高等數(shù)學(xué)公式必背大全

高等數(shù)學(xué)必背公式

說明：這里有你想要的東西，高等數(shù)學(xué)必備公式一應(yīng)俱全。

導(dǎo)數(shù)公式：

(tgx)r=sec2x(arcsinx)"=/

71-%2

(c/gx)'=-csc2x

(secx)r=secx-rgx(arcCOSY)'=——/

(cscx)'=-csex?c/gx

xx{arctgxS=-~r

(ay=a\na\+x

(log"x)'=1-{arcctgx)'=--^-r

xlna1+x

基本積分表：

^tgxdx=-ln|cosx|+Cdx=Jsec2xdx=tgx+C

2

COSX

jctgxdx=]n\sinx|+C

dx=jcsc2xdx=-ctgx+C

jsecxdx=ln|secx+tgj^+Csin2x

Jsecx?fg點(diǎn)=secx+C

jcscxdx=ln|cscx-etg^+C

jcsex?ctgxdx=-cscx+C

rdx1X

=—arctg—+C

JQ_2+JT2aa

rdx1,x-a

=—In+C

x2-a22ax+a^slzxdx=chx-^C

rdx

Ja2-x2=—In-------+C\chxdx=s/tr+C

2aa-x

；22

=arcsin—+CJj:x=ln(x+ylx±a)+C

a

汽K

22

jsin"xdr=jcos〃xdx=

ln-2

oon

Jdx1+ci。dx=-Jx2+十+—ln(x+ylx2+a2)+C

+c

______________2

[yla2-x2dx=—y1a2-x2+—arcsin—4-C

J22a

三角函數(shù)的有理式積分：

.2u1—u~x2du

sinx=------7,cosx=------r"為dx=

l+〃2l+〃25,1+w2

一些初等函數(shù):兩個重要極限:

sinx

雙曲正弦:~—lim=1

2A->0x

X.-X與=

雙曲余弦:Mx=￡lim(l+e=2.718281828459045...

218%

雙曲正切:卅0=四=0'一''

chxex+er

arshx=ln(x+Vx2+1)

arclvc=±]n(x+ylx2-1)

1+x

arthx=—\n

2l-x

三角函數(shù)公式:

"誘導(dǎo)公式：

sincostgctg

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

'和差角公式:?和差化積公式:

a+￡a-B

sin(a±￡)=sinacos4±cosasin0sina+sin0=2sin-----cos-

2-------2

cos(tz±/7)=cos6zcos^+sinasin夕

sina-sin"2cos萼sin學(xué)

tg(a±/3)=吟上tgP

l*gatg(3

Aca+/?a—0

cosa+cos)=2cos—^-cos—

ctga-ctg/3+l

c/g(a±')=

ctgp±ctgao、.a+B.a-B

cos6z-cosp=2sin-----sin-----

22

?倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2?=2cos2<z-l=l-2sin2?=cos2cr-sin2<zsin3a=3sina-4sin'a

八ctg2a-\cos3a=4cos3a—3cosa

ctgla=----------

2ctga3tga-tg3a

火3a

2tga1一3次2a

tg2a

1—g2a

?半角公式:

abc-八

■正弦定理：----=-----=-----=2R?余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC

sinAsinBsinC

JI71

■反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx=----arcco&varctgx=--arcctgx

2

高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式:

（―嚴(yán)網(wǎng)

￡=0

(n)()+〃(〃-1)…(〃-八1)/.網(wǎng)

=uv+nu"-'v'+如《11"2"+-\----FHV(，，)

2!k\

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:

拉格朗日中值定理：/（。）一/（。）=/'?）3-。）

柯西中值定理:

FS)-F(a)尸C)

當(dāng)FQ）=x時，柯西中值定理就越立格朗日中值定理。

曲率:

2

弧微分公式：ds=yJ\Tydx,其中y'=fga

平均曲率去=|等卜c:從M點(diǎn)到M'點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；As：MM弧長。

M點(diǎn)的曲率：=lim—=—=.^1.

a。AsdsJ(l+y，2)3

直線：K=O;

半徑為a的圓：K=L

a

定積分的近似計(jì)算:

bi

矩形法:J/（九）^一^（%+弘+…+先.|）

DI1

梯形法：J/(x)“一/片⑶。+y〃)+x+…+y〃_J

拋物線法：j/(x)b—a

“工收+"）+"+”+…+?。?4M％+—]

定積分應(yīng)用相關(guān)公式:

功：W=F-s

水壓力：F=p.A

引力：尸=左嗎2,%為引力系數(shù)

廠

_1方

函數(shù)的平均值=——Jf(x}dx

均方叫六

空間解析幾何和向量代數(shù):

空間2點(diǎn)的距離：(1=\MXM^J(%2—西產(chǎn)+⑵一必產(chǎn)+仁一馬了

向量在軸上的投影Pr/"Q=|洞?cose，濯通與〃軸的夾角。

Prju(4+之?)=Pr而]+Prja2

a-b=\a\-1^|cos^=axbx+ayby+生/，是一個數(shù)量

兩向量之間的夾角cos。=。也+3,+3

[a：+a；+a；yb,2+b：+b；

ijk

c=axb=axay生,同=同卡卜山。.例：線速度：v=vvxr.

bxbybz

%ay%

向量的混合積區(qū)網(wǎng)=(axB)I=2hy/=上可向cosa,a為銳角時,

%JC2

代表平行六面體的體積

平面的方程：

1、點(diǎn)法式:A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0,其中而=式㈤。｝,%//，小/。)

2^一般方程：Ax+By+Cz+￡)=0

3、截距世方程1+，+三=1

abc

平面外任意一點(diǎn)到該平前的距離：d[A>+3yo+Czo+D|

^IA2+B2+C2

x=mt

空間直線的方程口?=?二比=二包=r，其中6=｛見〃,〃｝;參數(shù)方程1y=為+9

mnp

[z=z0+m

二次曲面：

222

1、橢球面3+與+-=1

ab“c

22

2、拋物面二+二=z,(p，4同號)

2P2q

3、雙曲面：

222

單葉雙曲面為+2-二=1

a2b2c2

222

雙葉雙曲面??-方+亍=1(馬鞍面)

多元函數(shù)微分法及應(yīng)用

人八j0z」dz,,du,du,du,

全微分：dz--dx-\----dydu--dx-\-----dy-\-----dz

dxdydxdydz

全微分的近似計(jì)算：Az=dz=fx{x,y)Av+fy(x,y)Ay

多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法

dz_dzdudzdv

z=/[w(/),v(r)]

dtdudtdvdt

dz_dzdudzdv

z=/[〃(%,y)#(%,y)]

dxdudxdvdx

當(dāng)〃=w(x,y),v=v(x,y)時,

,dudu..5v.dv,

du=——dtx+——dydv=——dx+——dy

dxdydxdy

隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：

隱函數(shù)尸(x,y)=0,包=一里

dxFY

隱函數(shù)尸(x,y,z)=0,叁dz=一F,

dxF

加

aF一

標(biāo)

F(x,y,u,v)=0j/(F,G)av氏F、,

隱函數(shù)方程組絲

G(x,y,u,v)=0d(u,v)aG一G.G

lauav

a

-ia(￡G)v-1d(F,G)

/d(x,v)-Jd(u,x)

aax

v

-1d(F,G)--1d(F,G)

J-A

a,(aya,(7

微分法在幾何上的應(yīng)用:

x=甲")

空間曲線y=”(t)在點(diǎn)M5,y°,zo)處的切線方程三二%=芍也=曰_

'。仇)“伉)〃&)

Z—(0(1)

在點(diǎn)M處的法平面方程：e'(fo)(x-Xo)+”'Qo)(y-y())+G'(7o)(z-z0)=0

若空間曲線方程為'>'Z)U，則切向量亍={2工工

G(羽y,z)=0G、,G「G二G"G

曲面廠(尤,y,z)=0上—點(diǎn)M(x0,y0,z0),則：

1、過此點(diǎn)的法向量：/2={Fv(x0,y0,z0),Fv(x0,y0,z0),Fr(x(),y0,z()))

2、過此點(diǎn)的切平面方程工(與廣0,20)。一%)+4(%,%,20)(>->0)+工(>0,y0,20)(2-20)=0

3、過此點(diǎn)的法線方程：—=——=—X—

工(尤0，%，2。)工(Xo，yo，Zo)工(Xo，yo，Zo)

方向?qū)?shù)與梯度:

函數(shù)z=/(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)沿任一方向/的方向?qū)?shù)為2=%cosp+更sin夕

cldxdy

其中泌U軸到方向/的轉(zhuǎn)角。

函數(shù)z=/(x,y)在一點(diǎn)〃(x,y)的梯度：gracj〃x,y)=或：+

dxoy

它與方向?qū)?shù)的關(guān)系=(無,y)Z,其中0=cose"+sin0?J,為/方向上的

dl

單位向量。

g是gracj/Xx,y)在/上的投影。

dl

多元函數(shù)的極值及其求法：

設(shè)A(Xo,%)=/'.(/，%)=°，令：九*0，兒)=A，力>(%,%)=8,fyy(xo,yo)=c

A<0,(%,凡)為極大值

AC-B2>0時,<

A>0,(%,%)為極小值

則XAC-B2<0時,無極S

AC—B2=0時，不確定

重積分及其應(yīng)用：

JJ/(x,y)公辦=JJf(rcos0,rsm0)rdrd0

DD'

dz

曲面z=f(x,y)的面積A=JJ++dxdy

Ddx

JJxp(x,y)daJJymx,y)db

平面薄片的重心：元=一Dy_y_D_______________

MJJp(x,y)daMJJo(x,y)db

DD

平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于x軸/〈=JJy”(x,y)db,對于y軸/、,=JJ/pSyMcr

DD

平面薄片(位于my平面)對z軸上質(zhì)點(diǎn)M(0,0,a),(a〉0)的引力：F={Fx,Fy,F:},其中:

F_川「(%W，F(xiàn)_川p(x,y)ydb,尸二八/7(x,)-)x"b

22D22D22

D(x2+y+ay(x+y+a2)2(x+y+iz2)2

柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo):

x=rcos^

柱面坐標(biāo)，y=rsin。,jjjf(x,y,z)dxdydz=JjjF(r,e,z)rdfdOdz,

z=znQ

其中：F(r,8,z)=/(rcos^,rsin^,z)

x=rsin/cos。

球面坐標(biāo)，y=rsin^sin^,dv=rd(p?rsM①?dB,dr=戶sm(pdrd(pdO

z=rcos(p

Innr((p,0)

JJJf(x,y,z)dxdydz=jjjF(r,(p,0)r2s\sx(pdrd(pdO=^dO^d(pF(r,(p,0)r2sin(pdr

Qcooo

重心：*=50卜刖’歹=2=其中V

lV1QlV1Q.LViQ.M=H=JQ"*

22

轉(zhuǎn)動慣量：4=/，(/+Z?)刖，/y=jjju+z)/Wv,A=JJJ，+y2)M

ccc

曲線積分:

第一類曲線積分(對帳的曲線積分)：

設(shè)/Xx,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為(a?/4￡)，貝U：

)=*)

Jf(x,y)ds=Jfl(p⑴，w(t)]](pC⑴+“'2⑺出(a<(3)特殊情況

Lay=WQ)

第二類曲線積分(對坐示的曲線積分)：

設(shè)L的參數(shù)方程為[尤=則：

P

JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=j{P[(p(t),y/(t)](pXt)+}dt

Lct

兩類曲線積分之間的：jPdx+Qdy=J(Pcosa+Qcos￡)ds,其中a和0分別為

LL

L上積分起止點(diǎn)處切向勖方向角。

,(空多溫〉=嚴(yán)+迎滯林公刊等爵物產(chǎn)出。力

格林公式

當(dāng)「=—y,Q=x,即:義_?=2時，得至必＞的面積：A^\\dxdy^-^xdy-ydx

“xD2工

?平面上曲線積分與路彳疣關(guān)的條件：

1、G是一個單連通區(qū)域；

2、P(x,y),Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且絲=名。注意奇點(diǎn)，如0,0),應(yīng)

oxcy

減去對此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！

?二元函數(shù)的全微分求積

在吆=2時，Pdx+Qdy才是二元函翻(x,y)的全微分，其中：

oxdy

(x,y)

“(x,y)=jP(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常設(shè)“=%=°。

(聞，)'0)

曲面積分：

對面積的曲面積分jj/(x,y,z)ds=JJf[x,y,z(x,y)]，l+z；(x,y)+z；(x,y)d>ccfy

工o.,y

對坐標(biāo)的曲面積分JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

jjR(x,y,z)dxdy=±jj/?[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上側(cè)時取正號；

ZDx).

jjP(x,y,z)dydz=±jJP[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前側(cè)時取正號；

2外

jjQ{x,y,z)dzdx-±J|Q[x,y(z,x),z\dzdx,取曲面的右側(cè)時取正號。

￡

兩類曲面積分之間的7^：jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj(Pcosa+Qcos/3+Rcosy)ds

z工

高斯公式:

jjj(-^++-^)Jv=耳Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=@(尸cosa+Qcos/?+Rcosy)ds

高斯公式的物理意義——通量與散度：

散度：div,=^+詈+普，即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量'若div丘＜0,則為消失…

通量:。A-iids=JjAnds=jj(尸cosc+Qcos尸+Rcos/)ds,

zzz

因此，高斯公式又可寫成切div,dy=0A/

斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關(guān)系：

「f/JHdQ.,」,dPbR、」,.dQ

dxdy=1Pdx+Qdy+Rdz

dy也dzdxdxr

dydzdzdxdxdycostzcos/3COS/

a

上式左端又可寫成gddd叩dd

dx辦dzEdxSydz

PQRPQR

空間曲線積分與路徑賽的條件并等等哈魯啜

jk

A0

旋度：rotA=一&

dxa-vR

PQ

向量場區(qū)沿有向閉曲線T的環(huán)流量，Pdx+Qdy+Rdz=JA-tds

rr

常數(shù)項(xiàng)級數(shù)：

等比數(shù)歹!J」+q+q2+…+0i——

i-q

等差數(shù)列4+2+3+…+〃=如業(yè)

2

調(diào)和級數(shù)：1+,+!+…+!是發(fā)散的

23n

級數(shù)審斂法:

1、正項(xiàng)級數(shù)的審斂法—根植審斂法（柯西判別法）：

「＜1時，級數(shù)收斂

設(shè)：x?=lim則,「〉1時，級數(shù)發(fā)散

夕=1時,不確定

2、比值審斂法：

‘夕＜1時，級數(shù)收斂

設(shè)：P=則p＞l時，級數(shù)發(fā)散

“一＞00TJ

0=1時，不確定

3、定義法：

%=%+〃2+…+s“存在,則收斂；否則縉

8

交錯級數(shù)-〃2+〃3-N4+…（或-%+“2-“3+…，〃"＞。）的審斂法----萊布尼茲定理:

如果交錯級數(shù)滿同U盎?＞“U1,,,,0,那么級數(shù)收斂且其和4小,其余項(xiàng)項(xiàng)絕對瞰

、〃TOOn

絕對收斂與條件收斂：

（1）H,+tt2+???+??+???,其中〃“為任意實(shí)數(shù)；

（2）|?i|+k|+kI+…+1"」+…

如果⑵收斂，則⑴肯定收斂，且稱為絕對I攵斂級數(shù);

如果⑵發(fā)散，而⑴收斂，則稱⑴為條件收斂級數(shù)。

調(diào)和級數(shù)發(fā)散，而攵斂

級數(shù)25收斂；

P級數(shù)研P41時發(fā)散

〃＞1時收斂

塞級數(shù):

2④/|X|<1時，收斂于1

時，發(fā)散

對于級數(shù)(3)%+…+?！熬?+…，如果它不是僅在原點(diǎn)I攵斂，也不是在全

/k|<R時收斂

數(shù)軸上都收斂，則必存生R,使時發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。

=R時不定

/夕彳0時，R^-

求收斂半徑的方法：設(shè)im瞑=夕，其中%,是⑶的系數(shù)，貝j0=0時，R=+8

n\P~+8時，R=0

函數(shù)展開成塞級數(shù)：

函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：/5)=/(x°)(x-Xo)+A^(…。)2+…(…0)"+…

2!〃！

余項(xiàng)：凡=(22也(XT。嚴(yán)J(X)可以展開成泰勒級數(shù)娥要條件是：limR,,=0

(n+1)!"十

/=(?寸即為麥克勞林公式：/(x)=/(0)+/(0)%+/3/+…+O22/+…

2!nl

一些函數(shù)展開成幕級數(shù)：

(l+x)=l+/nx+-------+???+------------------------------龍+???(-1<X<1)

2!〃！

r3r5

sinx=x-----+---------+(-1)〃T--------------+???(-co<x<4-oo)

3!5!(2〃—1)!

歐拉公式:

Lx,-ix

e+e

cosx=

e“=cosx+zsinx或2

sinx=

2

三角級數(shù):

8oo

=包

/(f)=4+Z4sin(〃(yr+(p“)+Z(?！╟os+bnsinnx)

n=l2〃=i

其中，4=an=Ansin(pn,bn=Ancos9“，cot=x。

正交性：l,sinx,cosx,sin2尤,cos2x…sin〃x,cos/x…任意兩個不同項(xiàng)的乘積￡[-4,乃]

上的積分=0。

傅立葉級數(shù):

f(x)=多+￡3〃cosnx+bnsinnx\周期=2%

2〃=i

]元

an=—jf{x}c^snxdx(〃=0,1,2…)

其中—T[

|元

bn=—\/(x)simzxdx(〃=1,2,3…)

-7C

,11￡萬2

1+—r+-^-+---=+..?=土(相加)

3252T6

萬2

111兀2

—(fflM)

了+不+圖+...-2412

2冗

正弦級數(shù)：*=0,bn=—Jf(x)sinnxdxn=1,2,3,1,/(x)=WXsin是奇函數(shù)

71o

2R

/（X）=*+Z。"COSMX是偶函數(shù)

余弦級數(shù)：2=0,an=—Jf(x)c^nxdx〃=0,1,2…

冗o

周期為2/的周期函