2024講與練高中數(shù)學(xué)1(必修第一冊·A版)22

課時(shí)作業(yè)13對應(yīng)學(xué)生用書第233頁

電基礎(chǔ)鞏固

一、單項(xiàng)選擇題

1.某工廠第一年產(chǎn)量為4第二年的增長率為a,第三年的增長率為b,這兩年的平均增長

率為工，則（B）

a-\-ba~\-b

A.x~~2B.xW2

a+ba+b

C.x>^'2

解析：由題意A(1+〃)(1+/?)=A(1+X)2,???(l+〃)(l+b)=(l+%)2.

(11+Z?V

又,.,(l+a)(l+/?)q------2--------J，

2+q+Z?a+b

1+xW1

-2-=2

.^a+b

??x2,

2.將一根鐵絲切割成三段做一個(gè)面積為2m2,形狀為直角三角形的框架，在下列四種長度

的鐵絲中，選用最合理（夠用且浪費(fèi)最少）的是（C）

A.6.5mB.6.8m

C.7mD.7.2m

解析：設(shè)兩直角邊分別為a,b直角三角形的框架的周長為C,^ab=2,：.ab=4,此時(shí)三

角形框架的周長為a+b+^/a2+i>2=a+b+yj（a+b）-—8,a+b^2-\[ab=4,

：.C=a+b+\la2+b2^4+2y[2~6.83.故用7m的鐵絲最合適.

3.設(shè)計(jì)用32m2的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，按交通部門的規(guī)定車廂寬度為2m,

則車廂的最大容積是（B）

A.（38-3V73）m3B.16m3

C.4^2m3D.14m3

解析：設(shè)長方體車廂的長為xm,高為/zm,則2x+2X2/z+2x/z=32,即X+2/z+x/z=16,

16=x-\~2h+xh2\]2xh+xh,即叵16W0,解得Ov、/百

???Ovx/zW8.，車廂的容積為V=2x/zW16（m3）.當(dāng)且僅當(dāng)％=2/z且x+2/z+x/z=16,即x=4,

/i=2時(shí)等號成立.二?車廂容積的最大值為16m3.故選B.

41

4.設(shè)0<x<l,貝歸+7^的最小值為（B）

Ix

A.10B.9

C.8D.y

解析：VO<r<l,...l—xX）,7+7^—=[X+（1-X）]*[T+T^-|=4+^—^+T^+1^5+

?X1-x9J■人/Xi-X

2、怦舌1^=5+2X2=9.當(dāng)且僅當(dāng)幺寧=六，即x=|時(shí)，等號成立.??1+士

的最小值為9.

5.已知實(shí)數(shù)羽y滿足4/+y2—孫=1,且不等式2x+y+c>0恒成立，則c的取值范圍是（B）

A.c>2^3B.

C.c>3y/2D.c<2\f2

解析：?.,4x2+y2—孫=1,.,.（2x+y）2=l+5xyWl+w（2x+y）2,當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí)"="成立，

（2x+y）2^^,又\?不等式2x+y+c>0恒成立，c-^^>0,

c金小，c的取值范圍是邛百故選B.

二、多項(xiàng)選擇題

6.已知某出租車司機(jī)為升級服務(wù)水平，購入了一輛豪華轎車投入運(yùn)營，據(jù)之前的市場分析

得出每輛車的營運(yùn)總收入y（萬元）與運(yùn)營年數(shù)x的關(guān)系為y=一—+12%—25,則下列判斷正

確的是（BC）

A.車輛運(yùn)營年數(shù)越多，收入越高

B.車輛在第6年時(shí)，總收入最高

C.車輛在前5年的平均收入最高

D.車輛每年都有收入

解析：由題意可知，y=—xz+12x—25,是開口向下的二次函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對稱軸％=6,

故B正確；^=—x+12—^-=—（x+^j+12^—2^25+12=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)，等號成

立，故C正確；當(dāng)％=1時(shí)，>=一14,故D錯(cuò)誤.

7.已知x>0,y>0,且2x+y=l,若、?Wx+2y對任意的x>0,y>0恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的

可能取值為（ACD）

c17

B-16

C.3D.2

五力工「..八.nvcy)1_mx~\-2y1,2m12

角牛析：.=_+-,即-----

x>0,7^>0,..----------------7----------------------

m—1m—1孫yxm—\min丁工

（2x+y）=5+§+§25+21/號?三=9,當(dāng)且僅當(dāng)與=§,即x=y=《時(shí)，等號成立，即一匕

yY>4y。Hti

m9—87/2Q

W9,——--9^0<^>——]W0,解得機(jī)》[或機(jī)<1,選項(xiàng)中滿足條件的有ACD.故選ACD.

m-1m—1o

三、填空題

8.為凈化水質(zhì)，向一個(gè)游泳池內(nèi)加入某種化學(xué)藥品，加藥后池水中該藥品的濃度C（單位：

20t

mg?L-i）隨時(shí)間r（單位：h）的變化關(guān)系為C=解，則經(jīng)過2h后池水中該藥品的濃度達(dá)到最

大.

像用^_JP￡__20_

斛析：C-產(chǎn)+-《

t+7

41~4

因?yàn)?>0,所以t+產(chǎn)2\丐=4

（當(dāng)且僅當(dāng)/=*即/=2時(shí)等號成立）.

20204

所以。=—^W1=5,當(dāng)且僅當(dāng)/=?,即/=2時(shí)，C取得最大值.

t+l

9.若x>0,y>0,且4x+y=xy,則x+y—m20恒成立的實(shí)數(shù)機(jī)的最大值是9.

41

解析：由4x+y=xy,可得一+-=1,又x>0,y>0,

yx

則x+y=（x+y）年+0=5+年+5）三5+2\^^|=9（當(dāng)且僅當(dāng)y=2x=6時(shí)等號成立），即x

+y的最小值為9,則由x+y—恒成立，可得根W9,則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值是9.

10.已知。>0方>0,〃+2。=1,請寫出使得鏟恒成立的一個(gè)充分不必要條件：m<7（卷

案不唯一）.（用含m的式子作答）

解析：由題意可知〃>0,/?>0,

故？+）=弓+￡）（。+2。）=4+—+T^4+2A/-*L=8，

ab\abj\）ab\Jab

當(dāng)且僅當(dāng)〃=2Z?=m時(shí)取等號，

故恒成立的一個(gè)充分不必要條件為根<7.

四、解答題

11.某市在建造運(yùn)動會主體育場時(shí)需建造隔熱層，并要求隔熱層的使用年限為15年.已知

每厘米厚的隔熱層建造成本是4萬元，設(shè)每年的能源消耗費(fèi)用為6萬元，隔熱層的厚度為x

厘米，兩者滿足關(guān)系式：力=三號（0/無W10,左為常數(shù)）.若隔熱層的厚度為5厘米，則每

年的能源消耗費(fèi)用為2萬元，15年的總維修費(fèi)用為20萬元，記”為15年的總費(fèi)用.(總費(fèi)

用=隔熱層的建筑成本費(fèi)用+使用15年的能源消耗費(fèi)用+15年的總維修費(fèi)用)

⑴求常數(shù)k；

(2)請問當(dāng)隔熱層的厚度為多少厘米時(shí)，15年的總費(fèi)用以最小，并求出最小值.

解：(1)依題意，當(dāng)x=5時(shí)，yi—2,

2=]()；5,^~30.

(2)由(1)知竺=X15+20=4x+f婆+20(0WxW10),

”=2(2x+5)1022、,2(2x+10=70,

乙入ID\/乙XiIJ

450

當(dāng)且僅當(dāng)2(2x+5)="不p即x=5時(shí)，>2取最小值，最小值為70萬元.

12.(1)設(shè)b,c￡R,且〃+Z?+c=0,〃/?c=l.證明：ab-]-bc-\-ca<0.

(2)已知4,b,。為正數(shù)，且滿足岫?=1.證明：^+^+^tz2+/?2+c2.

22

證明：(1)因?yàn)?。+。+。)2=〃2+。2+，+2出?+2秘+240=0,所以ab+bc+ac=—2(^+^+

〃)，

因?yàn)閍bc=\,所以〃，。，c都不為0,貝|J?2+/?2+(?>0,所以〃b+bc+〃c=—3(/+/+。2)<。

(2)因?yàn)椤?，b,c為正數(shù),a2+b2^2ab,a2+c2^2ac,b2+cz^2bc,

所以tz2+/72+6z2+c2+/?2+c2^2tzZ?+2d;c+2Z?c,所以tz2+Z?2+c2^4z/?+(7c+/7c,

因?yàn)閍bc=1,所以

ab+ac+bc^]_}]_當(dāng)且僅當(dāng)°=b=c時(shí)取等號，即?1+；+!&2+/+°2.

abcabcabc

13.已知〃>0,b>0,則下列命題錯(cuò)誤的是(D)

A.若abWl,貝(+/22

1Q

B.若〃+b=4,貝與+石的最小值為4

C.若次+〃=4,則"的最大值為2

D.若2°+6=1,則4的最大值為華

解析：???0<加1,.?.黑1,.■1+力一'1191

益22,故A正確；若〃+/?=4,則￡+1=4（。+

心+3=筮+羽+lg

10)=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=l,b=3時(shí)等號成立'故B正確；若"+廬=4,則

〃2+匕2

abW一二~=2,當(dāng)且僅當(dāng)4=8=也時(shí)等號成立，故C正確；若2〃+/?=1,則1=2〃+622鏡面,

即次當(dāng)且僅當(dāng)〃=時(shí)等號成立，故錯(cuò)誤.故選

o41DD.

14.已知正數(shù)%,y滿足2x+y=l,若不等式x2—以孫+丁20恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值是

4.

Y1V1

解析：Vx>0,y>0,由f一以孫+y20恒成立得根恒成立，即求勺最小值,

又印—+=+7=侏+￡)(2x+y)T=工+'+222\/-?^+2=4,

yx2yx2yx