(2)利用軸對稱-最短路徑方法確定點M,然后用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，進而可求出點M的坐標；

(3)①先求出直線AD的解析式，表示出點F、G、P的坐標，進而表示出FG和FP的長度，然后即可判斷出線段FP

與FG的數(shù)量關(guān)系;

②根據(jù)割補法分別求出和的面積，然后根據(jù)四邊形列出二次函數(shù)解析式，利用二次

aAEDAACDSWC=SΔZ4Q+SΔ4DC

函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

,∕9α+6+c=0

【詳解】解：⑴由拋物線y=a√-2x+c與X軸交于4—3,0),8(1,0)兩點得，

a-2+c=0

解得《

故拋物線解析式為y=-V-2x+3,

由y=-f-2x+3=-(x+l)2+4得點￡)坐標為(-1,4)；

⑵在直線I上存在一點M，到點B的距離與到點C的距離之和最小.

根據(jù)拋物線對稱性MA=MB,

：.MB+MC^MA+MC,

：.使MB+Λ∕C的值最小的點M應(yīng)為直線AC與對稱軸/:X=-1的交點,

當X=O時，y=3,

??.C(0,3),

設(shè)直線AC解析式為直線y=kx+h9

把A(-3,0)、C(0,3)分別代入y=丘+6得

—3k+0=0

,解之得：〈

二直線AC解析式為y=χ+3,

把X=T代入y=x+3得，y=2,

.?M(-l,2)f

即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為(-1,2)；

⑶①PF=2EG,

理由為：

設(shè)直線AD解析式為y=Kx+力，

把A(—3,0)、0(—1,4)分別代入直線y=Kx+。'得

-3k'+b'=0k'=2

-4'解之得：

b'=β'

?直線AD解析式為y=2x+6,

則點F的坐標為(m,2m+6),

同理G的坐標為(加,"7+3),

則FG=(2m+6)-(w+3)≈m+3,FP=2m+6=2(m+3),

?FP=ZFG；

②?.?A(-3,0),D(-1,4),M(-1,2),

ΛAO=3,DM=2,

.*.SΔACD=SΔADM+SΔCDM=—DM-AO=-×2×3>=^i.

22

設(shè)點的坐標為2

E(m,-fn-2m+3),

EF=(-W2—2m+3)-(2，〃+6)=-m2-4m-3=-(m+2)2+1,

?*?SAAED=^ΛAEF+?'?ffθ

=∣×EF[(m-(-3)]+?×EF(-1-?w)

11?

=—×EF(m+3-1-/71)=—×EF×2=EF=-(m+2')2+1,

.?.當m為一2時，SMED的最大值為L

四邊形22

?,?SAfDC=SMH?+SAADe=-(∕w+2)+l+3=-(m+2)+4,

二當機為-2時，四邊形AEr)C的面積最大，最大值為4.

【點睛】

本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一般式與頂點式的互化，軸對稱最短的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，三角形的面

積公式，割補法求圖形的面積，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

21、(1)①60；②四邊形AB，DC是平行四邊形，證明見解析.(2)證明見解析；(3)ADlCC

【分析】(1)①根據(jù)矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定方法解題；

=嗎，NABB

ZACD

DOOC

②根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形解題;

(2)過點C'作BC的垂線，交BD于點E,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，進而證明ACDBgACQE,

即可解題；

(3)先證明_AOB'.DOC’,再由相似三角形的性質(zhì)解題，進而證明.AoD_8。C即可證明4。，CC：

【詳解】解：(1)①60；②四邊形AB，DC是平行四邊形.

證明：VZABC=90o,NACB=30。，

ΛZCAB=90o-30o=60o.

VRtΔAB，。是由Rt?ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到的，

.?.NC'AB'=NCAB=60°,AB=A3，AC=AC.

.?.-ACC'與.ABB’都是等邊三角形?

ΛZACC,=ZAB,B=60o.

?：ZCAB,=ZCAB+ZC,AB,=120o,

：.ZACC,+ZCAB,=180o,NCAB'+NABB'=180°.

ΛAB7∕CD,AC//BD.

二四邊形AB-DC是平行四邊形.

(2)證明：過點C'作BC’的垂線，交BO于點E,

：.NB'C'E=90°.

,.,RtΔABc是由Rt?ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到的，

.?.NCAC'=NBAB'=NB'C'E=90°,AB=AB>BC=BC.

ΛZAβB=ZABB=45o,BC〃AB'〃C'E

VZAB'C=NABC=90。，

ΛZBBC'=ZCBE=450.

ΛZBEC=90o-45o=45o=ZBβC.

ABC=CE=BC.

在ACBD和AC'ED中,

ZCDB=ZCDE

<ZCBD=ZCED

CB=CE

Λ?CDB^?CDE.

ΛCD=CD.

(3)ADjLCe',理由如下：

設(shè)AC與DB'交于點O,連接AD,

AC=AC,AB=AB,ZCAC=ZBAB,

:.ZABB=ZABB=ZACC=ZACC,

.?ΔAOB_DOC

AODO

???______，一______，

OBOC

/AOD=ZBOC

.-.ΛAOD一RoC

ZDAO=ZOBC

.?.ZADC,=180o-ZDAO-ZAC,C=180o-ZOB,C,-ZAB,B,

ZADC=90°,

..ADLCC

【點睛】

本題考查幾何綜合，其中涉及三角形的旋轉(zhuǎn)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、平行四邊形的判定、全等三

角形的判定等知識，綜合性較強，是常見考點，掌握相關(guān)知識、學會作適當輔助線是解題關(guān)鍵.

3

22、(1)k>-；(2)1

2

【分析】(1)根據(jù)判別式與根的個數(shù)之間的關(guān)系，列不等式計算即可；

2

(2)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)間的關(guān)系表示出xl+x2,X1X2,再由X1+√=(X1+々)2-2玉X?代入進行計算即可.

【詳解】解：(1)由題意，得A=[-(k+l)]2-1(Lk2+1)=2k-3>0,

4

3

解得女≥二，

2

3

Jk的取值范圍為k≥7.

2

(2)?.?由根與系數(shù)的關(guān)系，得Xl+X2=k+1,Xl?X2=Lk2+l,

4

VXI2+X22=6XIX2-15,

：?(X1+X2)2-8X1X2+15=0,

.?k2-2k-8=0,解得：kι=l,kι=-2,

又?.?k≥3,

2

：?k=l.

【點睛】

本題考查了一元二次方程根的個數(shù)與判別式之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系，熟知以上運算是解題的關(guān)鍵.

8

23、(1)-2SXVO或x≥4;(2)y=-----,y=-x+2；(3)6

X

【分析】(1)根據(jù)圖像即可得到答案；

(2)將點A(4,-2),B(-2,m)的坐標分別代入解析式即可得到答案；

(3)過點B作BDJ_AC,根據(jù)點A、B的坐標求得AC、BD的長度，即可求得圖形面積.

k

【詳解】解：(1)由圖象可知：不等式-x+nW—的解集為-2≤x<0或x≥4;

k

(2)V一次函數(shù)y=-x+n的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象交于A(4,-2),B(-2,m)兩點.

X

.?k=4×(-2)=-2m,-2=-4+n

解得m=4,k=-8,n=2,

Q

二反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式分別為y=--，y=-x+2；

X

(3)由(2)知B(-2,4),

過點B作BD±ACJ交AC的延長線于D,

VA(4,-2),B(-2,4),

ΛAC=2,BD=2+4=6,

此題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系，在求圖像中三角形面積時用

點的坐標表示線段的長度.

24、(1)攵=-4；(2)(O,?)

2

【分析】(D設(shè)B(a,b),由反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征用函數(shù)a的代數(shù)式表示出來b,進而可得S矩形OCBE=ab

3

=6,再根據(jù)S矩形OCBE=5S矩形ODAE可得S矩形OOAE=4,再設(shè)A(m,n),可得fnn=k,再根據(jù)m?(-")=4即可求得

k的值；

(2)先根據(jù)AD=2求得點A、B的坐標，再利用軸對稱找到符合題意的點P,求出直線A3'的函數(shù)關(guān)系式，進而可

求出點P的坐標.

【詳解】解：(D設(shè)〃(a,b),

TB在反比例函數(shù)%=9(χ>0)的圖象上，

X

6

??b=-9

a

:?〃力=6,

即S矩形0CBE6,

矩形矩形

/S=-SOZME?

3

S=6

-矩

2形E

?*?S矩形0D4E=4

設(shè)ACm9〃)，

?.?A在反比例函數(shù)y=A(x>0)的圖象上，

X

,k

π=—9

m

：?mn=k,

S矩形OQAE-4,

Λm?(-π)=4,

：?-mn-4,

.*.inn=—4,

即左=T;

(2)?.?AD=2,

.?.當a=2時，b=—=3,

2

ΛB(2,3),

當m=2時，n------2

m2

ΛA(2,-2),

作點B關(guān)于y軸的對稱點8'(-2,3),連接AB',交y軸于點P,連接PB,

則PB=PB',

二PA+PB=PA+PB'=AB，

V兩點之間，線段最短，

二此時的PA+PB即可取得最小值，

設(shè)AB'為y=kιx+bι,

將B'(23),A(2,-2)代入得

3=-2?∣+b[

-2=2k∣+b[

解得

令χ=o,則y=；

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、兩點之間線段最短以及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握反比

例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

25、證明見解析.

【分析】由圓周角定理可得NADE=NCBE,從而利用AAS可證明aADEg2?CBE,繼而可得出結(jié)論.

【詳解】證明:Y同弧所對的圓周角相等，

.?.ZA=NC,No=NB

在,AZ)E和ACBE中,

ZA=ZG

<AD=CB,

ZD=ZB,

：.^ADE^CBE

:.AE=CE

【點睛】

本題考查了圓周角定理及全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是由圓周角定理得出NADE=NCBE.

63

26、(1)√iθ；(2)6√2;(3)一或二.

75

【分析】(1)平行四邊形OE尸G對角線。尸的長就是RtAOCT的斜邊的長，由勾股定理求解；

(2)平行四邊形。EFG周長的最小值就是求鄰邊2(DE+EF)最小值，OE+EP的最小值就是以A3為對稱軸，作點

尸的對稱點M,連接。M交AB于點N,點E與N點重合時即。E+EF=。M